北京市十一學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：共10小題，每小題5分，共50分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

A=|x|log2x<0},B=<y—<1>

1.已知集合yJ，R是實(shí)數(shù)集，°表示空集，則（）?

A.AI5=(f0)B.A|J3=R

C.AI&5)=(0,1)D.cfa)c(R3)=0

【答案】c

【解析】

【分析】求出集合A和B,利用交集和補(bǔ)集定義求解.

【詳解】集合A={x|log2X<0}={x[0<x<l},5={y|-<l}={y|y<>1},

一y

所以=故A錯(cuò)誤;

=或0<x<l或x>l},故B錯(cuò)誤;

\3={x[0<x<l},所以AI(^B)=(O,l),故C正確;

\A={x|x<0或x21},所以(瘠A)c(RB)={0,1},故D錯(cuò)誤.

故選：C.

/

2.設(shè)〃二-I,b=lg(sin2),。=1嗎2,則a,4c的大小關(guān)系是

A.a>b>cB.d>c>bC.b>d>cD.b>c>a

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及正弦函數(shù)的單調(diào)性，利用中間量法即可得出答案.

0.1

3I>g)=1,Z?=lg(sin2)<lgl=0,

【詳解】解：a=

2

,/log31<log32<log33,.*.0<c<l,

則a,A,c的大小關(guān)系是d>c>b.

故選：B.

cos850+sin25°cos30°/、

3.--------------------二()

cos25°

A.—且B.交C.!D.2

22*23*5

【答案】C

【解析】

【分析】將8$85°轉(zhuǎn)化為(：05(60°+25°),然后利用三角函數(shù)的兩角和公式展開(kāi)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算.

【詳解1根據(jù)三角函數(shù)兩角和公式，貝!Jcos85°=cos(60°+25°)=cos60°cos25°-sin60°sin25°.

代入原式化簡(jiǎn)，

將cos85°=cos60°cos250-sin60°sin25°代入原式+sin2/cos3°可得：

cos25

cos60°cos25°-sin60°sin25°+sin25°cos30°_cos60°cos25°+sin25°(cos30°-sin60°)

cos25°cos25°

因?yàn)閏os30sin60°=，所以cos300-sin60°=0.

22

rgT打4cos600COS250-c。1

則7n原式變?yōu)?-------；——=cos60二一.

cos252

故選：C.

4.已知a為第二象限角，sina+cosa=43，則cos2a=()

3

A.—@B.C.—D.在

3993

【答案】A

【解析】

【詳解】sin<z+cosa=(sina+cosa)2=-,—+Ikn<a(至+2左萬(wàn)1+sin2a=—sin2a=--

332433

5J5

cos22a=—?：兀+4左)<2a<--F4左乃cos2a=-----，故選A.

923

JI

5.已知sin(〃-a)=-2sin(,+a),則sinacosa二

【答案】B

【解析】

JI.

【詳解】試題分析：因?yàn)閟in(〃一a)=-2sin(］+a),所以sin。=—2cosa,tana=-2,所以sinacosa二

sincrcoscr_tanor_-2_2

sin2x+cos2xtan2a+1+1丁故選B.

考點(diǎn)：1、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用；2、同角三角函數(shù)之間的關(guān)系.

6.己知通數(shù)/(x)=l+2sin［2x+g］中，則對(duì)下列結(jié)論判斷正確的為()

①/(x+兀)=/(%)；

②直線(xiàn)X=-A是/(%)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸；

③/(%)在15，言］上單調(diào)遞減；

④點(diǎn),o］是/(X)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心；

⑤/(%)向左平移。個(gè)單位得到的函數(shù)為偶函數(shù).

A.①②③B.①②④C.③④⑤D.①③⑤

【答案】D

【解析】

7T

【分析】需要對(duì)函數(shù)/'(x)=l+2sin(2x+§)的周期性，對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性，圖像變換性質(zhì)逐個(gè)分析，通過(guò)

計(jì)算和推理來(lái)判斷各個(gè)結(jié)論的正確性.

【詳解】判斷①，對(duì)于/(x)=l+2sin［2x+g］最小正周期為T(mén)=g=7i,則/(1+兀)=/(".①正確.

