第三章函數(shù)

重難點(diǎn)04二次函數(shù)存在性問(wèn)題

（15種題型匯總+專(zhuān)題訓(xùn)I練+9種解題方法）

【題型匯總】

題型01二次函數(shù)角度存在性問(wèn)題

角度存在性問(wèn)題的解題步驟

已知特殊角度求解已知角度關(guān)系求解

第一步讀題、畫(huà)圖、理解題意

第二步分析動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)，找不變特征

第三步確定分類(lèi)特征，進(jìn)行分類(lèi)討論

第四步已知特殊角度，構(gòu)造一線三垂直、一線三等將角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化:利用銳角三角函數(shù)、相似三角

角、直角三角形，再利用直角三角形、相似形或等腰三角形的性質(zhì)、外角的性質(zhì)等轉(zhuǎn)化為

三角形邊的比例關(guān)系去計(jì)算求解.常見(jiàn)的類(lèi)型，再利用直角三角形、相似三角形

邊的比例關(guān)系去計(jì)算求解.

【溫馨提示】

1)角相等：若無(wú)明顯條件，首選利用銳角三角函數(shù)值構(gòu)造相等角(先求已知角)；

2)角度和差：可通過(guò)外角的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為相等角；

3)倍角：可通過(guò)外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為相等角：

1)己知特殊角求解

1.(2023?四川自貢?中考真題)如圖，拋物線y=-凳2+6%+4與％軸交于4(—3,0),B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

(1)求拋物線解析式及B,C兩點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)以4B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D坐標(biāo)；

(3)該拋物線對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)E,使得乙4CE=45。，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.(2024?山東臨沂?二模)如圖，已知拋物線y=a久2—：ax—g的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,OE=?OC,C是ED的

中點(diǎn)，尸是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)若點(diǎn)P在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，連接0P,當(dāng)四邊形。CDP面積最大時(shí)，求w的值；

(3)如圖，若點(diǎn)。在坐標(biāo)軸上，是否存在點(diǎn)。，使NEDQ=75。，若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)。的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.(2024.山西大同.一模)綜合與探究

如圖，拋物線y=—2%—6與x軸交于點(diǎn)A和2,點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，交y軸于點(diǎn)C,作直線BC.

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線BC的表達(dá)式;

(2)當(dāng)點(diǎn)。在直線BC下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接。。交8C于點(diǎn)E,若黑=*求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)?使得N8CF=15。?若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2)已知角度關(guān)系求解

4.(2024?四川資陽(yáng)?中考真題)已知平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=-科久2久+c與天軸交

于A,8兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于C點(diǎn)，且B(4,0),BC=4近.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)尸是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接PB,PC,過(guò)點(diǎn)P作PD1x軸于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)K.記小PBC,

△BDK的面積分別為S「S2,求Si—Sz的最大值；

(3)如圖2,連接4C,點(diǎn)E為線段4C的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF1AC交x軸于點(diǎn)尸.拋物線上是否存在點(diǎn)。，使

乙QFE=24OCA?若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

5.(2023?遼寧營(yíng)口?中考真題)如圖，拋物線y=a久2+城一i(a40)與％軸交于點(diǎn)4(1,0)和點(diǎn)B,與y軸交于

點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交工軸于點(diǎn)D(3,0),過(guò)點(diǎn)B作直線11x軸，過(guò)點(diǎn)。作DE1CD,交直線/于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接CE和BP交于點(diǎn)Q,當(dāng)算=步寸.求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，連接4C,在直線8P上是否存在點(diǎn)F,使得乙DEF=4ACD+4BED?若存在，請(qǐng)直接

寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.(2024.重慶.模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丫=。/+6%+3與％軸交于點(diǎn)4(—1,0),點(diǎn)

(2)如圖1,點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線PE交直線BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)P作x軸的

平行線PF交直線BC于點(diǎn)F,求4PEF面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,連接4C,BC,拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使“8Q+乙4co=45°?若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

7.(2024?四川達(dá)州.二模)已知拋物線y=a/+版—4與尤軸相交于點(diǎn)4(—1,0),8(—4,0)),與y軸相交于點(diǎn)

C.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）如圖1,點(diǎn)尸是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)APac的周長(zhǎng)最小時(shí)，求學(xué)的值；

（3）如圖2,取線段0C的中點(diǎn)。，在拋物線上是否存在點(diǎn)。，使tan“DB=?若存在，直接寫(xiě)出。點(diǎn)坐標(biāo).

