專題35最值模型之費(fèi)馬點(diǎn)模型

費(fèi)馬點(diǎn)問題是由全等三角形中的手拉手模型衍生而來，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，在各類考

試中都以中高檔題為主。本專題就最值模型中的費(fèi)馬點(diǎn)問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶?德?費(fèi)馬，17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家，有“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的美譽(yù)，之所以叫業(yè)余并非段位不夠，

而是因?yàn)槠渲髀毷锹蓭?，兼職搞搞?shù)學(xué).費(fèi)馬在解析幾何、微積分等領(lǐng)域都有卓越的貢獻(xiàn)，除此之外，費(fèi)

馬廣為人知的是以其名字命名的“費(fèi)馬小定理”、“費(fèi)馬大定理”等.費(fèi)馬點(diǎn)：三角形內(nèi)的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離之

和最小的點(diǎn)。

模型1.費(fèi)馬點(diǎn)模型

模型解讀

結(jié)論：如圖1,點(diǎn)M為AABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM,當(dāng)M與三個(gè)頂點(diǎn)連線的夾角為120。時(shí),

MA+MB+MC的值最小。

注意：上述結(jié)論成立的條件是AABC的最大的角要小于120。，若最大的角大于或等于120。，此時(shí)費(fèi)馬點(diǎn)就

是最大角的頂點(diǎn)A。（這種情況一般不考，通常只考查三角形的最大頂角小于120。）

模型證明

證明：如圖2,以A8為一邊向外作等邊三角形AABE,將8M繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到8N,連接EN.

:△ABE為等邊三角形，：.AB=BE,NABE=60°.而NAffiN=60。，:.NABM=/EBN.

AB=BE

在AAMB與4ENB中，,/JNABM=NEBN，^AMB0AENB（SAS）.

BM=BN

連接MN.由△AMB0AENB知，AM=EN.'：ZMBN^60°,BM=BN,；.ABMN為等邊三角形.

：.BM=MN.：.AM+BM+CM=EN+MN+CM.二當(dāng)￡、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM的值最小.

此時(shí)，180°-ZWB=120°；NAMB=NENB=180°-NBNM=120°；

ZAMC=360°-ZBMC-ZAMB=120°.

費(fèi)馬點(diǎn)的作法：如圖3,分別以AABC的AB、AC為一邊向外作等邊AME和等邊△ACT,連接CE、BF,設(shè)

交點(diǎn)為M,則點(diǎn)〃即為AABC的費(fèi)馬點(diǎn)。

【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間，線段最短。

模型運(yùn)用

例1.（23-24九年級(jí)上廣東江門?階段練習(xí)）如圖，在AABC中，NBAC=90。,AB=5,AC=2君，點(diǎn)尸為AABC

內(nèi)部一點(diǎn)，則點(diǎn)P到"RC三個(gè)頂點(diǎn)之和的最小值是.

【答案】國(guó)

【分析】將AABP繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到△AEH,連接EP,CH,過點(diǎn)C作。VJ.AH,交的

延長(zhǎng)線于N,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/BAP=44E,AE=AP,AH=AB=5,ZBAH=60°,BP=HE,易得

△AEP是等邊三角形，可得AE=AP=EP,進(jìn)而得到AP+3P+PC=EP+EH+PC,當(dāng)點(diǎn)X、E、P、C共

線時(shí)，AP+BP+PC有最小值"C,再求出CN和的長(zhǎng)度，由勾股定理可求解.

【詳解】解：將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到連接EP,CH,過點(diǎn)C作CNLAH,交HA

的延長(zhǎng)線于N,

ZBAP=ZHAE,AE=AP,AH=AB=5,ZBAH=60°,BP=HE,

：.ZHAB=ZEAP=60°,；.△AEP是等邊三角形，AAE=AP=EP,

：.AP+BP+PC=EP+EH+PC,，當(dāng)點(diǎn)H、E、尸、C共線時(shí)，AP+BP+PC有最小值HC.

---ZNAC=180°-ZBAH-ABAC=180°-60°-90°=30°,AC=2y/3,

:.CN=；AC=6:.ANZACI-CN。=?2國(guó)一（國(guó)=3,:.HN=AH+AN=5+3=8.

在Rt^ava中，CH=+CN?=.+（呵=屈,即點(diǎn)尸到"RC三個(gè)頂點(diǎn)之和的最小值是標(biāo)

故答案為：>/67.

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角

形的性質(zhì)，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形是本題的關(guān)鍵.

例2.（2024?江蘇宿遷?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是A3的中點(diǎn)，尸是3C邊上一

動(dòng)點(diǎn)，將ABEF沿著斯翻折，使得點(diǎn)B落在點(diǎn)夕處，矩形內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P,連接PB',PC,PE>,則PE+PC+PZ）

的最小值為.

