第十六章《二次根式》單元測(cè)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列式子一定是二次根式的是（)

A.岳B.V5C.Jx+2D.Q

2.使二次根式有意義的X的值為（）

A.x=0B.x=3C.x=4D.x=6

3.已知二次根式4+1,當(dāng)x=3時(shí)，此二次根式的值為（）

A.2B.±2C.4D.±4

4.下列計(jì)算正確的是（）

A.572-472=1B.V2+V3=V5C.V64-72=3D.(-V2)2=2

5.已知最簡(jiǎn)二次根式與血是同類(lèi)二次根式，則a的值是（）

A.2B.3C.4D.5

6.估計(jì)修房-伺千月的值應(yīng)在（)

A.4和5之間B.5和6之間C.6和7之間D.7和8之間

7.下列語(yǔ)句中，正確的是（）

A.若。＞。，則=aB.若=a9貝*]。＞。

C.若a為任意實(shí)數(shù)，則府=土“D.若a為任意實(shí)數(shù)，則（必）=+a

8.若中＜0,則化簡(jiǎn)后的結(jié)果是（）

A.xyB.C.-Xyl^yD.-Xy[y

9.在長(zhǎng)方形23C。中無(wú)重疊地放入面積分別為16cm2和12cm2的兩張正方形紙片，則圖中空白部

分的面積為（）

城心

1216

B.(16-8百卜nr

10.若q=2020x2022—2020x202l,b=J2023?-4x2022,c=,202儼+1,則a,b,c的大小關(guān)系是

A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.b>c>a

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.計(jì)算：273x476=.

12.若G是最簡(jiǎn)二次根式，則x的值可以是.（寫(xiě)出一個(gè)即可）

13.比較大小：6非5V6（填“或“<”）,

14.若白+HI有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______.

x-l

15.定義關(guān)于“區(qū)”的新運(yùn)算：當(dāng)a>b時(shí)，a?b=a+b-當(dāng)。<6時(shí)，a?b=a-b,其他運(yùn)算符號(hào)

的意義不變.按上述定義，計(jì)算：（&?）1）-（6?）2）=.

16.我國(guó)南宋著名的數(shù)學(xué)家秦九韶，曾提出利用三角形的三邊求面積的“秦九臨公式”：如果

若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是5,6,7,則這個(gè)三角形的面積等于

三、（本大題共4小題，每小題6分，共24分）

17.將下列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式：

（1）V12;

⑵^4x3y2（y>0）;

(3)飛27/b%s(a<0,b<0,c<0).

18.計(jì)算：

⑵及巫B

(1)V27—+V3xG+

v2

19.已知G7是最簡(jiǎn)二次根式，且與可以合并.

(1)求x的值；

⑵求477與點(diǎn)的乘積.

20.已知°=近+2,6=5-2,求下列各式的值.

(1)a1-2ab+b2.

⑵a2-b2.

四、(本大題共3小題，每小題8分，共24分)

21.定義：若兩個(gè)二次根式a,b滿足a)=c,且c是有理數(shù)，則稱(chēng)a與b是關(guān)于c的共軻二

次根式.

⑴若a與也是關(guān)于4的共扼二次根式，求a的值；

⑵若2+6與4+省機(jī)是關(guān)于2的共施二次根式，求m的值.

22.若無(wú)＜3,化簡(jiǎn)正-6〉+9+卜-3|,某同學(xué)的解答過(guò)程如下圖.

解：原式=\/（工一3）2+|%-31第一步

=1一3+3-%第二步

=2第三步

(1)該同學(xué)的解答從第.步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是用錯(cuò)了性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，77=

；當(dāng)。時(shí)，

⑵寫(xiě)出原題正確的解答過(guò)程;

(3)若實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：后―后+&a+bY.

ah

ii.i?iI.I?

-3-2-1012345

23.觀察下列等式：

第一個(gè)等式：墓+1=，3+2&；

第二個(gè)等式：V3+V2=75+276;

第三個(gè)等式：2+石=47+46；

根據(jù)上述規(guī)律解決下列問(wèn)題：

（1）寫(xiě)出第四個(gè)等式：;

⑵寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并給出證明.