題型02二次函數(shù)與三角形存在性問(wèn)題

1）等腰三角形存在性問(wèn)題

解題方法：

幾何法：1）“兩圓一線”作出點(diǎn)；

2）利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線段長(zhǎng)；

3）分類(lèi)討論，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

代數(shù)法：1）表示出三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)A、B、P；

2）由點(diǎn)坐標(biāo)表示出三條線段：AB、AP、BP；

3）根據(jù)題意要求（看題目有沒(méi)有指定腰），?、貯B=AP、②AB=BP、③AP=BP；

4）列出方程求解.

①兩定一動(dòng)

8.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，拋物線y=-/+bx+c與x軸交于點(diǎn)2（-3,0）和點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C（0,3）,

點(diǎn)D在拋物線上.

備用圖

（1）求該拋物線的解析式;

(2)當(dāng)點(diǎn)。在第二象限內(nèi)，且AACD的面積為3時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo);

(3)在直線8c上是否存在點(diǎn)P,使AOP。是以PD為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

9.(2024.云南怒江.一模)已知拋物線y=—/+4x+5與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸

(2)點(diǎn)。是直線BC上方拋物線上的點(diǎn)，連接BD、CD,求S"CD的最大值;

(3)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)尸，使得ABCP是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

10.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(9,13)的拋物線C1:y=a/+bx+l(a、b

為常數(shù)，且a70)與x軸交于4、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為。，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3.

(1)求拋物線Ci的函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)將拋物線G向左平移血(爪＞0)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到拋物線。2,拋物線Q的頂點(diǎn)為E連接CE、DE,請(qǐng)問(wèn)

在平移過(guò)程中，是否存在相的值，使得△CDE是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出機(jī)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

②一定兩動(dòng)

11.(2023?遼寧撫順?模擬預(yù)測(cè))如圖，拋物線y=a/+.一3經(jīng)過(guò)4(一2,0),B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交點(diǎn)為C,

連接BC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)P在第四象限拋物線上，連接PB,乙PBC=1乙BCO,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CB方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度

沿B4方向運(yùn)動(dòng)，M,N同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，0<tW5,連接MN,CN,當(dāng)△CMN為等腰三角形時(shí)，

直接寫(xiě)出t的值.

12.(2022九年級(jí)?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))綜合與實(shí)踐：如圖，拋物線y=2久2一2久一3與x軸交于點(diǎn)A,8(點(diǎn)A

,44

在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)￡同時(shí)從點(diǎn)B

出發(fā)以相同的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒.

(2)求f為何值時(shí)，ABDE是等腰三角形；

(3)在點(diǎn)。和點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在直線OE將ABOC的面積分成1：4兩份，若存在，直接寫(xiě)出f的

值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2)直角三角形存在性問(wèn)題

解題方法：如有兩定點(diǎn)，在其他特定的“線”上求第三點(diǎn)，形成直角三角形時(shí)：

「兩垂一圖”找點(diǎn)

.J［以“勾股定理”為等量關(guān)系列方程

解起跖“數(shù)形結(jié)合”求點(diǎn)句入直線解析式，轉(zhuǎn)化成交點(diǎn)求解

〔由-K型相似”為等量關(guān)系列方程

1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，常用的方法是①匕=-1，②三角形相似，③勾股定理；

2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，情況分類(lèi)如下，

第一當(dāng)已知點(diǎn)處作直角的方法：①匕?左2=-1，②三角形相似，③勾股定理；

第二是當(dāng)動(dòng)點(diǎn)處作直角的方法：尋找特殊角.

13.(2023?四川內(nèi)江?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丫=￡1/+以+(:與天軸交于3(4,0),

C(—2,0)兩點(diǎn).與y軸交于點(diǎn)4(0,-2).

