(名師選題)2023年人教版高中數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式經(jīng)典知識(shí)題庫(kù)

單選題1、已知且滿足，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．答案：C分析：設(shè)，求出結(jié)合條件可得結(jié)果.設(shè)，可得，解得，，因?yàn)榭傻?，所?故選：C.2、已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是（

）A．B．3C．D．答案：A分析：由已知得，

代入得，令，根據(jù)基本不等式可求得答案.解：因?yàn)椋?，所?/p>

，所以，令，則，且

，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值是.故選：A.3、若，則下面結(jié)論正確的有（

）A．B．若，則

C．若，則D．若，則有最大值答案：B分析：對(duì)于選項(xiàng)ABD利用基本不等式化簡(jiǎn)整理求解即可判斷，對(duì)于選項(xiàng)C取特值即可判斷即可.對(duì)于選項(xiàng)A：若，由基本不等式得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；所以選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若，，

，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由，，即，如時(shí)，，所以選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等則有最大值，所以選項(xiàng)D不正確；故選：B4、不等式的解集為（

）A．B．C．D．答案：B分析：按照絕對(duì)值不等式和一元二次不等式求解即可.解：，則不等式的解集為：故選：B.5、已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為(

)A．2B．1C．4D．5答案：A分析：將a-1和b-1看作整體，由構(gòu)造出，根據(jù)即可求解．由得，因式分解得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值．故選：A．6、下列說(shuō)法正確的為（

）A．B．函數(shù)的最小值為4C．若則最大值為1D．已知時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得最小值8答案：C分析：利用基本不等式及其對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)分別判斷即可.對(duì)于選項(xiàng),只有當(dāng)時(shí)，才滿足基本不等式的使用條件，則不正確；對(duì)于選項(xiàng),

，令，即在上單調(diào)遞增，則最小值為,則不正確；對(duì)于選項(xiàng),，則正確；對(duì)于選項(xiàng),當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，等號(hào)成立，則不正確.故選：.7、前后兩個(gè)不等式解集相同的有（

）①與

②與③與④與A．①②B．②④C．①③D．③④答案：B分析：由不含參的一元二次不等式，分式不等式、高次不等式的解法解出各個(gè)不等式，對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.對(duì)于①，由可得，解得：或.的解集為：或，故①不正確；對(duì)于②，由可得，解得：或.的解集為：或，故②正確；對(duì)于③，的解集為：或或，的解集為：或，故③不正確；對(duì)于④，的解集為：或，的解集為：或，故④正確；故選：B.8、關(guān)于的不等式

的解集中恰有個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．

答案：C分析：分類討論一元二次不等式的解，根據(jù)解集中只有一個(gè)整數(shù)，即可求解.由得

，若，則不等式無(wú)解．若，則不等式的解為，此時(shí)要使不等式的解集中恰有個(gè)整數(shù)解，則此時(shí)個(gè)整數(shù)解為，則．若，則不等式的解為，此時(shí)要使不等式的解集中恰有個(gè)整數(shù)解，則此時(shí)個(gè)整數(shù)解為，則．綜上，滿足條件的的取值范圍是故選：C．9、若實(shí)數(shù)、滿足，下列不等式中恒成立的是（

）A．B．C．D．答案：A分析：利用作差法可判斷各選項(xiàng)中不等式的正誤.因?yàn)?，則，故，A對(duì)B錯(cuò)；，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，CD都錯(cuò).故選：A.10、關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，那么m的值為（

）A．B．C．或1D．或4答案：A分析：，利用韋達(dá)定理可得答案.關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，解得：，關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，，即，解得：或舍去故選：A.11、已知，則的最大值為（

）A．2B．4C．5D．6答案：A分析：由基本不等式求解即可因?yàn)椋钥傻?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取得等號(hào)，的最大值為2．故選：A．12、設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為（

）A．4B．8C．16D．32答案：B分析：因?yàn)椋傻秒p曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.

雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故

面積為：雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)

的焦距的最小值：故選：B.小提示：本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時(shí)，要檢驗(yàn)等號(hào)是否成立，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.雙空題13、張軍自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家干果店，銷售的干果中有松子、開(kāi)心果、腰果、核桃，價(jià)格依次為120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克，為增加銷量，張軍對(duì)這四種干果進(jìn)行促銷:一次購(gòu)買干果的總價(jià)達(dá)到150元，顧客就少付x(2x∈Z)元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，張軍會(huì)得到支付款的80%.①若顧客一次購(gòu)買松子和腰果各1千克，需要支付180元，則x=________；②在促銷活動(dòng)中，為保證張軍每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為_(kāi)____.答案：

