7.4.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(1)蘇教版選擇性必修2

第7章《計(jì)數(shù)原理》11三月2025學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并能用其解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.1.二項(xiàng)式定理：2.通項(xiàng)公式：3.特例：(展開式的第r+1項(xiàng))溫故知新發(fā)現(xiàn)什么特點(diǎn)？(a＋b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)n依次取0，1，2，3…時(shí)，如下表所示：(a＋b)0………………1

(a＋b)1………………1

1(a＋b)2……………1

2

1(a＋b)3…………1

3

3

1

(a＋b)4………1

4

6

4

1(a＋b)5……1

5

10

10

5

1(a＋b)6…1

6

15

20

15

6

1

……觀察探究(2)上肩兩數(shù)之和：

從第一項(xiàng)起至中間項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大，隨后又逐漸減小.因此，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、相等且同時(shí)取得最大值(4)各二項(xiàng)式系數(shù)的和(1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)獲得新知每行兩端都是1，而且除1外每個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)之和．(3)增減性與最大值：(a＋b)n二項(xiàng)式系數(shù)：有如下性質(zhì)：

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)數(shù)學(xué)建構(gòu)例1已知的(a＋b)n展開式中，（1）第10項(xiàng)和第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求n的值．（2）第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求n的值．（3）各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為1024，求n的值．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用證明：在二項(xiàng)式定理

中，

令a＝1，b＝－1得：(1－1)n＝

即0＝所以

所以在(a＋b)n的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和．例2證明：在(a＋b)n的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和．證明：99100－1＝(100－1)100－1

因?yàn)樯鲜降拿恳豁?xiàng)都能被1000整除，所以99100－1能被1000整除．例3用二項(xiàng)式定理證明：99100－1能被1000整除．2.(1﹣x)13

的展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)是（）(A)第六項(xiàng)(B)第七項(xiàng)（C）第八項(xiàng)(D)第九項(xiàng)C課堂檢測(cè)1.在(a＋b)20展開式中，與第五項(xiàng)的系數(shù)相同的項(xiàng)是().A第15項(xiàng)B第16項(xiàng)C第17項(xiàng)D第18項(xiàng)C3.寫出在（a-b)7的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)？系數(shù)最大系數(shù)最小在展開式中(1)求二項(xiàng)式系數(shù)的和;4.(2)各項(xiàng)系數(shù)的和;(3)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