專題20全等與相似模型之手拉手模型

全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。全等三角形、相似三角形與其它知

識點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法,

熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就手拉手模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析,

方便掌握。

目錄導(dǎo)航

例題講模型'

.........................................................................................................................................................2

模型1.手拉手模型（全等模型）........................................

模型2.手拉手模型（相似模型）........................................

習(xí)題練模型

.......................................................................................................................................................13

大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對于所學(xué)知識的靈活運(yùn)用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點(diǎn)，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每

一個題型，做到活學(xué)活用！

例題講模型］

模型1.手拉手模型（全等模型）

模型解讀

將兩個三角形（或多邊形）繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構(gòu)成手拉手全等，

也叫旋轉(zhuǎn)型全等。其中：公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點(diǎn)逆時針順序數(shù)的第一個頂點(diǎn)記為“左

手”，第二個頂點(diǎn)記為“右手”。

4(興)

等線段，共頂點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)前后的圖形大小，形狀不發(fā)生變化，只是位置不同而已。解題是通過三角形全等進(jìn)

行解決。SAS型全等（核心在于導(dǎo)角，即等角加（減）公共角）。

模型證明

1）雙等邊三角形型

條件：AABC和AOCE均為等邊三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE,AD交于點(diǎn)凡

結(jié)論：①AACD咨ABCE；?BE=AD；?ZAFM=ZBCM=6Q°；④CP平分NBFD。

證明：:△ABC和AOCE均為等邊三角形，：.BC=AC,CE=CD,ZBCA=ZECD^60°

：.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即：/BCE=/ACD,A(SAS),

:.BE=AD,ZCBE=ZCAD,又Y/CMB=/AMF,：.ZAFM=ZBCM=60°,

過點(diǎn)C作CPIARCQ/BE,貝!!/CQB=/CB4=90。，又：NCBE=/CAD,BC=AC,：.hBCQ^/\ACPCAAS)

；.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分/BFD。

2）雙等腰直角三角形型

結(jié)論：①△ACD四△BCE；②BE=AD；③NAMW=NBCM=90。；④iCN平分/BND。

證明：:△ABC和AOCE均為等腰直角三角形，：.BC=AC,CE=CD,NBCA=/ECD=9。。

：.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即NBCE=/ACZ),：.^ACD^/\BCE(SAS),

；.BE=AD,ZCBE=ZCAD,又，：/CMB=/AMN,：.ZANM=ZBCM=9Q°,

過點(diǎn)C作瓦則/CQ8=NCE4=90。，又,：/CBE=/CAD,BC=AC,：.ABCQ^^ACP(AAS)

；.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分/BND。

3)雙等腰三角形型

條件：BC=AC,CE=CD,/BCA=/ECD,C為公共點(diǎn)；連接BE,A。交于點(diǎn)幾

結(jié)論：①△ACDgZkBCE；②BE=AD；③N8CM=/AFM；④CT平分/BFD。

證明："：ZBCA=ZECD,：.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即/BCE=NAC。，

X".'BC=AC,CE=CD,：.AACD^ABCE(SAS),：.BE=AD,ZCBE=ZCAD,

又?：NCMB=/AMF,：.ZBCM=ZAFM,過點(diǎn)C作

又,：NCBE=/CAD,BC=AC,：.hBCQ^/\ACP(AAS)

；.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分/BFD。

4）雙正方形形型

條件：四邊形A8CZ）和四邊形CEFG都是正方形，C為公共點(diǎn)；連接BG,ED交于點(diǎn)N。

結(jié)論：①△BCG94DCE；②BG=DE；③/BCM=NDNM=90。；④CN平分NBNE。

證明：：四邊形A8CD和四邊形CEEG都是正方形，：.BC=AC,CE=CG,ZBCD=ZECG=90°

：.ZBCD+ZDCG=ZECG+ZDCG,^ZBCG=ZDCE,：.4BCGqADCE(SAS'),

：.BG=DE,ZCBG=ZCDE,又，：4CMB=ZDMN,:./BCM=NDNM=90°,

過點(diǎn)C作CP」Z)E,C。上BG,貝!)NCP￡)=/CP8=90°,又?：NCBG=/CDE,BC=DC,：.^BCQ^/\DCP(.AAS)

；.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分/BND。

模型運(yùn)用

例1.（23-24八年級下?遼寧丹東?期中）如圖，點(diǎn)A,B,C在同一條直線上，△ABD,_3慮均為等邊三角

形，連接AE和CD,AE分別交C。、BD于點(diǎn)M,P,CD交BE于點(diǎn)、Q,連接PQ,BM,下面結(jié)論：①

ABE-DBC；②/￡＞址4=60。；③PBQ為等邊三角形;④MB平分NAWC；⑤/PEQ=30。.其中結(jié)論

正確的有（）

C.3個D.4個

例2.（2024.山東泰安.中考真題）如圖1,在等腰Rt/XABC中，ZABC=90°,AB=CB,點(diǎn)、D,E分別在AB,

CB上,DB=EB,連接AE,CD,取AE中點(diǎn)/，連接班

⑴求證：CD=2BF,CD1BF；（2）將..DBE繞點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置.

