專題23全等與相似模型之十字架模型

幾何學(xué)是數(shù)學(xué)的一個重要分支，研究的是形狀、大小和相對位置等幾何對象的性質(zhì)和變換。在初中幾

何學(xué)中，十字模型就是綜合了上述知識的一個重要模型。本專題就十字模型相關(guān)的考點作梳理，幫助學(xué)生

更好地理解和掌握。

目錄導(dǎo)航］

例題講模型］

-------------------------1........................................................................................................................................................1

模型1.正方形中的十字架模型（全等模型）........................................................1

模型2.矩形中的十字架模型（相似模型）..........................................................4

模型3.等邊三角形中的斜十字模型（相似模型）....................................................6

模型4.直角三角形中的十字模型（相似模型）......................................................8

習(xí)題練模型］

例題講模型］

模型1.正方形中的十字架模型（全等模型）

模型解讀

“十字形”模型，基本特征是在正方形中構(gòu)成了一個互相重直的“十字形”，由此產(chǎn)生了兩組相等的銳角及一

組全等的三角形。

模型證明

條件：1）如圖1,在正方形ABC。中，若E、尸分別是BC、CD上的點，AELBF-,結(jié)論：AE=BF。

BBE

證明：?.?四邊形ABC。是正方形，.?.Z/3E=NC=90。，AB=BC,：.ZBFC+ZCBF=90°

-：AE±BF,ZAEB+NC郎=90°,:.ZAEB=ZBFC,:.AABE絲ABCF（SAS）,：.AE=BF?

條件：2）如圖2,在正方形ABC。中，若E、F、G分別是BC、CD、AB上的點，AEXGF；結(jié)論：AE=GF。

證明：在EC上取一點P,使得GB=PF,連結(jié)8P。

???四邊形ABC。是正方形，.,.42//CD.?.四邊形3PFG是平行四邊形，.?.GP/ABP,GF=BP,

同1）中證明，可得AE=GF。

條件：3）如圖3,正方形A8CD中，若E、F、G、”分別是BC、CD.AB.上的點，EH1.GF；

結(jié)論：HE=GF.

證明：在尸C、3E上取一點P、Q,使得GB=PF,AH=QE,連結(jié)2尸、AQ.

,??四邊形ABCD是正方形，.??A8〃CD,...四邊形3PFG是平行四邊形，...GF/ABP,GF=BP,

同理可證得：四邊形AQE"是平行四邊形，AQ=HF,同1）中證明，可得HE=GF。

模型運用

例1.（2023.江蘇吳江九年級期中）如下圖,將邊長為9cm的正方形紙片ABCD折疊，使得點A落在邊CD

上的E點，折痕為MN.若CE的長為6cm,則MN的長為cm.

B

例2.（2023年遼寧省丹東市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=12,點E,尸分別在邊BC,CD

上，AE與所相交于點G,若BE=CF=5,則BG的長為.

例3.（2024?廣東梅州?一模）如圖，E、尸分別是正方形ABCD的邊CD,AD上的點，MCE=DF,AE,BF

相交于點。，下列結(jié)論：①AE=BF；?AE±BF；③AO=OE；④〃⑦=NFBC中，正確的結(jié)論有（）

例4.（23-24江蘇九年級期中）蘇科版八下數(shù)學(xué)教材中，對正方形的性質(zhì)和判定進行了探究，同時課本94

頁第19題對正方形中特殊線段的位置和數(shù)量關(guān)系也進行了探究，在此，我們也來作進一步的探究，如圖1,

探究所提供的正方形ABCD的邊長都為2.

【探究】（1）如圖2,在正方形ABCD中，如果點E、尸分別在BC、CD上，且AEL始，垂足為那么AE

與正相等嗎？證明你的結(jié)論.

【應(yīng)用】（2）如圖3,在正方形ABCD中，動點E、E分別在邊A3、CD±,將正方形ABCD沿直線E/折疊，

使點8對應(yīng)的點M始終落在邊AD上（點M不與點A、。重合），點C落在點N處，MN與CD交于點P,

設(shè)AE=t,求線段FN的長（用含/的式子表示）.

【拓展】（3）如圖4,在正方形ABCD中，E是3C的中點，F(xiàn)、G分別是A3、。上的動點，S.FGLAE,

求EF+AG的最小值.