【答案】4+273

【分析】將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到ADPC',連接尸P、CC,從而將尸？+尸。+尸。轉(zhuǎn)化到

PB'+PP+PC',當(dāng)點(diǎn)E、B'、P、P、C在同一條直線上時(shí)，PB'+PC+PD=P3'+PP'+P'C'取得最小值.

如圖，將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到A￡>PC',連接PP、CC,則有：

△DPP、ADCC'是等邊三角形，：.PD=PP',PC=PCPB'+PC+PD=PB'+PP+PC'

由折疊的性質(zhì)可知，3’的運(yùn)動(dòng)軌跡是以E為圓心，EB長(zhǎng)為半徑的圓（如圖所示），故當(dāng)E、BJP、P、C

在同一直線上時(shí)取最小值；

?；AB=4,8C=6,E是AB的中點(diǎn)，"P、△DCC是等邊三角形，

DC=4,EB=EB'=-AB=2,PD=PP'=—DC=,PC=P'C'=PD=

2333

2百

KD=0-2-----=4-----9

33

尸E+PC+PD的最小值為：PB'+PC+PD=PB'+PP'+P'C'=4-^-+—+^=4+2y/3;

333

故答案為4+26.

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形中求最短距離的問題，解題的關(guān)鍵是把所求線段轉(zhuǎn)化到同一直線中求解.

例3.（23-24九年級(jí)下?河南周口?階段練習(xí)）【問題背景】在已知41BC所在平面內(nèi)求一點(diǎn)尸，使它到三角形

的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。ㄈ鐖D1）.這個(gè)問題是有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國(guó)律師費(fèi)馬在1640年前

后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”.解決方法如下：如圖2,把△APC繞

A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AAP'C'（點(diǎn)P,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)P',C），連接PP，,則/F4P=60°,PC=PC.

,/,???△APP'為等邊三角形，；.AP=PP,：.PA+PB+PC=PP'+PB+P'C,

，當(dāng)8,P,P',C'四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，R4+PB+PC的值最小，即點(diǎn)P是AABC的“費(fèi)馬點(diǎn)”.

任務(wù)：（1）橫線處填寫的條件是；（2）當(dāng)點(diǎn)尸是“LBC的“費(fèi)馬點(diǎn)”時(shí)，ZAPB=ZBPC=ZAPC=；

（3）如圖3,中，ZCAB=90°,AB^AC,E,F為BC上的點(diǎn)，且ZE4F=45。，判斷BE,EF,FC

之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

【實(shí)際應(yīng)用】圖4所示是一個(gè)三角形公園，其中頂點(diǎn)A,B,C為公園的出入口，ZA=75°,AB=2&km，

AC=4km,工人師傅準(zhǔn)備在公園內(nèi)修建一涼亭P,使該涼亭到三個(gè)出入口的距離最小，則PA+P3+PC的

最小值是.

【答案】問題背景：（1）見解析；（2）120°；（3）EF2=BE2+CF2,理由見解析；實(shí)際應(yīng)用；2Mkm

【分析】問題背景：（1）先證明AAPP'為等邊三角形，得至l]AP=PP,則B4+PB+PC=PP+PB+P'C',

由此可得當(dāng)2,P,P',C'四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，%+尸3+尸。的值最小，即點(diǎn)P是AABC的“費(fèi)馬點(diǎn)”.

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NC1C'=6O。，ZC'=ZACP,進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理得到

ZCPO=ZCAC'=60°,再由等邊三角形的性質(zhì)得到ZAPP=60。，則NAPC=120。，ZAPC=120°,即可

利用周角的定義得到NBPC=360°-ZABP-ZAPC=120°；

（3）將ABAE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到AC4D,連接DF,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊對(duì)等角，得到CD=BE,

△FCD為直角三角形，進(jìn)而得至尸2=C￡）2+C尸,，證明△AFE絲△AFD,得到跖=。/，即可得出結(jié)論;

實(shí)際應(yīng)用：如圖所示，將AC4P繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△&4「，連接尸P,由問題背景（1）可得當(dāng)8,

P,P',C'四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，B4+PS+尸C的值最小，最小值為3C,過點(diǎn)C'作CD，班交54延長(zhǎng)

線于。，證明△C'ZM是等腰直角三角形，得到4。=。。=走4?=2打1011,則BD=AB+AD=4后km，

2

利用勾股定理得到BC'=[CD。+BD?=2而km，則尸A+P3+PC得最小值為2回km.

【詳解】解：?jiǎn)栴}背景：（1）如圖2,把△APC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AAP'C'（點(diǎn)P,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別

為點(diǎn)P',C'）,連接PP',則/上仍=60。，P'C=PC.