判斷②，當(dāng)％=-三時(shí)，/(—-)=l+2sin(2x(—)+—)

12712123

TTITTTI__

=l+2sin(一一+-)=l+2sin-=l+2x-=2,此時(shí)函數(shù)不是取得最值，所以直線(xiàn)彳=-二不是/(%)圖

636212

象的一條對(duì)稱(chēng)軸，②錯(cuò)誤.

jrJr37r7i7TT

判斷③，令2fei+—<2%+—<2而+—GZ),解得E+—<x<kn-\----.

2321212

yr7TTjr7JT

當(dāng)左=0時(shí)，函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是[一,—],所以/(X)在(一,——)上單調(diào)遞減，③正確.

12121212

判斷④，對(duì)于正弦函數(shù)y=sinx,其對(duì)稱(chēng)中心為(E,0)(AeZ).

,7TJTjzTTJT

對(duì)于函數(shù)/(%)=l+2sin(2%+1)，令2%+4=E(kwZ),%.

JTJTJT

k=l,止匕時(shí)y(g)=l+2sin(2x§+§)=l+2sin7i=l+0=lw0,所以點(diǎn)(^,0)不是/(%)圖象的一個(gè)

對(duì)稱(chēng)中心，④錯(cuò)誤.、

判斷⑤，/(幻向左平移*個(gè)單位，根據(jù)“左加右減”原則，得至Ug(x)=l+2sin[2(x+Z)+']

12123

jrjrjr

=1+2sin(2xd---b—)=1+2sin(2x+—)

632

=l+2cos2x.

^(-x)=1+2cos(-2x)=1+2cos2%=,所以g(x)是偶函數(shù)，⑤正確.

故選：D.

7.若函數(shù)/(x)=sin@x(cy>0)在區(qū)間0,三單調(diào)遞增，在區(qū)間方謂上單調(diào)遞減，則0=()

32

A.3B.2C.-D.-

23

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)/[m]=sing=l求出0=9+6左，keZ,再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間71

0,-單調(diào)遞增，得到

4兀33

T>—,求出0<04巳，從而得到。=巳.

322

【詳解】由題意得/[1]=sin?=l,故半=曰+24兀，k《Z,

3

解得①=—F6k,左cZ,

2

TTjr1ZLJT

又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間o,-單調(diào)遞增，所以--04—T,解得T2—,

L3J343

2兀

因?yàn)镚>0,所以T=—，

co

27r47r3

故」2」，解得0<04巳，

co32

331

故0（心+6人《心，解得一一〈女V0,

224

3

又kwZ,故人=0,所以0=—

2

故選：C

8.VA3C中，內(nèi)角A,5c的對(duì)邊分別為a,6,c,若已知a,仇A,則“〃sinA<a”是“VABC有且僅有

一解”的（）條件.

A,充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】D

【解析】

【分析】給定的邊。、6和角A,通過(guò)正弦定理來(lái)分析三角形解的情況，進(jìn)而判斷兩個(gè)條件之間的邏輯關(guān)

系

【詳解】判斷充分性，

ah

由正弦定理-----=-----可得〃sinA=asin3.

sinAsinB

已知Z?sinA<a,BPasinB<a（因?yàn)閆?sinA=asin5）,由于a>0,所以sin5<l.

當(dāng)Z?sinA<a時(shí)，sinB<l,此時(shí)B可能有兩個(gè)值（一個(gè)銳角和一個(gè)鈍角），那么VA3C可能有兩解，所

以由Z?sin不能推出NABC有且僅有一解，充分性不成立

判斷必要性，

若VABC有且僅有一解，有兩種情況：

ah

情況一：A290°且。2b，此時(shí)由正弦定理-----=-----，可得bsinA=asin5,因?yàn)椤?/7,所以

sinAsinB

bsinA<a.

情況二：Av90°且a=Z?sinA或當(dāng)a=Z?sinA時(shí)，bsinA=a；當(dāng)aNb時(shí)，bsinA<a.

所以由VA5C有且僅有一解不能推出bsinA<a,必要性不成立.

