2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國版）

第四章三角形及四邊形

4.3全等三角形

考點分布考查頻率命題趨勢

考點1全等三角形的判定與性質(zhì)☆☆☆數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)全等三角形的部分，每年考

查1~2道題,分值為3~10分，通常以選擇題、

解答題的形式考查。特別是在考查綜合知識探

考點2全等三角形的實際應(yīng)用☆☆索類實踐類試題里滲透考查三角形全等。也有

的省市在解答題專門命制證明三角形全等和

求值的試題。

☆☆☆代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。

夯實基礎(chǔ)

考點1.全等三角形的判定與性質(zhì)

1．全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等．

結(jié)論：一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、

旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

【溫馨提醒】找兩個全等三角形的對應(yīng)元素常用方法有：

1.兩個全等的三角形經(jīng)過一定的轉(zhuǎn)換可以重合．一般是平移、翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)的方法。

2.根據(jù)位置元素來找：有相等元素，它們就是對應(yīng)元素，然后再依據(jù)已知的對應(yīng)元素找出其余的對

應(yīng)元素．

3.全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊；兩個對應(yīng)角所夾的邊也是對應(yīng)邊．

4.全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角；兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角．

2.理解并牢記三角形全等的五種判定方法

判定方法1：“邊邊邊”或“SSS”判定方法

三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。

幾何符號語言：

在△ABC和△A′B′C′中，

AB=A'B'

BC=B'C'

CA=C'A'

則△ABC≌△A′B′C′(SSS)

注意：作一個角等于已知角的方法

已知：∠AOB求作：∠A′0′B′，使∠A′0′B′=∠AOB.

作法：

1.以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D；

2.畫一條射線O′A′，以O(shè)′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點C′；

3.以C′為圓心，CD長為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧交于點D′；

4.過點D′畫射線O′B′，則∠A′0′B′=∠AOB.

思考：為什么這樣作出的∠A′O′B′和∠AOB是相等的？

在OCD和O′C′D′中，

O△CO'C△'

ODO'D'

CDC'D'

∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)，

∴∠AOB=∠A′O′B′.

判定方法2：“邊角邊”或“SAS”判定方法

兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等.

幾何符號語言：

在△ABC和△A′B′C′中，

ABA'B'

AA'

AC=A'C'

則△ABC≌△A′B′C′(SAS)

判定方法3：“角邊角”或“ASA”判定方法

有兩角和它們夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

幾何符號語言：

在△ABC和△A′B′C′中，

A=A'

ABA'B'

B=B'

則△ABC≌△A′B′C′(ASA)

判定方法4：“角角邊”或“AAS”判定方法

兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“角角邊”或“AAS”).

幾何符號語言：

在△ABC和△A′B′C′中，

A=A'

B=B'

BCB'C'

則△ABC≌△A′B′C′(AAS)

判定方法5：直角三角形“HL”判定方法

斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).

幾何符號語言：

在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，

ABA'B'

BCB'C'

則Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）

注意：證明兩個三角形全等的書寫步驟

1.準(zhǔn)備條件：證全等時要用的條件要先證好；

2.指明范圍：寫出在哪兩個三角形中；

3.擺齊根據(jù)：擺出三個條件用大括號括起來；

4.寫出結(jié)論：寫出全等結(jié)論.

考點2.全等三角形的實際應(yīng)用

1.可以利用三角形全等知識求物體的長度、高度、距離、面積等。

2.利用全等三角形可以測量一些不易測量的距離和長度，還可對某些因素作出判斷，一般采用以下

步驟：

（1）先明確實際問題；

（2）根據(jù)實際抽象出幾何圖形；

（3）經(jīng)過分析，找出證明途徑；

（4）書寫證明過程.

【易錯點提示】證明兩三角形全等或利用它證明線段或角的相等的基本方法步驟

（1）確定已知條件（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰三角

形、等所隱含的邊角關(guān)系），

（2）回顧三角形判定，搞清我們還需要什么，

（3）正確地書寫證明格式.

考點3.角的平分線（重要補充）

1.角平分線的概念

從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線.

∵∠1=∠2

∴BD是∠ABC的平分線

2.用尺規(guī)作角的平分線方法.

