專題27圖形的相似（46題）

一、單選題

1.（2024.重慶?中考真題）若兩個相似三角形的相似比是1:3,則這兩個相似三角形的面積比是（）

A.1:3B.1:4C.1:6D.1：9

【答案】D

【分析】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)“相似三角形的面積比等于相似比的平方”解答即可.

【詳解】解：兩個相似三角形的相似比是1：3,則這兩個相似三角形的面積比是1：9,

故選：D.

2.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，一塊面積為60cn?的三角形硬紙板（記為AABC）平行于投影面時,

在點光源。的照射下形成的投影是△ABG，若OB：BBi=2：3,則的面積是（）

A.90cm2B.135cm2C.150cm2D.375cm2

【答案】D

【詳解】解：二?一塊面積為60cm2的三角形硬紙板（記為AABC）平行于投影面時，在點光源。的照射下

形成的投影是△ABC,OB:BB]=2:3,

.OB_2

,,西一二，

位似圖形由三角形硬紙板與其燈光照射下的中心投影組成，相似比為2:5,

?三角形硬紙板的面積為60cm2,

的面積為375cm2.

故選：D.

3.（2024?陜西?中考真題）如圖，正方形CEFG的頂點G在正方形45co的邊8上，AF與。C交于點”,

若AB=6,CE=2,則?！钡拈L為（）

A.2B.3cID-I

【答案】B

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì).證明利用相似三角形

的性質(zhì)列式計算即可求解.

【詳解】解：：正方形ABC。，AB=6,

AB=AD=CD=6,

:正方形CEFG,CE=2,

：.CE=GF=CG=2,

：.DG=CD-CG=4,

由題意得AD〃Gb,

AADHS^FGH,

.ADDH6DH

一,艮Rn-

GFGH24—DH

解得￡歸=3,

故選：B.

4.（2024.湖南.中考真題）如圖，在AABC中，點O,E分別為邊AB,AC的中點.下列結(jié)論中，錯誤的是

B.AADE^AABCC.BC=2DED?^^ADE=2SaBC

【答案】D

【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，由三角形中位線性質(zhì)可判斷A、C；

由相似三角形的判定和性質(zhì)可判斷B、D,掌握三角形中位線的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

2

【詳解】解：；點D,E分別為邊AB,AC的中點,

DE//BC,BC=2DE,故A、C正確；

'：DE//BC,

：.AADE^AABC,故B正確;

'：AADE^AABC,

?e-S,ADE=；S’ABC>故D錯誤;

故選：D.

5.（2024.江蘇連云港.中考真題）下列網(wǎng)格中各個小正方形的邊長均為1,陰影部分圖形分別記作甲、乙、

丙、丁，其中是相似形的為（）

【答案】D

【分析】本題考查相似圖形，根據(jù)對應角相等，對應邊對應成比例的圖形是相似圖形結(jié)合正方形的性質(zhì)，

進行判斷即可.

【詳解】解：由圖可知，只有選項甲和丁中的對應角相等，且對應邊對應成比例，它們的形狀相同，大小

不同，是相似形.

故選D.

6.（2024?浙江?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，AABC與AAB'C是位似圖形，位似中心為點0.若

點4-3,1）的對應點為4（-6,2）,則點8（-2,4）的對應點g的坐標為（）

C.(-8,4)D.(4,-8)

【答案】A

【分析】本題考查了位似變換，根據(jù)點44的坐標可得到位似比，再根據(jù)位似比即可求解，掌握位似變

換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：:△ABC與是位似圖形，點A（-3,1）的對應點為A（-6,2）,

^AB'C與△ABC的位似比為2，

.?.點5（-2,4）的對應點B'的坐標為（—2x2,4x2）,即（-4,8）,

故選：A.

7.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，矩形Q4BC各頂點的坐標分別為0（0,0）,A（3,0）,B（3,2）,C（0,2）,

以原點。為位似中心，將這個矩形按相似比;縮小，則頂點B在第一象限對應點的坐標是（）

A.（9,4）B.（4,9）仁IC]D-d

【答案】D

【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)題意3橫縱的坐標乘以g,即可求解.

