第3節(jié)空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系考試要求1.借助長(zhǎng)方體，在直觀(guān)認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上抽象出空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解決問(wèn)題.【知識(shí)梳理】1.與平面有關(guān)的基本事實(shí)及推論(1)與平面有關(guān)的三個(gè)基本事實(shí)基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)基本事實(shí)1過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)?存在唯一的α使A，B，C∈α基本事實(shí)2如果一條直線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l(2)基本事實(shí)1的三個(gè)推論推論內(nèi)容圖形作用推論1經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面確定平面的依據(jù)推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面2.空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系直線(xiàn)與直線(xiàn)直線(xiàn)與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨(dú)有關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a，b是異面直線(xiàn)a?α3.基本事實(shí)4和等角定理(1)基本事實(shí)4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行.(2)等角定理：如果空間中兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).4.異面直線(xiàn)所成的角(1)定義：已知兩條異面直線(xiàn)a，b，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O分別作直線(xiàn)a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的角叫做異面直線(xiàn)a與b所成的角(或夾角).(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn)，與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn).2.兩異面直線(xiàn)所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線(xiàn)所成的角，也可能等于其補(bǔ)角.【診斷自測(cè)】1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn).()(2)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說(shuō)α，β相交于過(guò)A點(diǎn)的任意一條直線(xiàn).()(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合.()(4)若直線(xiàn)a不平行于平面α，且a?α，則α內(nèi)的所有直線(xiàn)與a異面.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)兩條平行直線(xiàn)也沒(méi)有公共點(diǎn)，故錯(cuò)誤.(2)如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)，故錯(cuò)誤.(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面相交或重合，故錯(cuò)誤.(4)由于a不平行于平面α，且a?α，則a與平面α相交，故平面α內(nèi)有與a相交的直線(xiàn)，故錯(cuò)誤.2.(必修二P128T2改編)下列命題正確的是()A.空間任意三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面B.一個(gè)點(diǎn)和一條直線(xiàn)確定一個(gè)平面C.空間兩兩相交的三條直線(xiàn)確定一個(gè)平面D.空間兩兩平行的三條直線(xiàn)確定一個(gè)或三個(gè)平面答案D解析A中，空間不共線(xiàn)的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，A錯(cuò)；B中，只有點(diǎn)在直線(xiàn)外時(shí)才能確定一個(gè)平面，B錯(cuò)；C中，空間兩兩相交的三條直線(xiàn)確定一個(gè)平面或三個(gè)平面，C錯(cuò)，故只有選項(xiàng)D正確.3.(必修二P147例1改編)在長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝BC＝1，AA′＝2，則直線(xiàn)BA′與AC所成角的余弦值為_(kāi)_______.答案eq\f(\r(10),10)解析如圖，連接CD′，易知CD′綉B(tài)A′，則∠ACD′是直線(xiàn)BA′與AC所成的角，連接AD′，在△ACD′中，AC＝eq\r(2)，AD′＝CD′＝eq\r(5)，設(shè)AC的中點(diǎn)為O，則D′O⊥AC，故cos∠ACD′＝eq\f(\f(\r(2),2),\r(5))＝eq\f(\r(10),10).4.如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則(1)當(dāng)AC，BD滿(mǎn)足條件________時(shí)，四邊形EFGH為菱形；(2)當(dāng)AC，BD滿(mǎn)足條件________時(shí)，四邊形EFGH為正方形.答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)要使四邊形EFGH為菱形，應(yīng)有EF＝EH，∵EF綉eq\f(1,2)AC，EH綉eq\f(1,2)BD，∴AC＝BD.