專(zhuān)題29排列組合

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

知識(shí)點(diǎn)1、排列與排列數(shù)

（1）定義：從〃個(gè)不同元素中取出加（加W"）個(gè)元素排成一列，叫做從"個(gè)不同元素中取出加個(gè)元素的

一個(gè)排列.從"個(gè)不同元素中取出加（"4”）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從〃個(gè)不同元素中取出加個(gè)元

素的排列數(shù)，用符號(hào)4：表示.

（2）排列數(shù)的公式：=n（n-\）｛n-2\--[n-m+\\=-----1―.

\<n-my.

特例：當(dāng)加二〃時(shí)，/；=〃!=〃（〃—1）（〃—2）…3?2?1；規(guī)定：0!=1.

（3）排列數(shù)的性質(zhì)：

1M

①父=/，②4"=—4：,,+'=-41③吸+41

n-mn—m

（4）解排列應(yīng)用題的基本思路：

通過(guò)審題，找出問(wèn)題中的元素是什么，是否與順序有關(guān)，有無(wú)特殊限制條件（特殊位置，特殊元素）.

注意：排列數(shù)公式的兩種不同表達(dá)形式本質(zhì)是一樣的，但作用略有不同，人：="〃-1卜-（〃-加+1）常

用于具體數(shù)字計(jì)算；而在進(jìn)行含字母算式化簡(jiǎn)或證明時(shí)，多用A；=T—.

（n-m）!

知識(shí)點(diǎn)2、組合與組合數(shù)

（1）定義：從〃個(gè)不同元素中取出m（根4"）個(gè)元素并成一組，叫做從"個(gè)不同元素中取出加個(gè)元素的

一個(gè)組合.從〃個(gè)不同元素中取出加（加W”）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從〃個(gè)不同元素中取出加個(gè)元

素的組合數(shù)，用符號(hào)C：”表示.

（2）組合數(shù)公式及其推導(dǎo)

求從九個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)/：",可以按以下兩步來(lái)考慮：

第一步，先求出從這"個(gè)不同元素中取出加個(gè)元素的組合數(shù)

第二步，求每一個(gè)組合中加個(gè)元素的全排列數(shù)/,：；

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到A'：=C：.4：；

因此Cj里=〃（"1）（”2）…（i+1）

"4：加

.VII_

這里"，機(jī)€乂，且mV",這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式.因?yàn)?："=/、，所以組合數(shù)公式還可表示

HI

為：c：=屋口.特例：C：=c：=l.

m\[n-my.

注意：組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問(wèn)題時(shí)，一般都是

按先取后排（先組合后排列）的順序解決問(wèn)題.公式禺=如一1）（"-2）…-7"+1）常用于具體數(shù)字計(jì)算,

m\

C：=---常用于含字母算式的化簡(jiǎn)或證明.

m\（n—m）!

（3）組合數(shù)的主要性質(zhì)：①c：=c；"；②c;+=Ml.

（4）組合應(yīng)用題的常見(jiàn)題型：

①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型

②，，至少,，或，，最多，，含有幾個(gè)元素的題型

知識(shí)點(diǎn)3、排列和組合的區(qū)別

組合：取出的元素地位平等，沒(méi)有不同去向和分工.

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同.

注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問(wèn)題，它們之間的主要區(qū)別

在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問(wèn)題，需要考慮順序的是排列問(wèn)題.排列

是在組合的基礎(chǔ)上對(duì)入選的元素進(jìn)行排隊(duì)，因此，分析解決排列組合綜合問(wèn)題的基本思維是“先組合，后排

列”.

知識(shí)點(diǎn)4、解決排列組合綜合問(wèn)題的一般過(guò)程

1、認(rèn)真審題，確定要做什么事；

2、確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類(lèi)或是分步與分類(lèi)同時(shí)進(jìn)行，弄清楚分多少類(lèi)及多

少步；

3、確定每一步或每一類(lèi)是排列（有序）問(wèn)題還是組合（無(wú)序）問(wèn)題，元素總數(shù)是多少及取出多少個(gè)元

素；

4、解決排列組合綜合性問(wèn)題，往往類(lèi)與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略.

【典型例題】

例1.（新疆維吾爾自治區(qū)2024屆高三學(xué)期第一次適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）在古典名著《紅樓夢(mèng)》中有一道名

為“茄餐”的佳肴，這道菜用到了雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉六種原料，烹飪時(shí)要求香菌、

新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，最后還需加入精心熬制的雞湯，則烹飪“茄餐”時(shí)不同的

下鍋?lái)樞蚬灿校ǎ?/p>

A.72種B.36種C.12種D.6種

【答案】C

【解析】由題意可知六種原料中可以把香菌、新筍、豆腐干看成一種，即有A：種放法，

又茄子凈肉放在雞脯肉后，則有多=12種放法.