已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分線.

作法：

1.以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.

2.分別以M，N為圓心，大于1MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部相交于點C.

2

3.畫射線OC.

則：射線OC即為所求.

請你說明OC為什么是∠AOB的平分線.

證明：在△OMC與△ONC中，

OMON

MCNC

OCOC

∴△OMC≌△ONC(SSS)

∴∠AOC=∠BOC

即OC是∠AOB的角平分線.

3.角平分線的性質(zhì)

角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。

幾何語言：

∵點P在∠AOB的平分線上，且PD⊥OA，PE⊥OB.

∴PD=PE

4.角的平分線判定定理

角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.

應(yīng)用所具備的條件：(1)點在角的內(nèi)部；(2)該點到角兩邊的距離相等.

定理的作用：判斷點是否在角平分線上.(證明兩角相等).

幾何符號語言：

∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE

∴點P在∠AOB的平分線上(或∠AOC=BOC)

【方法技巧指導(dǎo)】三角形中作輔助線的常用方法

（1）在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，若直接證不出來，可連接兩點或延長某邊構(gòu)成三

角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明.

（2）在用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，

構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再用

外角定理.

（3）有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形.

（4）有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。

（5）有三角形中線時，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。

（6）截長補短法作輔助線。

（7）延長已知邊構(gòu)造三角形.

（8）連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。

（9）有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。

（10）連接已知點，構(gòu)造全等三角形。

（11）取線段中點構(gòu)造全等三有形。

考點1.全等三角形的判定與性質(zhì)

【例題1】（2024江蘇連云港）如圖，AB與CD相交于點E，ECED，AC∥BD．

（1）求證：△AEC≌△BED；

（2）用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：求作菱形DMCN，使得點M在AC上，點N在BD上．（不寫

作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到AB,CD，結(jié)合ECED，利用AAS即

可證明△AEC≌△BED；

（2）作CD的垂直平分線，分別交AC,BD于點M,N，連接DM,CN即可．

【小問1詳解】

證明：AC∥BD，

AB，CD．

AB

在△AEC和BED中，CD，

ECED

AEC≌BED(AAS)；

【小問2詳解】

解：MN是CD的垂直平分線，

MDMC,DNCN，

由（1）的結(jié)論可知，AB,AEBE,

又∵AEMBEN,

則AEMBEN,

∴MENE,

CDMN，

CD是MN的垂直平分線，

DMDN,CMCN，

DMDNCNCM，

四邊形DMCN是菱形，

如圖所示，菱形DMCN為所求．

【點睛】本題考查了垂直平分線的作法，平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定，菱形的判定，熟練掌握

垂直平分線的作法及三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．

【變式練1】（2024成都一模）如圖，四邊形ABCD是菱形，點E，F(xiàn)分別在BC，DC邊上，添加以

下條件不能判定△ABE≌△ADF的是（）

A．BE＝DFB．∠BAE＝∠DAFC．AE＝ADD．∠AEB＝∠AFD

【答案】C

【解析】由四邊形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，再根據(jù)每個選項添加的條件逐一判斷．

由四邊形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，

A、添加BE＝DF，可用SAS證明△ABE≌△ADF，故不符合題意；

B、添加∠BAE＝∠DAF，可用ASA證明△ABE≌△ADF，故不符合題意；

C、添加AE＝AD，不能證明△ABE≌△ADF，故符合題意；

D、添加∠AEB＝∠AFD，可用AAS證明△ABE≌△ADF，故不符合題意．

【變式練2】（2024哈爾濱一模）如圖，△ABC≌△DEC，點A和點D是對應(yīng)頂點，點B和點E是

對應(yīng)頂點，過點A作AF⊥CD，垂足為點F，若∠BCE＝65°，則∠CAF的度數(shù)為（）

A．30°B．25°C．35°D．65°

【答案】B

【解析】由全等三角形的性質(zhì)可求得∠ACD＝65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD＝90°，進而可求解

