摘要：冪級(jí)數(shù)和函數(shù)問(wèn)題是數(shù)學(xué)分析課程中的重要內(nèi)容，利用函數(shù)這一數(shù)學(xué)工具可以有效解決數(shù)學(xué)中的很多問(wèn)題。介紹了冪級(jí)數(shù)和函數(shù)以及求和函數(shù)的方法，對(duì)冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的應(yīng)用展開了討論。應(yīng)用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解決問(wèn)題，必須細(xì)心分析，選擇合適的冪級(jí)數(shù)是解決這類問(wèn)題的核心。和函數(shù)可以通過(guò)逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)微分等方法求解，計(jì)算過(guò)程中要靈活變形，具體問(wèn)題具體分析.掌握冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的應(yīng)用方法，對(duì)提高問(wèn)題的解決與處理能力有重要的幫助。關(guān)鍵詞：冪級(jí)數(shù)；函數(shù)；應(yīng)用1前言1.1研究背景作為數(shù)學(xué)的一門分支學(xué)科,冪級(jí)數(shù)論發(fā)端于十八世紀(jì)。為冪級(jí)數(shù)論的創(chuàng)建做了最早期工作的是歐拉、達(dá)朗貝爾,他們都是這門學(xué)科的先驅(qū)。1774年,歐拉在他的一篇論文中考慮了由冪級(jí)數(shù)的積分的性質(zhì)。而比他更早時(shí),法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在他的關(guān)于流體力學(xué)的論文中,就己經(jīng)得到了它們。因此,后來(lái)人們提到這兩個(gè)方程,把它們叫做“達(dá)朗貝爾一歐拉方程”。到了十九世紀(jì),在柯西和黎曼研究流體力學(xué)時(shí),對(duì)上述兩個(gè)方程作了更詳細(xì)的研究,所以這兩個(gè)方程也被叫做“柯西一黎曼條件”。從此,冪級(jí)數(shù)的研究對(duì)象就建立于在復(fù)數(shù)域內(nèi)滿足這個(gè)條件的一類解析函數(shù)上。冪級(jí)數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì),就像微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣,冪級(jí)數(shù)這個(gè)新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)?？挛鳌⑽籂査固乩?、黎曼將他們的技術(shù)集中應(yīng)用于復(fù)變量函數(shù)論的基礎(chǔ)中,他們均給出了這門學(xué)科的正式特征。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家公認(rèn)冪級(jí)數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支,并且稱其為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受,克萊因稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。二十世紀(jì)初,冪級(jí)數(shù)理論經(jīng)過(guò)長(zhǎng)足的發(fā)展,以其完美的理論與精湛的技巧成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分。它極大地推動(dòng)了一些學(xué)科的發(fā)展,如微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學(xué)科,許多現(xiàn)代理論都是根植于那個(gè)時(shí)期的數(shù)學(xué)研究并且冪級(jí)數(shù)理論常常作為一個(gè)有力的工具解決實(shí)際問(wèn)題中復(fù)雜的計(jì)算,如物理學(xué)上穩(wěn)定場(chǎng)的計(jì)算以及在流體力學(xué)和航空力學(xué)等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用,它的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程。瑞典數(shù)學(xué)家米塔一列夫勒、法國(guó)數(shù)學(xué)家彭加勒、阿達(dá)瑪?shù)茸髁舜罅康难芯抗ぷ?開拓了冪級(jí)數(shù)論更廣闊的研究領(lǐng)域,為這門學(xué)科的壯大與拓廣做出了非同尋常的貢獻(xiàn)。因此,以冪級(jí)數(shù)理論為研究對(duì)象,對(duì)其展開思想方法演變的歷史研究,不僅具有學(xué)科史的理論價(jià)值,而且也具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。冪級(jí)數(shù)在研究函數(shù)方面是一個(gè)很有力的工具。它是一類形式簡(jiǎn)單而應(yīng)用廣泛的函數(shù)級(jí)數(shù)，基礎(chǔ)初等函數(shù)在一定范圍內(nèi)都可展開成冪級(jí)。當(dāng)前對(duì)冪級(jí)數(shù)和函數(shù)研究在不斷發(fā)展，冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)日益完善。