2024-2025學年度第一學期期末考試九年級數學試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個答案，其中只有一個是正確的．1.下列事件中，屬于不可能事件的是（）．A.經過紅綠燈路口，遇到綠燈 B.射擊運動員射擊一次，命中靶心C.班里的兩名同學，他們的生日是同一天 D.從一個只裝有白球和紅球的袋中摸球，摸出黃球2.在平面直角坐標系中，點關于原點的對稱點的坐標是（）A. B. C. D.3.如圖，，為的兩條弦，連接，，若，則的度數為（）A B. C. D.4.如圖，在中，，，將繞點逆時針旋轉得到．當落在上時，的度數為（）A. B. C. D.5.如圖，矩形各頂點的坐標分別為，，，，以原點為位似中心，將這個矩形按相似比縮小，則頂點在第一象限對應點的坐標是（）

A. B. C. D.6.已知點在反比例函數的圖象上，則的大小關系是（）A. B. C. D.7.關于一元二次方程有實數根，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.8.在同一平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖象可能是（）A. B. C. D.9.從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度（單位：）與小球的運動時間（單位：）之間的關系式是．有下列結論：①小球從拋出到落地需要；②小球運動中的高度可以是；③小球運動時的高度小于運動時的高度．其中，正確結論的個數是（）A0 B.1 C.2 D.310.如圖，△ABC中，BC=6，BC邊上的高為3，點D，E，F分別在邊BC，AB，AC上，且EF∥BC．設點E到BC的距離為x，△DEF的面積為y，則y關于x的函數圖象大致是（）A. B.C. D.二、填空題（每小題3分，共15分）11.拋物線與y軸的交點坐標是_________．12.在直角坐標系中，點繞原點逆時針方向旋轉，得到的點的坐標是__________．13.一個不透明的盒子中裝有若干個紅球和個黑球，這些球除顏色外均相同．經多次摸球試驗后發(fā)現，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在左右，則盒子中紅球的個數約為______________．14.如圖，是的直徑，弦于點，若，，則半徑的長為__________．15.如圖，矩形中，，．點是邊上一動點，點為線段上一動點．，則最小值為________．三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）16.解方程（1）（2）17.學校擬舉辦慶?！敖▏?5周年”文藝匯演，每班選派一名志愿者，九年級一班的小明和小紅都想參加，于是兩人決定一起做“摸牌”游戲，獲勝者參加．規(guī)則如下：將牌面數字分別為1，2，3的三張紙牌（除牌面數字外，其余都相同）背面朝上，洗勻后放在桌面上，小明先從中隨機摸出一張，記下數字后放回并洗勻，小紅再從中隨機摸出一張．若兩次摸到的數字之和大于4，則小明勝；若和小于4，則小紅勝；若和等于4，則重復上述過程．（1）小明從三張紙牌中隨機摸出一張，摸到“1”的概率是______；（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲對雙方是否公平．18.如圖，在ABC中，點D，E，F分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF，已知四邊形BFED是平行四邊形，．（1）若，求線段AD的長．（2）若面積為1，求平行四邊形BFED的面積．19.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖象交于點和點B．（1）求m，a的值，并直接寫出點B的坐標；（2）根據圖象可得，不等式的解集為．20.建設美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬元，2021年投入資金1440萬元，現假定每年投入資金的增長率相同．（1）求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率；（2）2021年老舊小區(qū)改造的平均費用為每個80萬元．2022年為提高老舊小區(qū)品質，每個小區(qū)改造費用增加15%．如果投入資金年增長率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個老舊小區(qū)？21.如圖，是以為直徑的半圓上的兩點，，連結．（1）求證：．（2）若，，求陰影部分的面積．22.16世紀中葉，我國發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖．火箭第一級運行路徑形如拋物線，當火箭運行一定水平距離時，自動引發(fā)火箭第二級，火箭第二級沿直線運行．某科技小組運用信息技術模擬火箭運行過程．如圖，以發(fā)射點為原點，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標系，分別得到拋物線和直線．其中，當火箭運行的水平距離為時，自動引發(fā)火箭的第二級．若火箭第二級的引發(fā)點的高度為．（1）求出a，b的值；（2）火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭第一級運行的最高點低，求這兩個位置之間的距離．23.問題提出：如圖（1），中，，是的中點，延長至點，使，延長交于點，探究的值．（1）先將問題特殊化．如圖（2），當時，求出的值；（2）再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結論仍然成立．