(2)要使四邊形EFGH為正方形，應(yīng)有EF＝EH且EF⊥EH，∵EF綉eq\f(1,2)AC，EH綉eq\f(1,2)BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.考點(diǎn)一基本事實(shí)的應(yīng)用例1已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：(1)D，B，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)若A1C交平面DBFE于點(diǎn)R，則P，Q，R三點(diǎn)共線(xiàn)；(3)DE，BF，CC1三線(xiàn)交于一點(diǎn).證明(1)如圖所示，連接B1D1.因?yàn)镋F是△D1B1C1的中位線(xiàn)，所以EF∥B1D1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD確定一個(gè)平面，即D，B，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面.(2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，連接A1C，設(shè)A1，C，C1確定的平面為α，又設(shè)平面BDEF為β.因?yàn)镼∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α與β的公共點(diǎn)，同理，P是α與β的公共點(diǎn).所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.則R∈PQ，故P，Q，R三點(diǎn)共線(xiàn).(3)因?yàn)镋F∥BD且EF<BD，所以DE與BF相交，設(shè)交點(diǎn)為M，則由M∈DE，DE?平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三線(xiàn)交于一點(diǎn).感悟提升共面、共線(xiàn)、共點(diǎn)問(wèn)題的證明方法(1)證明共面的方法：①先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(xiàn)(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；②證明兩平面重合.(2)證明共線(xiàn)的方法：①先由兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，再證其他各點(diǎn)都在這條直線(xiàn)上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線(xiàn)上.(3)證明線(xiàn)共點(diǎn)的方法：先證其中兩條直線(xiàn)交于一點(diǎn)，再證其他直線(xiàn)經(jīng)過(guò)該點(diǎn).訓(xùn)練1(1)在三棱錐A－BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，若EF∩HG＝P，則點(diǎn)P()A.一定在直線(xiàn)BD上B.一定在直線(xiàn)AC上C.在直線(xiàn)AC或BD上D.不在直線(xiàn)AC上，也不在直線(xiàn)BD上答案B解析因?yàn)镋F∩HG＝P，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)分別是AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，所以EF在平面ABC內(nèi)，HG在平面ACD內(nèi)，所以P既在平面ABC內(nèi)，又在平面ACD內(nèi)，所以P在平面ABC和平面ACD的交線(xiàn)上，又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.(2)如圖，P，Q，R，S分別是正方體或四面體所在棱的中點(diǎn)，則在下列圖形中，這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是()答案D解析A中，由PQ與SR相交，知P，Q，R，S四點(diǎn)共面；B中，由QR與PS相交，知P，Q，R，S四點(diǎn)共面；C中，由PQ∥SR，知P，Q，R，S四點(diǎn)共面；D中，由QR和PS是異面直線(xiàn)，并且任意兩個(gè)點(diǎn)的連線(xiàn)既不平行也不相交，知四點(diǎn)不共面.考點(diǎn)二空間兩直線(xiàn)位置關(guān)系的判斷例2(1)(2024·鶴壁模擬)已知a，b，c是三條不同的直線(xiàn)，有下列三個(gè)命題：①若a，b是異面直線(xiàn)，b，c是異面直線(xiàn)，則a，c也是異面直線(xiàn)；②若a和b相交，b和c相交，則a和c也相交；③若a和b共面，b和c共面，則a和c也共面.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3答案A解析對(duì)于①，若a，b是異面直線(xiàn)，b，c是異面直線(xiàn)，則a，c相交不是異面直線(xiàn)，如圖，故①為假命題；對(duì)于②，若a和b相交，b和c相交，則a和c可能相交、平行、異面，故②為假命題；對(duì)于③，若a和b共面，b和c共面，則a和c共面，錯(cuò)誤，如上圖，AA′(a)與AB(b)共面，AB(b)與BC(c)共面，但AA′(a)與BC(c)異面，故③為假命題.故真命題的個(gè)數(shù)為0.故選A.(2)(多選)(2024·重慶名校聯(lián)考)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BC1上(不包含端點(diǎn))運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列直線(xiàn)中一定與直線(xiàn)OP異面的是()A.AB1 B.A1C C.A1A D.AD1答案BCD解析對(duì)于A，如圖①，連接AB1，C1D，BD，當(dāng)P為BC1的中點(diǎn)時(shí)，OP∥DC1∥AB1，故A不正確；對(duì)于B，如圖②，連接A1C，A1C1，AC，因?yàn)锳1C?平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O?A1C，P?