①請直接寫出肝與C。的位置關(guān)系:；②求證：CD=2BF.

例3.（2023?山東?九年級專題練習(xí)）已知，45C為等邊三角形，點(diǎn)。在邊3C上.

【基本圖形】如圖1,以AD為一邊作等邊二角形VADE,連結(jié)CE.可得CE+8=AC（不需證明）.

【遷移運(yùn)用】如圖2,點(diǎn)尸是AC邊上一點(diǎn)，以為一邊作等邊三角，QEF.求證：CE+CD^CF.

【類比探究】如圖3,點(diǎn)尸是AC邊的延長線上一點(diǎn)，以DP為一邊作等邊三角刀印.試探究線段CE,CD,

CF三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的結(jié)論并說明理由.

例4.（23-24九年級上?浙江臺州?期末）如圖，將VABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到△AED,并使C點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)

。點(diǎn)落在直線BC上.（1）如圖1,證明：DA平分NEDC；（2）如圖2,AE與BD交于點(diǎn),F,若

ZAFB=50°,ZB=20°,求/A4c的度數(shù)；（3）如圖3,連接BE,若E3=13,ED=5,CD=17,則AD的

長為.

圖1圖2圖3

例5.(2022?浙江湖州?統(tǒng)考中考真題)已知在RaABC中，ZACB=9Q°,a,b分別表示/A,的對邊,

a>b.記AABC的面積為S.

(1)如圖1,分別以AC,C8為邊向形外作正方形ACDE和正方形BGFC.記正方形ACDE的面積為S-正

方形8GFC的面積為邑.①若岳=9,邑=16,求S的值；②延長EA交GB的延長線于點(diǎn)N,連結(jié)FN,交

BC于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)"若WLAB(如圖2所示)，求證：S2-S1=2S.

(2)如圖3,分別以AC,C8為邊向形外作等邊三角形AC。和等邊三角形CBE,記等邊三角形AC。的面積

為耳，等邊三角形CBE的面積為S2.以為邊向上作等邊三角形A8F(點(diǎn)C在AABF內(nèi))，連結(jié)EF,CF.若

EFLCF,試探索邑-H與S之間的等量關(guān)系，并說明理由.

例6.(2024.黑龍江?九年級期中)已知R3A8C中，AC=BC,NACB=90。，P為AB邊的中點(diǎn)，且DF=EF,

/DFE=90。,。是8C上一個動點(diǎn).如圖1,當(dāng)。與C重合時，易證：?！?gt;2+。序=2。戶；

(1)當(dāng)。不與C、8重合時，如圖2,CD、DB,。尸有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明.

(2)當(dāng)。在BC的延長線上時，如圖3,CD、DB、。廠有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，并加以證明.

圖1圖2圖3

模型2.手拉手模型（相似模型）

模型解讀

“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個三角形繞著它的項點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并放大或縮?。ㄟ@個頂點(diǎn)不變），我們稱這樣的圖

形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個頂點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。

手拉手模型有以下特點(diǎn)：1）兩個三角形相似；2）這兩個三角形有公共頂點(diǎn)，且繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并縮放后2個

三角形可以重合；3）圖形是任意三角形（只要這兩個三角形是相似的）。

模型證明

1）手拉手相似模型（任意三角形）

條件:如圖，/BAC=/DAE=a,—=—=）t；

AEAC

結(jié)論：AADE^AABC,AABDs^ACE；—=kiNBFC=NBAC.

EC

證明：：些=空=左，...四,：ZBAC=ZDAE=a,：■^ADE^AABC,

ABACABAC

'：ZBAC=ZDAE=a,：.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,：.ZBAD=ZCAE,