圖］圖2囹§圖4

模型2.矩形中的十字架模型（相似模型）

模型解讀

矩形的十字架模型：矩形相對兩邊上的任意兩點聯(lián)結(jié)的線段是互相垂直的，此時這兩條線段的的比等于矩

形的兩邊之比。通過平移線段構(gòu)造基本圖形，再借助相似三角形和平行四邊的性質(zhì)求得線段間的比例關(guān)系。

模型證明

1）條件：如圖1,在矩形A5CD中，若E是A5上的點，JaDELAC,結(jié)論：——=——

ACCD

DE_LAC/./EDC+Z.DCA=90°,/.NAZ）石=NDCA,ADEA—△C4D,-----=-----,-----=-----.

9ACCDACAB

2）條件：如圖2,在矩形ABC。中，若￡、產(chǎn)分別是A3、CD上的點，＞EFLAC,結(jié)論：—.

ACAB

,?,四邊形ABCD為矩形，/O==ZB=90。，.?.四邊形AGED為矩形，，尸G=AO,NDFG=90。；

:.NGFE+ZEFC=90。；：EF±AC,ZEFC+ZACD=90°,:.Z,GFE=ZACD

?.339°。,:AGEF?ADAC，.茂嘿,易證"C=",FG=BC,齡

3）條件：如圖3,矩形ABC。中，若E、RM、N分別是AB、CD、A。、BC上的點，EF±MN,結(jié)論：—=—

MNAB

證明：如圖：過點MF作NH、尸G垂直AB,ZNHM=ZFGE=9Q0；

???四邊形A5C。為矩形，.,.ZA=ZAGO=90。，.??四邊形AGO”為矩形，，產(chǎn)Gd_NH；

■:EF1MN,FG工NH,:?NGFE+/FOH=/HNM+ZNOE=90。；

又?：/FOH=ZNOE（對頂角相等），AZGFE=ZHNM；

EFFGEFBC

/.RtAHNMSRt^GFE,=,易證：NH=AB,FG=BC,-----=.

MNNHMNAB

模型運用

例1.（2024?山西大同.模擬預(yù)測）矩形ABCD中，E為2D邊上一點，且AD=8,AB=6.將AA￡B沿座翻

折到△3EF處，延長EF交3C邊于G點，延長3歹交CD邊于點況且切=CH,則線段ED的長為.

例2.（22-23下借州?二模）在矩形ABCD中，E是8C邊的中點，連接AE,過點8作族，AE于點射

4n

線正與直線8交于點P,設(shè)%=加.

圖①圖②備用圖

⑴如圖①，若相=1,求證：AE=BP；（2）如圖②，當點P恰好與點。重合時，試確定機的值；

CP

⑶作點3關(guān)于直線A石的對稱點當以點P,D,R為頂點的三角形是等腰三角形時，求二的值.

例3.（2023年河南九年級中考三模數(shù)學(xué)試題）綜合與實踐

【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1,在正方形A3CD中，點￡,F,G,X分別在邊A3,BC,CD,D4上，且EGLFH

于點。.試猜想線段EG與我的數(shù)量關(guān)系為

O

C

N

圖1圖3

【類比探究】（2）如圖2,在矩形ABCD中，AB=a,BC=2a,點出F,G,X分別在邊AB,BC,CD,

DA上，連接EG,FH,且EG1.9，垂足為O.試寫出線段EG與EH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

【拓展應(yīng)用】⑶如圖3,在四邊形A8CD中，N，45c=90。，/3CD=60。，點N分別在邊AB,BC±,

連接CM,DN,且垂足為O.已知AB=3,BC=DC=4,若點M為A3的三等分點，直接寫

出線段DN的長.

模型3.等邊三角形中的斜十字模型（相似模型）

模型解讀

條件：如圖1,已知等邊AABC,BD=EC（或CO=AE）,

結(jié)論：?AD=BE,②和BE夾角為60。，③。

Bnc

模型證明

證明：如圖，在等邊AABC中，AB=AC,ZABC=ZC=60°,

AB=BC

在AMP與中，\AABC=AC,:.^ABD^BCE(SAS),：.AD=BE,ZBAD=ZCBE；

BD=EC

:.ZAFE=ZABF+ZBAD=ZABF+ZCBE=ZABC=60°,，A。和BE夾角為60。；

ZBAD=ZCBE,ZBDF=ZADB，二4BDF~^ADB，同理：ABDF~^BEC

模型運用

例1.（2324下?淄博?一模）如圖，等邊AABC,點E,尸分別在AC,8c邊上，AE=CF,連接A凡BE,

相交于點尸.（1）求/班方的度數(shù)；（2）求證：BPBE=BFBC.