故選：C

例2.（貴州省六校聯(lián)盟2024屆高考實(shí)用性聯(lián)考（三）數(shù)學(xué)試題）2023年全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（決

賽）于2023年11月26日至12月3日在湖北省武漢市武鋼三中舉行，賽后來(lái)自某所學(xué)校的3名同學(xué)和2

名老師站成一排合影，若兩名老師之間至少有一名同學(xué)，則不同的站法有（）種.

A.48B.64C.72D.120

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行：

第一步：安排3名同學(xué)站成一排合影，不同的站法共A；種；

第二步：安排2名老師，采用插空法，不同的站法共A；種；

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：不同的站法共A；A；=72種.

故選：C

例3.（山東省煙臺(tái)市、德州市2024屆高三學(xué)期高考診斷性考試數(shù)學(xué)試題）將8個(gè)大小形狀完全相同的小球

放入3個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子中至少放2個(gè)小球，則不同放法的種數(shù)為（）

A.3B.6C.10D.15

【答案】B

【解析】依題意，每個(gè)盒子放入2個(gè)球，余下2個(gè)球可以放入一個(gè)盒子有C；種方法，放入兩個(gè)盒子有C；種

方法，

所以不同放法的種數(shù)為C；+C；=6.

故選：B

例4.（高三數(shù)學(xué)臨考沖刺原創(chuàng)卷（一））某中學(xué)高三14班有50名學(xué)生，其中男生20人，女生30人，現(xiàn)采

取分層隨機(jī)抽樣的方式從該班選取5名學(xué)生，再?gòu)倪x取的5名學(xué)生中隨機(jī)選取3名學(xué)生參加學(xué)校的演講比

賽，則既有男生又有女生的選取方式有（）

A.6種B.7種C.8種D.9種

【答案】D

【解析】由題知男生和女生的人數(shù)比例是2:3,則從50名學(xué)生中選5名學(xué)生，

23

選到的男生有5x^=2（名），女生有5x1=3（名），再?gòu)闹须S機(jī)選取3名，

既有男生又有女生的情況有2種，

情況一：1名男生2名女生，有C；C；=6（種）選取方式；

情況二：2名男生1名女生，有C；C；=3（種）選取方式，

故一共有6+3=9（種）選取方式.

故選：D.

例5.（江西省部分地區(qū)2024屆高三學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）有2男2女共4名大學(xué)畢業(yè)生被分配到

三個(gè)工廠實(shí)習(xí)，每人必須去一個(gè)工廠且每個(gè)工廠至少去1人，且A工廠只接收女生，則不同的分配方法種

數(shù)為（）

A.12B.14C.22D.24

【答案】B

【解析】按A工廠接收的女生人數(shù)分類(lèi)，

第一類(lèi)：A工廠僅接收1名女生，從2名女生中選1人，有C；種選擇，

再把剩余的3人分為兩組，和民C兩工廠進(jìn)行全排列，有C；A；種選擇,

故有C；砥A：=12種分配方法;

第二類(lèi)：A工廠接收2名女生，則剩余的兩個(gè)男生和兩個(gè)工廠進(jìn)行全排列,

有C；A；=2種分配方法.

綜上，不同的分配方法有12+2=14種.

故選：B

例6.（吉林省白山市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題）如圖所示，一種兒童儲(chǔ)蓄罐有6個(gè)密碼格，由

購(gòu)買(mǎi)者設(shè)定密碼后方可使用，其中密碼的數(shù)字只能在01,2中進(jìn)行選擇，且每個(gè)密碼格都必須設(shè)定數(shù)字，則

數(shù)字“1”出現(xiàn)奇數(shù)次的不同密碼個(gè)數(shù)為（）

A.172B.204C.352D.364

【答案】D

【解析】若數(shù)字“1”出現(xiàn)1次，則有C：x25=192種可能；

若數(shù)字“1”出現(xiàn)3次，有C"23=160種可能；

若數(shù)字“1”出現(xiàn)5次，則有C；x2=12種可能，

故數(shù)字“1”出現(xiàn)奇數(shù)次的不同密碼個(gè)數(shù)為192+160+12=364.

故選：D.

例7.（云南省昆明市云南師范大學(xué)附屬中學(xué)2024屆高三學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷）某食品公司共有4,B,C

三條生產(chǎn)線(xiàn)，產(chǎn)量占比為3：2：5,為檢查新一批次食品添加劑使用量是否合格，用分層隨機(jī)抽樣方法進(jìn)行

調(diào)查現(xiàn)從這3000件食品中抽檢5%,則不同的抽樣方法共有（）

A.C款.C落CK種B.C*.C*°.C黑種

C.C款+C熱種D.C；iC熱種

【答案】D

【解析】3000件食品中，A,B,C三條生產(chǎn)線(xiàn)的生產(chǎn)量分別為900件、600件、1500件,

抽檢總量為3000x0.05=150件,

325

利用分層隨機(jī)抽樣，分別從/,B,C三條生產(chǎn)線(xiàn)抽檢150x歷=45,150x證=30、150x歷=75件，

按照分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有C篇C黑C2。種方法，

故選：D.