...42=空=%,...AABDsAACE,.,.吧="=k，/ABD=ZACE,：.ZBFC=NBAC=/DAE=a,

AEACECAC

2）手拉手相似模型（直角三角形）

ODOB

結(jié)論：AAOC-ABOD；生=%,ACVBD,SARrn=-ABxCD-

BDABCD2

證明：VZAOB=ZCOD=90°,/.ZAOB-ZBOC=ZCOD-ZBOC,：.ZAOC=ZBOD,

...空=空=左，:.xAOCsXBOD,；.任=空=左，ZOAB=ZOBD,

ODOBBDOB

ZAEB=ZAOB=90°,：.AC±BD,：.SARCn=-ABxCD-

3）手拉手相似模型（特殊的等邊三角形與等腰直角三角形）

條件:M為等邊三角形ABC和。EF的邊AC和。尸的中點(diǎn)；結(jié)論：ABMEs^CMF；—=J3-

CF

證明：為等邊三角形ABC和。EF的邊AC和。尸的中點(diǎn)，，網(wǎng)_=空=括，NBMC=NEMF=90°,

MCMF

：.ZBMC-ZEMC=ZEMF-ZEMC,：.ZBME=ZCMF,：.^BME^ACMF,:.里=%=應(yīng)，

CFCM

條件:AABC和ADE是等腰直角三角形；結(jié)論：\甌）6MACE：ZACE=90°；些=受.

CE2

證明：:△ABC和AOE是等腰直角三角形，，空=絲=變，ZBAC=ZDAE=45°,

ACAE2

ZBAC-ZDAC^ZDAE-ZDAC,：.ZBAD=ZCAE,：.^ABD^/\ACE,

...些=絲=也，ZACE=ZABD=90°

CEAC2

模型運(yùn)用

例1.（2023?江西?一模）圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，小麗和小亮對等腰只角形的

旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行研究.

⑴［觀察猜想］如圖1,"8C是以AB、AC為腰的等腰三角形，點(diǎn)。、點(diǎn)E分別在AB、AC上.且DE〃BC,

將AADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)。（0。9至360。）.請直接寫出旋轉(zhuǎn)后2D與CE的數(shù)量關(guān)系；

（2）［探究證明］如圖2必女方是以NC為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,。E〃BC分別交AC與AB兩邊于點(diǎn)￡、

點(diǎn)D將AADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至圖中所示的位置時，（1）中結(jié)論是否仍然成立.若成立，請給出證明；

若不成立，請說明理由；

（3）［拓展延伸］如圖3,8。是等邊AABC底邊AC的中線，AE±BE,AE//BC.將AABE繞點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)到

△EBE,點(diǎn)A落在點(diǎn)尸的位置，若等邊三角形的邊長為4,當(dāng)時，求出。的值.

E

圖2

圖1

圖3

例2.(2024?山東棗莊?二模)綜合實踐

問題背景：借助三角形的中位線可構(gòu)造一組相似三角形，若將它們繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)頂點(diǎn)連線的長度

存在特殊的數(shù)量關(guān)系，數(shù)學(xué)小組對此進(jìn)行了研究，如圖1,在ABC中，？890?,AB=3C=4,分別取AB,

AC的中點(diǎn)。，E,作VADE.如圖2所示，將VADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接3D,CE.

(1)探究發(fā)現(xiàn)：旋轉(zhuǎn)過程中，線段80和CE的長度存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并證明.

(2)性質(zhì)應(yīng)用：如圖3,當(dāng)。E所在直線首次經(jīng)過點(diǎn)2時，求CE的長.

例3.（2024?四川成都?中考真題）數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個

頂點(diǎn)，然后將其中一個紙片繞這個頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，來探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).已知三角形紙片4BC和ADE中，

AB=AD=3,BC=DE=4,ZABC=ZADE=90°.

【初步感知】（1）如圖1,連接BO,CE,在紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，試探究總的值.

【深入探究】（2）如圖2,在紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)。恰好落在，ABC的中線的延長線上時，

延長即交AC于點(diǎn)歹，求C尸的長.

【拓展延伸】（3）在紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，試探究C,D,E三點(diǎn)能否構(gòu)成直角三角形.若能，直

接寫出所有直角三角形CDE的面積；若不能，請說明理由.

例4.（2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐

數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑.通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知

識的內(nèi)在聯(lián)系,最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地.

（1）發(fā)現(xiàn)問題：如圖1,在ABC和△人?中，AB=AC,AE=AF,ABAC=ZEAF=30°,連接BE,CF,

延長BE交CF于點(diǎn)O.則座與CP的數(shù)量關(guān)系:ZBDC=

（2）類比探究：如圖2,在.ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,ABAC=ZEAF^120°,連接班1,CF,

延長BE,FC交于點(diǎn)D.請猜想跖與CP的數(shù)量關(guān)系及ZBDC的度數(shù)，并說明理由；

⑶拓展延伸：如圖3,一ABC和AAE/均為等腰直角三角形，ZBAC=ZEAF^90°,^BE,C尸，且點(diǎn)8,

E,歹在一條直線上，過點(diǎn)A作AM_LBF,垂足為點(diǎn)則8尸，CF,AM之間的數(shù)量關(guān)系：；

（4）實踐應(yīng)用：正方形ABCD中，回=2,若平面內(nèi)存在點(diǎn)尸滿足ZBPD=90。，PD=1,則=

例5.（2024.山西?模擬預(yù)測）綜合與實踐

問題背景：在數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們進(jìn)行三角形旋轉(zhuǎn)的探究，已知VABC和刀跖均為等邊三角

形，。是2C和DF的中點(diǎn)，將勿EF繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn).