則“加inAva”是“VABC有且僅有一解”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

9.已知函數(shù)〃力=2義：-"的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),ga)=ln(e'+l)—加;是偶函數(shù)，則logR+

log,a=()

A.-2B.2C.-1D.0

【答案】A

【解析】

【分析】首先利用奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)分別求出。與6的值，然后再代入到log〃入+log8a中進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】已知函數(shù)［(x)=2*°的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以/(幻是奇函數(shù).

因?yàn)?(%)的定義域?yàn)镽,那么/(0)=0.

將x=0代入/(%)可得：/(0)=2*；：_=

由/(0)=0,即2—a=0,解得a=2.

因?yàn)間(x)=ln(e*+1)-加;是偶函數(shù),所以g(—x)=g(為.

g(-x)=ln(e-x+1)+Z7x,g(x)=ln(e"+1)-.

則ln(e—"+V)+bx=ln(ex+V)-bx.

11x

對(duì)ln(ef+1)進(jìn)行變形：ln(e-x+1)=ln(—+1)=ln(--+--e---)=ln(e*+l)-lnex=ln(ex+1)-%.

exe%

所以ln(ex+1)-x+/?x=ln(ex+1)-Z?x.

移項(xiàng)可得：2bx=x,對(duì)于任意x都成立，所以26=1,解得b=L.

2

1,1,

將a=2,匕=_代入log〃6+logz,a.則log2i+log_i2.

225

根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則12

，log?!=log22-=-1.

所以1。82；+1。8工2=-1+(—1)=-2.

故的值為一

logab+log"a2.

故選：A.

10.設(shè)函數(shù)/(%)、g(x)滿(mǎn)足下列條件:

(1)對(duì)任意實(shí)數(shù)與、%都有/(%)?/(無(wú)2)+8(%)，g(x2)=g(七一W)；

(2)〃T=T，"。)=0,/(1)=1.

下列四個(gè)命題：①g(O)=l；②g(2)=l；

③尸(x)+g2(x)=l；④當(dāng)〃>2,〃eN*時(shí)，[/(x)T+[g(x)T的最大值為1.

其中所有正確命題的序號(hào)是()

A.①③B.②④C.②③④D.①③④

【答案】D

【解析】

【分析】分別令廣、][,可得出關(guān)于g(o)、g⑴的方程組，解之可判斷①;令

%2—1%2=U%2=—1%2=一

可得出g(—1)的值，進(jìn)而可求得g(2)的值，可判斷②；令工小/二兀判斷③；由③得—1W/(X)W1,

-l<g(x)<l,可得出[〃切"4/(切2,[g(x)T〈[g(X)T，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷④.

【詳解】對(duì)于①,令石=1=1得口⑴了+[g(l)]2=g(o),所以，l+[g⑴了=g(o),

所以，g(o)—l=[g⑴了,

令石=1,3=0得/(l)〃o)+g(l)g(o)=g(l),所以,g⑴g(o)=g⑴，

g(o)_l=「g⑴T^(0)=1

所以，'，L"〃，解得],故①正確；

[g⑴g(o)=g⑴UW=o

對(duì)于②，令玉=0,%=-1，得/(O)〃T)+g⑼g(—l)=g(l)，則g(—1)=0,

令石=1,%=T得〃1)/(—l)+g(l)g(f=g⑵,所以,g⑵=T，故②錯(cuò);

對(duì)于③,令寸=X2=%，可得/2(x)+g2(x)=g(0)=],故③對(duì)；

對(duì)于④，由③可知,-1</(X)<1,-1<g(X)<1,

所以[/(x)T<[〃》)了，[g(x)T<[g(x)]2，

當(dāng)”>2,neN*[/(x)J+[g(x)J<[/(x)]2+[g(x)]2=1.

故/""(%)+g"(x)的最大值為1,故④對(duì).

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于對(duì)/、馬賦值，結(jié)合題中等式構(gòu)建方程組求解.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題紙中相應(yīng)題號(hào)橫線(xiàn)上.

.「萬(wàn)12E/2萬(wàn))

11.已知cos［1一aJ=,，貝(Js加［a——I=.