冪級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)非常重要的內(nèi)容，同時(shí)在復(fù)變函數(shù)論中，函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開無(wú)論在理論上還是在應(yīng)用上都占有非常重要的地位是復(fù)變函數(shù)中的重要工具。運(yùn)用冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，可以解決很多數(shù)學(xué)難題。用冪級(jí)數(shù)表示的力學(xué)方程可以解決很多工程力學(xué)問(wèn)題，在應(yīng)用內(nèi)容上非常豐富。目前冪級(jí)數(shù)對(duì)其他領(lǐng)域，如非線性橢圓型方程、循環(huán)碼等，的研究含不夠完善，所以要通過(guò)這個(gè)研究對(duì)冪級(jí)數(shù)和函數(shù)應(yīng)用建立完整體系。1.2研究意義當(dāng)前，對(duì)冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的研究已經(jīng)較為全面，但在其應(yīng)用方面的總結(jié)和研究還有一定的缺陷和不足，但這個(gè)內(nèi)容對(duì)冪級(jí)數(shù)和函數(shù)能否在實(shí)際工作和生活中得到發(fā)展至關(guān)重要，所以要通過(guò)這個(gè)研究對(duì)冪級(jí)數(shù)和函數(shù)應(yīng)用建立完整體系，為一線工作人員提供理論的參考。本研究是基于冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的理論性質(zhì)的概述和應(yīng)用相關(guān)文獻(xiàn)的總結(jié)，有助于探討函數(shù)冪級(jí)數(shù)在三角級(jí)數(shù)的求和、組合問(wèn)題和線性遞歸數(shù)列等方面的應(yīng)用問(wèn)題，為以后的研究提供參考依據(jù)。1.3研究現(xiàn)狀函數(shù)和冪函數(shù)的應(yīng)用在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究不斷深化，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的研究也在不斷發(fā)展。無(wú)窮級(jí)數(shù)是微積分學(xué)的重要組成部分,在數(shù)學(xué)理論研究和工程實(shí)際應(yīng)用上起著舉足輕重的作用。有關(guān)無(wú)窮級(jí)數(shù)里最常見的一類函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)——冪級(jí)數(shù)問(wèn)題的研究在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中顯得十分有意義。方艷等人[1]通過(guò)若干實(shí)例對(duì)冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求解思路進(jìn)行總結(jié),并給出具體的解題過(guò)程。

冪級(jí)數(shù)利用冪函數(shù)的和即多項(xiàng)式來(lái)表示函數(shù),是一類形式簡(jiǎn)單而應(yīng)用廣泛的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?；境醯群瘮?shù)在一定范圍內(nèi)都可以展開成冪級(jí)數(shù)。冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算包含最簡(jiǎn)單的加減乘除四則運(yùn)算,其積分和求導(dǎo)也十分方便,因此冪級(jí)數(shù)已經(jīng)成為研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具,在理論證明和工程計(jì)算中有廣泛應(yīng)用。陳芳芳[2]重點(diǎn)介紹了函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式在近似計(jì)算、微分方程求解、歐拉公式證明、累積分布函數(shù)計(jì)算、電場(chǎng)計(jì)算中的應(yīng)用,以加深對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解。對(duì)任何概率分布參數(shù)的估計(jì)都是至關(guān)重要的，因?yàn)椴痪_和有偏的估計(jì)可能會(huì)產(chǎn)生誤導(dǎo)。Muhammad等人[3]研究了一種柔性冪函數(shù)分布，提出了兩種新的參數(shù)加權(quán)方法，即概率加權(quán)矩法和廣義概率加權(quán)法。ZakaA等人[4]研究了兩參數(shù)冪函數(shù)分布的極大似然估計(jì)、矩估計(jì)和百分位估計(jì)的修正。用蒙特卡羅模擬方法表明了估計(jì)量的抽樣行為。對(duì)于某些參數(shù)值組合，在偏差、均方誤差和總偏差方面，一些修正的估計(jì)量比傳統(tǒng)的極大似然估計(jì)量、矩估計(jì)量和百分位數(shù)估計(jì)量更好。同時(shí)，將函數(shù)和冪級(jí)數(shù)應(yīng)用到科研結(jié)果的驗(yàn)證，同時(shí)它們的應(yīng)用已經(jīng)發(fā)展到了各行各業(yè)，不在局限于理論的研究。