五、（本大題共2小題，每小題12分，共24分）

24.像“-2百,7V96-V63...這樣的根式叫做復(fù)合二次根式.有一些復(fù)合二次根式可以借

助構(gòu)造兩數(shù)和（差）的平方公式進(jìn)行化簡(jiǎn):

請(qǐng)用上述方法探索并解決下列問(wèn)題:

（1）請(qǐng)你嘗試化簡(jiǎn)：歷屋石;

⑵若機(jī)+4后，且。，b,加均為正整數(shù)，則加的值為

25.觀察下列計(jì)算：三eh—

___]____6-8_B

71772-(V3+V2XV3-V2)77

]==V4-V3.............

V4+V3-(V4+V3)(V4-V3)-；

則：

11

V10+V9-------------------；VK)0+A/99--------------------；

⑵從計(jì)算結(jié)果找出規(guī)律；;

(3)利用這一規(guī)律計(jì)算：

(——+廣1廠+廠1廣+…+/1/](，2024+1)的值.

LV2+1V3+V2V4+V3J2024+J2023「

答案

一、選擇題

1.B

【分析】本題考查了二次根式的定義，形如&（。20）的式子叫二次根式，根據(jù)二次根式的定義,

逐項(xiàng)判斷即可求解.

【詳解】解：A、岳，x有可能小于0,故不一定是二次根式，不符合題意；

B、括是二次根式，符合題意；

C、Jx+2,若x<-2時(shí)，Jx+2無(wú)意義,不符合題意；

D、Q被開(kāi)方數(shù)小于0,無(wú)意義，不符合題意；

故選：B.

2.D

【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式x-520,

即可得出結(jié)論.

【詳解】解：由題意得，%-5>0,

解得，x>5,

故x的值可以為6,

故選：D.

3.A

【分析】把x=3代入G7進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：當(dāng)x=3時(shí)，671=歷1=2,

故選A.

4.D

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：根據(jù)加減乘除法則逐項(xiàng)分析，即可作答.

【詳解】解：A、5V2-4V2=V2,該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；

B、也與百不是同類(lèi)項(xiàng)，故選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；

C、叵=也,故選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；

D、卜血）=2,故選項(xiàng)是正確的；

故選：D

5.B

【分析】幾個(gè)二次根式化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)

二次根式.所以根據(jù)題意得2a-4=2解出a的值即可.

【詳解】解：??,最簡(jiǎn)二次根式與四是同類(lèi)二次根式，

2a-4=2

..4=3

故選B.

6.A

【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，掌握夾逼法，利用二次根式的混合運(yùn)算將原式化簡(jiǎn)，再進(jìn)

行無(wú)理數(shù)的估算即可.

【詳解】解：（2后一灰bG

=（2x276-76）4-^3

=3庭一百

=3A/2,

V16<18<25,

4<V18<5,即4<3正<5,

（2后一戈卜行的值應(yīng)在4和5之間.

故選：A.

7.A

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，而第=｛：;?），據(jù)此即可求解.

【詳解】解：?.?籽=14,

???若。>0,則必=a,故A正確；

若V?=Q,則|〃|二Q,

：.a>0,故B錯(cuò)誤;

病=同=故c錯(cuò)誤；

（J■）=（時(shí)丫=小故D錯(cuò)誤；

故選：A

8.D

【分析】根據(jù)刈<o,有意義可得x<0,y>0,進(jìn)而即可求解.

【詳解】>：V^<0,有意義，

x<Q,y>0,

=x=x

?*.4^y\\yly~^y，

故選：D.

9.A

【分析】本題主要考查二次根式的應(yīng)用，算術(shù)平方根的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)正方形的面積求出兩個(gè)

正方形的邊長(zhǎng)即可得出結(jié)果.

【詳解】解：..?兩張正方形紙片面積分別為16cm2和12cm2,

,它們的邊長(zhǎng)分別為加=4,712=273,

AB=4cm,BC=^2>/3+4）cm,

???空白部分的面積=（26+4）x4-12-16

=873+16-12-16

=（8V3-12）cm2

故選：A.

10.A

【分析】分別將a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)后對(duì)平方進(jìn)行比較得

出結(jié)論.