猜想證明：（1）如圖①，在1）防旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)E恰好在CB的延長線上時，AB交EF于點(diǎn)H,試判

斷△麻”的形狀，并說明理由；（2）如圖②，在..DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在邊AC上時，連接CP,

試猜想線段AE與線段CP的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（3）如圖③，若AB=2瓜DE=2,連接BF,設(shè)DE所

在直線與BC所在直線交于點(diǎn)M,在。斯旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)8,F,E在同一直線上時，在。兩點(diǎn)

中的其中一點(diǎn)恰好是另一點(diǎn)與點(diǎn)C構(gòu)成的線段的中點(diǎn)，請直接寫出此時放的長.

例6.(2024.山東濟(jì)南.模擬預(yù)測)

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,矩形用‘G與矩形ABCD相似，且矩形AEFG的兩邊分別在矩形ABCD的邊AB和AD

上，BC.AB=1:6,連接C尸.線段CF與。G的數(shù)量關(guān)系為二

(2)拓展探究：如圖2,將矩形嶼'G繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，其它條件不變.在旋轉(zhuǎn)的過程中，(1)中的結(jié)論是

否仍然成立，請利用圖2進(jìn)行說理.

(3)解決問題:當(dāng)矩形ABCD的邊AD=A5時,點(diǎn)E為直線8上異于。,C的一點(diǎn)，以AE為邊作正方形AEFG,

點(diǎn)H為正方形AS9G的中心，連接D"，若AD=4,DE=2,直接寫出的長.

例7.(2024?廣東深圳?二模)如圖，在等腰直角,ABC中，AB=BC=4,。為8C上一點(diǎn)，E為BC延長線

上一點(diǎn)，且NZME=45。，AE^2AD,貝！|BD=

BD

2題練模型］

1.（23-24九年級?遼寧盤錦?開學(xué)考試）如圖，在VABC中，ZABC=45°,過點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)。，過點(diǎn)

8作于點(diǎn)連接MD,過點(diǎn)。作。VLMD,交BM于點(diǎn)、N.8與8拉相交于點(diǎn)E,若點(diǎn)、E是CD

的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：?AC=BE；②DM=DN；③NAMD=45。；@NE=3ME.其中正確的有（）個.

2.（2022?湖南?中考真題）如圖，點(diǎn)。是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=2,OB=1,OC=^）,則AAOB與

A."B.3C.述D.V3

424

3.（23-24九年級上?遼寧大連?期中）如圖，在，ABC中，AC=BC,ZACB=90°,AB=8,點(diǎn)。是邊A3上

的一個動點(diǎn)，連接C。，過點(diǎn)C作CELCD,使CE=CD,連接。E,點(diǎn)尸是DE的中點(diǎn)，連接CP并延長，

交AB邊所在亶線于點(diǎn)G,若8G=2,則AD的長為.

4.（23-24九年級上?廣東深圳?期中）如圖，等腰直角ABC中，ZBAC=90°,BC=6,過點(diǎn)C作CDL3C,

CD=2,連接80,過點(diǎn)C作CE_LB￡>,垂足為E,連接AE,則AE長為

5.（2024?河南周口?模擬預(yù)測）如圖，ABC是等邊三角形，AB=6,點(diǎn)E是/BAC的平分線AD上的一動

點(diǎn)，連接CE,將點(diǎn)E繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到點(diǎn)E連接CP,BF.若△3CP是直角三角形，則線段AE

的長為______

6.（2024?山東泰安?三模）將矩形ABCD繞點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形ABG2，點(diǎn)A、C、。的對應(yīng)點(diǎn)分別為

A、G、2.如圖，當(dāng)AR過點(diǎn)C時，若BC=5,CD=3,則AA的長為

7.（2023?湖北黃石?統(tǒng)考中考真題）如圖，將YABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到A&C'。的位置，使點(diǎn)夕落在8C

上，B'C'與8交于點(diǎn)E若AB=3,AO=4,M'=—,則（從"包2,?3”中選擇一個符合要

2

8.（2024?上海徐匯?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在用AABC中，ZCAB=9Q°,AB=AC,點(diǎn)。為斜邊8C上一點(diǎn),

且BZA3CD將AAB。沿直線翻折，點(diǎn)2的對應(yīng)點(diǎn)為Q，貝Usi〃NCB7）=.

c

9.（23-24九年級上?遼寧大連?期末）【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動課上，王老師給出下面問題：如圖1,ABC