密碼學(xué)是近年來(lái)發(fā)展最為迅速的非交換密碼學(xué)，其主要原因是對(duì)量子密碼分析的抵制。SakalauskasE等人[5]提出了一種基于矩陣冪函數(shù)的非對(duì)稱密碼算法。Akimenko等人[6]研究了兩種具有非線性死亡率和多循環(huán)繁殖條件的年齡結(jié)構(gòu)種群動(dòng)力學(xué)模型的行波解的顯式遞歸算法和數(shù)值性質(zhì)。遞歸公式使在研究中能夠建立精確的數(shù)值算法，并通過(guò)一組參數(shù)化代數(shù)函數(shù)對(duì)種群動(dòng)態(tài)的不同場(chǎng)景進(jìn)行大量模擬。復(fù)變函數(shù)中研究解析函數(shù)主要有兩種方法:一個(gè)是由Cauchy提出的積分表示方法,另一種是由Weierstrass提出的冪級(jí)數(shù)方法.冪級(jí)數(shù)方法是研究解析函數(shù)的一種重要方法,是復(fù)變函數(shù)論中的主要內(nèi)容.金帥等人[7]將單復(fù)變解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展式在多復(fù)變的乘積域中做了一個(gè)簡(jiǎn)單的推廣，成為研究多復(fù)變?nèi)兒瘮?shù)的一個(gè)重要工具。Zhou等人[8]對(duì)土壤異養(yǎng)呼吸的動(dòng)態(tài)變化及其與氣候因子的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系進(jìn)行研究，用三種模型，即對(duì)數(shù)線性模型、指數(shù)模型和冪模型，進(jìn)行擬合和評(píng)價(jià)。結(jié)果表明，冪函數(shù)模型比指數(shù)衰減模型更準(zhǔn)確地描述了亞熱帶森林礦質(zhì)土壤有機(jī)碳的分解動(dòng)態(tài)。Rajat等人[9]在研究含水層物質(zhì)顆粒粒度分布對(duì)其滲透性的影響時(shí)建立了冪函數(shù)模型，所建立的冪函數(shù)模型為估算井的產(chǎn)量、土工結(jié)構(gòu)下的滲流和合理精度的過(guò)濾器設(shè)計(jì)提供了一個(gè)有效的工具。Goans[10]利用傷口保留度的冪函數(shù)描述，不同傷口類別在對(duì)數(shù)尺度上呈直線，不同坡度對(duì)應(yīng)不同保留度類別。2相關(guān)理論2.1冪級(jí)數(shù)具有下列形式的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為在點(diǎn)處的冪級(jí)數(shù)。稱為在點(diǎn)處的冪級(jí)數(shù)。若對(duì)冪級(jí)數(shù)中的每一個(gè)，都有，則稱為冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。簡(jiǎn)言之，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)即是無(wú)窮個(gè)冪函數(shù)之和。因此使得冪級(jí)數(shù)有和函數(shù)的自變量的取值范圍，稱之為冪級(jí)數(shù)的收斂域或收斂區(qū)間。而收斂區(qū)間的一半簡(jiǎn)稱為收斂半徑[11]。2.2冪級(jí)數(shù)和函數(shù)由冪級(jí)數(shù)可知，可以把冪級(jí)數(shù)的部分和記為：且部分和的極限就是和函數(shù)。即涉冪函數(shù)的和函數(shù)為，收連半徑為，則：(1)連續(xù)性冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)；即在收斂域內(nèi)的任何一點(diǎn)都有極限值等于函數(shù)值。即。(2)可導(dǎo)性冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，并且可以對(duì)其逐項(xiàng)求導(dǎo)，即對(duì)任意的，有，逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑；(3)可積性冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可積，并且可以對(duì)其逐項(xiàng)積分，即對(duì)任意的，有逐項(xiàng)積分后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑[12]。3冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的應(yīng)用研究3.1函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)3.1.1泰勒級(jí)數(shù)給定函數(shù)，要考慮是否能找到這樣一個(gè)冪級(jí)數(shù)，它在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定的函數(shù)。如果能找到這樣的冪級(jí)數(shù)，就可以說(shuō)，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級(jí)數(shù)。