例2.（2324?南通?模擬預(yù)測）如圖，已知尸是等邊AABC內(nèi)的一點，且/AP3=120。，延長AP,BP,分別

交BC,AC于點。，E.若AB=3,BD=l,則AAB尸的周長等于.

例3.（2324下?吉安?模擬預(yù)測）課本再現(xiàn)：

（1）如圖1,D,E分別是等邊三角形的兩邊AB,AC上的點，且AO=CE.求證：CD=BE.下面是小涵同

學(xué)的證明過程：證明：是等邊三角形，；.AC=BC,NA=NACB=60。.

VAD=CE,；.AADC名ACEB（SAS）,：.CD=BE.

小涵同學(xué)認為此題還可以得到另一個結(jié)論：/甌的度數(shù)是；

遷移應(yīng)用：（2）如圖2,將圖1中的8延長至點G,使尸G=EB,連接AGBG.利用（1）中的結(jié)論完成

下面的問題.①求證：AG//BE；②若CF=2BF,求證：AD=2BD；拓展提升：（3）在等邊“RC中，若

點，E分別在射線AB,AC上，連接CD跖交于點/，且/BFD=60。，將8繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到CM,

PC

且使得NMCB=NADC.直線ZW與直線BC交于點P,若CF=2BF,則標的值為

圖1圖2

模型4.直角三角形中的十字模型（相似模型）

模型解讀

該模型主要分等腰直角三角形和普通直角三角形兩類情況討論。

模型證明

1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）:

條件：如圖2,在A4BC中，AB=BC,AB±BC,結(jié)論：①。為8c中點，?BF±AD,③AF：FC=2：1,④

ZBDA=ZCDF,?ZAFB=ZCFD,⑥/AEC=135。，@AE=42EC,以上七個結(jié)論中，可“知二得五”。

證明：不妨把①②作為條件，來證明③-⑦的五個結(jié)論。

如圖1,過點C作BC的垂線交BF于點H,過點A作AG垂直于CH,：.ZBCH=90°,：.ZCBH+ZCHB=90°

'：AB±BC,：.ZABC=9Q°,：.ZBCH=ZABC=9Q°,\"BF1AD,：.ZCBH+ZADB=90°,：.ZCHB^ZADB,

'：AB=BC,:.ABAD沿ACBH,：.BD=CH,:。為BC中點，:.BD=DC=CH,:.AB=2CH,

易證：四邊形ABCG為正方形，即AB〃CG,AZ\BAF~Z\HCF,：.AF：CF=BA：HC=2：1

"：AB^BC,ABLBC,：.ZBCA=45°,'：ZBCH=90°,：.ZBCA=ZGCA^45°,

"：DC=CH,CF=CF,：.ADCF^AHCF,AZCHF=ZCDF,ZCFH=ZCFD,

：.ZBDA=ZCDF,VZCFH=ZAFB,：.ZAFB=ZCFD,

如圖2,過點C作CQ垂直于BR.,.NBQC=90。，

\'AB±BC,：.ZABD=ZBQC=9Q°,：,ZABE+ZQBC=9Q°,\'AB=BC,；.ABAE沿八CBQ,

：.CQ=BE,AE=BQ,'：BF±AD,CQLBF,易證：AEAF?AQCF,：.EA-.QC=AF：CF=2：1。

萬

：.AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ,：.CQ=EQ,；.△QEC為等腰直角三角形，；./QEC=45。，QC=^EC

：.ZAEC=135°,AE=5EC。

2）直角三角形中的十字模型：

如圖3,在三角形ABC中，BC=kAB,AB1BC,①。為BC中點，?BF±AD,③ARFC=2：lc,?ZBDA=

/CDF,?ZAFB=ZCFD,@ZAEC=135°,@AE=42EC,以上七個結(jié)論中，可“知二得五”。（全等+相似）

證明：不妨把①②作為條件，來證明③-⑦的五個結(jié)論。

由于該模型證明主要結(jié)合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再詳細證

明，有興趣的同學(xué)可以自行證明即可。

模型運用

例1.（2324上?深圳?期中）如圖，在RQABC中，ZABC=90°,B4=BC=3,點。為3C邊上的中點，連

接AD,過點B作于點E,延長BE交AC于點足則8尸的長為.

B

D

E

AC

例2.（2324下?滄州?二模）如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=3C,點。是線段A3上的一點，連

接CO,過點B作BGLCD,分別交C。、C4于點E、F,與過點A且垂直于A3的直線相交于點G,連接

DF,下列結(jié)論錯誤的是（）

C.當8、C、R。四點在同一個圓上時，DF=DBD.若黑=；,則S?BC=9凡血.