2024-2025學年度第一學期期末考試九年級數學試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個答案，其中只有一個是正確的．1.下列事件中，屬于不可能事件的是（）．A經過紅綠燈路口，遇到綠燈 B.射擊運動員射擊一次，命中靶心C.班里的兩名同學，他們的生日是同一天 D.從一個只裝有白球和紅球的袋中摸球，摸出黃球【答案】D【解析】【分析】結合題意，根據不可能事件的定義分析，即可得到答案．【詳解】經過紅綠燈路口，遇到綠燈是隨機事件∴選項A錯誤；射擊運動員射擊一次，命中靶心是隨機事件∴選項B錯誤；班里的兩名同學，他們的生日是同一天，是隨機事件∴選項C錯誤；從一個只裝有白球和紅球的袋中摸球，摸出黃球，是不可能事件∴選項D正確；故選：D．【點睛】本題考查了隨機事件的知識；解題的關鍵是熟練掌握不可能事件的性質，從而完成求解．2.在平面直角坐標系中，點關于原點的對稱點的坐標是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了關于原點的對稱點的坐標．根據關于原點的對稱點的橫坐標互為相反數，縱坐標互為相反數即可求解．【詳解】解：∵關于原點的對稱點的橫坐標互為相反數，縱坐標互為相反數，∴點關于原點的對稱點的坐標是．故選：D．3.如圖，，為的兩條弦，連接，，若，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半是解題的關鍵．根據圓周角定理可知，即可得到答案．【詳解】根據題意，圓周角和圓心角同對著，，，．故選：C．4.如圖，在中，，，將繞點逆時針旋轉得到．當落在上時，的度數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了旋轉的性質，三角形內角和定理，由旋轉的性質可得，由三角形內角和定理可得出，最后根據角的和差關系即可得出答案．【詳解】解：由旋轉的性質可得出，∵，∴，∴，∴，故選：B．5.如圖，矩形各頂點的坐標分別為，，，，以原點為位似中心，將這個矩形按相似比縮小，則頂點在第一象限對應點的坐標是（）

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了位似圖形的性質，根據題意橫縱的坐標乘以，即可求解．【詳解】解：依題意，，以原點為位似中心，將這個矩形按相似比縮小，則頂點在第一象限對應點的坐標是故選：D．6.已知點在反比例函數的圖象上，則的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，根據反比例函數的性質得到函數的圖象分布在第二、四象限，在每一象限，y隨x的增大而增大，結合三點的橫坐標即可求解，掌握反比例函數圖象的性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴函數的圖象分布在第二、四象限，在每一象限，y隨x的增大而增大，∵，∴∴，故選：C．7.關于的一元二次方程有實數根，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了判別式與一元二次方程根的情況，熟知一元二次方程有實數根的條件是解題的關鍵．根據一元二次方程有實數根的條件是，據此列不等式求解即可．【詳解】解：∵關于的一元二次方程有實數根，∴，解得．故選B．8.在同一平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分兩種情況討論：當時，可排除B；當時，排除C、D．【詳解】解：當時，反比例函數過一三象限，一次函數與y軸正半軸有交點，過一二三象限，故A正確，排除B；當時，反比例函數過二四象限，一次函數與y軸負半軸有交點，過二三四象限，排除C、D；故選：A．【點睛】本題考查反比例函數、一次函數綜合問題，掌握數形結合的思想是關鍵．9.從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度（單位：）與小球的運動時間（單位：）之間的關系式是．有下列結論：①小球從拋出到落地需要；②小球運動中的高度可以是；③小球運動時的高度小于運動時的高度．其中，正確結論的個數是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】本題考查二次函數的圖像和性質，令解方程即可判斷①；配方成頂點式即可判斷②；把和代入計算即可判斷③．【詳解】解：令，則，解得：，，∴小球從拋出到落地需要，故①正確；∵，∴最大高度為，∴小球運動中的高度可以是，故②正確；當時，；當時，；∴小球運動時的高度大于運動時的高度，故③錯誤；故選C．10.如圖，△ABC中，BC=6，BC邊上的高為3，點D，E，F分別在邊BC，AB，AC上，且EF∥BC．