【詳解】解：依題意，5（3,2）,以原點。為位似中心，將這個矩形按相似比;縮小，則頂點3在第一象限

對應點的坐標是[1，g]

故選：D.

8.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在YABCD中，按以下步驟作圖：①以點3為圓心，以適當長為半徑

作弧，分別交54,3C于點N；②分別以M,N為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在/ABC

內(nèi)交于點0;③作射線2。，交AD于點E,交8延長線于點若CD=3,DE=2,下列結(jié)論錯誤的

是（）

B.BC=5

-BE5

C.DE=DF

EF3

4

【答案】D

【分析】本題考查角平分線的尺規(guī)作圖、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及相似性質(zhì)與判定的綜

合.先由作圖得到跖為/ABC的角平分，利用平行線證明NAEB=NABE,從而得至！IAE=AB=CD=3,

BF3

再利用平行四邊形的性質(zhì)得到3c=AD=AE+E￡）=3+2=5,再證明,分別求出=—,

EF2

DF=2,則各選項可以判定.

【詳解】解：由作圖可知，所為/ABC的角平分，

；.ZABE=NCBE,故A正確；

:四邊形ABCD為平行四邊形，

AD=BC,AB=CD,A01BC,

AD〃BC

：.ZAEB=NCBE,

AZAEB=ZABE,

AE=AB=CD=3,

ABC=AD=AE+ED=3+2=5,故B正確；

?；AB=CD,

：.ZABE=ZF,

?；ZAEB=ZDEF,

AAEB^ADEF,

.BEABAE

**EF-DF-

.BE33

99EF~DF~2f

???善BF=3=,DF=2,故D錯誤；

EF2

,/DE=2,

/.DE=DF,故C正確，

故選：D.

9.（2024.山東煙臺.中考真題）如圖，在正方形A3CD中，點E,尸分別為對角線3DAC的三等分點，連

接AE并延長交8于點G,連接EF,FG,若NAG/=a,則NE4G用含a的代數(shù)式表示為（）

A,,D

二

a

A45°—a-90°—a-45°+a、

A.--------B.---------C.----------D.—

2222

【答案】B

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角

性質(zhì).證明求得/OFE=45。,證明證得OG=；CD=CG,推出

△DEG^ACFG(SAS),得到GE=GF,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：???正方形ABCQ中，點E,尸分別為對角線瓦＞,AC的三等分點，

：.OD=OC,ZODC=ZOCD=45°,DE=CF,

：.OE=OF,

..OEOF

：ZEOF=ZDOC,—=—,

ODOC

：.AEOFs^DOC,

ZOFE=ZOCD=45°,

?:點E,尸分別為對角線BDAC的三等分點,

DE1

?.?一-~f

BE2

??,正方形ABC。，

???AB//CD,

：.,

.DGDE1

??下一瓦—2'

DG=-CD=CG

29

：.△DEG^ACFG(SAS),

GE=GF,

6

ZGEF=:(180°-ZAGF)=90。-ga,

1i900-a

：.ZFAG=ZGEF-ZAFE=90?！猘—45。=45?！猘=---------

222

故選：B.

10.（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖，點A為反比例函數(shù)y=-g（x<0）圖象上的一點，連接AO,過點。

黑An的值為（）

D（J

D-1

【答案】A

【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例函數(shù)系數(shù)上的幾何意義，三角形相似的判定

和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.過A作ACLx軸于C,過8作3。，工軸于。，證明

利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解即可.

【詳解】解：過A作ACLx軸于C,過8作軸于。，

???Lco=；xH=；,SiBDO=1x|4|=2,ZACO=NODS=90。,

OALOB,

：.ZAOC=ZOBD=90°-Z.BOD,

AAOC^AOBD,

21

.?.黑幽/圖］,即5JOA

=

S.BD。VOB)2loB

Cl\\

(負值舍去)，

(JD2

故選：A.