/\,D，

例3.（2324下?三明?期末）如圖①，在AABC中，AC=8C,ZACB=90。，點。在邊BC上,過點C作CE，AD,

垂足為交A3于點E.

圖①圖②

（1）小亮通過探究發(fā)現(xiàn)N3CE=NCAD,請你幫他說明理由；（2）如圖②，CN平分NACB交AD于點M小明

通過度量猜想有CV=3E,他的猜想正確嗎？請你幫他說明理由；（3）如圖③，連接DE,若。是8C的中點，

小剛通過探究得到結(jié)論AD=CE+DE,請你幫他說明理由.

習(xí)題練模型］

1.（23-24江蘇八年級期末）如圖，將邊長為3的正方形A8CZ）紙片沿折疊，點C落在A8邊上的點G

處，點。與點H重合，CG與EF交于點P,取GH的中點Q,連接尸。，則△GP。的周長最小值是（）

A.-+272B.3+3/c,-+2^/3D.-

2222

2.（2023安徽省蕪湖市九年級期中）如圖，正方形ABC。中，點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，CE、DF

交于G,連接AG、HG.下列結(jié)論：?CELDF-?AG=DG；③NCHG=/DAG；?2HG=AD.正確

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.（2324下?貴港?一模）如圖，在等邊AABC的AC,BC邊上各任取一點P,Q,且AP=C。，AQ,BP

相交于點0,下列三個結(jié)論：①若PC=2AP,貝ljBO=6PO；②若BC=8,3尸=7,貝UPC=5,?AP2=OP.AQ,

其中正確的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

4.（2324?德州?二模）如圖，正方形ABCD中，點E為BC邊上的一點，連接AE,過點D作DMLAE,

垂足為點M,交AB于點F.將AAMF沿AB翻折得到AANF.延長DM,AN交于點P.給出以下結(jié)論①

2

△ABE=ADAF;②△APF~ADAP；③AP2=PF-PD;④若tanNADF=§,貝l|5^群:5AAM,=4:5；.其

A.①②③④B.①②③C.①②④D.③④

5.（2324下.江門.模擬預(yù)測）如圖，在RaABC中，ZACB=90°,AC=BC.點D是線段8C上的一點，連接

AD,過點C作CGLA。，分別交A。、A8于點G、E,與過點B且垂直于的直線相交于點憶點。是

BC的中點，連接。E.則RF與與=;

6.（2324下?山西?一模）如圖，在R柩4BC中，ZABC=90°,AB=BC=2,AE是8c邊上的中線，過點8

作AE的垂線2。，垂足為X,交AC于點。，則的長為.

7.（23-24九年級上.遼寧鞍山?期中）如圖，在VABC中，ZACB=90°,AC=3C=4,點。為3c邊上一動

點（不與點&C重合），CE垂直AD交A3于點E,垂足為點”，連接出/并延長交AC于點尸，下面結(jié)論：

①若AD是5c邊上的中線，則冬5；②若AD平分/C4B,則生=也；③若皮）=2CD,則=

5BD2

④當CD=3D時，AF=2CF.正確的有（填序號）

8.（2324上?珠海?期中）在中，NACB=90。，AC=3C,。為BC中點，連接AD,過點C作CEJ_AD

于點E,交A3于點過點8作時，3C交CE的延長線于點凡則下列結(jié)論正確的有（請?zhí)钚蛱枺?/p>

①4ACD2ACBF；?ZBDM=ZADC；③連接AF,則有AACr是等邊三角形；④連接。尸，則有A3垂

直平分。尸.

9.（2324上?無錫?期末）如圖，在邊長為3的等邊AABC中，D、E分別為邊BC、AC上的點3Z）=CE,AD

與助相交于點P,NBPD=.若BD=1,則AP=.

10.（2024?江蘇泰州模擬預(yù)測）如圖所示，在矩形ABCD中，尸是DC上一點，AE平分/BAF交BC于點E,

且￡>E_LAF,垂足為點M,BE=3,AE=2底,則MR的長是

BEC

11.（2023?北京海淀?一模）如圖，正方形ABCD中，點E,尸分別在8C,8上,BE=CF,AE,BF交于點、

G；（1）ZAGF=.（2）在線段AG上截取MG=3G,連接DM,NAG尸的角平分線交。欣于點N.