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)P是直線4B下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作無(wú)軸的平行線交48于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)尸作y軸的平行線交

無(wú)軸于點(diǎn)D,求與|PK+PD的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)使得AMAB是以AB為一條直角邊的直角三角形：若存在，請(qǐng)求出

點(diǎn)加的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

14.(2024?江蘇徐州?模擬預(yù)測(cè))如圖，直線y=-百x+2百與無(wú)軸，y軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)8,兩動(dòng)點(diǎn)

E分別從點(diǎn)4點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)(運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。停止)，運(yùn)動(dòng)速度分別是1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒和百個(gè)單

位長(zhǎng)度秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作無(wú)軸的平行線與拋物線的另一個(gè)

交點(diǎn)為點(diǎn)G,與2B相交于點(diǎn)立

⑴求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)用含t的代數(shù)式分別表示EF和4F的長(zhǎng)；

(3)是否存在/的值，使AAGF是直角三角形？若存在，求出此時(shí)拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

15.(2024?湖南?模擬預(yù)測(cè))如圖，拋物線y=/+bx+c與無(wú)軸交于4(—3,0),B(l,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,

連接力C.

(2)點(diǎn)P是拋物線上位于線段4C下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接ZP,CP,求△力PC面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)4C,Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有

滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3)等腰直角三角形存在性問(wèn)題

解題大招：確定等腰直角三角形后構(gòu)造一線三垂直，對(duì)應(yīng)上下兩個(gè)三角形全等，得到對(duì)應(yīng)線段相等的關(guān)系,

進(jìn)而設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)線段相等列出等式建立方程求解參數(shù).

16.(2024.山東泰安?中考真題)如圖，拋物線G：y=a/+(無(wú)一4的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)。(1,—1),與％軸交于點(diǎn)A,

點(diǎn)、B.

(1)求拋物線Q的表達(dá)式；

(2)將拋物線C］向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到拋物線C2,求拋物線的表達(dá)式，并判斷點(diǎn)。是

否在拋物線上；

(3)在久軸上方的拋物線C2上，是否存在點(diǎn)P,使APB。是等腰直角三角形.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

17.(2023?湖南婁底?中考真題)如圖，拋物線y=/+bx+c過(guò)點(diǎn)2(-1,0)、點(diǎn)B(5,0),交y軸于點(diǎn)C.

(1)求b,c的值.

(2)點(diǎn)P(x(),yo)(0<x0<5)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)

①當(dāng)必取何值時(shí)，APBC的面積最大？并求出AP8C面積的最大值；

②過(guò)點(diǎn)P作PElx軸，交BC于點(diǎn)、E,再過(guò)點(diǎn)尸作PFII尤軸，交拋物線于點(diǎn)R連接EF,問(wèn)：是否存在點(diǎn)P,

使APEF為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.(2022?山東東營(yíng).中考真題)如圖，拋物線y=a/+bx—3(a大0)與x軸交于點(diǎn)4(—1,0),點(diǎn)8(3,0),

與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）在對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)2，使AACQ的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)尸是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)是以PB為腰的等腰直角三

角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)M的坐標(biāo).

4）相似三角形存在性問(wèn)題

解題大招：“相似三角形存在性問(wèn)題”是中考?jí)狠S題中一類(lèi)常見(jiàn)的問(wèn)題.為了避免討論分支太過(guò)繁雜,一般會(huì)

給出部分對(duì)應(yīng)關(guān)系，最常見(jiàn)的就是給出一組同角（或等角），則同角（或等角）所對(duì)邊為對(duì)應(yīng)邊.所以這類(lèi)問(wèn)題

一般從確定一組等角（或同角）人手如果兩個(gè)三角形中夾同角（或等角）的邊易于列代數(shù)式表示,則建議通過(guò)

解方程解決;反之，則需根據(jù)具體題意轉(zhuǎn)化等角關(guān)系為特殊圖形或特殊圖形關(guān)系，進(jìn)而求解若出現(xiàn)無(wú)法確定

等角（或同角）的情況,也可以列表分析.

19.（2024.安徽?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丫=-/+2尤+。與刀軸交于點(diǎn)4,B（點(diǎn)4在點(diǎn)B左

側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0,3）,連接BC.

（2）如圖2,點(diǎn)。為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC,AD,CD,設(shè)直線BC交線段力。于點(diǎn)E.當(dāng)沁=工

SLACE2

時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶在（2）的條件下，且點(diǎn)。的橫坐標(biāo)小于2,在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)P,使得以4C,尸為頂點(diǎn)的三角形

與△BCD相似，如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.(2024?內(nèi)蒙古包頭.模擬預(yù)測(cè))拋物線y=ax2+bx+2交x軸于2(1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)P為

線段BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP,CP.