為等邊三角形，=?,.E4+P3+PC=PP+P3+P'C',

...當(dāng)8,P,P',C'四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，PA+PB+PC的值最小，即點(diǎn)P是AABC的“費(fèi)馬點(diǎn)

（2）如圖2所示，設(shè)尸P,AC交于。，由（1）可得當(dāng)8,P,P',C'四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，PA+PB+PC

的值最小，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得ZCAC'=60°,/C'=ZACP,又ZAOC=ZPOC,：.NCPO=ZCAC=60°

：AAPP'為等邊三角形，ZAPP=60。，ZAP'C=180°-AAPP=120°,ZAPC=120°,

Z.ZBPC=360°-ZABP-ZAPC=120°,/.ZAPB=ZBPC=ZAPC=120°,故答案為：120°；

如圖所示，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到AC4O,連接。尸，

則：ZBAE=ZDAC,ZACD=NB=45°,AD=AE,BE=CD,

：.NDCF=ZACB+/DCA=90°,DF2=CF?+CD?=CF?+BE2,

VZE4F=45°,；.ZDAC+ZCAF=ZBAE+ZCAF=ZBAC-ZEAF=45°,AZDAF=ZEAF=45°,

XVAF=FA,AD=AE,：./\AFE^Z\AFD,:.EF=DF,：.EF2=CF~+BE2■,

實(shí)際應(yīng)用：如圖所示，將AC4P繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△（?"，，連接尸P,

由問題背景（1）可得當(dāng)8,P,P',C四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，R4+P3+PC的值最小，最小值為3C',

過點(diǎn)C作C'DX8A交54延長(zhǎng)線于。，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NG4c'=60。，AC'=AC=4km,

"?ABAC=75°,：.ZC/AD=180。一ZCAC-NBAC=45°,；.ACDA是等腰直角三角形，

AD=CD=AC=2V2km,?*.BD=AB+AD=4A/2km，

2

BC'=yJCD2+BD2=2V10km>；?24+PB+PC得最小值為2而km,故答案為：2疝ikm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，

等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

例4.（2023春?重慶?九年級(jí)專題練習(xí)）背景資料：在已知AABC所在平面上求一點(diǎn)P,使它到三角形的三個(gè)

頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)

被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”.如圖1,當(dāng)AABC三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)尸在"1BC內(nèi)部，當(dāng)

ZAPB=ZAPC=ZCPB=120°時(shí)，貝！|上4+尸8+PC取得最小值.

AAA

(1)如圖2,等邊AABC內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3,4,5,求/APB的度數(shù)，為

了解決本題，我們可以將AABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP處，此時(shí)AACPZAABP這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，

將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出/4PB=；

知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120。的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與AABC的另一頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn).請(qǐng)同學(xué)們探索以下問

題.⑵如圖3,三個(gè)內(nèi)角均小于120。，在AABC外側(cè)作等邊三角形連接CB',求證：CB'過

△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).(3)如圖4,在中，NC=90。，AC=1,NABC=3O。，點(diǎn)尸為融。的費(fèi)馬點(diǎn)，

連接AP、BP、CP,求上4+尸3+尸。的值.(4)如圖5,在正方形ABCD中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接AE、

BE、CE,且邊長(zhǎng)AB=2；求AE+3E+CE的最小值.

【答案】⑴150。；⑵見詳解；⑶"；(4)m+&.

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出AABP0AACr,得出NBAP=NC4P，,ZAPB=ZAP/C,AP=AP'=3,BP=CP，=4,

根據(jù)"BC為等邊三角形，得出/A4c=60。，可證A4PP為等邊三角形，PP'=AP=3,ZAP'P=60°,根據(jù)勾股

定理逆定理PP'2+P'C2=32+42=25=PC2,得出XPP'C是直角三角形，ZPP'C=90°,可求ZAP'C=ZAPP+

/PPC=600+90°=150°即可；

(2)將AAPB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得至Uzk/5'P,連結(jié)尸尸'，根據(jù)△APBgA/B'P,AP=AP',PB=PB',AB=AB',

根據(jù)ZR4P'=ZBAB，=60。,A/PP和^ABB，均為等邊三角形，得出WAP,根據(jù)PA+PB+PC=PP1+P'B'+PC,

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出點(diǎn)C,點(diǎn)尸，點(diǎn)P,點(diǎn)皮四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC^=CB',點(diǎn)尸在C夕上即

可;

(3)將AAPB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到A/P/，連結(jié)58。PP',得出AAPB等ZX/P夕，可證A4PP和均

為等邊三角形，得出尸P=AP,BB'=AB,ZABB'=60°,PA+PB+PC=PP1+P'S+PC,可得點(diǎn)C,點(diǎn)P,

點(diǎn)P,點(diǎn)夕四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC^=CB',利用30。直角三角形性質(zhì)得出AB=24C=2,根據(jù)勾股定理

BC7AB°-AC，￡寸=5可求8皮=AB=2,ZCBB'=ZABC+ZABB,=30°+60°=90°,在RtACB皮

中，BCZBC+BB松=小(國(guó)+2?=有即可;

(4)將△BCE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△CE時(shí),連結(jié)EE',BB',過點(diǎn)皮作2戶_1&3,交延長(zhǎng)線于尸，得出