①依題意補全圖形；②用等式表示線段MN與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明.

12.（2024?河南?一模）綜合與實踐

數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個問題：如圖1,在正方形A3。中，已知廣，求證：AE=BF.

甲小組同學(xué)的證明思路如下：由同角的余角相等可得乙環(huán)=/〃4￡.再由=ZfiAF=ZD=90°,

證得AA即絲A/ME（依據(jù)：）,從而得AE=BE.

乙小組的同學(xué)猜想，其他條件不變，若已知AE=3/，同樣可證得班證明思路如下：

由AB=D4,=可證得尸絲RtADAE（HL）,可得zABb=NZME,再根據(jù)角的等量代換即可證

得&￡1_!_■.

完成任務(wù)：⑴填空：上述材料中的依據(jù)是（填“SAS”或“AAS”或“ASA”或“HL”）

【發(fā)現(xiàn)問題】同學(xué)們通過交流后發(fā)現(xiàn)，已知AE_LM可證得鉆=3產(chǎn)，已知AE=3戶同樣可證得叱，

為了驗證這個結(jié)論是否具有一般性，又進行了如下探究.

【遷移探究】（2）在正方形A3CD中，點E在CO上，點M,N分別在AD,BC上，連接/區(qū)就交于點P.甲

小組同學(xué)根據(jù)畫出圖形如圖2所示，乙小組同學(xué)根據(jù)MN=AE畫出圖形如圖3所示.甲小組同學(xué)

發(fā)現(xiàn)已知仍能證明=乙小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)已知MN=AE無法證明MNJ_AE一定成立.

①在圖2中，已知跖VLAE,求證：MN=AE；②在圖3中，若NZME=a,則NAR0的度數(shù)為多少?

【拓展應(yīng)用】(3)如圖4,在正方形ABC￡＞中，AB=3,點E在邊A3上，點M在邊AD上，且AE=AM=1,

點尸，N分別在直線CD,8C上，若EF=MN,當直線所與直線MN所夾較小角的度數(shù)為30。時，請直接

寫出C尸的長.

13.(23-24八年級上.湖北宜昌?期中)請閱讀，完成證明和填空.

九年級數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)校的“數(shù)學(xué)長廊”中興奮地展示了他們小組探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，內(nèi)容如下:

⑴如圖1,正三角形ABC中，在A3、AC邊上分別取點M、N,使=連結(jié)3N、CM,發(fā)現(xiàn)8N=CM,

且/NOC=60°.請證明：NNOC=60°.

(2汝口圖2,正方形ABCD中，在A3、BC邊上分別取點V、N,使AM=3N,連結(jié)AN、DM,那么AN=

，旦/DON=度.

(3)如圖3,正五邊形ABCDE中，在A3、BC邊上分別取點V、N,^AM=BN,連結(jié)AN、EM,那么AN=

,且NEON=度.

(4)在正〃邊形中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，也會有類似的結(jié)論.

請大膽猜測，用一句話概括你的發(fā)現(xiàn)：.

14.(23-24八年級下?江西宜春?期中)［特例感知］如圖1,在正方形ABCD中，點E,尸分別為AB,仞的

中點，DE、CF交于點G.

(1)易證AADE名ADCF,可知DE、CF的關(guān)系為；(2)連接3G,若AB=6,求BG的長.

［初步探究］如圖2,在正方形ABCD中，點E為邊上一點，/GJ.DE分別交AD、BC于F、G,垂足為

0.求證：FG=DE.

［基本應(yīng)用］如圖3,將邊長為6的正方形ABC。折疊，使得點A落在邊CO的中點〃處，折痕為PQ,點P、

。分別在邊A。、2C上，請直接寫出折痕尸。的長：PQ=.

［應(yīng)用拓展］如圖4,在四邊形ABCD中，AB=AD,/BAD=/BCD=90°,BC=14,CD=2,AEL8C于E,

AFLDE交BC于F,則AF長為.

15.(2324下?成都市?九年級期中)已知四邊形ABC。中，E、尸分別是A3、AO邊上的點，DE與CF交

于點G.(1)如圖①，若四邊形ABCD是矩形，且OELCF,求證：4ADE?ADCF；(2)如圖②，若

四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當與/EGC滿足什么關(guān)系時，空=空成立？并證明你的結(jié)論;

CFCD

DE

(3)如圖③，若3A=3C=6,DA=DC=8,ZBAD=90°,DELCF,請直接寫出——的值.