(2)在點(diǎn)P移動(dòng)過(guò)程中，ABPC的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積及點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由；

(3)設(shè)點(diǎn)。為CB上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作線段的垂線，交拋物線于點(diǎn)E,若小DCE^LBOC相似，

請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo).

21.(2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)丫=a/+6x+c(a力0)的圖

像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)2(4,0).經(jīng)過(guò)點(diǎn)4的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)B(l,3),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在直線4B上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PElx軸于點(diǎn)E,與直線4B交于點(diǎn)

D,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為小.

①加為何值時(shí)線段PD的長(zhǎng)度最大，并求出最大值；

②是否存在點(diǎn)P,使得ABPD與A40C相似.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.(2023?四川資陽(yáng)?中考真題)如圖，直線y=3%+3與x軸、y軸分別交于A、8兩點(diǎn)，拋物線丫=一［/+

bx+c經(jīng)過(guò)A、3兩點(diǎn).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)。是拋物線在第二象限內(nèi)的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作無(wú)軸的平行線與直線4B交于點(diǎn)C,求DC的長(zhǎng)的最大值；

(3)點(diǎn)。是線段力。上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸是拋物線在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PQ交y軸于點(diǎn)M是否存在點(diǎn)尸，使

△力BQ與ABQN相似，若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

題型03特殊四邊形存在性問(wèn)題

【總結(jié)】平行四邊形存在性問(wèn)題經(jīng)常呈現(xiàn)為:一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在X軸(y軸)或?qū)ΨQ(chēng)軸或某

一定直線上.設(shè)出拋物線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)若在x軸上，縱坐標(biāo)為0,則用平行四邊形頂點(diǎn)縱坐標(biāo)

公式;若在y軸上，坐標(biāo)為0,則用平行四邊形頂點(diǎn)橫坐標(biāo)公式.動(dòng)點(diǎn)哪個(gè)坐標(biāo)已知就用與該坐標(biāo)有關(guān)的公式.

另外，把在定直線上的動(dòng)點(diǎn)看成一個(gè)定點(diǎn)，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動(dòng)了，分別以三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線

段為對(duì)角線分類(lèi)，分三種情況討論.這種題型，關(guān)鍵是合理有序分類(lèi):無(wú)論是三定一動(dòng)，還是兩定兩動(dòng)，統(tǒng)

統(tǒng)把拋物線上的動(dòng)點(diǎn)作為第四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其余三個(gè)作為定點(diǎn)，分別以這三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段為對(duì)角線分

類(lèi)，分三種情況討論，然后運(yùn)用平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式轉(zhuǎn)化為方程(組).這種解法，不必畫(huà)出平行四邊形

草圖，只要合理分類(lèi)，有序組合，從對(duì)角線入手不會(huì)漏解，條理清楚，而且適用范圍廣.其本質(zhì)是用代數(shù)的

方法解決幾何問(wèn)題，體現(xiàn)的是分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想.

①三定一動(dòng)

23.(2024?廣東梅州?模擬預(yù)測(cè))如圖，拋物線y=a比2-25—3與天軸交于A,8兩點(diǎn)，其中4(—1,0),與

y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)。，使以A、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)

出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)如圖2,若點(diǎn)P是線段(不與端點(diǎn)重合)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線交拋物線于M點(diǎn)，連接CM.

①如圖3,將APCM沿CM對(duì)折，如果點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N恰好落在y軸上，求證：四邊形PCNM為菱形；

②當(dāng)△PCM和△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

24.(23-24九年級(jí)上?黑龍江佳木斯?階段練習(xí))如圖，拋物線y=-/+欣+(:與天軸交于4B(2,0)兩點(diǎn)(點(diǎn)

A在點(diǎn)8的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C(0,8).