泰勒中值定理如下：如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有直到的階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)在內(nèi)時(shí)，可以表示為的一個(gè)次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)之和：其中這里是與之間的某個(gè)值。泰勒級(jí)數(shù)定義為：如果在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，，，，，則當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)的泰勒多項(xiàng)式為：成為冪函數(shù)這一冪函數(shù)成為函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)。顯然，當(dāng)時(shí)，的泰勒級(jí)數(shù)收斂于。除了外，的泰勒級(jí)數(shù)是否收斂？如果收斂，它是否一定收斂于？定理一：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的有一領(lǐng)域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則在該領(lǐng)域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是的泰勒公式中的余項(xiàng)當(dāng)時(shí)的極限為零，即證明：必要性證明：設(shè)在內(nèi)能展開為泰勒級(jí)數(shù)，即：因?yàn)榈碾A泰勒公式可寫成，其中是的泰勒級(jí)數(shù)的前項(xiàng)的和，又在內(nèi)有。于是。由此，可證明條件的必要性。充分性證明：設(shè)對(duì)一切成立。因?yàn)榈碾A泰勒公式可寫成，于是，即的泰勒級(jí)數(shù)在內(nèi)收斂，并且收斂于。3.1.2麥克勞林級(jí)數(shù)在泰勒級(jí)數(shù)中取，得，此級(jí)數(shù)稱為的麥克勞林級(jí)數(shù)。如果能展開成的冪函數(shù)，那么這種展開式是唯一的，它一定與的麥克勞林級(jí)數(shù)一致。事實(shí)上，如果在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有冪級(jí)數(shù)展開式，那么必有：，，，把代入以上各式，得，，，...，...如果能展開成的冪級(jí)數(shù)，那么這個(gè)冪級(jí)數(shù)就是的麥克勞林級(jí)數(shù)。但是，反過(guò)來(lái)，如果的麥克勞林級(jí)數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)收斂，它卻不一定收斂于。因此，如果在點(diǎn)處具有各階導(dǎo)數(shù)，則的麥克勞林級(jí)數(shù)雖然能做出來(lái)，但這個(gè)級(jí)數(shù)是否在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂，以及是都收斂于需要進(jìn)一步考察。3.1.3冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的應(yīng)用的步驟第一步求，，...，，...第二步求，，...，，...第三步寫出冪級(jí)數(shù)，并求出收斂半徑。第四步考察當(dāng)在區(qū)間內(nèi)時(shí)余項(xiàng)的極限是否為零。若為零，則在區(qū)間內(nèi)有3.2冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的方法探究3.2.1定義法若冪級(jí)數(shù)前項(xiàng)和函數(shù)列有極限，即存在，則此冪級(jí)數(shù)收斂，且和函數(shù)［8］。例3.2-1:求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，其中，。解:當(dāng)時(shí)，此方法簡(jiǎn)便易行，只需要先求冪級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和，然后取極限就好，因此它適用于一切形式的冪級(jí)數(shù)求和。但具體問(wèn)題要具體分析，對(duì)于通項(xiàng)比較復(fù)雜的冪級(jí)數(shù)，如就不能生搬硬套應(yīng)用定義法了。3.2.2逐項(xiàng)求導(dǎo)法若冪級(jí)數(shù)通項(xiàng)的系數(shù)是自然數(shù)的倒數(shù)或相鄰的自然數(shù)乘積的倒數(shù)，即在分母上時(shí)，可考慮用“先求導(dǎo)，再積分”的做法。例3.2-2:求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。解:由題意，易知冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為［－1，1］當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)先上式兩邊求導(dǎo)得:再求導(dǎo)得:這樣經(jīng)過(guò)兩次求導(dǎo)得出了一個(gè)系數(shù)不含的冪級(jí)數(shù)，利用無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的求和公式就能得出：上式兩邊積分得:再積分得:于是就得到當(dāng)時(shí)的和函數(shù)為當(dāng)時(shí)，綜上所述3.2.3逐項(xiàng)積分法若冪級(jí)數(shù)通項(xiàng)的系數(shù)是自然數(shù)或相鄰的自然數(shù)相乘的形式，即在分子上時(shí)，一般可考慮用“先積分，再求導(dǎo)”的做法［9］。