和△DCE是等邊三角形，點(diǎn)8、C、E不在同一條直線上，請找出圖中的全等三角形并直接寫出結(jié)論

；（寫出一對即可）

分線，S.CD=DE.將線段AE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn);a得到線段當(dāng)。=120。時，連接尸。，試判斷線段尸。

和線段3。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；①小明同學(xué)從結(jié)論出發(fā)給出如下解題思路：可以先猜測線段尸。和線

段的數(shù)量關(guān)系，然后通過逆用“手拉手”模型，合理添加輔助線，借助“全等”來解決問題；②小玲同學(xué)從

條件入手給出另一種解題思路：可以根據(jù)條件々=120。，則NAEP=60。，再通過“手拉手”模型，合理添加輔

助線，構(gòu)造與△的全等的三角形來解決問題.

請你選擇一名同學(xué)的解題思路（也可另辟蹊徑）來解決問題，并說明理由.

【拓展延伸】（3）如下圖，ABC中，當(dāng)NA=60。時，點(diǎn)D、E為AC、上的點(diǎn)，CD=BE,ZCED=30°,

若BC=7,CE=5,求線段的長.

10.（23-24九年級下?四川達(dá)州?開學(xué)考試）已知，VABC與VADE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,

AB>AD,連接8。，CE.

（1）如圖1,求證3D=CE；（2）如圖2,點(diǎn)。在VABC內(nèi)，B,D,E三點(diǎn)在同一直線上，過點(diǎn)A作VADE的

高A”,證明：3E=CE+2AH；（3）如圖3,點(diǎn)。在VABC內(nèi)，AD平分N54C,8。的延長線與CE交于

點(diǎn)、F,點(diǎn)尸恰好為CE中點(diǎn)，若3c=4,求線段AD的長.

11.（2023?河南新鄉(xiāng)?模擬預(yù)測）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,在AABC中，AB^AC,—54C=6O。，D為BC邊上一

點(diǎn)（不與點(diǎn)3,C重合）,將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AE,貝U：

圖3

（1）①/ACE的度數(shù)是；②線段AC,CD,CE之間的數(shù)量關(guān)系是.

拓展探究：（2）如圖2,在AABC中，AB=AC,—B4C=90。,。為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)2,C重合），將線

段繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,連接EC,請寫出/ACE的度數(shù)及線段AD,BD,CD之間得數(shù)量關(guān)

系，并說明理由；

解決問題：（3）如圖3,在RdOBC中，DB=3,DC=5,/BDC=90。,若點(diǎn)A滿足AB=AC,NBAC=90。,

請直接寫出線段AO的長度.

12.（2024.河南新鄉(xiāng)?模擬預(yù)測）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,在AABC中，AB^AC,^BAC=60°,D為BC邊上一

點(diǎn)（不與點(diǎn)8，C重合），將線段A。繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AE,貝U：

（1）①NACE的度數(shù)是；②線段AC,CD,CE之間的數(shù)量關(guān)系是.

拓展探究：⑵如圖2,在中，AB=AC,—3AC=90。,。為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)gC重合），將線

段繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,連接EC,請寫出/ACE的度數(shù)及線段A。，BD,CD之間得數(shù)量關(guān)

系，并說明理由；

解決問題：（3）如圖3,在MADBC中，DB=3,DC=5,N8OC=90。，若點(diǎn)A滿足AB=AC,ZBAC=90°,

請直接寫出線段AD的長度.

13.（2024?浙江紹興??？家荒＃締栴}探究】（1）如圖1,銳角AA8C中，分別以AB、AC為邊向外作等腰

直角AABE和等腰直角△AC。，?AE=AB,AD=AC,ZBAE=ZCAD=90°,連接B。，CE,試猜想8。與

CE的大小關(guān)系，不需要證明.

【深入探究】（2）如圖2,四邊形ABC。中，AB=5,BC=2,ZABC^ZACD^ZA￡）C=45°,求83的值；

甲同學(xué)受到第一問的啟發(fā)構(gòu)造了如圖所示的一個和AAB。全等的三角形，將8。進(jìn)行轉(zhuǎn)化再計算，請你準(zhǔn)確

的敘述輔助線的作法，再計算；

【變式思考】（3）如圖3,四邊形ABCZ）中，AB=BC,ZABC=60°,ZADC=30°,AO=6,BD=10,則

CD=_____

14.（2024?江西?中考真題）綜合與實踐：如圖,在Rt^ABC中，點(diǎn)。是斜邊A3上的動點(diǎn)（點(diǎn)￡＞與點(diǎn)A不

重合），連接CO,以。為直角邊在CO的右側(cè)構(gòu)造Rt^CDE,NDCE=90°,連接5E,條=等=根?

