第26章反比例函數(shù)--反比例函數(shù)與幾何綜合專題練

2024-2025學(xué)年初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)下冊(cè)

一、單選題

1.如圖，正方形。4BC,的頂點(diǎn)A,D,C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)廠在A3上，點(diǎn)3,E在函數(shù)

4

>=—(x>0)的圖象上，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是()

C.(A/5-1,A/5+1)D.(3-4,3+逐)

14

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=--(x<0)的圖象上，過點(diǎn)A作y軸，

k

與反比例函數(shù)y=—(x<0)的圖象交于點(diǎn)點(diǎn)C為y軸上一點(diǎn)，連接AC、BC,若VABC的面積

3.如圖，RtZ\ABC中，ZABC=90°,ZACB=60°,在x軸上，BC=2,點(diǎn)A在函數(shù)

y=-(k>0,尤>0)的圖象上，將VA2C沿AC翻折，點(diǎn)2恰好落在此函數(shù)圖象上的點(diǎn)。處，則上的

X

A.8唐B.4A/3C.6A/3D.3y/3

4.如圖，點(diǎn)A(2,m),B(-2,n)分別在反比例函數(shù)％=-(x>0)和%=。<。)的圖象上，連接OA,OB,AB,

2

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=—的

圖像上，頂點(diǎn)。在反比例函數(shù)y=&的圖像上，頂點(diǎn)A,8均在X軸正半軸上，若平行四邊形9CD的

A.k=—5B.k=—C.k=5D.k=--

22

6.如圖，在△AO5中，AO=AB,點(diǎn)區(qū)在％軸上，點(diǎn)C,點(diǎn)。分別為。4、03的中點(diǎn)，連接CD,點(diǎn)

k

E為C。上任意一點(diǎn)，連接AE、BE,反比例函數(shù))=—(%<0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,若的面積為4,

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形OABC的邊OC在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)尸￡(x>0)

X

的圖象分別交BC于中點(diǎn)E,交。4于點(diǎn)。，且AD:OD=1:3,連接CD、DE,若入加E=1，則%的

值為()

8.如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y="的圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作A3_Ly軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C、。在龍軸上,

尤

且3C〃AO,若四邊形A3CD的面積為3,則上的值為（）

二、填空題

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0y中，矩形。4BC的兩邊OC、分別在x軸、y軸的正半軸上，反

k

比例函數(shù)（）與相交于點(diǎn)與相交于點(diǎn)若BE=4EC,且AODE的面積是則

y=—Xx>048O,BCE,12,

%的值為

10.如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A,g在y軸上，反比例函數(shù)y=K（左>0）的圖象經(jīng)過AD邊的中點(diǎn)E和

X

11.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)C與X軸平行,且直線分別與反比例函數(shù)y=9(%>0)

X

,若△POQ的面積為8,則左=

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，橫縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，等邊三角形VAOB的頂點(diǎn)A

在第一象限，點(diǎn)8(3,0),雙曲線>=￡(左>0,x>0)把VAO3分成兩部分，若這兩部分內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)相等

X

3

13.如圖，第一象限內(nèi)的兩直角邊。=1力=2且斜邊頂點(diǎn)A、B均在y=—(尤>0)的圖像上,

x

k

14.如圖所示，反比例函數(shù)y=、(x>0)的圖象經(jīng)過矩形Q4BC的對(duì)角線AC的中點(diǎn)。，若矩形0ABe

15.如圖，反比例函數(shù)>=T(x>0)的圖象過格點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn))“(4,2).

⑴求反比例函數(shù)解析式；

(2)點(diǎn)N為x軸上一點(diǎn)，在圖中用直尺作出△硼(不寫作法)，要求這個(gè)三角形滿足下列條件：①三

角形頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，且其中兩個(gè)頂點(diǎn)為點(diǎn)。和Af;②三角形面積為:|向.

(3)寫出(2)中點(diǎn)N的坐標(biāo).

Q

16.如圖，RtAABO中，ZABO=90°,AB=2,反比例函數(shù)y=-—的圖象經(jīng)過點(diǎn)A.直線CD垂直

X

平分49，交A0于點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)交x軸于點(diǎn)E.