例8.（湖北省荊州市沙市中學(xué)2024屆高三學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）某小組兩名男生和兩名女生邀請(qǐng)一名老

師排成一排合影留念，要求兩名男生不相鄰，兩名女生也不相鄰，老師不站在兩端，則不同的排法共有（）

A.8種B.16種C.24種D.32種

【答案】D

【解析】當(dāng)老師從左到右排在第二或第四位時(shí)，共有C；-C；?A；=16種排法，

當(dāng)老師從左到右排在第三位時(shí),共有=16種排法，

于是共有16+16=32種排法.

故選：D.

例9.（四川省大數(shù)據(jù)學(xué)考聯(lián)盟2024屆高三第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理科）試題）為了深化教育改革，堅(jiān)持“五

育并舉”融合育人.某學(xué)校準(zhǔn)備組建書(shū)法、音樂(lè)、美術(shù)、體育4個(gè)不同的社團(tuán).現(xiàn)將甲、乙、丙、丁、戊5

名同學(xué)分配到這4個(gè)社團(tuán)進(jìn)行培訓(xùn)，每名同學(xué)只能分配到1個(gè)社團(tuán)，每個(gè)社團(tuán)至少分配1名同學(xué)，且甲乙

兩名同學(xué)不能在同一個(gè)社團(tuán)培訓(xùn)，則不同的分配方案共有（）

A.192種B.216種C.240種D.432種

【答案】B

【解析】由題意可得，將5名同學(xué)分配到這4個(gè)社團(tuán)進(jìn)行培訓(xùn)每名同學(xué)只能分配到1個(gè)社團(tuán)，

每個(gè)社團(tuán)至少分配1名同學(xué)，則不同的分配方案共有戢?0；?xA：=240種,

A3

當(dāng)甲乙兩名同學(xué)在同一個(gè)社團(tuán)培訓(xùn)，則不同的分配方案有A：=24種,

綜上可得，不同的分配方案共有240-24=216種.

故選:B

例10.已知正整數(shù)X],矛2，X3,X4,X5滿(mǎn)足芭+%2+退+尤4+X5=1°，則不同的有序?qū)崝?shù)對(duì)（西,々戶(hù)3/4，%）

有種可能.

【答案】126

【解析】先將10拆成10個(gè)1，并排成一排，于是正整數(shù)4，X2,x3,匕，％表示在這10個(gè)1中占有1的個(gè)數(shù),

然后用四個(gè)隔板把這一列1分為五組，由于這一列數(shù)中間有9個(gè)空，

因此四個(gè)隔板的放置方法種數(shù)為C；=126（種）.因此不同的有序?qū)崝?shù)對(duì)（為應(yīng),％,匕,%）有126種可能.

故答案為：126

【過(guò)關(guān)測(cè)試】

一、單選題

1.（河南省新鄉(xiāng)市2023-2024學(xué)年高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題）老師有6本不同的課外書(shū)要分給甲、乙、

丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，則不同的分法有（）

A.248種B.168種C.360種D.210種

【答案】D

【解析】根據(jù)題意進(jìn)行分類(lèi)：

第一類(lèi)：甲、乙、丙每人分得2本，N]=C，C；C；=15x6x1=90（種）；

第二類(lèi)：甲分得2本，乙、丙兩人中一人分得1本另一人分得3本，N2=C：C[C；A；=15x4x1x2=120（種）.

所以由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得共有N=N+『=90+120=210種不同的分法.

故選：D.

2.（湖南省長(zhǎng)沙市四縣區(qū)2024屆高三學(xué)期3月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷）將甲、乙、丙、丁4個(gè)人全部分配到4房。

三個(gè)地區(qū)工作，每個(gè)地區(qū)至少有1人，則不同的分配方案為（）

A.36種B.24種C.18種D.16種

【答案】A

【解析】依題意，4民。三個(gè)地區(qū)中必有一個(gè)地區(qū)有2人，

先在甲、乙、丙、丁4個(gè)人中選2個(gè)人有C：種組合，將這兩個(gè)人捆綁在一起看作一個(gè)元素，

與其他2個(gè)人一起分配到45C三個(gè)地區(qū)，共有C；A；=36種.