數(shù)量關(guān)系是

類比遷移（2）如圖2,當(dāng)加片1時，猜想8E與之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想.

拓展應(yīng)用（3）在（1）的條件下，點(diǎn)尸與點(diǎn)C關(guān)于DE對稱，連接DF,EF,BF,如圖3.已知AC=6,

設(shè)AD=x,四邊形CDEE的面積為y.①求》與尤的函數(shù)表達(dá)式，并求出y的最小值；②當(dāng)3b=2時，請

直接寫出A￡>的長度.

15.（2024?廣東深圳.模擬預(yù)測）在平面內(nèi),將一個多邊形先繞自身的頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一個角度6（0°<6<180°）,

再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點(diǎn)A為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為鼠稱這種變

換為自旋轉(zhuǎn)位似變換.若順時針旋轉(zhuǎn)，記作T（A,順6水）；若逆時針旋轉(zhuǎn)，記作T（A,逆。水）.

例如：如圖①，先將..ABC繞點(diǎn)3逆時針旋轉(zhuǎn)50。，得到VABG，再將VA8G以點(diǎn)8為位似中心縮小到原

來的，得到&BC2,這個變換記作7（8,逆50。,

⑴如圖②，,ABC經(jīng)過T（C,順60。,2）得到44?。，用尺規(guī)作出△AEC.（保留作圖痕跡）

（2）如圖③，..ABC經(jīng)過7（氏逆/匕）得到△￡BD,ABC經(jīng)過T（C順力,履）得到△刀C，連接AE，AF.求

證：四邊形AEDE是平行四邊形.（3）如圖④，在一ABC中，/A=150。，AB=2,AC=1.若ABC經(jīng)過（2）

中的變換得到的四邊形AFDE是正方形，請直接寫出AE的長.

16.（2024?黑龍江齊齊哈爾?三模）天府新區(qū)某校數(shù)學(xué)活動小組在一次活動中，對一個數(shù)學(xué)問題作如下探究：

（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,在等邊ABC中，點(diǎn)尸是邊BC上任意一點(diǎn)，連接AP,以AP為邊作等邊△APQ,

連接CQ.易證：8尸=_（2）變式探究：如圖2,在等腰中，=點(diǎn)P是邊上任意一點(diǎn)，以

AP為腰作等腰△APQ，使4尸=尸。，ZAPQ=ZABC,連接CQ.判斷NABC和NAC。的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由：（3）解決問題：如圖3,在正方形ADBC中，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，以AP邊作正方形APEF,。是

正方形APEF的中心，連接CQ.若正方形APEF的邊長為6,CQ=2"則正方形ADBC的邊長為

圖1圖2圖3

17.（2024?湖北黃石三模）（1）如圖①，和△DCE為等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,求證：

BD=AE.（2）如圖②，ZACB=ZDCE=90°,ZABC=ZEDC,BC=2AC,試探究線段與線段AE的

關(guān)系，并加以證明.（3）如圖③，ZACB=90°,AC=3BC,AD=6,CD=M,求3D的最大值.

18.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）在RtZXABC中，ZC45=90°,ZB=30°,且

（D如圖1,若F、G分別是8C、DE的中點(diǎn)，求證：AGD^AFB.

FG

（2）如圖2,若4CF=3C,4EG=ED,連接尸G,求——的值.（3）如圖3,若AC=4,AE=2,F、G分別

BD

是BC和DE上的動點(diǎn)，且始終滿足名=竺，將VADE繞A點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)一周，則FG的最小值為.

19.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,在菱形ABCD中，NABC=120。，點(diǎn)E是對角線3D

上一動點(diǎn)，連接AE,將屈1繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)60。得到EF,連接AF,DF.求NAD尸的度數(shù).

（2）問題探究：如圖2,在正方形ABCD中，AB=6,點(diǎn)E是對角線3。上一動點(diǎn)，連接AE,將胡繞點(diǎn)E

逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到EF,連接AF,當(dāng)BE=2ED時，求叱的長度；

（3）問題解決：某科技公司現(xiàn)有一塊形如矩形ABCD的研發(fā)基地，如圖3,已知AB=200米，AD=200Q米，

為了響應(yīng)國家“科教興國”戰(zhàn)略，現(xiàn)需要擴(kuò)大基地面積.擴(kuò)建方案如下：點(diǎn)E是對角線8。上一動點(diǎn)，以AE為

邊在AE右側(cè)作直角三角形AEF,滿足ZA￡F=90。，場=60。，其中將二田戶修建成新能源研發(fā)區(qū)，^AEF

為試驗區(qū)，為保證研發(fā)效果，要使研發(fā)區(qū)（即EQF）的面積最大，求此時試驗區(qū)（即一AE/）的面積.