H.（2024.山東威海.中考真題）如圖，在YABCD中，對角線AC,80交于點。，點E在BC上，點尸在

C。上，連接AE,AF,EF,E尸交AC于點G.下列結(jié)論錯誤的是（）

AD

A.若廠-==，則EF〃BD

OFAB

B.若AE_LBC,AFLCD,AE=AF,則EF〃3。

C.若EF〃BD,CE=CF,則N￡AC=/fAC

D.若AB=AD,AE=AF,則跖〃班）

【答案】D

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性

質(zhì)與判定；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定即可判斷A,根據(jù)題意可得四邊形C4是/BCD的角平分線，進

而判斷四邊形ABCD是菱形，證明RtAACE絲Rt“FC可得CE=CF則AC垂直平分E尸，即可判斷B選項，

證明四邊形ABC。是菱形，即可判斷C選項，D選項給的條件，若加上BE=。尸,則成立，據(jù)此，即可求

解.

【詳解】解：：四邊形A3CD是平行四邊形,

：.AD=BC,AB=CD

CEADpnCEBC

A.石——,即——=——又/ECF=/BCD,

~CFABCFCD

：./\CEF^/\CBD

???ZCEF=ZCBD

AEF//BD,故A選項正確，

B.若AFLCD,AE=AF,

???C4是N5CD的角平分線，

:.ZACB=ZACD

9：AD//BC

：.ZDAC=ZACB

：.ZDAC=ZDCA

：.AD=DC

???四邊形A3CQ是菱形,

???AC1BD

8

在RtAACE,Rt^AFC中,

AE^AF

[AC=AC

：.RuACE^RtAAFC

CE=CF

又???=

???AC±EF

：.EF//BD,故B選項正確，

C.*/CE=CF,

：.NCFE=NCEF

'：EF//BD,

：.ZCBD=ZCEF,ZCDB=ZCFE

：.ZCBD=ZCDB

：.CB=CD

四邊形ABC。是菱形，

AC1BD,

又：EF//BD

：.AC^EF,

,:CE=CF,

：.AC垂直平分所，

/.AE=AF

：.ZEAC^ZFAC,故C選項正確；

D.若=則四邊形ABC。是菱形，

由?1E=AF,且跳/時，

可得AC垂直平分E尸，

,?AC1BD

AEF//BD,故D選項不正確

故選：D.

12.（2024.河南.中考真題）如圖，在口48。0中，對角線AC,8。相交于點。，點E為OC的中點，EF//AB

交BC于點F.若AB=4,則所的長為（）

AD

O

BpC

14

A.-B.1C.-D.2

23

【答案】B

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，利用平行四邊形的性質(zhì)、線段

中點定義可得出CE=!AC,證明AC郎S^CAB,利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

4

【詳解】解：：四邊形ABCD是平行四邊形，

/.OC=-AC,

2

?.?點E為0C的中點，

CE=-OC^-AC,

24

EF//AB,

Z\CEF^Z\CAB,

.EFCEBnEF_1

ABAC44

EF=L

故選：B.

13.（2024?安徽?中考真題）如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=4,BC=2,80是邊AC上的高.點

E,F分別在邊AB,8c上（不與端點重合），且DE1DF.設AE=x,四邊形DEB產(chǎn)的面積為》則y

關(guān)于x的函數(shù)圖象為（）

10

【答案】A

【分析】本題主要考查了函數(shù)圖象的識別,相似三角形的判定以及性質(zhì)，勾股定理的應用，過點E作而，AC

于點由勾股定理求出AC,根據(jù)等面積法求出50,先證明AABCSA"?,由相似三角形的性質(zhì)可得

AUATC(AD\

出差=三，即可求出AD，再證明△回由相似三角形的性質(zhì)可得出3A組=把,即可得

ADABS.BFDVBD)

出S&AED~4S&BFD，根據(jù)S四邊形。歷歹=S4ABe-S^D~(^S^BDC_SRDF),代入可得出一次函數(shù)的解析式，最后根

據(jù)自變量的大小求出對應的函數(shù)值.