故選：A

3.（2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)猜題卷（六））隨著國(guó)潮的興起，大眾對(duì)漢服的接受度日漸

提高.目前中國(guó)大眾穿漢服的場(chǎng)景主要有漢服活動(dòng)、藝術(shù)拍攝、傳統(tǒng)節(jié)日、旅游觀光、舞臺(tái)表演、日?；?/p>

動(dòng)、婚慶典禮7類(lèi).某自媒體博主準(zhǔn)備從圖片網(wǎng)站上精選8張中國(guó)大眾穿漢服的照片，要求每類(lèi)場(chǎng)景至多

選2張，則不同的選擇方案的種數(shù)為（）

A.252B.162C.357D.324

【答案】C

【解析】從7類(lèi)場(chǎng)景中選8張照片，且每類(lèi)場(chǎng)景至多選2張，也可以不選，

貝IJ不同選法有2+2+2+2,2+2+2+1+1,2+2+1+1+1+1,2+1+1+1+1+1+1,

所以不同的選擇方案的種數(shù)為C；+C；C"C；C；+C；屋=357.

故選：C.

4.（2024屆遼寧省名校聯(lián)盟高考模擬卷（調(diào)研卷）數(shù)學(xué)試題（一））第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月至10月

在杭州舉行，來(lái)自浙江某大學(xué)的4名男生和3名女生通過(guò)了志愿者的選拔，若從這7名大學(xué)生中選出2人

或3人去某場(chǎng)館擔(dān)任英語(yǔ)翻譯，并且至少要選中1名女生，則不同的挑選方案共有（）

A.15種B.31種C.46種D.60種

【答案】C

【解析】至少要選中一名女生的對(duì)立事件是選中的全為男生，故所求挑選方案的種數(shù)為

颶—瑤+G—C=46.

故選：C

5.（陜西省咸陽(yáng)市2024屆高三學(xué)期高考模擬檢測(cè)（二）數(shù)學(xué)（理科）試題）為了強(qiáng)化學(xué)生安全意識(shí)，落實(shí)

“12530”安全教育，某學(xué)校讓學(xué)生用這5個(gè)數(shù)字再加一個(gè)0來(lái)設(shè)定自己教室儲(chǔ)物柜密碼，若兩個(gè)0之間至少

有一個(gè)數(shù)字，且兩0不都在首末兩位，可以設(shè)置的密碼共有（）

A.72B.120C.216D.240

【答案】C

【解析】從左到右的6個(gè)位置分別為4瓦C,。,瓦尸，

若兩個(gè)0之間有一個(gè)數(shù)字，此時(shí)兩個(gè)0的位置有4c或3,?；駽,E或尸四種情況，

在把剩余的4個(gè)數(shù)進(jìn)行全排列，此時(shí)共有4A：=96種，

若兩個(gè)0之間有兩個(gè)數(shù)字，此時(shí)兩個(gè)0的位置有4。或及E或C,E三種情況，

剩余的4個(gè)數(shù)進(jìn)行全排列，止匕時(shí)有3A：=72種，

若兩個(gè)0之間有三個(gè)數(shù)字，此時(shí)兩個(gè)0的位置有4E或民尸兩種情況，

剩余的4個(gè)數(shù)進(jìn)行全排列，此時(shí)有2A：=48種，

綜上，可以設(shè)置的密碼共有96+72+48=216個(gè).

故選：C

6.（2024屆遼寧省遼寧名校聯(lián)盟（東北三省聯(lián)考）高三3月模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題）某表彰會(huì)上3名男同學(xué)和

4名女同學(xué)從左至右排成一排上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)，則女生甲與女生乙相鄰，且女生丙與女生丁相鄰的排法種數(shù)為（）

A.194B.240C.388D.480

【答案】D

【解析】因?yàn)榕着c女生乙相鄰，且女生丙與女生丁相鄰，

則捆綁起來(lái)算作兩個(gè)元素，與3名男同學(xué)構(gòu)成5個(gè)元素，

則排法共有：A；-A>A；=480種，

故選：D

7.（FHsxl225yli68）某團(tuán)支部進(jìn)行換屆選舉，從甲、乙、丙、丁四人中選出三人分別擔(dān)任書(shū)記、副書(shū)記、

組織委員，規(guī)定上屆任職的甲、乙、丙三人不能連任原職，則不同的任職方案有（）

A.10種B.11種

C.12種D.13種

【答案】B

【解析】解析：當(dāng)丁不入選時(shí)，由甲、乙、丙三人任職，甲有兩種選擇，余下的乙和丙只有一種選擇；當(dāng)

丁入選時(shí)，有三種結(jié)果，丁擔(dān)任三個(gè)人中沒(méi)有入選的人的職務(wù)時(shí)，只有一種結(jié)果，丁擔(dān)任入選的兩個(gè)人的

職務(wù)時(shí)，有兩種結(jié)果，共有3X（2+1）=9（種）任職方案.綜上可知，共有9+2=11（種）任職方案.