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及OC的長；

(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo).

17.如圖，一次函數(shù)y=72的圖象與反比例函數(shù)y=￡(%>0)的圖象交于點(diǎn)5,與x軸交于點(diǎn)A,

2x

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;

⑵若點(diǎn)c(%,2)在反比例函數(shù)y=勺的圖象上，連接AC,BC,求VABC的面積.

X

18.如圖，已知正比例函數(shù)丁=%好的圖象與反比例函數(shù)y(尤＞0)的圖象交于點(diǎn)8(2,3),。為

x軸正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作CD^x軸，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)4交正比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C,

且8=6.

⑴求人，。的值;

(2)連接AB,求VABC的面積.

參考答案:

1.A

4

?.,正方形Q4BC,點(diǎn)5在反比例函數(shù)>=一（X〉0）上，設(shè)點(diǎn)3的坐標(biāo)為（。,。）

x

:.axa=4,

???。=2（負(fù)值舍去）.

設(shè)點(diǎn)石的橫坐標(biāo)為〃，則縱坐標(biāo)為b-2,

一4

代入反比例函數(shù)中y=—，

X

4

即：b-2=~.

b

解之，得b=6+1（負(fù)值舍去），

即E點(diǎn)坐標(biāo)為：（百+1,>/5-1）

2.A

解：設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為則點(diǎn)8坐標(biāo)為上,

S.ABC=|AB-|X|=|Xkx（-x）=4,

B：

解得左=-6,

3.C

過點(diǎn)。作軸于點(diǎn)E,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得"CE=60。，CD=2,根據(jù)含30。角的直角三角形

的性質(zhì)可得CE和。E的長，設(shè)03=/,則點(diǎn)2百），￡>"+3,?。?，根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)。在同一個(gè)反比

例函數(shù)的圖象上，列方程，即可求解.

解：過點(diǎn)。作軸于點(diǎn)E,如圖所示：

/ABC=90。，ZACB=60°,

根據(jù)折疊，可得/ACD=NACB=60。，CD=CB=2,

:.ZDCE=60°,

.-.ZCDE=30°,

:.CE=-CD=1,

2

根據(jù)勾股定理，可得Z)E=石，

：RtZ\ABC中，ZABC=90°,ZACB=60°,BC=2,

AB=2后,

設(shè)OB=t,

則點(diǎn)Ak,2⑹，+3,⑹，

,?,點(diǎn)A和點(diǎn)。在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，

???2疝=圓+3),

解得t=3,

.??43,26)，

**?左=3x2^3=6A/3,

4.B

9A

,/點(diǎn)A(2,m),B(-2,w)分別在反比例函數(shù)％=—(x>0)和%=、(x<0)的圖象上,

X%

.26

..m=—=l,n------=3

2-2

A(2,l),B(-2,3)

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b

f2k+b=\k=~-

把4(2,1),仇-2,3)代入得：解得2

〔以+匕=316=2

.1?直線AB的解析式為y=-；x+2

當(dāng)x=o時(shí)，y=2

???C(0,2)

+=

?e,S4ABo=^^ACO2I%-%1=5x2x4=4

5.A

根據(jù)題意設(shè)關(guān)鍵平行四邊形的性質(zhì)求得0],利用面積公式即可求解;

解：設(shè)C、,3,

???四邊形A5CD是平行四邊形，

-.-CD//AB,

則…（曾成2）

■,1平行四邊形ABCD的面積是7,

".ZaVL.2^JL7,

解得：k=—5

6.B

解：如圖，過點(diǎn)A作AH_Lx軸交于點(diǎn)a,

由題可知：點(diǎn)C,點(diǎn)。分別為Q4、。8的中點(diǎn),

是AABO的中位線，

.\CD\\AB,

:點(diǎn)E在線段CD上，

S?AOB=2s8AB￡=8,

?：AO=AB,

.?△AOB是等腰三角形，AHLx^,

.?.AH是VAOB的中線，

\AOH=5SAAOB=4,

設(shè)A（x,y）,

x=4

S’AOH=|Hbl>

根據(jù)圖象，x<0,y>0,

:.x-y=-8,

點(diǎn)A在反比例函數(shù)上，

k=-8.