設點E到BC的距離為x，△DEF的面積為y，則y關于x的函數圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】過點A向BC作AH⊥BC于點H，所以根據相似三角形的性質可求出EF，進而求出函數關系式，由此即可求出答案．【詳解】解：過點A向BC作AH⊥BC于點H，根據相似比可知：，即，解得：EF=2（3-x），則△DEF的面積y=×2（3-x）x=-x2+3x=-(x-)2+，故y關于x的函數圖象是一個開口向下、頂點坐標為(，)的拋物線．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數圖象，主要利用了相似三角形的性質，求出S與x的函數關系式是解題的關鍵．二、填空題（每小題3分，共15分）11.拋物線與y軸的交點坐標是_________．【答案】【解析】【分析】與軸的交點的特點為，令，求出的值，即可求出拋物線與軸的交點坐標．【詳解】令拋物線中，即，解得，故與軸的交點坐標為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了拋物線與y軸的交點坐標，解題的關鍵是令，求出的值．12.在直角坐標系中，點繞原點逆時針方向旋轉，得到的點的坐標是__________．【答案】【解析】【分析】把點繞原點旋轉的問題轉化為直角三角形旋轉的問題，畫出圖形可解決問題．【詳解】解：過A點作軸，過B點作軸，∵點A的坐標為，∴，∵，∴，∵，∴，∵，在和中，，∴，∴,∴點B的坐標為，故答案為：．【點睛】本題考查坐標與圖形變化-旋轉，解題的關鍵是正確作出圖形解決問題．13.一個不透明盒子中裝有若干個紅球和個黑球，這些球除顏色外均相同．經多次摸球試驗后發(fā)現，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在左右，則盒子中紅球的個數約為______________．【答案】【解析】【分析】設袋子中紅球有個，根據摸到黑球的頻率穩(wěn)定在左右，可列出關于的方程，求出的值，從而得出結果．【詳解】解：設袋子中紅球有個，根據題意，得,∴盒子中紅球的個數約為，故答案為：【點睛】本題主要考查了利用頻率估計概率，熟練掌握求概率公式是解此題的關鍵．14.如圖，是的直徑，弦于點，若，，則半徑的長為__________．【答案】5【解析】【分析】本題考查垂徑定理、勾股定理，關鍵是根據以上知識點列出關于圓半徑的方程．連接，設的半徑長為，得到，，由垂徑定理推出，由勾股定理得到，即可求出．【詳解】解：連接，設的半徑長為，，弦于點，，，，，，，，故答案為：5．15.如圖，矩形中，，．點是邊上一動點，點為線段上一動點．，則的最小值為________．【答案】2【解析】【分析】本題考查矩形的性質，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質，兩點之間，線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，應用直角三角形性質解決問題．取的中點O，連接，，證明，推出，點M在以O為圓心，4為半徑的上，利用勾股定理求出，可得結論．【詳解】解：如圖，取的中點O，連接，．∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵點O是的中點∴，∴，∴點M在以O為圓心，4為半徑的上，∵∴∴的最小值為2．故答案為：2．三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）16.解方程（1）（2）【答案】（1），（2），【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握根據方程特點選擇適當的解法是解題的關鍵．（1）用因式分解法求解即可；（2）用因式分解法求解即可．小問1詳解】解：，，或，∴，；【小問2詳解】解：，，，或，∴，．17.學校擬舉辦慶?！敖▏?5周年”文藝匯演，每班選派一名志愿者，九年級一班的小明和小紅都想參加，于是兩人決定一起做“摸牌”游戲，獲勝者參加．規(guī)則如下：將牌面數字分別為1，2，3的三張紙牌（除牌面數字外，其余都相同）背面朝上，洗勻后放在桌面上，小明先從中隨機摸出一張，記下數字后放回并洗勻，小紅再從中隨機摸出一張．若兩次摸到的數字之和大于4，則小明勝；若和小于4，則小紅勝；若和等于4，則重復上述過程．（1）小明從三張紙牌中隨機摸出一張，摸到“1”的概率是______；（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲對雙方是否公平．【答案】（1）（2）樹狀圖見解析，該游戲對雙方公平【解析】【分析】本題主要考查了簡單的概率計算，樹狀圖法或列表法求解概率：（1）根據概率計算公式求解即可；（2）畫出樹狀圖得到所有符合題意的等可能性的結果數，再分別找到兩次數字之和大于4和小于4的結果，再依據概率計算公式計算出兩人獲勝的概率即可得到結論．【小問1詳解】解：∵一共有3張牌，其中寫有數字1的牌有1張，且每張牌被摸到的概率相同，∴小明從三張紙牌中隨機摸出一張，摸到“1”的概率是，故答案為：；【小問2詳解】解：畫樹狀圖如下所示：由樹狀圖可知，一共有6種（和為4的不符合題意）等可能性的結果數，其中兩次摸到的數字之和大于4的結果數有3種，兩次摸到的數字之和小于4有3種，∴小明獲勝的概率為，小紅獲勝的概率為，∴小明和小紅獲勝的概率相同，∴該游戲對雙方公平．18.