2CEB,BE=B'E',CE=CE',CB=CB',可證△￡(?￡，與Z^C9均為等邊三角形，得出EE'=EC,BB'=BC,Z

B'BC=6Q°,AE+BE+CE=AE+EE'+E'B',得出點(diǎn)C,點(diǎn)E,點(diǎn)？，點(diǎn)"四點(diǎn)共線時(shí)，

AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'^=AB',根據(jù)四邊形ABC。為正方形，得出AB=BC=2,ZABC=90°,可求N

FBB(=180°-ZABC-ZCBB'=180o-90°-60o=30°,根據(jù)30。直角三角形性質(zhì)得出BF=-BB'=-x2=l,勾股定理

22

BF=W2_B，F(xiàn)2=1寸=#),可求4歹=42+2/=2+6，再根據(jù)勾股定理/8'=

ylAF2+B'F2=#+廚+12="+0即可.

【詳解】(1)解：連結(jié)PP,,.,△AB尸也△ACP,.?./8AP=NC/P',ZAPB=ZAP'C,AP=AP'=3,BP=CP'=4,

△ABC為等邊三角形，；.ZBAC=60°：.ZPAP'=ZPAC+ZCAP'=ZPAC+ZBAP=60°,

.?.△4?2為等邊三角形，，；.尸尸匕4尸=3,ZAP'P=60°,在APPC中，PC=5,PP'2+P'C2=32+42=25=PC2,

是直角三角形，NPP，C=90。,：.ZAP'C=ZAPP+ZPPC=6Q°+9Q°^15O°,

：.ZAPB=ZAP'C=15Q°,故答案為150。；

(2)證明：將AAPB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到連結(jié)PP,〈△APB會(huì)A4BP,：.AP=AP',PB=PB',

AB=AB',

VZPAP'=ZBAB'=60°,.*.△/%'和A/88'均為等邊三角形，：.PP'=AP,

?：PA+PB+PC=PP+P'B'+PC,.?.點(diǎn)C,點(diǎn)尸，點(diǎn)P,點(diǎn)皮四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC^-CB',

，點(diǎn)尸在C夕上，C?過&4BC的費(fèi)馬點(diǎn).

(3)解：將AAPB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到△/24，連結(jié)8力，PP',

:.AAPB卷AAPB,：.AP'=AP,AB'=AB,

VZPAP'=ZBAB'=6Q°,；.△NPP和均為等邊三角形，：.PP'=AP,BB'=AB,ZABB'=60°,

^.^尸A+PB+PC=尸P'+尸?+PC.^.點(diǎn)C,點(diǎn)尸，點(diǎn)P,點(diǎn)夕四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC^CB',

VZC=90°,AC=1,ZABC=30°,.?.AB=2AC=2,根據(jù)勾股定理BC7AB「AC?=｛爰=G六

BB'=AB=2,

,,22

?：ZCSJ8=ZABC+ZABB=30°+60°=90°,/.在RsCB*中,B'C=^BC+BB'=J(可+2?=不

：.PA+PB+PC最小=CB'=^7；

(4)解：將ABCE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到ACEb，連結(jié)EE】BB',過點(diǎn)皮作5斤，A3,交A3延長(zhǎng)線于R

:.ABCE空ACEE,：.BE=B'E',CE=CE',CB=CB',

VZECE'=ZBCB'=60°,:.AECE與ABCB，均為等邊三角形,：.EE'=EC,BB'=BC,ZB'BC=60°,

AE+BE+CE=AE+EE'+E'B',

.?.點(diǎn)C,點(diǎn)E,點(diǎn)？，點(diǎn)皮四點(diǎn)共線時(shí)，AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'AB',

:四邊形ABC。為正方形，??.A8=BC=2,ZABC=9Q°,：.ZFBB'=180°-AABC-ZCBB'=180o-90°-60o=30°,

?：B'F±AF,；.BF=：BB，=gX2=1,BF=^BB'--B'F2=722-12=A/3>

AF=AB+BF=2+4，：.AB'=>JAF2+B'F2=J(2+廚+仔="+0,:.AE+BE+CE最+=AB'=^+6.

AD

【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間

線段最短，四點(diǎn)共線，正方形性質(zhì)，30。直角三角形性質(zhì)，掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，勾

股定理，直角三角形判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，四點(diǎn)共線，正方形性質(zhì)，30。直角三角形性質(zhì)是解題

關(guān)鍵.

例5.（2024.江蘇??？既＃┤鐖D，四個(gè)村莊坐落在矩形A8C。的四個(gè)頂點(diǎn)上，AB=10公里，BC=15公里，

現(xiàn)在要設(shè)立兩個(gè)車站E,F,則E4+EB+E尸+FC+田的最小值為公里.