8.（湖南省邵陽(yáng)市2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）某市舉行鄉(xiāng)村振興匯報(bào)會(huì)，六個(gè)獲獎(jiǎng)單位的負(fù)責(zé)人甲

、乙、丙等六人分別上臺(tái)發(fā)言，其中負(fù)責(zé)人甲、乙發(fā)言順序必須相鄰，丙不能在第一個(gè)與最后一個(gè)發(fā)言，則不

同的安排方法共有（）

A.240種B.120種C.156種D.144種

【答案】D

【解析】將將甲乙捆綁看做一個(gè)元素，由丙不能在第一個(gè)與最后一個(gè)發(fā)言，

則丙的位置有3個(gè)，將剩余4個(gè)元素再排序有A：A；=48種方法，

故不同的安排方法共有3x48=144種.

故選：D.

9.（浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟2024屆高三學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）現(xiàn)有一項(xiàng)需要用時(shí)兩天的活動(dòng)，要從5人中安排

2人參加，每天安排一人，若其中甲、乙2人在這兩天都沒(méi)有參加，則不同的安排方式有（）

A.20種B.10種C.8種D.6種

【答案】D

【解析】由題意可知，從除甲和乙之外的3人中選2人，安排2天的活動(dòng)，有A；=6種方法.

故選：D

10.（內(nèi)蒙古呼和浩特市2024屆高三第一次質(zhì)量數(shù)據(jù)監(jiān)測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷）在寒假中，某小組成員去參加社

會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，已知該組成員有4個(gè)男生、2個(gè)女生，現(xiàn)將他們分配至兩個(gè)社區(qū)，保證每個(gè)社區(qū)有2個(gè)男生、1

個(gè)女生，則不同的分配方法有（）種.

A.6B.9C.12D.24

【答案】C

「2020If4

【解析】男生的分配方法有號(hào)A；,女生的分配方法有守A；,

「2r2

所以總的分配方法有卓A；吟1A；=12,

故選：C

11.（陜西省榆林市2023-2024學(xué)年高三第二次模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)（理科）試題）甲、乙、丙、丁四人計(jì)劃一起去陜

西省榆林市旅游，他們從榆林古城、鎮(zhèn)北臺(tái)、紅石峽、榆林沙漠國(guó)家森林公園、紅堿淖、白云山、易馬城遺址這7

個(gè)景點(diǎn)中選4個(gè)游玩（按照游玩的順序，最先到達(dá)的稱(chēng)為第一站，后面到達(dá)的依次稱(chēng)為第二、三、四站），已

知他們第一站不去榆林沙漠國(guó)家森林公園，且第四站去紅堿淖或白云山，則他們這四站景點(diǎn)的選擇共有（）

A.180種B.200種C.240種D.300種

【答案】B

【解析】先考慮第四站，第四站去紅堿淖或白云山，故有C；種安排方法，

接著考慮第一站，去掉榆林沙漠國(guó)家森林公園以及第四站去的景點(diǎn)，有C；種選擇，

最后從剩下的景點(diǎn)中選擇任意兩個(gè)景點(diǎn)游玩有A；

故可得他們這四站景點(diǎn)的選擇共有C；C[A；=200種.

故選：B

12.（貴州省安順市2023-2024學(xué)年高三學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題）安順市第三屆運(yùn)動(dòng)會(huì)于2023年11月

8日至11月10日在安順奧體中心舉行.某中學(xué)安排4位學(xué)生觀看足球、籃球、乒乓球三個(gè)項(xiàng)目比賽，若一

位同學(xué)只觀看一個(gè)項(xiàng)目，三個(gè)項(xiàng)目均有學(xué)生觀看，則不同的安排方案共有（）

A.18種B.24種C.36種D.72種

【答案】C

【解析】四位同學(xué)觀看三個(gè)項(xiàng)目比賽，由于一位同學(xué)只觀看一個(gè)項(xiàng)目，三個(gè)項(xiàng)目均有學(xué)生觀看，

根據(jù)題意，其中有兩人看一個(gè)項(xiàng)目，所以安排方案有C；A；=36種.

故選：C

13.（河南省濟(jì)洛平許2024屆高三第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）有5名志愿者去定點(diǎn)幫扶3位困難老人，若

要求每名志愿者都要幫扶且只幫扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者幫扶，則不同的安排方法共有

（）

A.180種B.150種C.90種D.60種

【答案】C

【解析】由題意得，先將5名志愿者分成3組，只有2,2,1一種情況，

即生冬'=15種分組方法,

再將3組志愿者分配給3為位老人，則共有15A；=90種安排方法.

