8.5

直線、平面垂直的判定與性質-2-知識梳理雙基自測2311.直線與平面垂直

任意

m∩n=Oa⊥α

-3-知識梳理雙基自測231b?αa∥b-4-知識梳理雙基自測2312.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交,如果它們所成的二面角是

,就說這兩個平面互相垂直.

直二面角

-5-知識梳理雙基自測231(2)判定定理與性質定理

垂線

交線

l⊥α-6-知識梳理雙基自測2313.常用結論(1)線面平行或垂直的有關結論①若兩平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面.②若一條直線垂直于一個平面,則它垂直于這個平面內的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法).③垂直于同一條直線的兩個平面平行.④一條直線垂直于兩平行平面中的一個,則這一條直線與另一個平面也垂直.⑤兩個相交平面同時垂直于第三個平面,它們的交線也垂直于第三個平面.(2)證明線面垂直時,易忽視平面內兩條線為相交線這一條件.2-7-知識梳理雙基自測34151.下列結論正確的打“√”,錯誤的打“×”.(1)已知直線a,b,c;若a⊥b,b⊥c,則a∥c.(

)(2)直線l與平面α內的無數(shù)條直線都垂直,則l⊥α.(

)(3)設m,n是兩條不同的直線,α是一個平面,若m∥n,m⊥α,則n⊥α.(

)(4)若兩平面垂直,則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面.(

)(5)若平面α內的一條直線垂直于平面β內的無數(shù)條直線,則α⊥β.(

)答案答案關閉(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×-8-知識梳理雙基自測234152.如圖,O為正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,則下列直線中與B1O垂直的是(

)A.A1D

B.AA1 C.A1D1 D.A1C1答案解析解析關閉由題易知,A1C1⊥平面BB1D1D,又OB1?平面DD1B1B,所以A1C1⊥B1O答案解析關閉D-9-知識梳理雙基自測234153.(教材習題改編P69練習)將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線折起得到空間四面體A-BCD(如圖2),則在空間四面體A-BCD中,AD與BC的位置關系是(

)圖1 圖2A.相交且垂直 B.相交但不垂直C.異面且垂直 D.異面但不垂直答案解析解析關閉在題圖1中的等腰直角三角形ABC中,斜邊上的中線AD就是斜邊上的高,則AD⊥BC,翻折后如題圖2,AD與BC變成異面直線,而原線段BC變成兩條線段BD,CD,這兩條線段與AD垂直,即AD⊥BD,AD⊥CD,故AD⊥平面BCD,所以AD⊥BC.答案解析關閉C-10-知識梳理雙基自測234154.(教材習題改編P67T2)P為△ABC所在平面外一點,O為P在平面ABC內的射影.(1)若P到△ABC三邊距離相等,且O在△ABC的內部,則O是△ABC的

心;

(2)若PA⊥BC,PB⊥AC,則O是△ABC的

心;

(3)若PA,PB,PC與底面所成的角相等,則O是△ABC的

心.

答案解析解析關閉

(1)P到△ABC三邊距離相等,且O在△ABC的內部,可知O到△ABC三邊距離相等,即O是△ABC的內心;(2)由PO⊥平面ABC且BC?平面ABC,得PO⊥BC,又PA⊥BC,PO與PA是平面POA內兩條相交直線,所以BC⊥平面POA,從而BC⊥AO.同理AC⊥BO,所以O是△ABC的垂心;(3)由PA,PB,PC與底面所成的角相等,易得Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,從而OA=OB=OC,所以O是△ABC的外心.答案解析關閉(1)內

(2)垂

(3)外-11-知識梳理雙基自測234155.如圖,PA⊥☉O所在平面,AB是☉O的直徑,C是☉O上一點,AE⊥PC,AF⊥PB,給出下列結論:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC,其中真命題的序號是

.

答案解析解析關閉①因為AE?平面PAC,BC⊥AC,BC⊥PA,所以AE⊥BC,故①正確;②因為AE⊥PC,AE⊥BC,PB?平面PBC,所以AE⊥PB,又AF⊥PB,EF?平面AEF,所以EF⊥PB,故②正確;③因為AF⊥PB,若AF⊥BC,則AF⊥平面PBC,則AF∥AE,與已知矛盾,故③錯誤;由①可知④正確.答案解析關閉①②④-12-考點1考點2考點3例1如圖,在三棱臺ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求證:BF⊥平面ACFD;(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.思考證明線面垂直的常用方法有哪些?