【詳解】解：?."=2020x2022-2020x2021=2020x（2022-2021）=2020,

2

a=20202,

b=A/20232-4x2022,c=720212-1,

b2=20232-4x2022=（2022+l）2-4x2022=（2022-l）2=20212,

c2=20212+l,

20202<20212<20212+1,C2>b2>a2,

Va.b、c都是大于0的實(shí)數(shù)，

c>b>a9

故選：A.

二、填空題

11.2472

【分析】本題考查二次根式的乘法，根據(jù)G?斯=而（/0,此0）計(jì)算，再利用二次根式的性質(zhì)

化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：273x476=8718=2472,

故答案為：245G.

12.3（答案不唯一）

【分析】最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的

因數(shù)或因式.

【詳解】解：當(dāng)x=3時(shí)，"1=0是最簡(jiǎn)二次根式，

故答案為：3（答案不唯一）.

13.>

【分析】本題考查了算術(shù)平方根和二次根式的大小比較，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū容^兩個(gè)數(shù)的大小

是解此題的關(guān)鍵.

先把根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，再比較即可.

【詳解】解：645=V62X5=V180,576=A/52X6=V150,

V180>150,

V180>V150,

6A/5>5>/6,

故答案為：>.

3

14.xWj且xwl

【分析】本題考查了分式有意義的條件和二次根式有意義的條件.根據(jù)分式有意義的條件“分

母不為0”以及二次根式有意義的條件“被開(kāi)方數(shù)不小于0”列不等式組，求解即可.

【詳解】解：由題意得，［二:，

［3-2x>0

3

解得：xW'且XN1,

故答案為：xW］且xwl.

15.3

【分析】利用題中的新定義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可.

【詳解】>：vV3>l,

VV3<2,

.-.V302=V3-2,

則原式=A/3+1—V3+2=3,

故答案為：3.

16.6瓜

【分析】本題考查了代數(shù)式求值，二次根式的應(yīng)用，理解題意將邊長(zhǎng)代人正確求值是解答本題

的關(guān)鍵.根據(jù)題中給出的“秦九臨公式“，把三邊長(zhǎng)直接帶入進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：根據(jù)s=0出-“BC的三邊長(zhǎng)分別為5,6,7,

s=152義62/=r=66

FL12〃

故答案為：6^/6.

17.(1)解：712=273;

(2)解：=2xy4x;

(3)解：，27a%2c5=3abe2J3ac.

18?⑴解:+6=3癢*+石=苧；

(2)解：血乂退+=娓+—痛=娓+2而—瓜=2瓜.

V2

19.(1)解：???477是最簡(jiǎn)二次根式，且與=；加可以合并,

x+1=10,

解得x=9;

(2)解：當(dāng)x=9時(shí)，yjx+1xj=，9+1xj=^10x-1=5.

20.(1)解：'：a=^7+2,b=5-2,

，a+6=g+2+V7-2=2g,

0_方=(療+2卜(0-2)=4,

/.a2-2ab+b2=(a-b)2=42=16;

(2)a2-廿=(a+b)(a-b)=25x4=8行.

四、

21.(1);a與也是關(guān)于4的共軻二次根式,

??A/2(Z=4.

,a*2G.

(2)：2+6與4+百加是關(guān)于2的共扼二次根式,

(2+⑹.(4+6機(jī))=2.

22(2-百)

?4+、/?一____=____1_____L___=4-26.

…2+6(2+礎(chǔ)2-e)

m=—2,

22.(1)解：該同學(xué)的解答從第二步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，

二次根式的性質(zhì)為必=問(wèn)=；o，

故答案為：二，a,-a.

(2)解：Vx<3,

..。x。-6x+9+—31=J(x-3)+|x—3|=3-x+3-x=6—2x,

(3)解：由數(shù)軸可得，-2<a<-1,2<b<3,a+b>0,

4^-后++b)2=-a-b+a+b=0.

23.(1)解：由題意可得：第四個(gè)等式為：75+2=79+475,

故答案為：75+2=79+475；

(2)猜想的第n個(gè)等式為：J〃+l+〃=12"+1+2，〃2+〃,

=+1+G

.?.所寫(xiě)等式正確.

五、

24.(1)解：TT+WT

=G+2;

(2),加+4貶=(〃