【答案】-1

【解析】

【分析】利用石-￡+1-2工=工以及誘導(dǎo)公式，直接求出sin(e—二-］與cos(二-的關(guān)系，求出結(jié)

632<5)<0)

果.

【詳解】因?yàn)椋劭础觥猘)+(a—|n；=―所以sin(1「|4小臺(tái)仔—J

.-71,r11Y-(n12

一s1n5+后-。廣一叫至_a尸一］

故答案為-|.

【點(diǎn)睛】本題是基礎(chǔ)題，考查利用誘導(dǎo)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，注意角的變換的技巧，是快速解答本題是關(guān)鍵，考

查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想.

，始邊與了軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P季，X

12.在平面直角坐標(biāo)系中，角a的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合

且sino=—x,則％的可取值為_(kāi)____

3

【答案】0,-1,1

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到方程,求出犬的可取值為0,—1,1.

X

sina=

【詳解】由三角函數(shù)定義可知IF

x2

■-----------------------X

顯然x=0滿(mǎn)足要求,

當(dāng)xwO時(shí)，化簡(jiǎn)得-=3,解得*=±1,

故x的可取值為0,—1,1.

故答案為：0,-1,1

、療sinx)+#的圖象，只需把函數(shù)/(x)=sin2x的圖象上所有的

13.為了得到函數(shù)/(%)=sinx(cos%-

點(diǎn)向平移個(gè)單位.

JTI

【答案】①.左②.-##-71

66

【解析】

【分析】直接利用函數(shù)的關(guān)系式的變換和函數(shù)的圖象的平移變換求解.

【詳解】

/(x)=sinxlcosx-V3sinx=-sin2x-G"c°s2")+—=-sin2x+—cos2x=sin(2x+-)

4222223

7T

所以要得到該函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)/(X)的圖象向左平移二個(gè)單位即可.

6

7T

故答案為：左；—.

6

14.已知函數(shù)/(x)=sin2^+#sinox—g,(o〉0)，若/(%)在怎，g］上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則。不可

能取以下各值的序號(hào)為_(kāi)________,①J；②1;③』；④2；⑤3

22

【答案】①②⑤

【解析】

【分析】先對(duì)給定函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的條件，結(jié)合給定區(qū)間，分析出0的取值范圍，從而判

斷各個(gè)值是否滿(mǎn)足條件.

【詳解】對(duì)/(x)=sin2絲+1sinox—l進(jìn)行化簡(jiǎn).

222

根據(jù)二倍角公式可得，sin2—^1"—

22

由|、1、1—cossV3.1

所以/(%)=---------+5-sm^x~~?

進(jìn)一步整理得f(x)=Wsina)x-箋2.

TT

再根據(jù)輔助角公式所以/(%)=sin(ox——).

6

,兀

7T7TjzTT_|____

令/(x)=sin(ox——)=0，則公r——=kn,keZ,解得_g,keZ.

66%二

co

jrTT3?r

因?yàn)閤e(一,—)，當(dāng)左=0時(shí),X=——，要使龍?jiān)?一,——)內(nèi)，土>「不成立，所以左21.

226(0226心2

當(dāng)左=1時(shí)，K+67兀；當(dāng)氏=2時(shí)，2兀+%13兀.

%=----=——x=-----=---

CD6coCD6co

TT37r'口Z1L2K

因?yàn)?(x)在(二，三)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以七2〈能<2.

I2>63—2

137

解得——<a><—.

93

判斷各值是否滿(mǎn)足條件，

—<一，不滿(mǎn)足一<0><—.

2993

13137

?1<—,不滿(mǎn)足工?！垂?/p>

993

1337

③滿(mǎn)足條件?

923

137

—<2<-,滿(mǎn)足條件.

93

[37

⑤3>],不滿(mǎn)足§<&><§.

。不可能取的值的序號(hào)為①②⑤.

故答案為：①②⑤.

15.已知函數(shù)M%)Tnx+Lq(x)=e，,若4(%)=夕(切成立，則々一罰的最小值為.