故選：C

14.（山東省淄博市2024屆高三學(xué)期一模考試數(shù)學(xué)試題）小明設(shè)置六位數(shù)字的手機(jī)密碼時(shí)，計(jì)劃將自然常

數(shù)ea2.71828…的前6位數(shù)字2,7,1,8,2,8進(jìn)行某種排列得到密碼.若排列時(shí)要求相同數(shù)字不相鄰,且

相同數(shù)字之間有一個(gè)數(shù)字，則小明可以設(shè)置的不同密碼種數(shù)為（）

A.24B.16C.12D.10

【答案】B

【解析】若兩個(gè)2之間是8,則有282817；282871；728281；128287；172828；712828；

828217；828271；782821；182827；178282；718282,共12種

若兩個(gè)2之間是I或7,則有272818；818272；212878；878212,共4種；

則總共有16種，

故選：B.

15.（四川省瀘州市2024屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試數(shù)學(xué)（理科）試題）某校安排高一年級(jí)（1）?

（4）班共4個(gè)班去A,B,C三個(gè)勞動(dòng)教育基地進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)基地，每個(gè)基地至少安排一

個(gè)班，則高（1）班被安排到A基地的排法總數(shù)為（）

A.9B.12C.18D.24

【答案】B

【解析】依題意，若A基地只安排一個(gè)班，則有C；A；=6種安排方法；

若A基地安排兩個(gè)班，則有A；=6種安排方法；

綜上可得高（1）班被安排到A基地的排法總數(shù)為6+6=12種.

故選：B

16.（江蘇省南通市如皋市2024屆高三學(xué)期1月診斷測(cè)試數(shù)學(xué)試題）有5輛車(chē)停放6個(gè)并排車(chē)位，貨車(chē)甲

車(chē)體較寬，?？繒r(shí)需要占兩個(gè)車(chē)位，并且乙車(chē)不與貨車(chē)甲相鄰?fù)７?，則共有（）種停放方法.

A.72B.144C.108D.96

【答案】A

【解析】先停入貨車(chē)甲，若貨車(chē)甲不靠邊，共有3種停法，則乙車(chē)有2種停法，

除甲、乙外的其它三輛車(chē)共有A；種停法；

若貨車(chē)甲靠邊，共有2種停法，則乙車(chē)有3種停法，

除甲、乙外的其它三輛車(chē)的排法共有A；種，

故共有3x2xA；+2x3xA；=36+36=72種停放方法.

故選：A.

17.（湖北省襄陽(yáng)市優(yōu)質(zhì)高中2023-2024學(xué)年高三學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）襄陽(yáng)為“中國(guó)優(yōu)秀旅游城市”，境

內(nèi)生態(tài)環(huán)境優(yōu)美，旅游資源十分豐富，景區(qū)景點(diǎn)給人以自然的美妙與人文的魅力.其中南漳香水河、春秋寨,

谷城蓬山，?？滴宓缻{，棗陽(yáng)白水寺、唐梓山風(fēng)景區(qū)，襄州鹿門(mén)寺都是風(fēng)景宜人的旅游勝地，一位同學(xué)計(jì)

劃在假期從上面7個(gè)景區(qū)中選擇3個(gè)游玩，其中香水河和五道峽最多只去一處，不考慮游玩的順序，則不

同的選擇方案數(shù)有（）

A.20B.30C.35D.40

【答案】B

【解析】因?yàn)橄闼雍臀宓缻{最多只去一處，

故可分為兩種情況討論.

當(dāng)香水河和五道峽只去一處時(shí)且不考慮游玩的順序，

則不同的選擇方案為C；C"

當(dāng)香水河和五道峽一處也不去時(shí)且不考慮游玩的順序，

則不同的選擇方案為C；.

綜上：滿(mǎn)足題意的不同選擇方案數(shù)為C；C；+C；=30.

故選：B.

18.（廣東省佛山市順德區(qū)華僑中學(xué)2024屆高三學(xué)期港澳班2月開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）某人進(jìn)行年度體檢，

有43,C,O,E五個(gè)檢查項(xiàng)目，為了體檢數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，/項(xiàng)目必須作為第一個(gè)項(xiàng)目完成，而2和C兩項(xiàng)不

連在一起接著檢查.則不同順序的檢查方案一共有（）

A.6種B.12種C.18種D.24種

【答案】B

【解析】依題意，將兩個(gè)項(xiàng)目全排列，有A；=2種情況，

再將用C兩個(gè)項(xiàng)目排在排列所形成的3個(gè)空位中，有A；=6種情況，

最后將A項(xiàng)目放在第一位，有1種情況，

所以共有2x6x1=12種情況.

故選：B.