【詳解】解：過點E作￡W_LAC于點H,如下圖:

ADAB

解得：4)=半，

?*.DC=AC-AD=2y[5--=^->

55

,?ZBDF+NBDE=NBDE+/EDA=90°,ZCBD+ZDBA=ZDBA+ZA=90°,

?*.ZDBC=ZA,ZBDF=ZEDA,

AAED^ABFD，

?C—4C

,*"AED_ruABFD，

S四邊形/=，ABC-S&AED_（SR叱-S出DF）

=-ABBC--AEADsinZA--DCDB+-S

2224AAED

1,c318石212出4芯

=—x4x2—x—x------x——=—x------x------

24252V5255

163

--------%

55

V0<x<4,

_16

???當x=0時，S四邊;IJ^DEBF

、/4

當％=4時，S四邊形DE"——.

故選：A.

14.(2024.山東?中考真題)如圖，點E為YABCD的對角線AC上一點，AC=5,CE=1,連接DE并延長

至點尸，使得EF=DE,連接AF,貝I即為()

57

A.-B.3C.-D.4

22

【答案】B

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，平行證明相似等知識點，正確作輔助

線是解題關(guān)鍵.

作輔助線如圖，由平行正相似先證ADECSAGIE,再證ABGESAAGE,即可求得結(jié)果.

【詳解】解：延長。R和AB,交于G點，

12

,/四邊形A3CD是平行四邊形，

ADC//AB,DC=AB^DC//AG,

：.ADECSQAE

,CEDEDC

**AE-GE-AG?

VAC=5,CE=1,

：.AE=AC-CE=5-1=4,

.CEDEDC_1

*AE-GE-AG-4

DEDE_1

又＜

EF=DE,~GE~EF+FG~4

?EF-1

*FG~3

DCDC1

-,DC=AB,

~AG~AB+BG4

.DC1

,BG一針

.EF_DC1

——，

,FGBG3

.BGFG3

,AG

??AE〃BF,

??ABGFS^AGE,

.BFFG3

*AE-EG-4

??AE=4,

??BF=3.

故選：B.

二、填空題

15.（2024?江蘇鹽城中考真題）兩個相似多邊形的相似比為1：2,則它們的周長的比為

【答案】1：2/1

【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似多邊形周長之比等于相似比即可求解，掌握相似多邊形

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???兩個相似多邊形的相似比為1：2,

它們的周長的比為1：2,

故答案為：1：2.

16.（2024?云南?中考真題）如圖，48與。交于點。，且AC〃9.若=:，貝汁類=______

O器B+:O二D+十BD。二2BD

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，證明“COs△班）0,根據(jù)相似三角形周長之比等于相似比,

即可解題.

【詳解】解：,?,AC〃3D,

:.^.ACO^tJiDO,

,AC_OA+OC+AC_1

BDOB+OD+BD~2

故答案為：］.

17.（2024.江蘇揚州?中考真題）物理課上學過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實現(xiàn)圖像

投影的方法.如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）經(jīng)小孔。在屏幕（豎直放置）上成像AF.設AB=36cm,

A8'=24cm.小孔。到4B的距離為30cm,則小孔。到A?的距離為cm.

【答案】20

【分析】此題主要考查了相似三角形的應用，由題意得過。作OCLAB于

點C,CO交A?于點CL利用已知得出△AOBS/VTOB，，進而利用相似三角形的性質(zhì)求出即可，熟練

14

掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【詳解】由題意得：AB//AB',

如圖，過。作OCLAB于點C,CO交A?于點C',

:?絲上即？24OC

ABOC30

OC'=20(cm),

即小孔0到A'B'的距離為20cm,

故答案為：20.

18.（2024?吉林?中考真題）如圖，正方形A3CD的對角線AG8D相交于點。，點E是。4的中點，點廠

FF

是OD上一點.連接若NFEO=45。,則0的值為

BC

【答案】I

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，先由正方形的性質(zhì)得到NOAD=45。，

EFOE1

AD=BC,再證明￡F〃AO,進而可證明產(chǎn),由相似三角形的性質(zhì)可得不二不=不，即

ADOA2

EF

BC-2,

【詳解】解：??,正方形ABC。的對角線AC,3。相交于點O,

AZOA￡>=45°,AD=BC,

??,點E是。4的中點，

.OE_1

??=一，

OA2

,/ZFEO=45°,

：.EF//AD,

：./\OEF^AOAD,

.??空=笠」即空=L

ADOA2BC2

故答案為：g.