16.（23-24九年級下?江蘇連云港?期中）【實踐探究】

（1）如圖1,矩形A3CQ中，AB=6,8C=8,A￡，&）交5C于點瓦則一的值是.

BD

【變式探究】（2）如圖2,R/AABC中，N8AC=90。,AB=6,AC=8,0為AC邊上一點，連接8。AEL8。,

交BC于點E，若求班的長;

【靈活應(yīng)用】（3）如圖3,在矩形ABCD中，AB=9,點E,尸分別在。CAB上，以所為折痕，將四邊形

3CEF翻折，使得3C的對應(yīng)邊百C’恰好經(jīng)過點A,過點A作ANLEF交BC于點N,若A5'=3,設(shè)AAC'G

AN

的面積為S-OEG的面積為％VW尸的面積為S”若5「27邑=邑，則評的值為

17.（2024?廣東深圳?中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個頂點作關(guān)于不相鄰

的兩個頂點的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點是這條邊的中點，則該平行四邊形是“垂中平行

四邊形

（1）如圖1所示，四邊形ABCQ為“垂中平行四邊形"，AF=5CE=2,則AE=;AB=_______

（2）如圖2,若四邊形"CD為"垂中平行四邊形"，且=猜想AF與C￡＞的關(guān)系，并說明理由；

（3）①如圖3所示，在44BC中，BE=5,CE=2AE=U,BEJ_AC交AC于點E,請畫出以8C為邊的垂

中平行四邊形，要求：點A在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示：不限作圖工具）；

②若AABC關(guān)于直線AC對稱得到VAB'C,連接CB',作射線C?交①中所畫平行四邊形的邊于點P,連接

PE,請直接寫出PE的值.

18.（24-25九年級上?陜西西安?階段練習(xí)）【數(shù)學(xué)模型】（1）如圖1,在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,點

DF

E、尸分別在邊4）、A3上，CE±DF,垂足為點。，則==

CE

【模型探究】（2）如圖2,在平行四邊形ABCD中，點E、尸分別在邊A￡＞、AB上，DF與CE交于點0,

且/尸OC=/A,請證明：DFAB=ADCE；

【拓展應(yīng)用】（3）如圖3,白云小區(qū)有一塊四邊形綠地ABCD,為了居民出行方便計劃在四邊形ABCD中修

兩條小路，在邊AD上取一點E,連接與CE交于點。，BD、CE即為規(guī)劃的兩條小路，其中AD=155m,

370m,ZA==12。。，且器1,求兩條小路長度的比，即求黑的值.

圖1圖2圖3

專題23全等與相似模型之十字架模型

幾何學(xué)是數(shù)學(xué)的一個重要分支，研究的是形狀、大小和相對位置等幾何對象的性質(zhì)和變換。在初中幾

何學(xué)中，十字模型就是綜合了上述知識的一個重要模型。本專題就十字模型相關(guān)的考點作梳理，幫助學(xué)生

更好地理解和掌握。

目相航］

例題講模型］

...........................................................................19

模型1.正方形中的十字架模型（全等模型）.......................................................19

模型2.矩形中的十字架模型（相似模型）.........................................................25

模型3.等邊三角形中的斜十字模型（相似模型）..................................................30

模型4.直角三角形中的十字模型（相似模型）....................................................35

習(xí)題練模型］

...........................................................................40

例題講模型］

模型1.正方形中的十字架模型（全等模型）

模型解讀

“十字形”模型，基本特征是在正方形中構(gòu)成了一個互相重直的“十字形”，由此產(chǎn)生了兩組相等的銳角及一

組全等的三角形。

模型證明

條件：1）如圖1,在正方形A2CZ）中，若E、尸分別是BC、CZ）上的點，AE±BF；結(jié)論：AE=BF。

19

證明：?.?四邊形ABC。是正方形，.?.ZABE=NC=90。，AB=BC,：.ZBFC+ZCBF=90°

■.AE1BF,：.ZAEB+ZCBF^90°,:.ZAEB=ZBFC,AABE^ABCF(SAS),：,AE=BFO

條件：2）如圖2,在正方形ABC。中，若E、F、G分別是BC、CD、AB上的點，AE1GF；結(jié)論：AE=GF。

證明：在PC上取一點P,使得G8=PF,連結(jié)BP。

,??四邊形A3CD是正方形，.,.AB//C。，.?.四邊形3PFG是平行四邊形，；.G尸//8尸，GF=BP,

同D中證明，可得AE=GF。

條件:3）如圖3,正方形A8CZ）中，若E、F、G、”分別是BC、CD、AB.上的點，EHIGF；

結(jié)論:HE=GFo

證明：在FC、BE上取一點P、Q,使得AH=QE,連結(jié)BP、AQ.