【答案】15+10班

（分析】將“班繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得"GW,連接BH、EG,將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到

連接CM、FM、FF,如圖2,此時(shí)EH、EF、共線，EA+EB+EF+BC+ED是最小值，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和

等邊三角形的性質(zhì)，相加即可得出結(jié)論.

【詳解】解:如圖1,將ZkAEB繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得“G"，連接8”、EG,將繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

60。得到△。/M,連接CM、FF,

由旋轉(zhuǎn)得：AB=AH,AE=AG,ZEAG=ZBAH=6Q°,BE=GH,

：."EG和AABH是等邊三角形，：.AE=EG,

同理得：△￡）用■和△DCM是等邊三角形，DF=FF,FC=FM,

...當(dāng)H、G、E、F、尸、M在同一條直線上時(shí)，EA+EB+EF+FC+FD如圖2,

圖2

'：AH=BH,DM=CM,是AB和CQ的垂直平分線，：.HM±AB,HMLCD,

VAB=10,.,.△ABH的高為56，

EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF+FM=HM=15+56+56=15+10g,

貝U胡+防+所+FC+fD的最小值是（15+106）公里.故答案為：（15+lOg）.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和最短路徑問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，確定最小值時(shí)點(diǎn)E和F

的位置是本題的關(guān)鍵，利用全等、勾股定理求其邊長(zhǎng)，從而得出結(jié)論.

模型2.加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型

模型解讀

結(jié)論：點(diǎn)P為銳角內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AP、BP、CP,求xAP+yBP+zCP最小值。（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）

模型證明

證明：第一步，選定固定不變線段；第二步，對(duì)剩余線段進(jìn)行縮小或者放大。

,Y7

如：保持不變，xAP+yBP+zCP=y（-AP+BP+-CP）,如圖，B、P、巳、4四點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值。

yy

例1.（2024?廣東廣州?一模）如圖，在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD=4,AE=2,ABfAD,

AG=y/3AE.矩形AGFE繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接8G,CF,AC,AF.

備用圖

⑴求證：AABGSAACF；⑵當(dāng)CE的長(zhǎng)度最大時(shí)，①求3G的長(zhǎng)度；②在△Ab內(nèi)是否存在一點(diǎn)尸，使得

CP+AP+石尸尸的值最小?若存在，求CP+AP+石尸產(chǎn)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）見解析（2）①BG=2，萬(wàn)；②存在，最小值是4而'

【分析】⑴根據(jù)矩形的性質(zhì)，先證AABCSAAGF,利用相似三角形的性質(zhì)準(zhǔn)備條件，再證"BGSAACF

即可；（2）①先確定當(dāng)E在矩形ABC。外，且C,A,E三點(diǎn)共線時(shí)，CE的長(zhǎng)度最大，并畫出圖形，在Rt^CEF

中求出CF的長(zhǎng),最利用AABGSAACF的性質(zhì)求解即可;②將AP繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。,且使AK=6Ap,

連接PK,同理將AF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。,得到AL,且使AL=43AF,連接LK,過尸作尸S，然于S,

過點(diǎn)L作上。垂直CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，確定CP+AP+6P尸2CL,當(dāng)C、尸、K、L四點(diǎn)共線時(shí)，CL的長(zhǎng)

最小，再根據(jù)30。直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可.

【詳解】(1)證明：?；AB=^3AD,AGfAE,：.且=^^~=也,

AGy/3AEAE

?.?矩形ABCD和矩形AG產(chǎn)E,/.AD=BC,AE=GF,ZABC=NAGb=90。，—=—=

AGAEGF

ACAB

:"ABCs公AGF,ZBAC=ZGAF,：.—=——,ZBAC-ZGAC=ZGAF-ZGAC,

AFAG

ACAF

即---=---,/BAG=Z.CAF，：?AABGS^ACF

ABAG

(2)???AC+AEZCE,???當(dāng)E在矩形ABCD外，且CAE三點(diǎn)共線時(shí)，C￡的長(zhǎng)度最大，如圖所示:

止匕時(shí)AC+AE=CE,ZCEF=90°,

?vAD=4,AB=6AD=AB...AC=dAB°+BC2=8,ZBAC=30°,

在RtZkCEF中，EF=AG=6AE=20CE=AC+AE=W,

CF=sjCE^+EF-=7102+(2A/3)2=4s，由(1)得：AABG^AACF,

BGABBG4^方,I—

即Bn幣=--~,??

cF"AC)4BG=2v21;

②如圖，將AP繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。,且使AK=6AP,連接PK,同理將AF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。,

得到AL,且使AL=扇b，連接LK,

KLAK

由旋轉(zhuǎn)可得：Z.PAF—Z.KAL=30°—AFAK,^AKL^^APF>**?=—■—=KL=^/3PF,

PFAP

過尸作PSLATT于S,則PS=-AP,AS=—AP,

22

AKS=AK-AS=—AP,貝UtanZP^S=—=—,ZPKS=30°,:.PK=AP,

2KS3

VCP+PK+KL>CL,^CP+AP+y/3PF>CL,當(dāng)C、P、K、工四點(diǎn)共線時(shí)，CL的長(zhǎng)最小，

由題意，ZMC=90°+30°+30°=150°,AF=4,AC=8,AL=473,

過點(diǎn)L作LQ垂直CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,ZLAQ=180°-150°=30。,

/.QL=2^/3,AQ=6,則CQ=AC+AQ=14,

在Rt^CQL中，根據(jù)勾股定理得CL=y]CQ2+QI}=4^/13，,CP+AP+^3PF的最小值為4713.