【答案】1

【解析】

【分析】首先通過(guò)設(shè)式石)=，(々)=￡，將馬用。表示出來(lái)，進(jìn)而得到％-占關(guān)于，的函數(shù)表達(dá)式?然

后對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值，也就是％-占的最小值.

【詳解】設(shè)<7(石)=，(％)=，，因?yàn)閝(x)=e*,p(x)=lnx+l.

對(duì)于q(xj=e*=/,則X]=lnf(z>0).

對(duì)于。(々)=也/+1=/,可得111工2=，-1,那么

構(gòu)建關(guān)于/的函數(shù)并求導(dǎo)

令A(yù)(0=x2-x；=e'T-Int(/>0).

對(duì)/?(/)求導(dǎo)，h'(t)=e'T-

t

設(shè)m")=ei—工，m'(t)=1-1+2>0,這說(shuō)明//'⑺在(0,+8)上單調(diào)遞增.

t1

又"⑴=產(chǎn)==0.

當(dāng)0</<1時(shí)，"?)<0,所以丸?)在(0,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)1>1時(shí)，〃(力>0,所以/?⑺在(1,+8)上單調(diào)遞增.

所以h(t)在/=1處取得最小值,h(l)=e1-In1=1-0=1.

故々-西的最小值為1.

故答案為：1.

16.幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解

數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,

4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…，其中第一項(xiàng)是2°，接下來(lái)的兩項(xiàng)是2°，21-再接下來(lái)的三項(xiàng)是

2°-2]，22,依此類(lèi)推.求滿(mǎn)足如下條件的最小整數(shù)MN>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)

暴.那么該款軟件的激活碼是.

【答案】440

【解析】

【分析】由題意求得數(shù)列的每一項(xiàng)，及前〃項(xiàng)和S“=2"+i-2-〃，及項(xiàng)數(shù)，由題意可知：2向?yàn)?的整數(shù)

暴.只需將-2-〃消去即可，分別分別即可求得N的值.

【詳解】解：由題意可知：第一項(xiàng)2°，第二項(xiàng)2°,2、第三項(xiàng)2°,2122,L,第〃項(xiàng)2°,2i,…,2"T,

根據(jù)等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，求得每項(xiàng)和分別為：21-B22-1，23-1，…，2"-1，

每項(xiàng)含有的項(xiàng)數(shù)為：1,2,3,…，”，

總共的項(xiàng)數(shù)為N=l+2+3+…+〃=妁詈，

所有項(xiàng)數(shù)的和為

:21-l+22-l+23-l+...+2"-l=(21+22+23+...+2n)-H=^1-^-H=2n+1-2-H-

由題意可知：2-1為2的整數(shù)幕，只需將-2-〃消去即可，

則①1+2+(—2—")=0,解得：n=l,總共有支已以+2=3,不滿(mǎn)足N>100,

2

②l+2+4+(—2—〃)=0,解得：n=5,總共有劍2^+3=18,不滿(mǎn)足N>100,

2

③l+2+4+8+(—2—")=0,解得：〃=13,總共有(1+13)x13+4=95,不滿(mǎn)足N>100,

2

@1+2+4+8+16+(-2-7?)=0,解得：〃=29,總共有^^^+5=440,滿(mǎn)足N>100,

2

???該款軟件的激活碼440.

故答案為：440.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等差數(shù)列與等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和，考查計(jì)算能力及數(shù)據(jù)分析能力，屬于難

題.

三、解答題：本大題共5個(gè)小題，共0分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟.請(qǐng)將解答過(guò)程寫(xiě)在答題紙的相應(yīng)位置.

17.如圖，已知A5C。四點(diǎn)共面，且CD=1,BC=2,AB=4,ZABC=120°,cosZBDC=.

(2)求AD.

【答案】(1)sinND5C=叵(2)AD=3下＞

14

【解析】

【分析】

（1）計(jì)算sin/BDCu叵，根據(jù)正弦定理計(jì)算得到答案.

7

（2）根據(jù)余弦定理計(jì)算￡>5=J7，cosNDBC=亞,和差公式得到cos/A5D=-且，再利用余弦

1414

定理計(jì)算得到答案.