(1)求該拋物線的解析式;

(2)若。為拋物線的頂點(diǎn)，求△ac。的面積;

(3)若尸是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以A、8、C、尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)

出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

②兩定兩動(dòng)

25.(2023?山東棗莊?中考真題)如圖，拋物線y=——久+c經(jīng)過(guò)4(一1,0),。(0,3)兩點(diǎn)，并交x軸于另一

點(diǎn)、B,點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn),

(1)求該拋物線的表達(dá)式;

(2)若點(diǎn)反是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MH,DH,求+的最小值;

(3)若點(diǎn)尸是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)°,使得以。，M,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四

邊形？若存在，請(qǐng)直談寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

26.(2023?西藏?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+bx+c^x71(-3,0),B(l,0)兩點(diǎn),

與y軸交于點(diǎn)C.

(2)如圖甲，在y軸上找一點(diǎn)O,使AACD為等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖乙，點(diǎn)尸為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，是否存在P、。兩點(diǎn)使以點(diǎn)A,C,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?

若存在，求出P、。兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

27.(2024?甘肅張掖?三模)已知二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)為C(l,0),直線y=久+爪與該二次函數(shù)交于A,8兩點(diǎn)，

(2)尸為線段42上一動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與二次函數(shù)交于點(diǎn)E.設(shè)線段PE長(zhǎng)為/?,

點(diǎn)尸橫坐標(biāo)為x,求/I與尤之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)。為線段48與二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，在上是否存在一點(diǎn)尸，使四邊形。CEP為平行四邊形？若存在，

請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2)矩形存在性問(wèn)題

解題思路：

1)先直角，再矩形.在構(gòu)成矩形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成直角三角形，以此為出發(fā)點(diǎn)，可先確定其

中3個(gè)點(diǎn)構(gòu)造直角三角形(方法：“兩線一圓”)，再確定第4個(gè)點(diǎn).對(duì)“2定+1半動(dòng)+1全動(dòng)”尤其適用.

【小結(jié)】這種解決矩形存在性問(wèn)題的方法相當(dāng)于在直角三角形存在性問(wèn)題上再加一步求D點(diǎn)坐標(biāo)，也是因

為這兩個(gè)圖形之間的密切關(guān)系方能如此.

2)先平四，再矩形.當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，A、B、C、D滿足以下3個(gè)等式，則為矩形：

玉+&=x2+勺

'M+J'H’4

其中第1、2個(gè)式子是平行四邊形的要求，再加上式

3可為矩形.表示出點(diǎn)坐標(biāo)后，代入點(diǎn)坐標(biāo)解方程即可.無(wú)論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對(duì)于我

們列方程來(lái)解都沒(méi)什么區(qū)別，能得到的都是三元一次方程組.

【小結(jié)】這個(gè)方法是在平行四邊形基礎(chǔ)上多加一個(gè)等式，剩下的都是計(jì)算的事.

3)構(gòu)造“三垂直”直角得矩形

28.(2022?貴州黔西中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)力(4,0)的直線A8與y軸交于點(diǎn)B(0,4).經(jīng)

過(guò)原點(diǎn)。的拋物線y=-/+bx+c交直線A3于點(diǎn)A,C,拋物線的頂點(diǎn)為D

(2)M是線段A2上一點(diǎn)，N是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)MN||y軸且MN=2時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，。是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn).是否存在以點(diǎn)A,C,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？

若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

29.(2023海南?中考真題)如圖1,拋物線，=/+收+(;交；1軸于4B(3,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C(0,-3).點(diǎn)

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-4)時(shí)，求四邊形B4CP的面積；

(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸在直線BC上方時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系是否存在點(diǎn)。，使得以2,C,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是矩

形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(4)如圖2,點(diǎn)。是拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作直線DH||y軸，交x軸于點(diǎn)X,當(dāng)點(diǎn)尸在第二象限時(shí)，作直線P4,

PB分別與直線交于點(diǎn)G和點(diǎn)/,求證：點(diǎn)。是線段/G的中點(diǎn).

30.(2024?青海西寧?一模)綜合與探究

如圖，拋物線y=一%一4與x軸交于A,8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)

稱(chēng)軸與x軸于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)。作DEIIBC交y軸于點(diǎn)E.