∠CAF的度數(shù)．

∵△ABC≌△DEC，

∴∠ACB＝∠DCE，

∵∠BCE＝65°，

∴∠ACD＝∠BCE＝65°，

∵AF⊥CD，

∴∠AFC＝90°，

∴∠CAF+∠ACD＝90°，

∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°．

【變式練3】（2024山東濟寧一模）如圖，四邊形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，請補充一個條件，

使△ABC≌△ADC．

【答案】AD＝AB（答案不唯一）．

【解析】本題是一道開放型的題目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．

添加的條件是AD＝AB，

理由是：在△ABC和△ADC中

，

∴△ABC≌△ADC（SAS）．

考點2.全等三角形的實際應(yīng)用

【例題2】（2024云南）如圖，兩根長均為12米的繩子一端系在旗桿上，旗桿與地面垂直，另一端

分別固定在地面上的木樁上，兩根木樁離旗桿底部的距離相等嗎？

【答案】見解析

【解析】將本題中的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題就是證明BD=CD.由已知條件可知AB=AC，AD⊥BC.

相等，理由如下：

∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°

在Rt△ADB和Rt△ADC中，

AD=AD

AB=AC

∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL).

∴BD=CD.

【變式練1】（2024四川攀枝花一模）為測量一池塘兩端A，B之間的距離，兩位同學(xué)分別設(shè)計了以

下兩種不同的方案．

方案Ⅰ：如圖，先在平地

上取一個可以直接到達點A，B的點O，連接AO并延長到點C，連接BO并延長到點D，并使CO＝AO，

DO＝BO，連接DC，最后測出DC的長即可；

方案Ⅱ：如圖，先確定直線AB，過點B作直線BE⊥AB，在直線BE上找可以直接到達點A的一點D，

連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點C，最后測量BC的長即可．

下列說法正確的是（）

A．Ⅰ，Ⅱ都不可行B．Ⅰ，Ⅱ都可行

C．Ⅰ可行，Ⅱ不可行D．Ⅰ不可行，Ⅱ可行

【答案】B

【解析】根據(jù)全等三角形的判定方法和等腰三角形三線合一性質(zhì)求解即可．

方案Ⅰ：∵CO＝AO，DO＝BO，∠AOB＝∠COD，

∴△AOB≌△COD（SAS），

∴AB＝CD，

∴Ⅰ可行；

方案Ⅱ：∵DC＝DA，

∴△ACD是等腰三角形，

∵BE⊥AB，

∴AB＝BC，

∴Ⅱ可行，

綜上所述，Ⅰ，Ⅱ都可行．

故選：B．

此題考查了全等三角形的判定方法和等腰三角形三線合一性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．

考點1全等三角形的判定與性質(zhì)

1.（2024安徽?。┰谕刮暹呅蜛BCDE中，ABAE，BCDE，F(xiàn)是CD的中點．下列條件中，

不能推出AF與CD一定垂直的是（）

A.ABCAEDB.BAFEAF

C.BCFEDFD.ABDAEC

【答案】D

【解析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握全等

三角形的判定的方法是解題的關(guān)鍵．

利用全等三角形的判定及性質(zhì)對各選項進行判定，結(jié)合根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)即可證得