例3.2-3:求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。解:由題意，易知冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?－1，+1)。設(shè)兩邊除以令則將上式兩邊積分得:再積分得:再積分得:這樣經(jīng)過(guò)三次積分后就得出了一個(gè)通項(xiàng)不含的冪級(jí)數(shù)了，于是可利用無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的求和公式求出對(duì)上式第一次求導(dǎo)得:第二次求導(dǎo)得:第三次求導(dǎo)得:而可得所求和函數(shù)3.2.4其他方法例3.2-4:求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)。解:因?yàn)楣十?dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂。易知時(shí)級(jí)數(shù)收斂，時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，所以該冪級(jí)數(shù)的收斂域是［－1，1)。又由于所以，令則不難求出:故當(dāng)時(shí)，時(shí)，因?yàn)楣视?.3冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的幾點(diǎn)應(yīng)用介紹3.3.1皮亞諾型余項(xiàng)應(yīng)用于函數(shù)冪級(jí)數(shù)的求解級(jí)數(shù)理論是分析學(xué)的一大分支，它與另一大分支微積分學(xué)作為基礎(chǔ)知識(shí)及工具出現(xiàn)在其余各分支中，二者共同以極限為基本工具，分別從離散和連續(xù)兩方面，結(jié)合起來(lái)研究分析學(xué)的研究對(duì)象──函數(shù)。級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，在理論上和實(shí)際應(yīng)用中都處于重要地位，原因是，一方面能借助級(jí)數(shù)表示許多常用的非初等函數(shù)；另一方面又能將函數(shù)表為級(jí)數(shù)，從而借助級(jí)數(shù)去研究函數(shù)。黃勇等人[13]研究了在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，可以利用級(jí)數(shù)展開法將比較復(fù)雜的變系數(shù)微分方程轉(zhuǎn)化為一組線性代數(shù)方程進(jìn)行研究，是一個(gè)很好的辦法。陳乾等人[14]研究了在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，針對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)章節(jié)，剖析了學(xué)生學(xué)習(xí)困境產(chǎn)生的原因，然后從“教”與“學(xué)”兩個(gè)方面，給出了幫助學(xué)生擺脫困境的策略。姜瑩瑩等人[15]使用級(jí)數(shù)等概念，對(duì)高等數(shù)學(xué)與中等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法進(jìn)行了對(duì)比研究分析，得出學(xué)習(xí)方法需要進(jìn)行轉(zhuǎn)換適應(yīng)等結(jié)論。于力等人[16]研究了帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式在求極限以及判定極值方面的應(yīng)用。袁秀萍[17]研究了帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式在解決考研試題方面的應(yīng)用。在分析學(xué)中，把函數(shù)在點(diǎn)的鄰域上展開成冪級(jí)數(shù)的方法在函數(shù)理論和實(shí)際計(jì)算中都很實(shí)用，可以用來(lái)判定函數(shù)在點(diǎn)處解析；而判斷函數(shù)在點(diǎn)的鄰域上能夠展開成冪級(jí)數(shù)的關(guān)鍵，又是判斷函數(shù)的泰勒公式余項(xiàng)在該鄰域上的極限為零。接下來(lái)重點(diǎn)討論如何使用皮亞諾型余項(xiàng)來(lái)判斷函數(shù)在點(diǎn)的鄰域上能夠展開成冪級(jí)數(shù)。把已知函數(shù)在點(diǎn)的鄰域上展開成冪級(jí)數(shù)，需要證明成立。對(duì)部分函數(shù)來(lái)說(shuō)，使用皮亞諾型余項(xiàng)來(lái)證明上式成立，證明過(guò)程變得非常簡(jiǎn)潔，請(qǐng)看以下例子。例3.3-1使用直接展開法把函數(shù)在點(diǎn)的鄰域上展開成冪級(jí)數(shù)。解:因，從而，所以函數(shù)生成的麥克勞林級(jí)數(shù)是，（3.3-1）在此過(guò)程中容易得出級(jí)數(shù)(3.3-1)收斂半徑是，而且，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)(3.3-1)收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)(3.3-1)發(fā)散，故級(jí)數(shù)(3.3-1)的收斂域是(-1，1]。