平面AA1C1C，所以直線(xiàn)A1C與直線(xiàn)OP一定是異面直線(xiàn)，故B正確；對(duì)于C，如圖②，因?yàn)锳1A?平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O?A1A，P?平面AA1C1C，所以直線(xiàn)A1A與直線(xiàn)OP一定是異面直線(xiàn)，故C正確；對(duì)于D，如圖③，連接AD1，D1C，AC，因?yàn)锳D1?平面AD1C，O∈平面AD1C，O?AD1，P?平面AD1C，所以直線(xiàn)AD1與直線(xiàn)OP一定是異面直線(xiàn)，故D正確.故選BCD.感悟提升1.要判斷空間中兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系(平行、相交、異面)，可利用定義，借助空間想象并充分利用圖形進(jìn)行思考.判斷空間直線(xiàn)的位置關(guān)系，一般有兩種方法：一是構(gòu)造幾何體(如正方體、空間四邊形等)模型來(lái)判斷；二是利用排除法.2.異面直線(xiàn)的判定方法：(1)反證法；(2)直接法.訓(xùn)練2(1)空間中有三條線(xiàn)段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線(xiàn)AB與CD的位置關(guān)系是()A.平行B.異面C.相交或平行D.平行或異面或相交均有可能答案D解析根據(jù)條件作出示意圖，得到以下三種可能的情況，如圖可知AB，CD有相交、平行、異面三種情況，故選D.(2)如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示GH，MN是異面直線(xiàn)的圖形的序號(hào)為_(kāi)_______.答案②④解析根據(jù)異面直線(xiàn)的定義可知，在題圖②④中，直線(xiàn)GH，MN是異面直線(xiàn).在題圖①中，由G，M均為所在棱的中點(diǎn)可知GH∥MN.在題圖③中，連接GM，因?yàn)镚，M均為所在棱的中點(diǎn)，所以GM∥HN，且GM＝eq\f(1,2)HN，所以四邊形GMNH為梯形，則GH與MN相交.考點(diǎn)三求異面直線(xiàn)所成的角例3(1)(2021·全國(guó)乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線(xiàn)PB與AD1所成的角為()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)答案D解析法一如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，連接C1P，BC1，則AD1∥BC1，所以∠PBC1為直線(xiàn)PB與AD1所成的角，設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則BC1＝2eq\r(2)，PC1＝B1P＝eq\f(1,2)eq\r(B1Ceq\o\al(2,1)＋D1Ceq\o\al(2,1))＝eq\r(2)，BP＝eq\r(B1B2＋B1P2)＝eq\r(6)，在△BPC1中，cos∠PBC1＝eq\f(BP2＋BCeq\o\al(2,1)－PCeq\o\al(2,1),2BP·BC1)＝eq\f(\r(3),2)，所以∠PBC1＝eq\f(π,6).法二如圖，連接BC1，A1B，A1P，PC1，則易知AD1∥BC1，所以直線(xiàn)PB與AD1所成的角等于直線(xiàn)PB與BC1所成的角，由P為正方形A1B1C1D1的對(duì)角線(xiàn)B1D1的中點(diǎn)，知A1，P，C1三點(diǎn)共線(xiàn)，且P為A1C1的中點(diǎn).易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1為等邊三角形，所以∠A1BC1＝eq\f(π,3)，又P為A1C1的中點(diǎn)，所以可得∠PBC1＝eq\f(1,2)∠A1BC1＝eq\f(π,6)，故直線(xiàn)PB與AD1所成的角為eq\f(π,6).(2)在空間四邊形ABCD中，AD＝2，BC＝2eq\r(3)，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，EF＝eq\r(7)，則異面直線(xiàn)AD與BC所成角的大小為_(kāi)_______.答案30°解析設(shè)BD的中點(diǎn)為O，連接EO，F(xiàn)O，所以EO∥AD，F(xiàn)O∥BC，則∠EOF(或其補(bǔ)角)就是異面直線(xiàn)AD與BC所成的角.所以EO＝eq\f(1,2)AD＝1，F(xiàn)O＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(3)，EF＝eq\r(7)，在△EOF中，根據(jù)余弦定理，得cos∠EOF＝eq\f(EO2＋FO2－EF2,2·EO·FO)＝eq\f(12＋（\r(3)）2－（\r(7)）2,2×1×\r(3))＝eq\f(1＋3－7,2\r(3))＝－eq\f(\r(3),2)，所以∠EOF＝150°，從而異面直線(xiàn)AD與BC所成角的大小為30°.感悟提升綜合法求異面直線(xiàn)所成角的步驟：(1)作：通過(guò)作平行線(xiàn)得到相交直線(xiàn)；(2)證：證明所作角為異面直線(xiàn)所成的角(或其補(bǔ)角)；(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角.訓(xùn)練3(2024·廣西聯(lián)考)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，若AA1＝AC＝BC＝1，則異面直線(xiàn)A1C，AB所成角的大小是()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4) C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)答案C解析法一如圖所示，連接B1C，因?yàn)锳1B1∥AB，所以∠B1A1C即為異面直線(xiàn)A1C，AB所成的角.因?yàn)锳A1＝AC＝BC＝1，所以A1C＝eq\r(2)，B1C＝eq\r(2).又因?yàn)锳C⊥BC，所以AB＝A1B1＝eq\r(2).在△B1A1C中，A1B1＝A1C＝B1C＝eq\r(2)，所以△B1A1C是正三角形，所以∠B1A1C＝eq\f(π,3).