19.（河南省中原名校2024屆高三學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知現(xiàn)需派6名專(zhuān)員去/,B,C共3個(gè)單位進(jìn)

行慰問(wèn)，每個(gè)單位去兩人，其中專(zhuān)員甲不去/單位的派法種數(shù)為（）

A.30B.60C.120D.180

【答案】B

【解析】由題意先從瓦C這2個(gè)單位選一個(gè)派專(zhuān)員甲去，再?gòu)钠溆?人中選一人去甲所去的單位，

再將剩余4人平均分為2組，派去其余2個(gè)單位，

「2r2

共有C；C；.*.A"60（種）派法，

故選：B

二、填空題

20.（湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)2024屆高三學(xué)期月考（七）數(shù)學(xué)試題）雅禮中學(xué)將5名學(xué)生志愿者分配到街

舞社、戲劇社、魔術(shù)社及動(dòng)漫社4個(gè)社團(tuán)參加志愿活動(dòng)，每名志愿者只分配到1個(gè)社團(tuán)、每個(gè)社團(tuán)至少分配1

名志愿者，則不同的分配方案共有種

【答案】240

【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①將5名學(xué)生志愿者分為4組，有C；=10種分組方法，

②將分好的4組安排參加4個(gè)社團(tuán)參加志愿活動(dòng)，有A：=24種情況，

貝I］有10x24=240種分配方案.

故答案為：240.

21.（2024屆江西省九江市二模數(shù)學(xué)試題）為助力鄉(xiāng)村振興，九江市教科所計(jì)劃選派5名黨員教師前往5個(gè)

鄉(xiāng)村開(kāi)展“五育”支教進(jìn)鄉(xiāng)村黨建活動(dòng)，每個(gè)鄉(xiāng)村有且只有1人，則甲不派往鄉(xiāng)村/的選派方法有種.

【答案】96

【解析】第一步，由于甲不派往鄉(xiāng)村4則N地有C；種選派方法，

第二步，其他4個(gè)鄉(xiāng)村有A：種選派方法，所以共有C；A：=96種選派方法.

故答案為：96.

22.（2024屆山西省高考一模數(shù)學(xué)試題）甲、乙、丙、丁、戊、己六位同學(xué)中考語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)的成績(jī)?nèi)缦卤?

甲乙內(nèi)T戊己

語(yǔ)文108110115110118107

數(shù)學(xué)110120112111100118

外語(yǔ)110100112114110113

將每人中考成績(jī)最高的科目認(rèn)定為他的“最擅長(zhǎng)科目”，例如甲的最擅長(zhǎng)科目為數(shù)學(xué)和外語(yǔ).現(xiàn)從這六位同學(xué)

中選出三人分別擔(dān)任語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三個(gè)科目的科代表（每科一人，不可兼任），若每個(gè)科代表對(duì)應(yīng)的科目

都是他的最擅長(zhǎng)科目，則符合要求的安排方法共有種.

【答案】10

【解析】由表格可知：甲最擅長(zhǎng)科目為數(shù)學(xué)和外語(yǔ)，乙為數(shù)學(xué)，丙為語(yǔ)文，丁為外語(yǔ)，

戊為語(yǔ)文，己為數(shù)學(xué).

則語(yǔ)文可從丙、戊兩位同學(xué)選，數(shù)學(xué)可從甲乙己三位同學(xué)選，

外語(yǔ)可從甲丁兩位同學(xué)選，

若甲不為課代表，則只需選語(yǔ)文、數(shù)學(xué)科目代表即可，有C；C；=4種選法；

若甲為課代表，則①甲為數(shù)學(xué)課代表，只需選語(yǔ)文課代表即可，有C；=2選法；

②甲為外語(yǔ)課代表，只需選語(yǔ)文、數(shù)學(xué)課代表即可，有有C；C；=4種選法；

綜上所述，共有10種方案.

故答案為：10

23.（內(nèi)蒙古赤峰市2024屆高三學(xué)期1.30模擬理科數(shù)學(xué)試題）有3名同學(xué)同時(shí)被邀請(qǐng)參加一項(xiàng)活動(dòng)，必須

有人去，去幾人自行決定，共有種不同的去法.（用數(shù)字回答）

【答案】7

【解析】由題意，去1人有C；=3種去法，去2人有C；=3種去法，去3人有C；=l種去法，

所以共有3+3+1=7種不同的去法，

故答案為：7

24.（山東省濰坊市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題）第40屆濰坊國(guó)際風(fēng)箏會(huì)期間，某學(xué)校派5人參加連續(xù)6天的

志愿服務(wù)活動(dòng)，其中甲連續(xù)參加2天，其他人各參加1天，則不同的安排方法有種.（結(jié)果用數(shù)值表示）

【答案】120

【解析】在6天里，連續(xù)2天的情況，一共有5種，

則剩下的4人全排列有A：種排法，

故一共有5xA；=120種排法.

故答案為：120.