再討論在收斂域上它的泰勒公式余項(xiàng)的極限情況。因?yàn)?，得到，使用皮亞諾型余項(xiàng)，所以.對(duì)于，使用拉格朗日型余項(xiàng)，得到，其中，在0與1之間。所以，，都有，得.3.3.2Qp函數(shù)空間中的隨機(jī)函數(shù)全純函數(shù)空間是當(dāng)代復(fù)分析領(lǐng)域、算子理論與泛函分析領(lǐng)域中的一大熱點(diǎn)方向，它與其他許多學(xué)科有著密切的聯(lián)系。例如，它通過(guò)復(fù)合算子、Lipschitz算子、Hilbert算子等分別與復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)、泛函分析、多變量算子理論等建立了密切的聯(lián)系。函數(shù)空間在許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)領(lǐng)域中起著非常重要的作用，表現(xiàn)出來(lái)的形式也不相同，比如在調(diào)和分析領(lǐng)域，也會(huì)經(jīng)常碰到實(shí)值的Hardy空間、Lipschitz空間、Besov空間等。20世紀(jì)上半葉，以Hardy和Littlewood等為首的數(shù)學(xué)家們系統(tǒng)地研究了單變量Hardy空間。之后，單變量解析函數(shù)空間理論得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，Bergman空間理論、BMOA空間理論以及空間理論等相繼出現(xiàn)?？臻g在全純函數(shù)空間理論中有著重要的地位，其最早出現(xiàn)于1993年Aulaskari與Lappan的文章[18]中。對(duì)于空間，可以知道，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于Dirichlet空間；當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，可以作為一般的Dirichlet型空間的生成空間，這方面引起了一些學(xué)者的關(guān)注。此外，空間也有多種推廣形式，如和空間[19-20]。隨機(jī)級(jí)數(shù)最早是在1896年由Broel提出的，但作為理論研究，則始于二十世紀(jì)三十年代Steinhaus，Paley及Zygmund發(fā)表的論文[21-22]。此后，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)隨機(jī)級(jí)數(shù)作了許多研究，并取得許多重要成果。以余家榮教授為代表的國(guó)內(nèi)學(xué)者在隨機(jī)級(jí)數(shù)研究中獲得大量成果。隨機(jī)級(jí)數(shù)有著不同的類型，如隨機(jī)冪級(jí)數(shù)，隨機(jī)泰勒級(jí)數(shù)，隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)等。近年來(lái)，許多學(xué)者研究了它們的收斂性、增長(zhǎng)性、值分布，得到了一系列創(chuàng)造性的成果。全純函數(shù)均可以表示成冪級(jí)數(shù)的形式，而一般冪級(jí)數(shù)或缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)又是研究單位圓盤上解析函數(shù)的重要工具，隨機(jī)冪級(jí)數(shù)是冪級(jí)數(shù)中的一類特殊形式，其與缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)有許多相似的特征，但也有許多不同的地方。例如，對(duì)于Hadamard缺項(xiàng)級(jí)數(shù)：已有如下結(jié)果:，從文獻(xiàn)[23-24]可以看出，這些結(jié)果均不適合隨機(jī)冪級(jí)數(shù)的形式.隨機(jī)冪級(jí)數(shù)與一般冪級(jí)數(shù)也有許多相異的地方，如對(duì)于Steinhaus序列，，而對(duì)于一般冪級(jí)數(shù)只有因此，研究隨機(jī)冪級(jí)數(shù)所表示的函數(shù)與函數(shù)空間的關(guān)系是有必要的。隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)是序列滿足的隨機(jī)級(jí)數(shù)，其中和均為實(shí)變量。文獻(xiàn)[25]中研究了隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的一些性質(zhì)，如增長(zhǎng)性和收斂性.20世紀(jì)90年代以來(lái)，人們對(duì)隨機(jī)泰勒級(jí)數(shù)進(jìn)行了深入的研究，其中為復(fù)數(shù)序列，為Rademacher序列，即僅取±1的隨機(jī)序列。1993年，Cochran，Shapiro和Ullrich給出了隨機(jī)泰勒級(jí)數(shù)屬于函數(shù)空間等系數(shù)判別條件。關(guān)于隨機(jī)冪級(jí)數(shù)的研究，目前在等空間上已有很好的結(jié)果，其中為隨機(jī)Bernolli序列，即隨機(jī)變量是獨(dú)立的，且每個(gè)變量取+1和-1的概率均為1/2。田范基在文獻(xiàn)[26]中給出了一般隨機(jī)冪級(jí)數(shù)屬于函數(shù)空間的充分條件，其中為獨(dú)立對(duì)稱的隨機(jī)變量序列，且滿足。