(2)點(diǎn)尸為拋物線上第四象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF1久軸于點(diǎn)尸，當(dāng)PF=4F時(shí)，求PE的長(zhǎng)；

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)。是x軸上一點(diǎn)，使以尸，E,Q,G為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)

出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

31.(2024.湖南婁底.三模)如圖,拋物線y=久2+.+?交刀軸于4(一1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)P是

拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-3)時(shí)，求四邊形4CPB的面積；

(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使得以B,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩

形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3）菱形存在性問(wèn)題

解題思路：

1）先等腰，再菱形.在構(gòu)成菱形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成等腰三角形，根據(jù)等腰存在性方法（兩圓

一線）可先確定第3個(gè)點(diǎn)，再確定第4個(gè)點(diǎn).

2）先平四，再菱形.當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，A、B、C、D滿足以下3個(gè)等式，則為菱形：

百+&=壬2+羽

'川+埼=12+丁4

.Ja-位）.+5+（,心-八）.,其中第］、2個(gè)式子是平行四邊形的要求，再加上式

3可為菱形，表示出點(diǎn)坐標(biāo)后，代入點(diǎn)坐標(biāo)解方程即可.

【總結(jié)】

菱形作為特殊的平行四邊形其存在性問(wèn)題亦是分類(lèi)討論中的一大難點(diǎn).題目一般會(huì)給出兩個(gè)定點(diǎn)，第三

個(gè)點(diǎn)在某個(gè)可求的函數(shù)圖像上，在另一個(gè)函數(shù)的圖像上或直角坐標(biāo)平面內(nèi)，求能與之前的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成菱形

的第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).此類(lèi)題目的一大難度在于如何合理分類(lèi)的問(wèn)題，若題目中已知兩定點(diǎn)的話，可以把這兩

定點(diǎn)連成的線段作為菱形的一邊或者對(duì)角線進(jìn)行分類(lèi)討論，再利用菱形的性質(zhì)確定出其他的頂點(diǎn)的位置.

①三定一動(dòng)

32.（2023?四川雅安?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線）/=/+力%+。過(guò)點(diǎn)4（0,2）,對(duì)稱(chēng)軸是直

線％=2.

（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)B在拋物線上，過(guò)點(diǎn)8作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)C、當(dāng)ABC"是等邊三角形時(shí)，求出此三角形

的邊長(zhǎng)；

（3）已知點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)。的坐標(biāo)為是否存在點(diǎn)R使以點(diǎn)A,D,E,尸為頂點(diǎn)的四

邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

33.（2024?山西長(zhǎng)治?模擬預(yù)測(cè)）綜合與探究

如圖，拋物線y=a久2+版一2與x軸交于4(-1,0),B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為。，對(duì)稱(chēng)

軸為直線

圖1圖2備用圖

(1)求拋物線的解析式；

(2)圖2中，對(duì)稱(chēng)軸直線1與x軸交于點(diǎn)H,連接AC,CD,BD,求四邊形4CDB的面積；

(3)點(diǎn)F是直線I上一點(diǎn)，點(diǎn)G是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以3c為邊，以點(diǎn)8,C,F,G為頂點(diǎn)的菱形？若存在，

請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

34.(2024.江蘇徐州.一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a久2+bx—3的圖象交x軸于

4(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)尸在線段。B上，過(guò)點(diǎn)尸作軸，交拋物線于點(diǎn)。，交直

線BC于點(diǎn)E.

(備用圖)

(1)a=_,b=_；

(2)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若ACDE是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在y軸上是否存在點(diǎn)尸，使得以點(diǎn)C、。、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

②兩定兩動(dòng)

35.(2024.四川瀘州?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(3,0),

與y軸交于點(diǎn)B,且關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當(dāng)一1<xWt時(shí)，y的取值范圍是0<y<2t-1,求f的值；

(3)點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線交直線4B于點(diǎn)在y軸上是否存在點(diǎn)

E,使得以8,C,D,￡為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.

36.(2024?湖南?模擬預(yù)測(cè))如圖，二次函數(shù)為=ax2+bx+c圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為力(1,4),一次函數(shù)為=mx+n

圖象與二次函數(shù)圖象相交于y軸上一點(diǎn)B(0,3),同時(shí)相交于x正半軸上點(diǎn)C.

(1)試求二次函數(shù)月=ax2+bx+c與一次函數(shù)%=mx+n的表達(dá)式.

⑵連接力B,AC,試求四邊形4B0C的面積.