法二如圖，將直三棱柱補(bǔ)形為正方體ACBD－A1C1B1D1，連接BD1，AD1，則D1B∥A1C，所以異面直線(xiàn)A1C與AB所成的角即直線(xiàn)D1B與AB所成的角，在三角形D1AB中，D1A＝BD1＝AB＝eq\r(2)，所以∠D1BA＝eq\f(π,3)，即異面直線(xiàn)A1C，AB所成角的大小是eq\f(π,3).【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1.(多選)下列推斷中，正確的是()A.M∈α，M∈β，α∩β＝l?M∈lB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC.l?α，A∈l?A?αD.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線(xiàn)?α，β重合答案ABD解析對(duì)于A，因?yàn)镸∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事實(shí)3可知M∈l，A正確；對(duì)于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直線(xiàn)AB?α，AB?β，則α∩β＝AB，B正確；對(duì)于C，若l∩α＝A，則有l(wèi)?α，A∈l，但A∈α，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，有三個(gè)不共線(xiàn)的點(diǎn)在平面α，β中，故α，β重合，D正確.2.若直線(xiàn)上有兩個(gè)點(diǎn)在平面外，則()A.直線(xiàn)上至少有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)B.直線(xiàn)上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)C.直線(xiàn)上所有點(diǎn)都在平面外D.直線(xiàn)上至多有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)答案D解析根據(jù)題意，兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，那么由于直線(xiàn)上有兩個(gè)點(diǎn)在平面外，則直線(xiàn)在平面外，只能是直線(xiàn)與平面相交，或者直線(xiàn)與平面平行，那么可知直線(xiàn)上至多有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi).3.(多選)下列命題中不正確的是()A.空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線(xiàn)B.空間四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)C.空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線(xiàn)，則此四點(diǎn)不共面D.空間四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)，則此四點(diǎn)不共面答案ACD解析對(duì)于平面四邊形來(lái)說(shuō)不成立，故A不正確；空間四點(diǎn)不共面，則其中任何三點(diǎn)不共線(xiàn)，否則由直線(xiàn)與直線(xiàn)外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，這空間四點(diǎn)共面，故B正確；由B的分析可知C不正確；平面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)，但四點(diǎn)共面，故D不正確.4.(2024·廣州模擬)已知α，β，γ是三個(gè)不同的平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，且a∩b＝O，則下列結(jié)論正確的是()A.直線(xiàn)b與直線(xiàn)c可能是異面直線(xiàn)B.直線(xiàn)a與直線(xiàn)c可能平行C.直線(xiàn)a，b，c必然交于一點(diǎn)(即三線(xiàn)共點(diǎn))D.直線(xiàn)c與平面α可能平行答案C解析因?yàn)棣痢搔拢絘，α∩γ＝b，a∩b＝O，所以O(shè)∈α，O∈β，O∈γ.因?yàn)棣隆搔茫絚，所以O(shè)∈c，所以直線(xiàn)a，b，c必然交于一點(diǎn)(即三線(xiàn)共點(diǎn))，故A，B錯(cuò)誤，C正確；假設(shè)直線(xiàn)c與平面α平行，由O∈c，可知O?α，這與O∈α矛盾，故假設(shè)不成立，D錯(cuò)誤.5.(2024·金華模擬)已知直線(xiàn)l、平面α滿(mǎn)足l?α，則下列命題一定正確的是()A.存在直線(xiàn)m?α，使l∥mB.存在直線(xiàn)m?α，使l⊥mC.存在直線(xiàn)m?α，使l，m相交D.存在直線(xiàn)m?α，使l，m所成角為eq\f(π,6)答案B解析對(duì)于A，若直線(xiàn)l與α相交，則α內(nèi)的直線(xiàn)與l相交或異面，因此若l與α相交，則不存在直線(xiàn)m?α，使l∥m，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于l?α，所以l與α相交或平行，不論是相交還是平行，均可在α內(nèi)找到與l垂直的直線(xiàn)m，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)l∥α?xí)r，α內(nèi)的直線(xiàn)與l平行或異面，所以不存在m?α，使l，m相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)直線(xiàn)l⊥α?xí)r，直線(xiàn)l與α內(nèi)的所有直線(xiàn)均垂直，故不存在直線(xiàn)m?α，使l，m所成角為eq\f(π,6)，故D錯(cuò)誤.6.(多選)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中點(diǎn)，直線(xiàn)A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是()A.A，M，O三點(diǎn)共線(xiàn) B.A，M，O，A1共面C.A，M，C，O共面 D.B，B1，O，M共面答案ABC解析∵M(jìn)∈A1C，A1C?