專題20全等與相似模型之手拉手模型

全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。全等三角形、相似三角形與其它知

識點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，

熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就手拉手模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，

方便掌握。

目錄導(dǎo)航

例題講模型'

.......................................................................................................................................................22

模型1.手拉手模型（全等模型）.........................................................2

模型2.手拉手模型（相似模型）.........................................................7

習(xí)題練模型

-----------------------...........................................................................................................................................................46

大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對于所學(xué)知識的靈活運(yùn)用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點(diǎn)，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每

一個題型，做到活學(xué)活用！

例題講模型］

模型1.手拉手模型（全等模型）

模型解讀

將兩個三角形（或多邊形）繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構(gòu)成手拉手全等，

也叫旋轉(zhuǎn)型全等。其中：公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點(diǎn)逆時針順序數(shù)的第一個頂點(diǎn)記為“左

手”，第二個頂點(diǎn)記為“右手”。

4(興)

等線段，共頂點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)前后的圖形大小，形狀不發(fā)生變化，只是位置不同而已。解題是通過三角形全等進(jìn)

行解決。SAS型全等（核心在于導(dǎo)角，即等角加（減）公共角）。

模型證明

1）雙等邊三角形型

條件：AABC和AOCE均為等邊三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE,AD交于點(diǎn)凡

結(jié)論：①AACD咨ABCE；?BE=AD；?ZAFM=ZBCM=6Q°；④CP平分NBFD。

證明：:△ABC和AOCE均為等邊三角形，：.BC=AC,CE=CD,ZBCA=ZECD^60°

：.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即：/BCE=/ACD,A(SAS),

:.BE=AD,ZCBE=ZCAD,又Y/CMB=/AMF,：.ZAFM=ZBCM=60°,

過點(diǎn)C作CPIARCQ/BE,貝!!/CQB=/CB4=90。，又：NCBE=/CAD,BC=AC,：.hBCQ^/\ACPCAAS)

；.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分/BFD。

2）雙等腰直角三角形型

結(jié)論：①△ACD四△BCE；②BE=AD；③NAMW=NBCM=90。；④iCN平分/BND。

證明：:△ABC和AOCE均為等腰直角三角形，：.BC=AC,CE=CD,NBCA=/ECD=9。。

：.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即NBCE=/ACZ),：.^ACD^/\BCE(SAS),

；.BE=AD,ZCBE=ZCAD,又，：/CMB=/AMN,：.ZANM=ZBCM=9Q°,

過點(diǎn)C作瓦則/CQ8=NCE4=90。，又,：/CBE=/CAD,BC=AC,：.ABCQ^^ACP(AAS)

；.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分/BND。

3)雙等腰三角形型

條件：BC=AC,CE=CD,/BCA=/ECD,C為公共點(diǎn)；連接BE,A。交于點(diǎn)幾

結(jié)論：①△ACDgZkBCE；②BE=AD；③N8CM=/AFM；④CT平分/BFD。

證明："：ZBCA=ZECD,：.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即/BCE=NAC。，

X".'BC=AC,CE=CD,：.AACD^ABCE(SAS),：.BE=AD,ZCBE=ZCAD,

又?：NCMB=/AMF,：.ZBCM=ZAFM,過點(diǎn)C作

又,：NCBE=/CAD,BC=AC,：.hBCQ^/\ACP(AAS)

；.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分/BFD。

4）雙正方形形型

條件：四邊形A8CZ）和四邊形CEFG都是正方形，C為公共點(diǎn)；連接BG,ED交于點(diǎn)N。

結(jié)論：①△BCG94DCE；②BG=DE；③/BCM=NDNM=90。；④CN平分NBNE。

證明：：四邊形A8CD和四邊形CEEG都是正方形，：.BC=AC,CE=CG,ZBCD=ZECG=90°

：.ZBCD+ZDCG=ZECG+ZDCG,^ZBCG=ZDCE,：.4BCGqADCE(SAS'),

：.BG=DE,ZCBG=ZCDE,又，：4CMB=ZDMN,:./BCM=NDNM=90°,

過點(diǎn)C作CP」Z)E,C。上BG,貝!)NCP￡)=/CP8=90°,又?：NCBG=/CDE,BC=DC,：.^BCQ^/\DCP(.AAS)

；.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分/BND。

模型運(yùn)用

例1.（23-24八年級下?遼寧丹東?期中）如圖，點(diǎn)A,B,C在同一條直線上，△ABD,_3慮均為等邊三角

形，連接AE和CD,AE分別交C。、BD于點(diǎn)M,P,CD交BE于點(diǎn)、Q,連接PQ,BM,下面結(jié)論：①

ABE-DBC；②/￡>址4=60。；③PBQ為等邊三角形;④MB平分NAWC；⑤/PEQ=30。.其中結(jié)論

正確的有（）

C.3個D.4個

【答案】D

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可證得ABE3C故①正確；根據(jù)ABE注結(jié)合三角形外角性質(zhì)