具有Steinhaus序列的隨機(jī)冪級(jí)數(shù)，是一類重要的隨機(jī)級(jí)數(shù)，其中為Steinhaus序列是指對(duì)于所有的有。Anderson，Clunie和Pommerenke給出了時(shí)，幾乎必然屬于空間的條件，Sledd給出了時(shí)，幾乎必然屬于空間的條件。此外，1994年，烏蘭哈斯給出了隨機(jī)冪級(jí)數(shù)幾乎必然屬于和的條件。3.3.3無(wú)理性冪級(jí)數(shù)理論在函數(shù)上的應(yīng)用構(gòu)造某類冪級(jí)數(shù)在單位圓之外不可開拓問(wèn)題是冪級(jí)數(shù)理論研究中的重要內(nèi)容。該問(wèn)題較早由魏爾斯特拉斯研究，并引入了自然邊界的概念。其后許多數(shù)學(xué)家如龐加萊、阿達(dá)瑪、波萊爾等人進(jìn)行了深人探討，并構(gòu)造了不同類型的例子。無(wú)理性冪級(jí)數(shù)作為數(shù)學(xué)家構(gòu)造的在單位圓之外不可開拓的一類冪級(jí)數(shù)在1921年由赫克(EHecke，1887~1947)引入，其他數(shù)學(xué)家如紐曼(MNewman，1897~1984)、莫德爾(LJMordell，1888~1972)、施瓦茲(wschwarz)等人進(jìn)行研究，并得到了諸多深刻結(jié)果。無(wú)理性冪級(jí)數(shù)理論的進(jìn)一步發(fā)展是由Car01l、Kemperman等人做出的。赫克作為一位數(shù)論學(xué)家，在《論解析函數(shù)和模1數(shù)的分布》[27](1921)中，依據(jù)數(shù)模1均勻分布和外爾均勻分布定理，指出若為無(wú)理數(shù)，則冪級(jí)數(shù)和在單位圓之外不可解析開拓。其中表示的分?jǐn)?shù)部分，表示的整數(shù)部分。值得注意的是，赫克指出冪級(jí)數(shù)系數(shù)可在二次域上進(jìn)行討論。CPisot受赫克工作影響，在《模l數(shù)的分布及其代數(shù)數(shù)》[28](1938)中把整系數(shù)的冪級(jí)數(shù)和位于單位圓內(nèi)的共軛代數(shù)數(shù)類的研究結(jié)合起來(lái)得到了一些有意義的結(jié)果，其中之一為波萊爾關(guān)于整系數(shù)冪級(jí)數(shù)在單位圓之外可開拓的重要結(jié)論。繼Pisot和其他一些人的工作后，RSalem證明了一系列關(guān)于具有整系數(shù)冪級(jí)數(shù)理論，清楚地揭示了問(wèn)題的代數(shù)性質(zhì)。Salem在1949年《具有整系數(shù)的冪級(jí)數(shù)[29]中從研究數(shù)的角度出發(fā)探討了整系數(shù)冪級(jí)數(shù)的相關(guān)理論。Salem在文末指出，赫克上述定理的證明可不依賴于均勻分布定理，并證明了下列結(jié)論，包括了赫克的結(jié)果。令表示隨甩無(wú)限增大的正有理函數(shù)，為級(jí)數(shù)的收斂半徑，為的一個(gè)極點(diǎn)，為任意實(shí)數(shù)，則若是一個(gè)代數(shù)整數(shù)；是代數(shù)的，且屬于有理數(shù)域的兩個(gè)條件不都滿足，則。以單位圓為自然邊界。其證明基于普林斯海姆定理和波利亞一卡爾松定理。該定理由施瓦茲在《無(wú)理性冪級(jí)數(shù)》[30](1962)中通過(guò)擴(kuò)大數(shù)域的方法被進(jìn)一步推廣。Salem感謝KurtMahler教授，正是Mahler教授在給他的一封信中，談及了ATllue(1863—1922)《論無(wú)理超越量具備的性質(zhì)》(1912)的文章，在其中探討了PV數(shù)的性質(zhì)，這引起了他的注意。冪級(jí)數(shù)的系數(shù)和其在收斂邊界上的行為表現(xiàn)之間有著重要聯(lián)系，法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪在1892年明確指出這一點(diǎn)。其后，波萊爾、波利亞、奧斯特洛斯基、斯?jié)晒诺葦?shù)學(xué)家研究了函數(shù)在收斂域之外是否可以解析開拓的條件，得到了一些重要定理和一些典型的不可解析開拓的例子。伴隨著數(shù)論理論的發(fā)展，不可解析開拓的例子被進(jìn)一步構(gòu)造，其中無(wú)理性冪級(jí)數(shù)為其中的重要一類。赫克、紐曼、莫德爾等數(shù)學(xué)家對(duì)此進(jìn)行了深入研究，并得到了許多深刻結(jié)果。外爾均勻分布定理是證明所得結(jié)果的重要理論基礎(chǔ)。在無(wú)理性冪級(jí)數(shù)理論發(fā)展的后一階段，Caroll和KempenIlan等人把這一理論納入到不可開拓冪級(jí)數(shù)理論研究中，使其成為特殊情況。4結(jié)論與展望冪級(jí)數(shù)在賦值過(guò)程中存在截?cái)嗾`差，且很多無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂速度慢，需要較大的展開項(xiàng)數(shù)才能獲得可靠的逼近效果。此外，這些逼近方法在自變量區(qū)間內(nèi)效果不穩(wěn)定，例如冪級(jí)數(shù)展開在零點(diǎn)附近時(shí)有較好的逼近效果，而漸近級(jí)數(shù)展開通常在自變量取值較大時(shí)才能很好地逼近原函數(shù)。