7.B

本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征.連接DB,AC,求出SABC°=2SA貸=2,

133

$△4"=5s平行四邊市0cB=2,S&DOC=-S&AOC^~,設(shè)C(4,0),A(m,n),由平行四邊形性質(zhì)可得8(a+機(jī)，嘰

?,」2a+m—rzp.13n3,p2a+mn3m3〃5m,,32

則E可得一〃—=—,an=4乂-------a=——,故mn=——

242f2285

3n918

=一mn=一

4~4165

?W—7V—4

一Q平行四邊形AOCB_3ABCD-一，

丁?S4Aoe=2S平行四邊形AOCB=2,

\'AD:OD=l:3f

3

--

…S/^DQC=~S/\AOC2

設(shè)C(a,O),A(m,n),由平行四邊形性質(zhì)可得B(a+人力,

(2a+m」。匕3mJ3〃、

_3

?'%OOC=5，

13〃3

—a-------=—.

242

..an=4,

?二)在—的圖象上,

.2a+mn3m3n

-2―2-TT，

5m

5m.

----〃=4,

8

32

mn=——

5

73m3n993218

k=--------=—mn=—x——=—,

44161655

8.B

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m,ri）,

?.?AB_Ly軸，CD_Ly軸，

J.AB//CD,

?/BC//AD,

二?四邊形ABC。為平行四邊形，

「?平行四邊形ABCD的面積=M。區(qū)=-3=3,

:.k=mn=—3.

9.5

本題主要考查了反比例函數(shù)的左的意義，設(shè)8點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b）,由BE=4EC可得從而

可得可,根據(jù)川

ODE~S矩形0C5A-S&AOD~SQCE~'#DE，即可得到而=25,從而即可得到答案.

解：,??四邊形OS4是矩形，

:.AB=OC,OA=BC,

設(shè)8點(diǎn)的坐標(biāo)為（。8），

,;BE=4EC,

???點(diǎn)。，E在反比例函數(shù)的圖象上,

:.a-b=k,

S^ODE-§矩形OCBA-^AOD~^OCE~^JBDE

,11,1uifiV,i,

=ab-------a-b-----a--b——a——ab——b

2525215人5

127

=—ab=12,

25

/.ab=25,

717u

K=—ab=5,

故答案為：5.

10.8

本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，依據(jù)題意，設(shè)E（2,a）,

C（4,a-2）,由點(diǎn)E和點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=：（左＞0）上，求出。的值，得到E（2,4）,從而可以求出左

的值，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用矩形的性質(zhì)是關(guān)鍵.

解：；四邊形ABCD是矩形，AB=2,BC=4,點(diǎn)E為AD邊的中點(diǎn)，

:.AE^2,

設(shè)E（2,a）,C（4,tz-2）,

..?點(diǎn)E和點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=勺％*0）上，

.?.2〃=4（〃一2）,

a=4,

；.E（2,4）,

k=2x4=8,

故答案為：8.

11.-10

由PQ〃光軸及函數(shù)圖象可知S.POQ=S&OCQ+S&OCP~8,即S"=g昆引+步調(diào)=期+；|6|=8,于

是可得網(wǎng)=10,由圖象可知左＜0,于是得解.

解：?.?尸Q〃x軸，

-5/02=SqcQ+Sqcp=8,

即:SAPO。=5卜。%|+萬＞%|=5同+萬恂=8,

二陽=10,

而左＜0,

/.k=—10,

故答案為：-10.

12.l＜k＜2

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征、等邊三角形的性質(zhì)及新定義，正確理解新定義是解題

的關(guān)鍵.

根據(jù)整點(diǎn)的定義先確定VAOB中的整點(diǎn)為：（1,1）,（2,1）,再代入反比例函數(shù)解析式求解即可.

解：由題意得，在VA03中的整點(diǎn)為：（1,1）,（2,1）

當(dāng)＞=4剛好經(jīng)過（U）時(shí)，k=l

X

當(dāng)y=k剛好經(jīng)過（2,1）時(shí)，k=2

X

???把V493分成兩部分，若這兩部分內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)相等

:A<k<2

故答案為：1<左<2.