分析：①結(jié)合題意即可得出；②分段列出式子，求解即可．解：

①顧客一次購(gòu)買松子和腰果各1千克，需要支付元，則.②設(shè)顧客一次購(gòu)買干果的總價(jià)為元，當(dāng)時(shí)，張軍每筆訂單得到的金額顯然不低于促銷前總價(jià)的七折.當(dāng)時(shí)，.即對(duì)恒成立，則，，又,所以.小提示：本題考查數(shù)學(xué)在生活中的實(shí)際應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).屬于基礎(chǔ)題．14、已知正數(shù)滿足，則當(dāng)________時(shí)，取得最小值，最小值為_(kāi)_______．答案：

解析：先根據(jù)基本不等式得,結(jié)合得,再由基本不等式得,最后檢驗(yàn)時(shí)成立即可.解:由基本不等式可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．正數(shù)滿足,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,的最小值為．故答案為:

(1).

(2).

小提示：本題考查基本不等式,要注意”一定二正三相等”.15、若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，則ab的最大值為_(kāi)_______，的最小值為_(kāi)_______．答案：

解析：對(duì)于空1，由于a>0，b>0，直接利用基本不等式可得即可得解；對(duì)于空2，根據(jù)1的

“妙用”變形a＋2b－4＝0為，和相乘利用基本不等式即可得解.因?yàn)閍>0，b>0，且a＋2b－4＝0，所以a＋2b＝4，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b，即a＝2，b＝1時(shí)等號(hào)成立，所以ab的最大值為2，因?yàn)?/p>

，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.小提示：本題考查了基本不等式及其應(yīng)用，考查了“1”的妙用求最值，考查了計(jì)算能力，屬于簡(jiǎn)單題.16、若，則有最______值，且此最值是______．答案：

大

分析：對(duì)進(jìn)行恒等變形，最后利用基本不等式可以判斷出的最值情況.因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）,故有最大值，最大值為.小提示：本題考查了基本不等式的應(yīng)用，代數(shù)式的恒等變形是解題的關(guān)鍵.17、若關(guān)于x的不等式的解集為或，則_____，_____．答案：

分析：由不等式的解集可確定對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖像的開(kāi)口和對(duì)應(yīng)二次方程的兩根，由根與系數(shù)關(guān)系即可求得a和t的值.由不等式的解集為或，可知不等式對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖像開(kāi)口向下即，且1，是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得解得或，，所以答案是：-3，-3小提示：本題考查一元二次不等式與二次函數(shù)圖像，二次方程之間關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.解答題18、已知都是正數(shù)，且，（1）求的最小值；（2）求的最小值．答案：(1)

；(2)

.分析：(1)

利用1的代換將式子變形，再用基本不等式求最小值；(2)

先將式子中的1用代換，展開(kāi)整理，再用基本不等式求最小值.(1)

.因?yàn)槎际钦龜?shù)，所以由基本不等式得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)

，

時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為

.(2)

.因?yàn)槎际钦龜?shù)，所以由基本不等式得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)

，

時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.19、一個(gè)生產(chǎn)公司投資A生產(chǎn)線500萬(wàn)元，每萬(wàn)元可創(chuàng)造利潤(rùn)1.5萬(wàn)元．該公司通過(guò)引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)，在生產(chǎn)線A投資減少了x萬(wàn)元，且每萬(wàn)元的利潤(rùn)提高了；若將少用的x萬(wàn)元全部投入B生產(chǎn)線，每萬(wàn)元?jiǎng)?chuàng)造的利潤(rùn)為萬(wàn)元，其中，．(1)若技術(shù)改進(jìn)后A生產(chǎn)線的利潤(rùn)不低于原來(lái)A生產(chǎn)線的利潤(rùn)，求x的取值范圍；(2)若生產(chǎn)線B的利潤(rùn)始終不高于技術(shù)改進(jìn)后生產(chǎn)線A的利潤(rùn)，求a的最大值．答案：(1)(2)5.5分析：（1）分別列出技術(shù)改造前后利潤(rùn)根據(jù)題意列出不等關(guān)系求解即可．（2）題中不高于可轉(zhuǎn)化為式子之間的恒成立問(wèn)題，通過(guò)參變分離結(jié)合基本不等式求最值，從而得參數(shù)范圍．（1）由題設(shè)可得，整理得：，而，故.（2）由題設(shè)得生產(chǎn)線的利潤(rùn)為萬(wàn)元，技術(shù)改進(jìn)后，生產(chǎn)線的利潤(rùn)為萬(wàn)元，則恒成立，故，而，故，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故的最大值為.20、（1）若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式.答案：（1）；（2）