19.(2024?四川眉山?中考真題)如圖，AABC內(nèi)接于點。在上，AE＞平分/34c交。。于。，連

接BD.若AB=10,BD=2&,則8c的長為.

【答案】8

【分析】本題考查了圓周角定理，角平分線的定義全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判

定和性質(zhì)，延長AC,BD交于E,由圓周角定理可得NADB=NAZ)E=90。，ZACB=ZBCE=90°,進而

可證明AABD絲AAE/YASA),得至?。?。=DE=2石，即得BE=46，利用勾股定理得A。=4若，再證明

八ABDSABCE,得至1」裝=空，據(jù)此即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

ABAD

【詳解】解：延長AC,BD交于E,

,.,厄是。。的直徑，

:.ZADB=ZADE=90°,ZACB=NBCE=90°,

?.?AD平分NB4C,

:.ZBAD=ZDAE,

又；AD=AD,

：.AABD之AAED(ASA),

BD=DE=2A/5,

BE=4如，

■■-AB=10,BD=2A/5,

AZ)=J102-(275)2=4下,

16

???ZDAC=ZCBD,

又「ZBAD=ZDAE,

；?/BAD=/CBD,

-.?ZADB=ZBCE=90°,

:.AABD^ABEC,

.BEBC

.4A/5_BC

10-45石，

20.（2024.湖北?中考真題）AD所為等邊三角形，分別延長FD,DE,防，到點AB,C,使DA=EB=FC,

連接ABAC,BC,連接M并延長交AC于點G.若AD=DF=2,則/加尸=,FG=.

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理.利用三角形的外角性質(zhì)結(jié)

合EB=EF可求得NDBF=30。；作CH,8G交3G的延長線于點H,利用直角三角形的性質(zhì)求得C"=l,

FH=y/3,證明AAG尸SACGH,利用相似三角形的性質(zhì)列式計算即可求解.

【詳解】解：?.,△OEF為等邊三角形，DA=EB=FC,

：.AD=DF=EB=EF=2,ZDEF=ZDFE=60°,

：.NDBF=NEFB=-ZDEF=30°,ZAFB=NEFB+ZDFE=90°,NEFB=NGFC=30°,

2

作CHLBG交BG的延長線于點H,

A

CH^^CF=1,FliZi1-12=5

?；ZAFB=/H=90。,

：.AF//CH,

:.AAGFS衛(wèi)GH,

.竺監(jiān)即4.FG

"CHGH'B16-FG，

解得=

故答案為：30°,1A/3.

21.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為6,ZBAD=120°,過點。作DE_L3C,交BC

的延長線于點E,連結(jié)AE分別交8。，8于點歹，G,則FG的長為.

【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知

識點.

首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到">=3C=CD=6,AD^BC,/BCD=120。，然后勾股定理求出

DE=>JCD2-CE2=3A/3>AE=y/DE2+AD2=377>然后證明出，得至1」苦=槳='=］，

求出人尸=叱，然后證明出AAGZ3sA￡GC,得至|J組=竽=_|=2,求出AG=277,進而求解即可.

5EGCE3

【詳解】解：?菱形ABC。的邊長為6,ZBAD=120°,

.\AD=BC=CD=6,AD〃BC,/BCD=120。,

ZDCE=60°f

VDEIBC,

18

:?/DEC=90°,

在RtVOCE中，?/ZCDE=90°-ZDCE=30°,

:.CE=-CD=3

2f

DE=VCD2-CE2=3A/3,

:.BE=BC+CE=9,

???AD//BE,

ZADE=180?！?DEC=90°,

在RtZXADE中，AE=^DE2+AD2=^（373）2+62=377,

???AD//BE,

:△AFD^巫FB,

.AFAD_6_2

,FE~BE~9~3f

AF=-AE=-x3/7=,

555

?：AD//CE,

:.AAGDsAEGC,

AGAD6

??訪二之二=2,

/.AG=^AE=ZX3幣=2幣,

33

:.FG=AG—AF=2y^—^~=^~.

55

故答案為：巫.