結(jié)論．

【詳解】解：A、連接AC、AD，

∵ABCAED，ABAE，BCDE，

∴ACB≌ADESAS，

∴ACAD

又∵點F為CD的中點

∴AFCD，故不符合題意；

B、連接BF、EF，

∵ABAE，BAFEAF，AFAF，

∴ABF≌AEFSAS，

∴BFEF，AFBAFE

又∵點F為CD的中點，

∴CFDF，

∵BCDE,

∴CBF≌DEFSSS，

∴CFBDFE，

∴CFBAFBDFEAFE90，

∴AFCD，故不符合題意；

C、連接BF、EF，

∵點F為CD的中點，

∴CFDF，

∵BCFEDF，BCDE，

∴CBF≌DEFSAS，

∴BFEF，CFBDFE，

∵ABAE，AFAF，

∴ABF≌AEFSSS，

∴AFBAFE，

∴CFBAFBDFEAFE90，

∴AFCD，故不符合題意；

D、ABDAEC，無法得出題干結(jié)論，符合題意；故選：D．

2.（2024四川成都市）如圖，△ABC≌△CDE，若D35，ACB45，則DCE的度

數(shù)為______．

【答案】100##100度

【解析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì)，先利用全等三角形的性質(zhì)，求出

CEDACB45，再利用三角形內(nèi)角和求出DCE的度數(shù)即可．

【詳解】由△ABC≌△CDE，D35，

∴CEDACB45，

∵D35，

∴DCE180DCED1803545100

3.（2024江蘇鹽城）已知：如圖，點A、B、C、D在同一條直線上，AE∥BF，AEBF．

若________，則ABCD．

請從①CE∥DF；②CEDF；③EF這3個選項中選擇一個作為條件（寫序號），使結(jié)

論成立，并說明理由．

【答案】①或③（答案不唯一），證明見解析

【解析】【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，①根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

AFBD,DECA，再由全等三角形的判定和性質(zhì)得出ACBD，結(jié)合圖形即可證明；②

得不出相應(yīng)的結(jié)論；③根據(jù)全等三角形的判定得出AEC≌BFD(SAS)，結(jié)合圖形即可證明；熟練

掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

【詳解】解：選擇①CE∥DF；

∵AE∥BF，CE∥DF，

∴AFBD,DECA，

∵AEBF，

∴AEC≌BFD(AAS)，

∴ACBD，

∴ACBCBDBC，即ABCD；

選擇②CEDF；

無法證明△AEC≌△BFD，

無法得出ABCD；

選擇③EF；

∵AE∥BF，

∴AFBD，

∵AEBF，EF，

∴AEC≌BFDASA，

∴ACBD，

∴ACBCBDBC，即ABCD

4.（2024云南?。┤鐖D，在ABC和△AED中，ABAE，BAECAD，ACAD．

求證：△ABC≌△AED．

【答案】見解析

【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵．利

用“SAS”證明△ABC≌△AED，即可解決問題．

【詳解】證明：BAECAD，

BAEEACCADEAC，即BACEAD，

在ABC和△AED中，

ABAE

BACEAD，

ACAD

ABC≌AEDSAS．

5.（2024四川樂山）知：如圖，AB平分CAD，ACAD．求證：CD．

【答案】見解析

【解析】利用SAS證明CAB≌DAB，即可證明CD．

AB平分CAD，

CABDAB，

在CAB和DAB中，

ACAD

CABDAB，

ABAB

CAB≌DABSAS，

CD．

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握SAS、AAS、ASA、SSS等全等三角

形的判定方法是解題的關(guān)鍵．

6.（2024四川南充）如圖，在ABC中，點D為BC邊的中點，過點B作BE∥AC交AD的延長

線于點E．

（1）求證：BDE≌CDA．

（2）若ADBC，求證：BABE

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，中垂線的判定和性質(zhì)：

（1）由中點，得到BDCD，由BE∥AC，得到EDAC,DBEC，即可得證；

（2）由全等三角形的性質(zhì)，得到EDAD，進而推出BD垂直平分AE，即可得證．

【小問1詳解】

證明：D為BC的中點，

BDCD．

BE∥AC,

EDAC,DBEC；

EDAC

在BDE和CDA中，DBEC

BDCD

BDE≌CDAAAS；

【小問2詳解】

證明：△BDE≌△CDA,

EDAD

ADBC,

BD垂直平分AE，

BABE．

7.（2024四川內(nèi)江）如圖，點A、D、B、E在同一條直線上，ADBE，ACDF，BCEF

（1）求證：△ABC≌△DEF；

（2）若A55，E45，求F的度數(shù)．

【答案】（1）見解析（2）80

【解析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練地掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解決本題

的關(guān)鍵.

（1）先證明ABDE，再結(jié)合已知條件可得結(jié)論；

（2）證明AFDE55，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得結(jié)論.