本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的解法，點(diǎn)的平移的性質(zhì)，設(shè)則

+再建立方程求解即可.

3

解：??,第一象限內(nèi)RtZ\A3c的兩直角邊1=1乃=2且斜邊頂點(diǎn)A、8均在y=—（x>0）的圖像上,

x

.,?設(shè)51x,一則A]X+2,—1],

“2+2）加，

整理得：X2+2x—6=0,

解得：%=一1+&,%=-1-々（不符合題意，舍去），經(jīng)檢驗(yàn)符合題意;

3,3,77-1

了+2=-1+近+2=1+"

連接矩形的對(duì)角線OB,則與AC交于點(diǎn)。，由矩形的性質(zhì)可知，點(diǎn)。也是03的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)B坐

標(biāo)為（4，為），設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)為（蒞,如）,由中點(diǎn)坐標(biāo)可得=3/，%%%%，由

于反比例函數(shù)y="（無>。）的圖象經(jīng)過點(diǎn)。，因而可得k=0Asc，于是

X2244

得解.

解：如圖，連接矩形的對(duì)角線OB,則02與AC交于點(diǎn)

由矩形的性質(zhì)可知，點(diǎn)。也是03的中點(diǎn),

設(shè)點(diǎn)8坐標(biāo)為（程為），設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)為（%，%），

,??點(diǎn)。是OB的中點(diǎn),

x+x_0+x_1

..xoB—B—Xn

D222B

v_y+y_Q+y_i

o2B-2B一2%，

k

???反比例函數(shù)y=：(%>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)。，

71111O1…

...左==萬W=WS°OABC=WX4=1,

故答案為：1.

15.⑴y=§

X

（2）畫圖見解析

⑶M（4,o）,M（-4,0）

本題考查的是反比例函數(shù)的k的幾何意義，求解反比例函數(shù)解析式；

（1）把M（4,2）代入y=>0）即可得到答案；

（2）由％的幾何意義可得軸，再結(jié)合三角形中線的性質(zhì)可得以的位置，再畫圖即可;

（3）結(jié)合（2）中N的位置可得其坐標(biāo).

（1）解：：反比例函數(shù)y=?（x>0）的圖象過格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）“（4,2）.

/=2x4=8,

Q

反比例函數(shù)y=—.

X

（2）解：?.--Im|=-x8=4,

2112

如圖，即為所求;

2

（3）解：由％的幾何意義可得：

ACV_Lx軸，

.??凡（4,0）,

由三角形的中線的性質(zhì)可得：。乂=。乂,

綜上：N的坐標(biāo)為：（4,0）或（7,0）.

16.（l）A（-2,4）,OC=#）

⑵E（-5,0）

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理.

（1）將x=-2代入反比例函數(shù)解析式得到y(tǒng)=4,即可得到A點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）連接AD,由線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出設(shè)直線C。的解析式為

>=丘+:,將c點(diǎn)坐標(biāo)代入求出解析式為y=g尤+：,最后求出直線與X軸交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到OE長.

（1）解：*.*AB=2,

???點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-2,

Q

〈A點(diǎn)在反比例函數(shù)y=的圖象上，

x

-y=_A-4

_24,

A（-2,4）,

???CO垂直平分線段AO,

?■?OC=Vl2+22

（2）解：VA（-2,4）,ZABO=90°,

：.08=4,

連接AD,

???CD垂直平分線段AO,

AD=DO,

T^AD=DO=X,貝!）30=4—尤，

由勾股定理可得：AD2=AB2+BD2^

：.x2=22+（4-X）2,

解得：x=g,

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+^,

將C(T,2)代入解析式可得，一+/2,

解得：k=；,

二直線CD的解析式為y=gx+g,

令y=o,則％=-5.

??.E(-5,0).

17.(1)反比例函數(shù)為y=9

(1)根據(jù)一次函數(shù)解析式求得8點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式；

(2)先根據(jù)反比例函數(shù)求得點(diǎn)C