【詳解】（1）在△班）。中，因?yàn)镃OSZBDC=2"，所以sin/6。。=壯旦.

77

DCBC所以—答

由正弦定理知

sinZDBCsinZBDC

（2）在ABDC中，由余弦定理知BC?=。02+。52—2。。cosN&5C，

故4=1+。52—2。8獨(dú)^解得DB=5或DB=—?dú)謣(舍).

77

由已知得/O3C是銳角，又sinNDBC=叵,所以cosND3C=迫.

1414

所以cosZABZ)=cos(120-NDBC)=cos120-cosZDBC+sin120-sinZDBC

214214-14

在△ABD中，由余弦定理知AD-=AB~+BD23-2ABBDcosZABD

=16+7-2x4xV7x1-春:27,解得4￡>=36.

【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，余弦定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

18.已知函數(shù)/（X）=^^sin2x-3sin2x+g.

（1）求函數(shù)/（力的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若0<x<],求/（%）值域；

3

（3）在VABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,6,c且6+C=0+1,。=1,若/（4）=；,求

VA3C的面積.

3兀7t、

【答案】（1）兀；—1，+"兀，"兀十五（左￡Z）.

（2）〃%）4一36

⑶字

【解析】

【分析】（1）首先利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變換成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的

最小正周期和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域；

（3）利用余弦定理和三角形的面積公式求出結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

?/=^sin2x-fc^4=^sin2x4cos2x=^sin

W卜+方）

v722222

故函數(shù)的最小正周期為一二兀;

2

57t7C

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為一石■+也,也+五（keZ）.

【小問(wèn)2詳解】

由于0Wx＜3,故二＜2x+工＜如，所以—也＜sin[2x+二]＜1,

233323J

故-《＜esin[2x+g）〈百，故函數(shù)/（x）e[-g,0'.

【小問(wèn)3詳解】

由于/（A）=Gsin[2A+|^=m，故sin[2A+m]=*，由于Ae（0,兀），故人=弓；

利用余弦定理：a2=Z?2+c2-2Z?ccosA=（Z?+c）2-2bc—2bccosA,故bc=6，

所以Sa"。=g°csinA=￥

19./(%)=21nxH---mx(meR).

x

(1)當(dāng)加=一1時(shí)，求曲線(xiàn)y=/(%)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線(xiàn)方程.

(2)若/(%)在(0,+8)上為單調(diào)遞減，求加的取值范圍.

In6-Ina<1

(3)設(shè)0<。<》，求證:

b-a4ab

【答案】⑴2x-y=0；

(2)[L+8)；

(3)見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】(1)/(1)=2,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得了'(1)=2,由點(diǎn)斜式得切線(xiàn)方程;

2191

(2)由r(x)=----機(jī)K0在xw(O,y)恒成立，即〃出-------^在(0,+“)恒成立，根據(jù)單調(diào)性求

-XXXX

得2-4的最大值，即可求用的取值范圍；

XX

(3)由(2)知，〃x)=21n%+：—x在xe(O,y)上單調(diào)遞減，J>1,,,進(jìn)而

變形得到結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

121

f

當(dāng)相=—1時(shí)，f(x)=21wc+-+x,A/(x)=----F+l,/(I)=2,/(I)=2,

故曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(L/(l))處的切線(xiàn)方程是：y-2=2(x-l),即2x—y=0.

【小問(wèn)2詳解】

2191

若"工)在(0,+“)上單調(diào)遞減，則r(x)=——2-m<0,即加2——^在％?0,+8)恒成立,

令g(x)=j—g(x>0),?.飛(力=—R—1]+1,.?.當(dāng)[=1時(shí)，有8(可四=1,故機(jī)》1.

故加的取值范圍為[L+")

小問(wèn)3詳解】

由(2)知，當(dāng)機(jī)=1時(shí)，/(JV)=21IIXH---x在x￡(0,+°0)上單調(diào)遞減，

,?,。(”乩,,萬(wàn)L,??/直<，(1)，苧

i71b-a]nb-]na1

InZ?—Ina<.——,即-----<,——.

yjabb-a7ab

【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)問(wèn)題經(jīng)常會(huì)遇見(jiàn)恒成立的問(wèn)題：

(1)根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題;

(2)若/(x)>0恒成立就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為

“Ain>。,若"”<0恒成立O/(x)1mx<0.

