第一部分考點梳理第五章圖形的變換與作圖第27課時相似三角形知識點1比例線段和黃金分割定義防錯提醒比

例

線

段在四條線段a，b，c，d

中，如果

?，那

么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段求兩條線

段的比時，對這

兩條線段

要用同一

長度單位

定義防錯提醒黃

金

分

割在線段AB上，點C把線

段AB分成兩條線段AC

和BC（AC＞BC），如

果

?，那么稱

線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比，黃金為

?一條線段

的黃金分

割點有

個

兩

知識點2比例的性質(zhì)基本性質(zhì)如果

＝

，那么ad＝

?合比性質(zhì)如果

＝

，那么

＝

?等比性質(zhì)如果

＝

＝…＝

（b＋d

＋…＋n≠0），那么

＝

bc

知識點3平行線分線段成比例的基本事

實兩條直線被一組平行線所截，所得

的對應線段

?.成比例

知識點4相似三角形（多邊形）的性質(zhì)相似三角

形（1）相似三角形周長的比等于相似比；（2）相似三角形面積的比等于相似比的平方；（3）相似三角形對應高、對應角平分線、對應中線的比等于相似比相似多邊

形（1）相似多邊形周長的比等于相似比；（2）相似多邊形面積的比等于相似比的平方知識點5相似三角形的判定判

定

1平行于三角形一邊的直線和其他兩

邊相交，所構成的三角形與原三角

形

?判

定

2如果兩個三角形三組對應邊的

?相等，那么這兩個三角形相似判

定

3如果兩個三角形的兩組對應邊的比

相等，并且

?相等，那么這

兩個三角形相似相似

比

夾角

判

定

4如果一個三角形的兩個角與另一個

三角形的兩個角對應

?，那

么這兩個三角形相似相等

知識點6相似的基本圖形及結(jié)論【A字模型】已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）DE

∥BC

①△ADE∽△ABC；②

＝

＝

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）∠1＝

∠2或∠3

＝∠4或

＝

[反A字模

型]

①△ADE∽△ABC；②

＝

＝

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）∠1＝

∠2[共邊反A字模型]

①△ADC∽△ACB；②AC2＝AB·AD[補充]該模型也被稱為

子母模型，即子母模

型可以看作有一組公

共邊的反A字模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）∠1＝

∠2＝∠3[雙反A字模型]

①△AEB∽△DEA∽△DAC；②AB·AC＝BE·CD；③

＝

【8字模型】已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）AB∥CD

①△AOB∽△COD；②

＝

＝

∠1＝∠2或∠3＝∠4或

＝

[反8字模型]

①△AOB∽△DOC；②

＝

＝

【射影定理】已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）∠ABC

①△ABC∽△ADB∽△BDC；②AB2＝AC·AD，BD2＝AD·CD，BC2＝AC·CD；③AB·BC＝BD·AC（面積法）已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）＝∠ADB＝90°

①△ABC∽△ADB∽△BDC；②AB2＝AC·AD，BD2＝AD·CD，BC2＝AC·CD；③AB·BC＝BD·AC（面積法）【一線三等角】已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）∠B

＝∠D

＝∠ACE＝90°

圖1

圖2①△ABC∽△CDE；②

＝

＝

或BC·CD

＝AB·DE（可看作底·底＝腰·腰）；③特別地，如圖2，當點C為BD的中點時，

△ABC∽△CDE∽△ACE已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）∠B

＝∠D

＝∠A

CE

＝α

圖1

圖2①△ABC∽△CDE；②

＝

＝

；③特別地，如圖2，當點C為BD的中點時，

△ABC∽△CDE∽△ACE【線束模型】已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）DE

∥

BC

圖1

圖2①

＝

（圖1）；②DF∶FG∶EG＝BH∶HI∶CI（圖2）已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）AB

∥

CD

圖1

圖2①

＝

（圖1）；②AE∶EF∶BF＝

DH∶HG∶CG（圖2）【三角形內(nèi)接矩形模型】已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）四邊

形DE

FG為矩形

，AN

⊥BC

①△ABC∽△ADG；②

＝

＝

＝

；③若四邊形DEFG為正方

形，假設DG＝x，則

＝

，若已知BC，AN的

長，即可求出x的值【三平行線模型】已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）AB

∥

EF∥

CD

①

＋

＝

；②

＋

＝

知識點7位似圖形的概念及性質(zhì)概念對應頂點的連線相交于一點的兩個相

似多邊形是位似圖形，這個點叫位似

中心性質(zhì)（1）位似圖形上任意一對對應點到

位似中心的距離之比等于相似比；（2）位似圖形對應點的連線或延長

線相交于一點；（3）位似圖形對應線段平行或共線

且成比例；（4）位似圖形的對應角相等名師指津1.