平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M(jìn)∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1與平面A1ACC1的交線(xiàn)AO上，即A，M，O三點(diǎn)共線(xiàn)，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故選ABC.7.(2024·鄭州質(zhì)檢)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線(xiàn)AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),6) C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(2),2)答案C解析法一如圖，補(bǔ)上一相同的長(zhǎng)方體CDEF－C1D1E1F1，連接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，則∠B1DE1為異面直線(xiàn)AD1與DB1所成角(或其補(bǔ)角).因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，所以DE1＝eq\r(DE2＋EEeq\o\al(2,1))＝eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2，DB1＝eq\r(12＋12＋（\r(3)）2)＝eq\r(5)，B1E1＝eq\r(A1Beq\o\al(2,1)＋A1Eeq\o\al(2,1))＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，在△B1DE1中，由余弦定理，得cos∠B1DE1＝eq\f(22＋（\r(5)）2－（\r(5)）2,2×2×\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，即異面直線(xiàn)AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5).法二如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點(diǎn)M，連接DM，OM，易知點(diǎn)O為BD1的中點(diǎn)，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線(xiàn)AD1與DB1所成角(或其補(bǔ)角).因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，所以AD1＝eq\r(AD2＋DDeq\o\al(2,1))＝2，DM＝eq\r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)，DB1＝eq\r(AB2＋AD2＋DDeq\o\al(2,1))＝eq\r(5)，所以O(shè)M＝eq\f(1,2)AD1＝1，OD＝eq\f(1,2)DB1＝eq\f(\r(5),2)，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2),2×1×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),5)，即異面直線(xiàn)AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5).8.已知a，b，c是不同直線(xiàn)，α是平面，若a∥b，b∩c＝A，則直線(xiàn)a與直線(xiàn)c的位置關(guān)系是________；若a⊥b，b⊥α，則直線(xiàn)a與平面α的位置關(guān)系是________.答案相交或異面a∥α或a?α解析a，b，c是不同直線(xiàn)，α是平面，因?yàn)閍∥b，b∩c＝A，所以直線(xiàn)a與直線(xiàn)c的位置關(guān)系是相交或異面.因?yàn)閍⊥b，b⊥α，則直線(xiàn)a與平面α的位置關(guān)系是a∥α或a?α.9.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線(xiàn)EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為_(kāi)_______.答案4解析因?yàn)锳B∥CD，由圖可以看出EF平行于正方體左右兩個(gè)側(cè)面，與另外四個(gè)側(cè)面相交.10.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O是底面ABCD的中心，過(guò)O點(diǎn)作一條直線(xiàn)l與A1D平行，設(shè)直線(xiàn)l與直線(xiàn)OC1的夾角為θ，則cosθ＝________.答案eq\f(\r(3),6)解析如圖所示，設(shè)正方體的表面ABB1A1的中心為點(diǎn)P，容易證明OP∥A1D，所以直線(xiàn)l即為直線(xiàn)OP，∠POC1＝θ或π－θ.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則OP＝eq\f(1,2)A1D＝eq\r(2)，OC1＝eq\r(6)，PC1＝eq\r(6)，則cosθ＝|cos∠POC1|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2＋6－6,2×\r(2)×\r(6))))＝eq\f(1,2\r(3))＝eq\f(\r(3),6).11.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線(xiàn).證明(1)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD.在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，所以GH∥BD，所以EF∥GH.所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.(2)因?yàn)镋G∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn).又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點(diǎn)共線(xiàn).12.如圖，已知在空間四邊形