5

S]

22.（2024?四川樂山?中考真題）如圖,在梯形ABC。中，AD/8C,對角線AC和2。交于點。，若才迺工,

°Anrn°

【分析】本題考查了平行線間的距離，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識.熟練掌握平行線間的距離，相似

三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

-ADd

設AD3C的距離為d,則沁^=申-----=1,即怨=；,證明AAODSACOB,則紅也=（絲

S'△ABnCcDn-BDC/~1d/3BC3Snr\BC

2

計算求解即可.

【詳解】解：設仞，5C的距離為（

-ADd

q

Q4ABD2

□△BCD-BCd

2

■:AD^BC,

：.ZADO=ZCBOf/DAO=NBCO,

:.>AODs衛(wèi)OB,

.Sv./叫二缶2j

?、BOCVBC）⑶9J

故答案為：—.

23.（2024.黑龍江綏化?中考真題）如圖，己知點A（-7,0）,B（x,10）,C（-17,y）,在平行四邊形ABCO中,

它的對角線02與反比例函數(shù)y5（％wO）的圖象相交于點。，且00:03=1:4,則左=.

X

【答案】-15

【分析】本題考查了反比例函數(shù)與平行四邊形綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，分別過點氏。，作x軸的

垂線，垂足分別為QE,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出3（-24,10）,證明△ODESAOBF得出凄=6,

DE=2.5,進而可得0（-6,2.5）,即可求解.

【詳解】如圖所示，分別過點反。，作x軸的垂線，垂足分別為EE,

AEO

20

?..四邊形A0C3是平行四邊形，點A（-7,0）,B（x,10）,C（-17,y）,

?*.0A=BC=7,

：.x=-24,即8(—24,10),則OE=24,BF=10

軸，軸，

DE//BF

???△ODES^OBF

,OE_ODDE_1

OE=6,DE=2.5

￡>(-6,2.5)

左=-6x2.5=—15

故答案為：-15.

24.(2024.四川成都.中考真題)如圖，在RtA4BC中，ZC=90°,AD是AABC的一條角平分線，E為AD

中點，連接3E.若BE=BC,CD=2,貝1」3￡)=.

r答案】

【分析】連接CE,過于尸，設BD=x,EF=m,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等腰

三角形的性質(zhì)證得CF=￡>F=ga）=l,ZEAC=ZECA,ZECD=ZEDC=ZBEC,進而利用三角形的外角

性質(zhì)和三角形的中位線性質(zhì)得到NCED=2NC4E,AC=2EF=2m,證明ACBESACED,利用相似三角

形的性質(zhì)和勾股定理得到病=3+2x;根據(jù)角平分線的定義和相似三角形的判定與性質(zhì)證明ACABSAFBE

得到2M=（x+l）（x+2）,進而得到關(guān)于x的一元二次方程，進而求解即可.

【詳解】解：連接CE,過E作防工CD于E設BD=x,EF=m,

VZACB=90°,E為AD中點,

CE=AE=DE,又CD=2,

ACF=DF=-CD=1,ZEAC=ZECA/ECD=/EDC,

2f

：?NCED=2NCAE,AC=2EF=2m,

":BE=BC,

；?/BEC=/ECB,則N3EC=/EDC,又/BCE=/ECD,

:?小CBESCED,

.CECB

:.—=—,ZCBE=ZCED=2ZCAE,

CDCE

???CE2=CDCB=2(2+X)=4+2A:,

貝|Jm2=EF2=CE2-CF2=3+2%;

AD是AABC的一條角平分線，

ZCAB=2ZCAE=ZCBE,又ZACB=NBFE=90。,

:?從CABs小FBE,

.ACBC

**BF-EF

.?.昔=^^,貝iJ24=(x+l)(x+2),

?*-2(3+2x)=(x+1)(x+2),BP%2-x-4=0>

解得尤=近土1(負值已舍去)，

故答案為：姮土1.

2

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的中位線

性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義以及解一元二次方程等知識，是一道填空壓軸題，有一定的難

度，熟練掌握三角形相關(guān)知識是解答的關(guān)鍵.

25.（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖，AASC,ZACB=90°,CB=5,C4=10,點。，E分別在AC,AB

邊上，AE=y/5AD,連接DE,將VADE沿DE翻折，得到VFDE,連接CE,CF.若△CEF的面積是人班。

面積的2倍，則40=.