證明等積式的常用方法是把等積式轉(zhuǎn)

化為比例式，要證明比例式，就要證明

對應的三角形相似.2.

實際應用中常見的相似三角形模型：（1）利用投影、平行線、標桿等構造相

似三角形求解；（2）測量底部可以到達的物體的高度；（3）測量底部不可以到達的物體的高度；（4）測量不可以到達的物體的寬度.3.

重慶中考雖然降低了四條線段成比例

的證明，但是利用線段成比例來求線段

長度這一基本能力還是廣泛應用在重慶

中考壓軸題中.相似三角形的對應邊成比

例是動點問題中得到線段長度間函數(shù)關

系式的重要手段，在解決問題時，先用

自變量和函數(shù)表示一些線段的長，然后

利用相似三角形對應邊成比例建立方

程，從而求得（表示出）所求線段.考點一

比例線段及相關性質(zhì)例1

（1）下列四組線段中，是成比例

線段的是（

C

）A.

4cm，5cm，6cm，7cmB.

3cm，4cm，5cm，8cmC.

3cm，5cm，9cm，15cmD.

1cm，3cm，4cm，8cmC

A.

B.

C.

D.

C

考點二

相似三角形的性質(zhì)和判定例2

（1）（2024·重慶A卷）若兩個相

似三角形的相似比是1∶3，則這兩個相

似三角形的面積比是（

D

）A.

1∶3B.

1∶4C.

1∶6D.

1∶9D（2）（2024·陜西）如圖，正方形

CEFG的頂點G在正方形ABCD的邊CD

上，AF與DC交于點H.

若AB＝6，CE

＝2，則DH的長為（

B

）A.

2B.

3C.

D.

B例3

（2024·上海）如圖所示，在矩形

ABCD中，E為邊CD上一點，且AE⊥BD.

（1）求證：AD2＝DE·DC；

（答案圖）

（答案圖）考點三

相似三角形的應用例4

（1）（2024·揚州）物理課上學過

小孔成像的原理，它是一種利用光的直

線傳播特性實現(xiàn)圖像投影的方法.如圖

1，燃燒的蠟燭（豎直放置）AB經(jīng)小孔

O在屏幕（豎直放置）上成像A'B'.已知

AB＝36cm，A'B'＝24cm，小孔O到AB

的距離為30cm，則小孔O到A'B'的距離

為

cm；20

圖1（2）在一個陽光明媚的下午，小華和小紅相約去測量一座古塔MN的高.如圖2，他們在塔周圍的平地上找到塔尖點M的影子點B，并在點B處豎立一根3m長的標桿AB，測得其影長BC為2m.隨后后退到點D處放置了一面小平面鏡，小華站在點F處正好看到鏡子中的塔尖M，且點F，D，C，B，N在同一條直線上.已知小華的身高EF為1.62m，F(xiàn)D為1.8m，BD為4.4m，求古塔MN的高.（平面鏡的厚度忽略不計）圖2

答：古塔MN的高為9.9m.考點四

位似及位似變換例5

（1）（2024·浙江）如圖1，在平

面直角坐標系中，△ABC與△A'B'C'是

位似圖形，位似中心為點O.

若點A（－3，1）的對應點為A'（－6，2），則點B（－2，4）的對應點B'的坐標為（

A

）AA.

（－4，8）B.

（8，－4）C.

（－8，4）D.

（4，－8）圖1（2）（2024·涼山州）如圖2，一塊面積

為60cm2的三角形硬紙板（記為△ABC）平行于投影面時，在點光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1.若OB∶BB1＝2∶3，則△A1B1C1的面積是（

D

）A.

90cm2B.

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