即可得出/DM4=/54E+/3CD=/3r>C+/3CD=60。，故②正確；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)易證

AABP^^DBQ,得到3尸=陽結(jié)合/尸2。=60。即可得到PBQ為等邊三角形,故③正確；根據(jù)全等三角

形性質(zhì)，得到點(diǎn)B到AE,CD的距離相等，，從而可得點(diǎn)B在/WC的角平分線上，故④正確；已有的條

件無法求NPE。的度數(shù)，故⑤錯誤；從而解題.

【詳解】解：ABD、為等邊三角形，

:.AB=DB,ZABD=ZCBE=60°,BE=BC,：.ZABE=ZDBC,ZPBQ=60°,

AB=DB

在，一ABE和△D3C中，,NABE=NDBC,ABE^DBC（SAS）,故①正確；

BE=BC

ABE&DBC,;.NBAE=NBDC,ABDC+ABCD=180°-60°-60°=60°,

ZDMA=ZBAE+/BCD=NBDC+NBCD=60°,故②正確；

ZBAP=ZBDQ

在11AB尸和中，\AB=DB,/.ABP^_DBQ（ASA）,:.BP=BQ,

NABP=ZDBQ

「BPQ為等邊三角形，故③正確；ABE烏DBC,：.AE=CD,SABE=SDBC

???點(diǎn)8到AE,CD的距離相等，即A￡、CD邊上的高相等，

.,.點(diǎn)8在4MC的角平分線上，即MB平分/4WC；故④正確；

已有的條件無法求NPE。的度數(shù)，故⑤錯誤；綜上所述：正確的結(jié)論有4個；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，三角形外角

性質(zhì)，角度的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)知識.

例2.（2024?山東泰安?中考真題）如圖1,在等腰Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=CB,點(diǎn)、D,E分別在A3,

CB上,DB=EB,連接AE,CD,取AE中點(diǎn)尸，連接即.

⑴求證：CD=2BF,CD^BF-（2）將繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置.

①請直接寫出即與。的位置關(guān)系：；②求證：CD=2BF.

【答案】（1）見解析（2）①班」CD；②見解析

【分析】（1）先證明.ABE均得到AE=CD，NFAB=NBCD,根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)得到

CD=AE=2BF,根據(jù)等邊對等角證明NFS4=NBCD,進(jìn)而可證明3歹，CD；

(2)①延長9到點(diǎn)G,^FG=BF,連結(jié)AG,延長BE到M,^BE=BM,連接AM并延長交。于點(diǎn)

N.同(1)證明△AGB四△3DC得到NABG=/3CE),然后利用三角形的中位線性質(zhì)得到B/〃AN,則

ZABG=ZBAN=ZBCD,進(jìn)而證明ANLCD即可得到結(jié)論；

②延長B尸到點(diǎn)G,使FG=BF,連接AG.先證明,AG尸絲EBF,得到NFAG=NEEB,AG=BE,進(jìn)而

AG//BE,AG=3D.證明AAGB沿公BDC得到CD=BG即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：在一ABE和△CBD中，AB=BC,ZABE=NCBD=90。,BE=BD,

ABE^CBD(SAS),:.AE=CD,ZFAB=ZBCD.

月是RtZWE斜邊AE的中點(diǎn)，:.AE=2BF,:.CD=2BF,

BF=-AE=AF,：,ZFAB=ZFBA.:.ZFBA=Z.BCD,

2

ZFBA+ZFBC=90°,:.ZFBC+ZBCD=90°.BFYCD-,

(2)解：?BF±CD；理由如下：延長班1到點(diǎn)G,使FG=BF,連結(jié)AG,延長BE到使=

連接AM并延長交CD于點(diǎn)N.證明aAGB名△3DC(具體證法過程跟②一樣).二//囪7=/3?！?gt;,

尸是AE中點(diǎn)，8是初/中點(diǎn)，是,AfiM中位線，:.BF//AN,

:.ZABG=/BAN=/BCD,:.ZABC=ZANC=90°,:.ANLCD,

BF//AN,BF±CD.故答案為：BF±CD

AA

②證明：延長即到點(diǎn)G,使尸G=5廣，連接AG.

AF=EF,FG=BF,ZAFG=ZEFB4AGF冬一EBF(SAS),

.?.NFAG=/FEB,AG=BE,:.AG//BE,ZG4B+=180°,

ZABC=ZEBD=90°,:.ZABE^-ZDBC=180°,:.ZGAB=ZDBC.

BE=BD,