,??四邊形ABCD是正方形，.??AB〃CD,...四邊形BPPG是平行四邊形，.?.GF/ABP,GF=BP,

同理可證得：四邊形AQEH是平行四邊形,C.AQUHF,AQ=HF,同1)中證明，可得HE=GF。

模型運用

例1.（2023.江蘇吳江九年級期中）如下圖,將邊長為9c機的正方形紙片ABC。折疊，使得點A落在邊C。

上的E點，折痕為MN.若CE的長為6cm,則MN的長為cm.

20

M

【答案】3VlOcm

【分析】根據(jù)圖形折疊前后圖形不發(fā)生大小變化得出NMWE=NAWM=90。，進而得出NDAE=NDAE,再

證明ANFM絲AADE,然后利用勾股定理的知識求出MN的長.

【詳解】解：作NF1_AD,垂足為F,連接AE,NE,

??.將正方形紙片ABCD折疊，使得點A落在邊CD上的E點，折痕為MN,

AZD=ZAHM=90°,ZDAE=ZDAE,AAAHM^AADE,AZAMN=ZAED,

ZAMN=ZAED

在ANFM和AADE中：-NNFM=ND,/.ANFM^AADE(AAS),AFM=DE=CD-CE=3cm,

NF=AD

又?.?在R3MNF中，F(xiàn)N=9cm,.?.根據(jù)勾股定理得：MN="謂，/=歷近=3加（cm）.故答案為

3710.

【點睛】本題考查了圖形的翻折變換，根據(jù)圖形折疊前后圖形不發(fā)生大小變化得出三角形的全等是解決問

題的關(guān)鍵，難度一般.

例2.（2023年遼寧省丹東市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=12,點E,尸分別在邊BC,CD

上，AE與所相交于點G,若BE=CF=5,則BG的長為.

BEC

21

【答案】

【分析】根據(jù)題意證明AABE四△3B（SAS）,?EBG^FBC,利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：：四邊形ABCD是正方形，.?.Z4BE=NC=90。，AB=BC,

BE=CF,：.ZWBE^ABCF（SAS）,:"BAE=NCBF,

vZCBF+ZABG^90°,ZBAE+ZABG=90°,.-.ZBGE=90°,:.ZBGE=ZC,

dBGBE

又?.?NEBG=NFBC,.^EBG^^FBC,/.—=——，\-BC=AB=nCF=BE=5,

BCBF9

BF=y/BC-+CF-=7122+52=13，:?第=［，；.BG=瞿.故答案為：萼

1—21313

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

例3.（2024?廣東梅州?一模）如圖，E、尸分別是正方形ABCD的邊CD,AD上的點，ACE=DF,AE,BF

相交于點。，下列結(jié)論：①AE=BF；②AELBF；?AO=OE；@ZAED=ZFBC^,正確的結(jié)論有（）

C.3個D.4個

【答案】C

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△ADE/尸是解題的關(guān)鍵.根據(jù)四

邊形ABCD是正方形及CE=D產(chǎn)，可證出△ADE0△54F,則得到：?AE=BF；ZAED=NFBC可判斷④；

可以證出NA80+440=90。，則②加'一定成立；用反證法可證明AOwOE,即可判斷③.

【詳解】解：：四邊形ABCD是正方形，.,.CD=AT>=AB,ZBAF=ZADE=90a,-.-CE=DF,:.DE=AF,

AD=AB

在VADE和Z\BAF中，＜/D=NBAF,:必ADE沿ABAF(SAS),；,AE=BF(故①正確)；

DE=AF

ADE名ABA尸(SAS)ZAED=ZBFA'：四邊形ABC￡＞是正方形，；.AZ)〃BC

：.ZFBC=NBFA：.ZAED=ZFBC(故④正確)；'.\ADE^^BAF(SAS)：.ZABF=ZDAE

22

?..四邊形ABCD是正方形，/.ABAD=90°ZABF+ZAFB=90°,ADAE+ZAFB=90°,

4。尸=180。一（/714石+/4由）=90。.?./山，斯一定成立（故②正確）；假設(shè)4O=OE,

-.-AE±BF,..AB=BE（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等）,

在RtA^CE中，BE>BC,;.AB>BC,這與正方形的邊長AB=3C相矛盾,

，假設(shè)不成立，AO^OE（故③錯誤）；???正確的有①②④共3個正確，故選：C.