25.（專(zhuān)題10計(jì)數(shù)原理（解密講義））某校將8個(gè)足球賽志愿者名額分配到高一年級(jí)的四個(gè)班級(jí)，每班至少

一個(gè)名額，則不同的分配方法共有種（用數(shù)字作答）.

【答案】35

【解析】依題意，將8個(gè)名額排成一列，有7個(gè)間隔，

在這7個(gè)間隔中插入3個(gè)隔板，可將8個(gè)名額分成4組，依次對(duì)應(yīng)4個(gè)班級(jí)，

所以有C；=35種分配方法.

故答案為：35

26.（上海市南洋模范中學(xué)2023-2024學(xué)年高三學(xué)期初態(tài)考試數(shù)學(xué)試卷）上海國(guó)際電影節(jié)影片展映期間，某

影院準(zhǔn)備在周日的某放映廳安排放映4部電影，兩部紀(jì)錄片和兩部懸疑片，當(dāng)天白天有5個(gè)時(shí)段可供放映

（5個(gè)連續(xù)的場(chǎng)次），則兩部懸疑片不相鄰（中間隔空?qǐng)鲆步胁幌噜彛?，且?dāng)天最先放映的一定是懸疑片的排

片方法有種（結(jié)果用數(shù)字表示）.

【答案】44

【解析】由題意當(dāng)天最先放映的一定是懸疑片，若第一場(chǎng)是懸疑片，

從2個(gè)懸疑片中選1個(gè)安排到第一場(chǎng)有C；種排法，由兩部懸疑片不相鄰（中間隔空?qǐng)鲆步胁幌噜彛?，可以?/p>

5個(gè)場(chǎng)次中的后3場(chǎng)選1場(chǎng)安排另一部懸疑片有C；種排法，

所以排懸疑片有C；C；種排法，兩部紀(jì)錄片排在剩下的3個(gè)位置，有A；種排法，

共有C；C；A；=36種；

若第一場(chǎng)為空?qǐng)觯瑒t第二場(chǎng)從2個(gè)懸疑片中選1個(gè)安排有C；種排法，

從后2場(chǎng)選1場(chǎng)安排另一部懸疑片有C；種排法，

所以排懸疑片有C；C；種排法，兩部紀(jì)錄片排在剩下的2個(gè)位置，有A；種排法，

共有C；C；A；=8種；

所以符合題意的排法一共有36+8=44種排法.

故答案為：44

27.（寧夏回族自治區(qū)石嘴山市第三中學(xué)2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題）某校需要大量志愿者協(xié)助

開(kāi)展工作，學(xué)?，F(xiàn)有3名男教師、3名女教師申請(qǐng)成為志愿者，若安排這6名志愿者到3個(gè)不同部門(mén)協(xié)助工

作，每個(gè)部門(mén)需要男女教師各1名，則不同的安排方式種數(shù)是種.（用數(shù)字作答）

【答案】36

【解析】先安排男教師、再安排女教師，各有A；中安排方式，

故不同的安排方式共有=36種.

故答案為：36.

28.（陜西省渭南市三賢中學(xué)2024屆高三學(xué)期名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟高考模擬信息卷押題卷理科數(shù)學(xué)試題（一））琴、

棋、書(shū)、畫(huà)、詩(shī)、酒、花、茶被稱(chēng)為中國(guó)傳統(tǒng)八雅.為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校決定從“八雅”中挑選“六雅”，

于某周末開(kāi)展知識(shí)講座，每雅安排一節(jié)，連排六節(jié).若“琴”“棋”“書(shū)”“畫(huà)”必選，且要求“琴”“棋”相鄰，“書(shū)”“畫(huà)”

相鄰，則不同的排課方法共種.（用數(shù)字作答）

【答案】576

【解析】先從詩(shī)、酒、花、茶中選出“兩雅"，有C；=6種選法，

然后將“琴”“棋”和“書(shū)”“畫(huà)”各看作一個(gè)整體，和選出的“兩雅”全排列，

故共有C；A；A：A：=576種排法，

故答案為：576

29.（專(zhuān)題10計(jì)數(shù)原理（解密講義））教育扶貧是我國(guó)重點(diǎn)扶貧項(xiàng)目，為了縮小教育資源的差距，國(guó)家鼓勵(lì)

教師去鄉(xiāng)村支教，某校選派了5名教師到43、。三個(gè)鄉(xiāng)村學(xué)校去支教，每個(gè)學(xué)校至少去1人，每名教師只

能去一個(gè)學(xué)校，不同的選派方法數(shù)有種（用數(shù)字作答）.

【答案】150

【解析】由題意可知，先將5人分成三組有2類(lèi)分法，

第一類(lèi)：各組人數(shù)分別為1,1,3,共有C；種分法；

第二類(lèi):各組人數(shù)分別為1,