20.已知函數(shù)/(%)=〃％-----(6i+l)lnx,6ZGR.

x

(1)若Q=—2,求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若〃21,且/(x)>l在區(qū)間-,e上恒成立，求〃的取值范圍；

e

(3)若a〉L判斷函數(shù)g(x)=?/(九)+。+1］的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

e

【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為(0,1)；單調(diào)減區(qū)間為(L+8)

(2)a>2

(3)有1個(gè)零點(diǎn)

【解析】

【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)((x),由/'(%)>0得增區(qū)間，由y'00<。得減區(qū)間；

(2)求得/'(?=。的根，然后按照根與已知區(qū)間的關(guān)系分類(lèi)討論確定/'(%)的正負(fù)得單調(diào)性，從而函數(shù)的

最小值，由最小值大于0得參數(shù)；

(3)求出g'(x),對(duì)g'(x)再求導(dǎo)得出其最小值，由最小值大于0得g'(x)>。，從而得g(?的單調(diào)性，然

后結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，為此計(jì)算了=工時(shí)的函數(shù)值(小于0),g(D>0,可得零點(diǎn)存在且

ea

唯一.

【小問(wèn)1詳解】

若a=-2,貝!Jy(x)=-2x-L+Inx,xe(0,+oo),/(x)=(2x+l,)(xD

xx

由/'(x)>0得，0<x<l；由/'(x)<0得，x>l.

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)增區(qū)間為(0,D；單調(diào)減區(qū)間為(1,+8).

【小問(wèn)2詳解】

依題意，在區(qū)間P，e]上7(%)^>1./(X)=以2("1?+1=3T)'T)M>1.

.e」x2x

令/'(%)=。得，1=1或%

a

若aNe即工<l，則由/'(%)>。得，l<xWe,/(幻遞增；由尸(幻<0得，-<x<l,/(幻遞減.

aee

所以/(%)min=/(l)=〃—l>l，滿(mǎn)足條件；

若l<a<e,則由/'(%)>。得或1cxWe,在‘《》<工時(shí)/(%)遞增或1cxWe時(shí)/(%)遞

eaea

增；由/'(幻<。得，<x<l,/(x)遞減./Wmin=min^

山a,

a

fe2

依題思<veJ，即<e+1，所以2<a<e.

/⑴〉1[a>2

若。=i,則八為20.

所以/(x)在區(qū)間-,e上單調(diào)遞增，/(^U不滿(mǎn)足條件;

_e_

綜上，a>2.

【小問(wèn)3詳解】

xG(0,+oo),g(%)=ax2-(a+l)xln%+(Q+l)x-1.

所以g'(尤)=2ax-(a+l)lnx.設(shè)加(x)=2ax-(a+I)}nx,m\x)=2a~a+^=-("+1)

xx

令加(%)=0得％="'I.

2a

當(dāng)0<x</+1時(shí),m(x)<0；當(dāng)上>"+1時(shí),m(x)>0.

2a2a

所以g'(x)在0,"十上單調(diào)遞減，在“+,+00上單調(diào)遞增.

12al12aJ

所以g'(x)的最小值為+—■

e“1??+1111e

因?yàn)閍>-,所以KI-------—+一<—+—<e.

e2a22a22

a+1/ixiii”+l

所以g'(無(wú))的最小值g'二(〃+1)1—In-->-0-.

2av2a

從而，g(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增.

11。+1

又gio3+52(6+2Ina)-1,

eaea

設(shè)h(a)=e3a-(21n?+6).

°222

則h\d)=e3——.令"(a)=0得a=工.由h\a)<0,得0<a<

aee3

/

22、2

由力'(。)>0,得〃>j所以Zz(a)在0,—上單調(diào)遞減，在下,+8上單調(diào)遞增.

e

ee'7

2

所以〃(Gmin="=2—21n2>0.

所以A(a)>0恒成立.所以e3a>21na+6,2嗎十，<

eak

11a+1i1111