如圖，在ABC中，點D，E，F分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF，已知四邊形BFED是平行四邊形，．（1）若，求線段AD的長．（2）若的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．【答案】（1）2（2）6【解析】【分析】（1）利用平行四邊形對邊平行證明，得到即可求出；（2）利用平行條件證明，分別求出、的相似比，通過相似三角形的面積比等于相似比的平方分別求出、，最后通過求出．【小問1詳解】∵四邊形BFED是平行四邊形，∴，∴，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】∵四邊形BFED是平行四邊形，∴，，DE=BF，∴，∴∴，∵，DE=BF，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方、靈活運用平行條件證明三角形相似并求出相似比是解題關鍵．19.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖象交于點和點B．（1）求m，a的值，并直接寫出點B的坐標；（2）根據圖象可得，不等式的解集為．【答案】（1），，（2）或【解析】【分析】題目主要考查一次函數與反比例函數綜合問題，根據交點確定不等式的解集，理解題意，熟練掌握一次函數與反比例函數的基本性質是解題關鍵．（1）將點A代入一次函數即可得出，再將點A代入反比例函數即可確定函數解析式，進而即可得出交點；（2）結合圖象，找出一次函數圖象位于反比例函數圖象下方的取值范圍即可．【小問1詳解】解：∵點在一次函數的圖象上，∴將代入中，得，∴．∵點在反比例函數的圖象上，∴將代入中，得，解得．聯立，解得：或∴點的坐標為．【小問2詳解】由圖象得：當一次函數的圖象位于反比例函數圖象下方，即時，或，故答案為：或．20.建設美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬元，2021年投入資金1440萬元，現假定每年投入資金的增長率相同．（1）求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率；（2）2021年老舊小區(qū)改造的平均費用為每個80萬元．2022年為提高老舊小區(qū)品質，每個小區(qū)改造費用增加15%．如果投入資金年增長率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個老舊小區(qū)？【答案】（1）20%（2）18個【解析】【分析】（1）先設該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為，根據2019年投入資金2021年投入的總資金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的資金年增長率求出2022年的投入資金，然后2022年改造老舊小區(qū)的總費用要小于等于2022年投入資金，列出不等式求解即可．【小問1詳解】解：設該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為，根據題意得：，解這個方程得，，，經檢驗，符合本題要求．答：該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為20%．【小問2詳解】設該市在2022年可以改造個老舊小區(qū)，由題意得：，解得．∵為正整數，∴最多可以改造18個小區(qū)．答：該市在2022年最多可以改造18個老舊小區(qū)．【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，不等式的應用，解決此題的關鍵是找到相應的等量關系和相應的不等關系，列出正確的方程和不等式．21.如圖，是以為直徑的半圓上的兩點，，連結．（1）求證：．（2）若，，求陰影部分的面積．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）根據同弧所對圓周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根據∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，進而得到結論；（2）連結OC，OD，證明所求的陰影部分面積與扇形的面積相等，繼而得到結論．【小問1詳解】證明：∵=，∴∠ACD＝∠DBA，又∠CAB＝∠DBA，∴∠CAB＝∠ACD，∴；【小問2詳解】解：如圖，連結OC，OD．∵∠ACD＝30°，∴∠ACD＝∠CAB＝30°，∴∠AOD＝∠COB＝60°,∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．∵，∴S△DOC=S△DBC，∴S陰影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD，∵AB＝4，∴OA＝2，∴S扇形COD=．∴S陰影=．【點睛】本題主要考查扇形的面積，同弧所對的圓周角相等，平行線的判定，掌握定理以及公式是解題的關鍵．22.16世紀中葉，我國發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖．火箭第一級運行路徑形如拋物線，當火箭運行一定水平距離