【點(diǎn)睛】本題是一道壓軸題，主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解

直角三角形，等腰三角形的判定，最短路徑等知識(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)與

聯(lián)系，適當(dāng)添加輔助線是解答的關(guān)鍵.

例2.（2024?重慶?二模）已知AABC中AB=3C,點(diǎn)。和點(diǎn)E是平面內(nèi)兩點(diǎn)，連接BD,DE和BE,ABED=90°.

（1汝口圖1,若BD=BA,ZABC=2ZD,BE=2,求AC的長(zhǎng)度；（2）如圖2,連接AO和C。，點(diǎn)廠為AD中

點(diǎn)，點(diǎn)G為8中點(diǎn)，連接收和3G,若EF=BG,求證：ZBAC=NDBE；（3）若NABC=60。，AB=2,

當(dāng)工4。+立BO+C。取得最小值，且AE取得最大值時(shí)，直接寫出的面積.

22

【答案】（1）4（2）見解析（3）上叵

133

【分析】（1）過點(diǎn)B作交AC于點(diǎn)證明即可求解；

（2）取3。的中點(diǎn)T,連接TE,TF,TG,根據(jù)中位線的性質(zhì)，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，

得出ATFE且ATBG（SSS）,再證明ATBESA/FG,得出NEBT=NGFT,進(jìn)而即可得證；

⑶將ABDC繞點(diǎn)8順時(shí)針轉(zhuǎn)60。得到ABD'A,將△ABD繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△54'。'，連接A4"根

^-AD+—BD+CD=GF+FD+CD>GC,當(dāng)G,￡￡>,C四點(diǎn)共線時(shí)，GC最小，進(jìn)而確定E的位置，根

22

據(jù)點(diǎn)E在。為圓心，；切為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)到圓上的距離關(guān)系，得出當(dāng)AE取得最大值時(shí)，E在AO

的延長(zhǎng)線上，連接OF,過點(diǎn)E作ES人班?于點(diǎn)S,進(jìn)而解直角三角形，求得SE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式，

即可求解.

【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)8作3"_LAC交AC于點(diǎn)H,

B

B

?:ABED=90°,ZABC=2ND,：.ZAHB=ZBED,ZABH=ND.

又；BD=BA,:.AAHBGABED(AAS)：,AH=BE=2：.AC=2AH=4；

(2)解：如圖所示，取BD的中點(diǎn)T,連接TE,TF,TG,

又?.?尸,G是A。，DC,：.FT=-AB,TG=-BC,FG//AC,FT//AB

22

VAB=BC：.FT=TG,?:/BED=90。,T為8。的中點(diǎn)，:.TE=BT,

TF=TG

在中，\TE^TB:.ATFE冬ATBG(SSS)：.NFTE=NGTB

EF=BG

：.ZFTE-/GTE=Z.GTB一Z.GTE即ZFTG=NETB

又?/FT=TG,TE=EB即里=更,：.^TBE^^JFG：.ZEBT=ZGFT

TFTG

'：FG//AC,FT//AB：.ZTFB=ABAC：.ZBAC=ZDBE

(3)解：：AABC中AB=3C,ZABC=60°,「ABC是等邊三角形，

如圖所示，將ABDC繞點(diǎn)2順時(shí)針轉(zhuǎn)60。得到△瓦7A,將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到ABA'。'，連接A4',

ABD=BD',/DBD'=60。,AB=A'B,A3〃AC則是等邊三角形，是等邊三角形，

,/8=4。',^4'=4(7取8。,84的中點(diǎn)戶,6,則FG=，AZ)'=LAD,

22

?.?/是的中點(diǎn)，DF±BD,DF=BDsin600=—BD,：.-AD+—BD+CD=GF+FD+CD>GC

222

.?.當(dāng)G,RD,C四點(diǎn)共線時(shí)，GC最小此時(shí)如圖所示，GC_L8D'

VAD'//GF,：.AIy±BD',，AADB是直角三角形，，△AB。是直角三角形，AADJ.BD

=NZXDA=30°.?.&￡>'=DC設(shè)CD=。，則AD'=a,AD=2a,

在RtAADD,中，=cos30。xAO=氐；Z\BDD是等邊三角形，BD=DD'=島,

在RtZkABD中，AB=2：.AB2=AD2+BD222=（V3a）2+（2a）2"手

:.BD=6=^^~,AO=2a="直取3D的中點(diǎn)0,連接AO,OE,

77

ZBED=90。.?.點(diǎn)E在。為圓心，；切為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