(3)假設(shè)點(diǎn)P是二次函數(shù)y1=a/+法+c對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，是否存在

這樣的點(diǎn)尸及點(diǎn)。使得以8,C,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

37.(2024?陜西渭南?一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a/+m；+2(a.b為常數(shù),且aK0)

與x軸交于點(diǎn)4(一4,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,且。C=OB.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)連接BC,點(diǎn)。是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸/上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是平面內(nèi)的點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)B、C,D、E為頂點(diǎn)的四邊

形是菱形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

38.(2024?山東東營(yíng)?模擬預(yù)測(cè))如圖，拋物線y=+2%-6與x軸交于4B兩點(diǎn)(點(diǎn)2在點(diǎn)B的左側(cè)),

與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,BC.

(1)求出直線AC,BC的函數(shù)表達(dá)式.

(2)點(diǎn)尸是直線4C下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作BC的平行線/,交線段4C于點(diǎn)Z).在直線/上是否存

在點(diǎn)E,使得以點(diǎn)。，C,B,E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

4)正方形存在性問(wèn)題

解題思路：

1)從判定出發(fā)，若已知菱形，則加有一個(gè)角為直角或?qū)蔷€相等；若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或?qū)?/p>

角線互相垂直.

2)構(gòu)造三垂直全等.若條件并未給關(guān)于四邊形及對(duì)角線的特殊性，則考慮在構(gòu)成正方形的4個(gè)頂點(diǎn)中任取3

個(gè)，必是等腰直角三角形，若已知兩定點(diǎn)，則可通過(guò)構(gòu)造三垂直全等/等腰直角三角形來(lái)求得第3個(gè)點(diǎn)，再

求第4個(gè)點(diǎn).若出現(xiàn)三或四動(dòng)點(diǎn)，則通常四邊形具有一定的特殊性，從已知條件出發(fā)，分折還需滿足的其他

條件，通常列關(guān)于邊或?qū)蔷€方程得解.

解題方法：正方形是菱形和矩形特征的集結(jié)，因此同時(shí)采取菱形或矩形存在性問(wèn)題解決的方法去求點(diǎn)的坐

標(biāo).

39.(2024?江蘇無(wú)錫?中考真題)已知二次函數(shù)丫=。/+%+。的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(—1,—m和點(diǎn)3(2,1).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)C(m+1,%)，。(爪+2,%)都在該二次函數(shù)的圖象上，試比較為和的大小，并說(shuō)明理由；

(3)點(diǎn)P,Q在直線48上，點(diǎn)M在該二次函數(shù)圖象上.問(wèn)：在y軸上是否存在點(diǎn)N,使得以P,Q,M,N為頂

點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

40.(2023?黑龍江綏化?中考真題)如圖，拋物線y1=a/+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)a(—6,0),5(-2,0),C(0,6)三

點(diǎn)，且一次函數(shù)y=for+6的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.

(2)點(diǎn)E,F為平面內(nèi)兩點(diǎn)，若以E、尸、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且點(diǎn)E在點(diǎn)尸的左側(cè).這樣的E,尸兩

點(diǎn)是否存在？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)將拋物線為=ax2+bx+c的圖象向右平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線內(nèi)，此拋物線的圖象與％軸交于M,N

兩點(diǎn)(M點(diǎn)在N點(diǎn)左側(cè)).點(diǎn)P是拋物線乃上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在直線NC下方.己知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為小.過(guò)點(diǎn)P作

PD1NC于點(diǎn)D.求山為何值時(shí)，有最大值，最大值是多少？

41.(2024?陜西漢中.二模)如圖，拋物線y=-2產(chǎn)+6%+c與無(wú)軸交于4(一1,0)、B(2,0)兩點(diǎn).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，請(qǐng)問(wèn)在拋物線上是否存在點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)H,使得四邊形

是正方形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

42.(2024?陜西榆林?二模)如圖，已知拋物線y=ax2+bx+2(a<0)與y軸交于點(diǎn)C,與％軸交于4(一1,0),

8(2,0)兩點(diǎn).

(2)若點(diǎn)。是第二象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，DEII*軸，交直線BC于點(diǎn)E,點(diǎn)G在x軸上，點(diǎn)尸在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否

存在點(diǎn)D,使以D,E,F,G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型04其它存在性問(wèn)題

43.(2024.山東濟(jì)寧.中考真題)己知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)(0,-