-13-考點1考點2考點3(1)證明

延長AD,BE,CF相交于一點K,如圖所示.因為平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BCK,因此BF⊥AC.又因為EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK為等邊三角形,且F為CK的中點,則BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.-14-考點1考點2考點3-15-考點1考點2考點3-16-考點1考點2考點3-17-考點1考點2考點3-18-考點1考點2考點3解題心得1.證明線面垂直的方法:一是線面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性質定理;三是平行線法(若兩條平行線中的一條垂直于這個平面,則另一條也垂直于這個平面).2.解題時,注意線線、線面與面面關系的相互轉化;另外,在證明線線垂直時,要注意題中隱含的垂直關系,如等腰三角形底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形(或給出線段長度,經計算滿足勾股定理)、直角梯形等等.-19-考點1考點2考點3對點訓練1(2017山東濰坊一模)在如圖所示的空間幾何體中,EC⊥平面ABCD,四邊形ABCD是菱形,CE∥BF,且CE=2BF,G,H,P分別為AF,DE,AE的中點.求證:(1)GH∥平面BCEF;(2)FP⊥平面ACE.-20-考點1考點2考點3證明:(1)取EC中點M,FB中點N,連接HM,GN.∴四邊形HMNG是平行四邊形,∴GH∥MN,∵GH?平面BCEF,MN?平面BCEF,∴GH∥平面BCEF.-21-考點1考點2考點3又EC∥BF,EC=2BF,∴OP

BF,∴四邊形PFBO是平行四邊形,∴PF∥BO,∵BO⊥AC,BO⊥EC,AC∩EC=C,∴BO⊥平面ACE,∴FP⊥平面ACE.-22-考點1考點2考點3例2如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點,BE⊥平面ABCD.(1)證明:平面AEC⊥平面BED;(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱錐E-ACD的體積為,求該三棱錐的側面積.思考證明面面垂直的常用方法有哪些?-23-考點1考點2考點3

(1)證明

因為四邊形ABCD為菱形,所以AC⊥BD.因為BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.-24-考點1考點2考點3-25-考點1考點2考點3解題心得1.兩個平面互相垂直是兩個平面相交的特殊情形.2.由平面和平面垂直的判定定理可知,要證明平面與平面垂直,可轉化為從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線,即證明線面垂直.3.平面和平面垂直的判定定理的兩個條件:l?α,l⊥β,缺一不可.-26-考點1考點2考點3對點訓練2(2017河南洛陽三模)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABCD為平行四邊形,AA1⊥平面ABCD,∠BAD=60°,AB=2,BC=1,AA1=,E為A1B1的中點.(1)求證:平面A1BD⊥平面A1AD;(2)求多面體A1E-ABCD的體積.-27-考點1考點2考點3(1)證明:∵AB=2,AD=BC=1,∠BAD=60°,

∴BD2+AD2=AB2,∴BD⊥AD,∵AA1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴BD⊥AA1,又AA1∩AD=A,AA1?平面A1AD,AD?平面A1AD,∴BD⊥平面A1AD,又BD?平面A1BD,∴平面A1BD⊥平面A1AD.-28-考點1考點2考點3-29-考點1考點2考點3考向一

平行與垂直關系的證明例3如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為AB,BC的中點,點F在側棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求證:(1)直線DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.思考處理平行與垂直關系的綜合問題的主要數(shù)學思想是什么?-30-考點1考點2考點3證明

(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因為D,E分別為AB,BC的中點,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因為DE?平面A1C1F,A1C1?平面A1C1F,所以直線DE∥平面A1C1F.-31-考點1考點2考點3(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因為A1C1?平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因為A1C1⊥A1B1,A1A?平面ABB1A1,A1B1?平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因為B1D?平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因為B1D⊥A1F,A1C1?平面A1C1F,A1F?平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因為直線B1D?平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.-32-考點1考點2考點3考向二

探索性問題中的平行與垂直關系例4如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=45°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,點E為AB上一點,且

點F為PD中點.(1)若k=,求證:直線AF∥平面PEC;(2)是否存在一個常數(shù)k,使得平面PED⊥平面PAB?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.思考探索性問題的一般處理方法是什么?-33-考點1考點2考點3-34-考點1考點2考點3-35-考點1考點2考點3考向三

折疊問題中的平行與垂直關系例5如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,點E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點H.將△DEF沿EF折到△D'EF的位置.(1)證明:AC⊥HD';思考折疊問題的處理關鍵是什么?-36-考點1考點2考點3-37-考點1考點2考點3-38-考點1考點2考點3解題心得平行與垂直的綜合應用問題的主要數(shù)學思想和處理策略:(1)處理平行與垂直的綜合問題的主要數(shù)學思想是轉化,要熟練掌握線線、線面、面面之間的平行與垂直的轉化.(2)探索性問題一般是先根據條件猜測點的位置再給出證明,探索點的存在問題,點多為中點或三等分點中的某一個,也可以根據相似知識找點.(3)折疊問題中的平行與垂直關系的處理關鍵是結合圖形弄清折疊前后變與不變的數(shù)量關系,尤其是隱含著的垂直關系.-39-考點1考點2考點3對點訓練3(1)(2017河南濮陽一模)如