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算能力的提高，出現(xiàn)了許多數(shù)學(xué)軟件，例如Matlab、Mathematica、Maple等，這些數(shù)學(xué)軟件由算法標(biāo)準(zhǔn)程序發(fā)展而來(lái)，可以對(duì)函數(shù)進(jìn)行賦值和操作。但是這些數(shù)學(xué)軟件中對(duì)特殊函數(shù)的賦值算法還是不夠豐富、高效。因此，探索更精確高效的賦值算法，具有重要意義?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】方艷,程航.冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的幾種常見解法[J].海峽科學(xué),2018(02):87-88.陳芳芳.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用[J].科技資訊,2018,16(14):118-119.MuhammadS,UlH,IjazH,etal.ComparisonofTwoNewRobustParameterEstimationMethodsforthePowerFunctionDistribution[J].PlosOne,2016,11(8):e0160692.ZakaA,AkhterAS.ModifiedMoment,MaximumLikelihoodandPercentileEstimatorsfortheParametersofthePowerFunctionDistribution[J].PakistanJournalofStatistics&OperationResearch,2014,10(4):369.SakalauskasE,MihalkovichA.NewAsymmetricCipherofNon-CommutingCryptographyClassBasedonMatrixPowerFunction[J].Informatica,2013,24(2):283-298.AkimenkoVV.Nonlinearage-structuredmodelsofpolycyclicpopulationdynamicswithdeathratesaspowerfunctionswithexponentn[J].MathematicsandComputersinSimulation,2017,133:175-205.金帥,毛奕岑.冪級(jí)數(shù)在多復(fù)變函數(shù)論中的一個(gè)推廣[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2017(19):5.ZhouW,HeJ,HuiD,etal.Quantifyingtheshort-termdynamicsofsoilorganiccarbondecompositionusingapowerfunctionmodel[J].EcologicalProcesses,2017,6(1):10.RajatK,VijayS,AlamMA.Evaluationofhydraulicconductivitybasedongrainsizedistributionparametersusingpowerfunctionmodel[J].WaterScience&TechnologyWaterSupply,2018:ws2018106-.GoansRE.PowerFunctionRetentionofRadionuclidesinaWound[J].HealthPhysics,2021,120.李錚,周放.高等數(shù)學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2001:391.騰桂蘭,楊萬(wàn)祿.高等數(shù)學(xué)[M].天津:天津大學(xué)出版社,2000:245－246.黃勇,陳曉珠.高等數(shù)學(xué)中冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用［J］.大學(xué)教育,2013（8）:109-110.陳乾,鐘儀華,張晴霞.高等數(shù)學(xué)中無(wú)窮級(jí)數(shù)的學(xué)習(xí)困境及對(duì)策探析［J］.大學(xué)教育,2016（6）:137-140.姜瑩瑩,李蕊,黃晴,等.中學(xué)的感性數(shù)學(xué)與大學(xué)理性分析的轉(zhuǎn)換適應(yīng)［J］.大學(xué)教育,2019（1）:102-104+114.洪麗君,劉金靈,洪曉春.皮亞諾型余項(xiàng)在函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開時(shí)的巧用[J].大學(xué)教育,2020(05):74-75+121.袁秀萍.靈活運(yùn)用泰勒公式提高解題能力［J］.高等數(shù)學(xué)研究,2017（3）:39-41+47.R.AulaskariandP.Lappan,CriteriaforananalyticfunctiontobeBlochandaharmonicormeromorphicfunctiontobenormal,Complexanalysisanditsapplications,PitmanRes.NotesMath.305,LongmanSci.Tech.,Harlow,1994,136-146.S.Stevic,OnCarlesonmeasuresandF(p,q,s)spaceontheunitball,JournalofComputationalAnalysisandApplications,12(2010),313-320.H.WulanandK.Zhu,Lacunary