F

22

【答案】y/31

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、折疊性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的

判定與性質(zhì)、三角形的面積公式等知識，是綜合性強的填空壓軸題，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解

答的關(guān)鍵.

設AD=X,=根據(jù)折疊性質(zhì)得DF=AZ)=X,ZADE=ZFDE,過E作EH_LAC于H,設所與AC

FHAHAP

相交于M,證明得到==F=F，進而得到石H=x,AH=2x,證明R"EHE＞是等腰

BCACAB

直角三角形得到NHDE=ZHED=45°,可得ZFDM=90。，證明AFDM^EHM(AAS)得到

13

DM=MH=-x,貝|CM=AC-A。-DM=10-根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合已知可得

[10-|x}x=2(25-5x),然后解一元二次方程求解X值即可.

【詳解】解：：4萬二百人。，

設AD-x,AE=\[5x,

VADE沿OE翻折，得到VFDE,

：.DF=AD=x,ZADE=ZFDE,

過E作EH_LAC于H,設￡1尸與AC相交于M,

F

則ZAHE=NACB=90。，又NA=NA,

；?AAHES*CB,

,EHAHAE

**BC-AC-

,CB=5,CA=10,AB=VAC2+BC2—A/102+52=5A/5，

.EHAH_4Sx

5105舊

：.EH=x,AH=y]AE2-EH2=2x>貝！1￡>"=A/f-AD=x=E”,

RbEHD是等腰直角三角形，

:.NHDE=ZHED=45°,貝！IZADE=ZEDP=135°,

???NFDM=135。-45。=90。，

在*DM和2EHM中,

ZFDM=ZEHM=90°

<ZDMF=ZHME,

DF=EH

：.^FDM^EHM(AAS),

13

ADM=MH=-x,CM=AC-AD-DM=10——x,

22

S=S+S=-CM-EH+-CM-DF=-[lQ--x\-xx2=\lQ--x\-x,

CFFrMFrMF7

△CHrACAZCACMF22I2/

S^BEC=S^ABC~S^AEC=XWX5-X10-X=25-5%,

???ACEF的面積是△BEC面積的2倍，

**?^10——=2(25—5x),貝lj3x?—40x+100=0,

解得士=￥，X2=1O(舍去)，

BPA￡>=y,

故答案為：—.

三、解答題

26.(2024?四川眉山?中考真題)如圖，BE是。。的直徑，點A在。。上，點C在班的延長線上,

ZEAC=ZABC,AD平分—BAE交。O于點。，連結(jié)DE.

⑴求證：C4是。。的切線；

(2)當AC=8,CE=4時，求DE的長.

【答案】(1)見解析

(2)6也

24

【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，熟練掌握切線的判

定是解題的關(guān)鍵.

(1)連接Q4,根據(jù)圓周角定理得到4場=90。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NABC=44O,求得

ZOAC=90%根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；

(2)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理得到3c=16,求得BE=BC-CE=12,連接50,根據(jù)角平分線

的定義得到=求得BD=DE，得到BD=DE,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

.\ZBAE=90°f

ZBAO+ZOAE=90°f

:OA=OB,

,\ZABC=ZBAO,

???/E4C=NABC,

.\ZCAE=ZBAO,

/.ZG4E+ZOAE=90°,

ZOAC=90°,

??,Q4是。。的半徑，

「.C4是O。的切線；

(2)解：-ZEAC=ZABC,ZC=ZC,

「.△Ai5csAEXC,

ACCE

**BC-AC?

?.?8_=4一，

BC8

:.BC=16f

:.BE=BC-CE=12f

連接30,

?.?AD平分上BAE,

\?BAD?EAD,

…BD-DE，

/.BD=DE,

?.,BE是O。的直徑,

:.ZBDE=90°,

27.(2024?四川涼山?中考真題)如圖，A3是。。的直徑，點C在。O上，AD平分/B4C交。O于點。,

過點。的直線DE1AC,交AC的延長線于點E,交AB的延長線于點尸.

(1)求證：E尸是。。的切線;

(2)連接E。并延長，分別交于兩點，交4)于點G,若。。的半徑為2,N尸=30。，求G/VTGN的

值.