AOE=-BD=—,...當(dāng)AE取得最大值時(shí)，E在A。的延長(zhǎng)線上，連接。尸，過點(diǎn)E作旦人BZ）于點(diǎn)S,

27

在RMAOD中，OD=OE='/.AO=^AD2+OD2=

7

4幣_(tái)__

,,八八AD74^/194719J2T4J339

cosZAOD=——-=,=———,；.SE=cosZSOExOE=cosZAODxOE=-------x-------=----------

AO/p>

7

；.△加E的面積為:如環(huán)=gx孚、臂=答

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三

角形中位線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，相似三角形的性質(zhì)與判定,

加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)問題，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直徑所對(duì)的圓周角是直角；熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

例3.（23-24九年級(jí)上?重慶?階段練習(xí)）在等邊VA3c中，點(diǎn)。是邊BC上一點(diǎn)，連接AD,將線段AD繞點(diǎn)

A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到線段AE,貝IJ/ZME=12O°,AE=AD,連接BE交AO于點(diǎn)尸，交AC于點(diǎn)H.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)。為BC中點(diǎn)時(shí)，且AD=3,求AABE的面積；（2）如圖2,猜想線段AB、BD、之間的

數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3,若AB=8,在VABC內(nèi)部有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,連接PA、PB、PC,直

接寫出3PA+4PB+5PC的最小值.

【答案】（1）孚（2）AB—BD=2AH,見解析⑶8,25+124

13

【分析】（1）過點(diǎn)石作石交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Af,求得A3=2百，ZEAM=30°,EM=-AE=-,

22

利用S小=’4,期/=工乂26乂2=±8計(jì)算即可.（2）在4^上取點(diǎn)加使。0=應(yīng)＞,連接BM.則由SAS

"2222

可證明△ABDZABCM,從而有,ZBAD=ZCBM；再由AAS證明AY1￡77且AMBH,得=,

則由線段的和差關(guān)系可得結(jié)論；（3）過點(diǎn)C作。CLBC于點(diǎn)C,使得D蕓C=?4,過點(diǎn)C作EC，尸C于點(diǎn)C,

BC3

PC4

使得加=§，證明△OCESA3CP,得到4P3=3DE,根據(jù)勾股定理，得5PC=3PE,從而得到

3%+4尸3+5PC=3B4+3DE+3PE=3（Pl+PE+ED）,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得至IJB4+PE+EDNAD,

得到當(dāng)PA,PE,ED共線時(shí)，3R4+4PB+5PC取得最小值，過點(diǎn)A作AQLDC,交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，過

點(diǎn)A作4?，3c于點(diǎn)R,則四邊形AQCR是矩形，利用等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理解答即可.

【詳解】（1）解：過點(diǎn)￡作￡^，45,交54的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

:等邊VABC,AB^BC^CA,ZABC=ZBCA=ZCAB=60°,

:點(diǎn)。為BC中點(diǎn)，CD=BD=」BC,ACAD=ABAD=-ZCAB=30°,

22

VAD=3,ZDAE=U0°,AE^AD,：.BD=^AB,由勾股定理得_臺(tái)4=AO?,解得A8=2百；

；NEW=180°—150°=30°,AE^AD=3,：.EM=-AE^-,：.SARP=-AB.EM=-x243^-=—■

22-ABE2222

(2)解：AB—BD=2AH.理由如下：在AC上取點(diǎn)M使CM=BD,連接

；VABC是等邊三角形，/.AB=BC=AC,/C4B=ZAB。=NC=60。，

AB=BC

在△ABD和2X5。/中，<ZABD=ZC,：.^ABD^ABCM(SAS),

BD=CM

：.AD=BM,ZBAD=ZCBM,：.EA=BM,

,：ZEAH=ZEAD-ZCAD=ZEAD-(Z.CAB-ABAD)=60°+ABAD,ZBMH=ZC+ZCBM=60°+ZCBM,

ZAHE=ZMHB

:?ZEAH=ZBMH,在△AEH和AMBH中，■ZEAH=ZBMH,：.^AEH^MBH(AAS),

EA=BM

：.AH=MH,AM=AH+MH^2AH,VAM^AC-CM=AB-BD,：.AB-BD^2AH.