例4.（23-24江蘇九年級期中）蘇科版八下數(shù)學(xué)教材中，對正方形的性質(zhì)和判定進行了探究，同時課本94

頁第19題對正方形中特殊線段的位置和數(shù)量關(guān)系也進行了探究，在此，我們也來作進一步的探究，如圖1,

探究所提供的正方形ABCD的邊長都為2.

【探究】⑴如圖2,在正方形ABCD中，如果點E、歹分別在BC、CD上，S.AE.LBF,垂足為那么AE

與母■相等嗎？證明你的結(jié)論.

【應(yīng)用】（2）如圖3,在正方形ABCD中，動點E、尸分別在邊A3、CD±,將正方形ABC。沿直線折疊,

使點8對應(yīng)的點M始終落在邊AO上（點M不與點A、。重合）,點C落在點N處，MN與CD交于點P,

設(shè)=求線段WV的長（用含t的式子表示）.

【拓展】（3）如圖4,在正方形ABCD中，E是8C的中點，F(xiàn)、G分別是A3、8上的動點，且FGLAE,

求EF+AG的最小值.

圖3

圖1圖2

【答案】（1）AE=3尸，理由見解析⑵WV=27-2A/P7⑶何

【分析】（1）據(jù)正方形的性質(zhì)，可證出AME四△3B,即可得證；（2）過C作CG〃昉，交于G,連

接BM,由（1）得同理可證：AABM、BCG,由折疊的性質(zhì)在中AE2+￡Af2=AA/2即可求解；

（3）過點E作〃產(chǎn)G,過點G作GM〃砂，當A、G、M三點共線時，AG+GN的值最小，可求解.

23

【詳解】（1）AE=BF.證明：?.?四邊形ABC。是正方形，.-.ABuBC,ZABC=ZC=90°,

ZABM+ZCBF=90°,--AELBF,ZBAM+ZABM=90°,:.ZBAM=ZCBF,

2ABE=NC

在AABE和△3CF中，AB=BC,.^ABE^ABCF（ASA）,；,AE=BF.

ZBAE=ZCAF

（2）解：過C作CG〃E尸，交A3于G,連接BM,

,??四邊形ABC。是正方形，，EG〃/C,.,.四邊形EGC尸是平行四邊形，.〔EGuFC,

將正方形ABC。沿直線E尸折疊，使點8對應(yīng)的點M始終落在邊AD,

BMA.EF,FC=FN,EB=EM,:.CGLBM,EG=FN,

由（1）得同理可證：AABM當ABCG,:.AM=BG,^FN=EG=y,-：AE=t,:.EB=EM=2—t,

:.BG=BE-GE,=2--y,.?.AM=27_y,在RuEW中隹2+石以2=.2,...產(chǎn)+（2__＞）2=（27）2,

整理得：y=2-r-2^/1^7,FN=2-t-2.y/r^t.

(3)解：如圖，過點后作￡^〃尸3,過點6作。1/〃防，

.,.當A、G、〃三點共線時，AG+GM的值最小，

四邊形EFGN是平行四邊形，.：GM=EF,EM=FG,由(2)可證：FG=AE,:.EM=AE,

?.?四邊形45CD是正方形，=；3c=1,：.AEAB?+BE：=亞，

-.■AE±FG,EM//FG,..EM1.AE,AM=yf2AE=V10,

，當A、G、M二點共線時，AG+GM=AM=VTo,AG+GM的值最小^/10>AG+EF的值最小Ji6.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定

及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，動點線段最小值問題，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)，理解折疊的性

質(zhì)，會根據(jù)動點的特征找出線段和最小值的條件是解題的關(guān)鍵.

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模型2.矩形中的十字架模型（相似模型）

模型解讀

矩形的十字架模型：矩形相對兩邊上的任意兩點聯(lián)結(jié)的線段是互相垂直的，此時這兩條線段的的比等于矩

形的兩邊之比。通過平移線段構(gòu)造基本圖形，再借助相似三角形和平行四邊的性質(zhì)求得線段間的比例關(guān)系。

模型證明

1）條件：如圖1,在矩形A5CD中，若E是A5上的點，JaDELAC,結(jié)論：——=——

ACCD

DE_LAC/./EDC+Z.DCA=90°,/.NAZ）石=NDCA,ADEA—△C4D,-----=-----,-----=-----.

9ACCD