【答案】(1)見詳解

72

⑵一

25

【分析】(1)連接OD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角平分線得到OD//AC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得ZODF=90°,

即可證明；

(2)連接⑷V,先解RtaOZJF,求得。尸=4,。歹=26，則AF=6,AE=3,可證明=D尸=26，

由ADGOSAAGE,得段=空=￡,i^DG=-AD,AG=-AD,證明△MGD-"GN,即可得到

AGAE355

72

GMGN=GDGA=—.

25

【詳解】(1)解：連接OD,

26

E

N

'：OA=OD,

：./2=/3,

,/AD平分NB4C,

；?Z1=Z2,

Z1=Z3,

OD//AC,

：.ZODF=ZAED

'：DE1AC,

ZAED=90。,

：.ZODF=90°,

即OD_LEF,

是。O的半徑

￡■尸是。。的切線；

(2)解：連接MD,AN,

E

N

?:々=30。,

.?.在Rt^OD廠中，OF=2OD=4,

由勾股定理得：DF=y]OF2-OD2=273

AF=2+4=6,

?.?在RtAAEF中，ZF=30°,

AE=—AF=3,

2

VZF=30°,OD1EF

：.ZDOF=60°=Z2+Z3,而/2=/3,

N2=30。，

AZ2=ZF,

/.AD=DF=2A/3,

OD//AE,

:.小DGOs小AGE,

.DGOD2

**AG-AE-3'

23

???DG=-AD,AG=-AD,

：AM=AM9

:.ZANG=ZMDGf

丁ZMGD=ZAGN,

：.AMGD^AAGN,

.MG_GD

??布一嬴’

oo/Tzr2m

：.GMGN=GDGA=-AD-AD=—AD2=—x（2y/3\=—.

552525'’25

【點睛】本題考查了圓的切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，30。的直角三角形的性質(zhì)，

等腰三角形的性質(zhì)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

28.（2024?江蘇鹽城?中考真題）如圖，點C在以AB為直徑的。。上，過點C作。。的切線/，過點A作AD，/,

垂足為。，連接AC、BC.

⑴求證：AABC^AACD；

（2）若AC=5,CD=4,求。。的半徑.

【答案】（1）見解析

28

【分析】題目主要考查切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理解三角形，作出輔助線，綜合運

用這些知識點是解題關(guān)鍵.

(1)連接0C,根據(jù)題意得/OCD=/OC4+/ACD=90。，ZACB=ZACO^ZOCB=90°,利用等量

代換確定=再由相似三角形的判定即可證明；

(2)先由勾股定理確定AD=3,然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)證明：連接OC,如圖所示：

?「CD是O。的切線，點。在以為直徑的0。上，

???ZOCD=ZOCX+ZACD=90°,ZACB=ZACO+ZOCB=90°,

:?NACD=NOCB,

;OC=OB,

:?NOBC=NOCB,

:?/ACD=NABC,

VAD1Z,

：.ZADC=90°,

：.ZADC=ZACB,

：.AABC^AACD；

(2)VAC=5,CD=4,

AD=心—42=3,

由(1)得△ABCsAACD,

.ABACAB5

>?---=----即Rn----=—

ACAD53

???O。的半徑為g25+2=25

30

29.(2024?陜西?中考真題)如圖，直線/與。。相切于點A,是。。的直徑，點C,。在/上，且位于

點A兩側(cè)，連接8C,BD,分別與交于點E,F,連接EF,AF.

B

⑴求證：ZBAF=NCDB；

(2)若O。的半徑r=6,AD=9,AC=12,求所的長.

【答案】（1）見解析

⑵斯=言^.

【分析】（1）利用切線和直徑的性質(zhì)求得NA4D=/BE4=90。，再利用等角的余角相等即可證明

NBAF=NCDB；

（2）先求得AB=12=AC,BD=15,證明“WC和△口￡是等腰直角三角形，求得AE的長，再證明

ABEF^BDC,據(jù)此求解即可.

【詳解】（1）證明：：直線/與OO相切于點4

ZBAD=90°,

：.ZBDA+ZABD