【小問1詳解】

證明：∵ADBE

∴ADDBBEDB，即ABDE

∵ACDF，BCEF

∴ABC≌DEFSSS

【小問2詳解】

∵△ABC≌△DEF，A55，

∴AFDE55，

∵E45，

∴F180FDEE80

8.（2024湖南長沙）如圖，點C在線段AD上，ABAD，BD，BCDE．

（1）求證：△ABC≌△ADE；

（2）若BAC60，求ACE的度數(shù)．

【答案】（1）見解析（2）ACE60

【解析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明△ACE是等邊三角形

是解答的關(guān)鍵．

（1）直接根據(jù)全等三角形的判定證明結(jié)論即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ACAE，CAEBAC60，再證明△ACE是等邊三角

形，利用等邊三角形的性質(zhì)求解即可．

【小問1詳解】

證明：在ABC與VADE中，

ABAD

BD，

BCDE

所以ABC≌ADESAS；

【小問2詳解】

解：因為△ABC≌△ADE，BAC60，

所以ACAE，CAEBAC60，

所以△ACE是等邊三角形．

所以ACE60．

1

9.（2024江蘇蘇州）如圖，ABC中，ABAC，分別以B，C為圓心，大于BC長為半徑畫

2

弧，兩弧交于點D，連接BD，CD，AD，AD與BC交于點E．

（1）求證：△ABD≌△ACD；

（2）若BD2，BDC120，求BC的長．

【答案】（1）見解析（2）BC23

【解析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)

鍵是：

（1）直接利用SSS證明△ABD≌△ACD即可；

（2）利用全等三角形的性質(zhì)可求出BDACDA60，利用三線合一性質(zhì)得出DABC，

BECE，在Rt△BDE中，利用正弦定義求出BE，即可求解．

【小問1詳解】

證明：由作圖知：BDCD．

在△ABD和ACD中，

ABAC，

BDCD，

ADAD．

△ABD≌△ACD．

【小問2詳解】

解：ABD≌ACD，BDC120，

BDACDA60．

又BDCD，

DABC，BECE．

BD2，

3

BEBDsinBDA23，

2

BC2BE23．

考點2全等三角形的實際應(yīng)用

1．（2024?寧夏）校園內(nèi)有一塊四邊形的草坪造型，課外活動小組實地測量，并記錄數(shù)據(jù)，根據(jù)造型

畫如圖的四邊形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．

（1）求證：△ABC≌△CDA；

（2）求草坪造型的面積．

【答案】見解析

【解析】利用全等三角形的判定方法，結(jié)合三邊關(guān)系得出答案；直接利用全等三角形的性質(zhì)以及直角

三角形中30度所對邊與斜邊的關(guān)系的得出對應(yīng)邊長，進而得出答案．

（1）證明：在△ABC和△CDA中，

∵，

∴△ABC≌△CDA（SSS）；

（2）解：過點A作AE⊥BC于點E，

∵AB＝2米，∠B＝30°，

∴AE＝1米，

∴S△ABC＝×3×1＝（平方米），

則S△CDA＝（平方米），

∴草坪造型的面積為：2×＝3（平方米）．

此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的應(yīng)用，正確掌握全等三角形的判定方法是

解題關(guān)鍵．

考點1全等三角形的判定與性質(zhì)

1．（2023?涼山州）如圖，點E、點F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一個條件，不能證明△ABF

≌△DCE的是（）

A．∠A＝∠DB．∠AFB＝∠DECC．AB＝DCD．AF＝DE

【答案】D

【解析】根據(jù)BE＝CF求出BF＝CE，再根據(jù)全等三角形的判定定理進行分析即可．

∵BE＝CF，

∴BE+EF＝CF+EF，

即BF＝CE，

∴當(dāng)∠A＝∠D時，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合題意；

當(dāng)∠AFB＝∠DEC時，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合題意；

當(dāng)AB＝DC時，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合題意；

當(dāng)AF＝DE時，無法證明△ABF≌△DCE，故D符合題意；

故選：D．

本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，全等三角形的判

定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等．

2．（2023?重慶）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為BC上一點，連接AD．過點B

作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥AD交AD的延長線于點F．若BE＝4，CF＝1，則EF的長度為．

【答案】3

【解析】先證明△ABE≌△CAF（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，進一步

可得EF的長．

∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴∠BEA＝∠AFC＝90°，

∴∠BAE+∠ABE＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAE+∠FAC＝90°，

∴∠FAC＝∠ABE，

在△ABE和△CAF中，

，

∴△ABE≌△CAF（AAS），

∴AF＝BE，AE＝CF，

∵BE＝4，CF＝1，

∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，

∴EF＝AF﹣AE＝4﹣1＝3，故答案為：3．

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解

題的關(guān)鍵．

3．（2020?齊齊哈爾）如圖，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，點A、B、E在同一條直