DC4FC4

(3)解：過點(diǎn)。作于點(diǎn)C,使得正=p過點(diǎn)。作EC,尸。于點(diǎn)C,使得五二=可，根據(jù)題意,

/口DCECDCBC

WZDCE=90°-ZECB=ZBCP,——=——，工——=——,：.^DCE^^BCP,

BCPCECPC

???瑛=獎(jiǎng)=3，,4依=3DE，根據(jù)勾股定理，nPE=4PC-+EC-=|PC,

BCPB33

5PC=3PE,：.3PA+4PB+5PC=3PA+3DE+3PE=3(PA+PE+ED),

?..如+d石+團(tuán)2">,...當(dāng)尸4,2己即共線時(shí)，3B4+4P3+5PC取得最小值，

32

VAB=8,：.AB=BC=CA=S,：.DC=——,

3

過點(diǎn)A作A。，。。，交。。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，過點(diǎn)A作于點(diǎn)七則四邊形AQCR是矩形，

：.AQ=CR,CQ=AR,'J^NABC,：.AQ=CR=-BC=A,CQ=AR=4AC?-CM=46，

：.AD=QDQ^+AQ2=++4?=J^x1|+可+1=,42x1。。+；畫

=^^x（25+12道）=,25+12石,，3PA+4PB+5PC=8/71^,

故3%+4PB+5PC的最小值為8,25+12君.

D

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，

含30度直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握相應(yīng)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵.本題有一定的

難度，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

習(xí)題練模型

1.（2023春?湖北武漢?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且"=5,AD=8,N為邊

3C上一點(diǎn)，連接Att、MD、MN,則版1+MD+MN的最小值為.

【答案】5+4有

【分析】將"DM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到VAUM',連接DD、MM',然后即可得AADD為等邊三角

形，同理為等邊三角形，接著證明當(dāng)MD'、MM\MN三條線段在同一直線上，MM'+M'D'+MN

的值最小，即M4+MD+MN的值最小，過點(diǎn)。必乍于點(diǎn)E,即M4+MD+MN最小值為：D'E,

問題隨之得解.

【詳解】如圖所示，將ZXAD似繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到Y(jié)4DW,連接DO、MM',

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有：ZDAD'=a）°,AD=AD,MD=MTJ,

AADD'為等邊三角形，同理VAMM'為等邊三角形，

AM=AM'=MM',AD=AD'=DD'=8,MA+MD+MN=MM'+M'D'+MN,

，當(dāng)線段A/D'、MM'、MN三條線段在同一直線上，且該直線與8c垂直時(shí)，W+MD'+MN的值最小,

即M4+MD+MV的值最小，如下圖，過點(diǎn)以作D'ELBC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)孔

M4+MO+MN最小值為：D'E,在矩形ABCD中，D'ELBC于點(diǎn)E,

即可知四邊形是矩形，UELAD,即A5=EF=5,

V△ADD,為等邊三角形，UFX.AD,AF=FD=^AD=4,

DF=dD/-AF2=46，,D'E=EF+D'F=5+4』，

.,.他4+用0+砂的最小值為5+4遭，故答案為：5+4g.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定定理與性質(zhì)，勾股定理，垂線段最

短等知識(shí)，作出合理的輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

2.（2023?廣東深圳?二模）如圖，是等邊三角形，M是正方形ABC。對(duì)角線（不含8點(diǎn)）上任意

一點(diǎn)，BM=BN,ZABN=15°（點(diǎn)N在AB的左側(cè)），當(dāng)AM+BM+CM的最小值為括+1時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)

【答案】72

【分析】首先通過SAS判定△AMB^AENB，得出40=EN,因?yàn)閆ABD+ZABN=60。，BM=BN”得出AMNB

是等邊三角形，AM+BM+CM=EN+MN+CM,而且為最小值，我們可以得出EC=6+1,作輔助線，過點(diǎn)E

作跖13。交。8的延長(zhǎng)線于月，由題意求出NEM=30。，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,在歷△￡八?中，根據(jù)勾

股定理求得正方形的邊長(zhǎng)為尤.

【詳解】:△ABE為正三角形，，NABE=60。，AB=BE：.ZNBE=ZABE-ZABN=45°

,/BD是正方形ABCD的對(duì)角線，ZABD=45°/.AABD=ZNBE.

BM=BN

在AAMB和中AAMB^AfiVB(SAS)：.AM=EN

AB=EB

在△MBN中，ZABD+ZABN=60°X*.?BM=BN,，/XAffiN為等邊三角形，：.MN=BM.

；AM+2M+CM最小值為g+1.：.EN+MN+CM的最小值為6+1即CE=&L

過點(diǎn)E作EF/BC交CB的延長(zhǎng)線于F,可得ZEM=90O-6()o=30。.

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為無，則EF=；.

22

在RtAEFC,'：EF-+FC2=EC2,；?(1)2+(^x+x)2=(73+1)2

解得x=&(負(fù)值舍去)正方形的邊長(zhǎng)為④.故答案為：0.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形和正方形邊相等的性質(zhì)，全等三角形的判定，靈活使用輔助線，掌握直角

三角的性質(zhì)，熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

3.(24-25九年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出：在AABC內(nèi)存在一點(diǎn)P,使它到三角形頂點(diǎn)

的距離之和最小.人們稱這個(gè)點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)出+P2+PC的值為費(fèi)馬距離.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在銳角AABC

中，費(fèi)