線上，若使△ABD≌△ABC，則還需添加的一個條件是．（只填一個即可）

【答案】AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）．

【解析】利用全等三角形的判定方法添加條件．

∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，

∴當(dāng)添加AD＝AC時，可根據(jù)“SAS”判斷△ABD≌△ABC；

當(dāng)添加∠D＝∠C時，可根據(jù)“AAS”判斷△ABD≌△ABC；

當(dāng)添加∠ABD＝∠ABC時，可根據(jù)“ASA”判斷△ABD≌△ABC．

4．（2022?鄂爾多斯）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點D，EC⊥OB，垂足為C．若

EC＝2，則OD的長為（）

A．2B．2C．4D．4+2

【答案】C

【解析】過點E作EH⊥OA于點H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EH＝EC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ADE

的度數(shù)，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得DE的長度，再證明OD＝DE，即可求出OD的長．

過點E作EH⊥OA于點H，如圖所示：

∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，

∴EH＝EC，

∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，

∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，

∵DE∥OB，

∴∠ADE＝30°，

∴DE＝2HE＝2EC，

∵EC＝2，

∴DE＝4，

∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，

∴∠DEO＝15°，

∴∠AOE＝∠DEO，

∴OD＝DE＝4，

故選：C．

本題考查了角平分線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，熟練掌握這些性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵．

5．（2023?衢州）已知：如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上．下面四個條件：

①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．

（1）請選擇其中的三個條件，使得△ABC≌△DEF（寫出一種情況即可）．

（2）在（1）的條件下，求證：△ABC≌△DEF．

【答案】見解析

【解析】（1）由題知，

選擇的三個條件是：①②③；

或者選擇的三個條件是：①③④．

證明：（2）當(dāng)選擇①②③時，

∵BE＝CF，

∴BE+EC＝CF+EC，

即BC＝EF．

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SSS）．

當(dāng)選擇①③④時，

∵BE＝CF，

∴BE+EC＝CF+EC，

即BC＝EF．

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS）．

本題考查全等三角形的證明，熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．

6．（2022?長沙）如圖，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分別為B，D．

（1）求證：△ABC≌△ADC；

（2）若AB＝4，CD＝3，求四邊形ABCD的面積．

【答案】見解析

【解析】（1）證明：∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC，

∵CB⊥AB，CD⊥AD，

∴∠B＝90°＝∠D，

在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（AAS）；

（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，

∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，

∴S△ABC＝AB?BC＝×4×3＝6，

∴S△ADC＝6，

∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，

答：四邊形ABCD的面積是12．

本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理．

7．（2020無錫）如圖，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．

求證：（1）△ABF≌△DCE；

（2）AF∥DE．

【答案】見解析。

【分析】（1）先由平行線的性質(zhì)得∠B＝∠C，從而利用SAS判定△ABF≌△DCE；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得∠AFB＝∠DEC，由等角的補角相等可得∠AFE＝∠DEF，再由平行線

的判定可得結(jié)論．

【解答】證明：（1）∵AB∥CD，

∴∠B＝∠C，

∵BE＝CF，

∴BE﹣EF＝CF﹣EF，

即BF＝CE，

在△ABF和△DCE中，

∵，

??=??

∠?=∠?

∴△?A?B=F≌??△DCE（SAS）；

（2）∵△ABF≌△DCE，

∴∠AFB＝∠DEC，

∴∠AFE＝∠DEF，

∴AF∥DE．

8．（2020?溫州）如圖，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，點A，C，D依次在

同一直線上，且AB∥DE．

（1）求證：△ABC≌△DCE．

（2）連結(jié)AE，當(dāng)BC＝5，AC＝12時，求AE的長．

【答案】見解析。

【分析】（1）由“AAS”可證△ABC≌△DCE；

（2）由全等三角形的性質(zhì)可得CE＝BC＝5，由勾股定理可求