專題6.6解三角形【十大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1余弦定理邊角互化的應(yīng)用】 4【題型2余弦定理解三角形】 5【題型3正弦定理邊角互化的應(yīng)用】 7【題型4正弦定理解三角形】 8【題型5正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)】 10【題型6正、余弦定理判定三角形形狀】 12【題型7三角形面積公式的應(yīng)用】 14【題型8正、余弦定理在幾何圖形中的應(yīng)用】 16【題型9求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍】 19【題型10距離、高度、角度測(cè)量問(wèn)題】 24【知識(shí)點(diǎn)1余弦定理、正弦定理】1．余弦定理(1)余弦定理及其推論的表示文字表述三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.公式表述a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.推論(2)對(duì)余弦定理的理解①余弦定理對(duì)任意的三角形都成立.

②在余弦定理中，每一個(gè)等式都包含四個(gè)量，因此已知其中三個(gè)量，利用方程思想可以求得未知的量.

③余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來(lái)確定三角形的角的問(wèn)題.用余弦定理的推論還可以根據(jù)角的余弦值的符號(hào)來(lái)判斷三角形中的角是銳角還是鈍角.

④余弦定理的另一種常見變式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC.2．正弦定理(1)正弦定理的表示在△ABC中，若角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c，則各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即==.(2)正弦定理的常見變形在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，則a=kA，b=kB，c=kC，由此可得正弦定理的下列變形：①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB；

②======；

③a:b:c=A:B:C；④===2R，（R為△ABC外接圓的半徑）.(3)三角形的邊角關(guān)系

由正弦定理可推導(dǎo)出，在任意三角形中，有“大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊”的邊角關(guān)系.3．解三角形(1)解三角形的概念一般地，三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.(2)余弦定理在解三角形中的應(yīng)用利用余弦定理可以解決以下兩類解三角形的問(wèn)題：

①已知兩邊及它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角；

③已知三邊，求三角形的三個(gè)角.(3)正弦定理在解三角形中的應(yīng)用公式==反映了三角形的邊角關(guān)系.

由正弦定理的推導(dǎo)過(guò)程知，該公式實(shí)際表示為：=，=，=.上述的每一個(gè)等式都表示了三角形的兩個(gè)角和它們的對(duì)邊的關(guān)系.從方程角度來(lái)看，正弦定理其實(shí)描述的是三組方程，對(duì)于每一個(gè)方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用來(lái)解決兩類解三角形的問(wèn)題：

①已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角，

③已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角.4．對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)的研究已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時(shí)有唯一解，三角形被唯一確定.

已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角，此時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，三角形不能被唯一確定.

(1)從代數(shù)的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角”時(shí)三角形解的情況，下面以已知a,b和A，解三角形為例加以說(shuō)明.

由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質(zhì)可得：

①若B=>1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為0；

②若B==1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1；

③若B=<1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1或2.

顯然由0<B=<1可得B有兩個(gè)值，一個(gè)大于，一個(gè)小于，考慮到“大邊對(duì)大角”、“三角形內(nèi)角和等于”等，此時(shí)需進(jìn)行討論.(2)從幾何的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角”時(shí)三角形解的情況，以已知a,b和A，解三角形為例，用幾何法探究如下：圖形關(guān)系式解的個(gè)數(shù)A為銳角①a=bsinA；②a≥b一解bsinA<a<b兩解a<bsinA無(wú)解A為鈍角或直角a>b一解a≤b無(wú)解5．判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系；(2)化角為邊，通過(guò)代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁.無(wú)論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的限制.6．三角形的面積公式(1)常用的三角形的面積計(jì)算公式①=a=b=c(,,分別為邊a,b,c上的高).

②將=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦值乘積的一半.(2)三角形的其他面積公式①=r(a+b+c)=rl，其中r,l分別為△ABC的內(nèi)切圓半徑及△ABC的周長(zhǎng).

②=，=，=.【題型1余弦定理邊角互化的應(yīng)用】【例1】（23-24高一下·甘肅天水·期中）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2acosB=c?2a，b=2a，則（

）A．2a=3c B．3a=2c C．b=2c D．2b=c【解題思路】根據(jù)余弦定理邊角互化即可求解.【解答過(guò)程】由2acosB=c?2a得由于b=2a，所以a2?4a故選：B.【變式1-1】（23-24高一下·貴州黔西·期中）在△ABC中，已知a+b+cb+c?a=3bc，則角A等于（A．150° B．120° C．60° D．30°【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解.【解答過(guò)程】因?yàn)閍+b+cb+c?a=3bc，整理得由余弦定理可得cosA=且0°<A<180°，所以A=60°.故選：C.【變式1-2】（24-25高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）在銳角三角形ABC中，a=1，b=2，則邊c的取值范圍是（

）A．1<c<3 B．C．3<c<5 【解題思路】由銳角三角形及余弦定理列不等式組，結(jié)合三角形三邊關(guān)系即可結(jié)果.【解答過(guò)程】由題意cosC=a2+b同理a2+c2>b2綜上，3<c<故選：C.【變式1-3】（24-25高一下·安徽滁州·階段練習(xí)）若鈍角△ABC的內(nèi)角A，B，C滿足A+C=2B，且最大邊長(zhǎng)與最小邊長(zhǎng)的比值為m，則m的取值范圍是（

）A．1,2 B．2,+∞ C．3,+∞ 【解題思路】先利用三角形內(nèi)角和結(jié)合條件求得B=60°，然后利用余弦定理及鈍角三角形得ca【解答過(guò)程】設(shè)三角形的三邊從小到大依次為a，b，c，因?yàn)锳+C=2B，則A+B+C=3B=180°，故可得B=60°，根據(jù)余弦定理得：cosB=a2因?yàn)椤鰽BC為鈍角三角形，故a2+b2?則m=ca>2故選：B.【題型2余弦定理解三角形】【例2】（23-24高一下·天津·期中）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若a=13，b=3，c=2，則角A=（A．30° B．60° C．120° D．150°【解題思路】根據(jù)余弦定理即可求解.【解答過(guò)程】由余弦定理可得cosA=∵A∈0,π,∴A=故選：D.【變式2-1】（23-24高一下·河南洛陽(yáng)·期中）△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，cosC2=55，BC=2，AC=5A．23 B．17 C．29 D．【解題思路】先利用二倍角余弦公式求解cosC【解答過(guò)程】因?yàn)閏osC2=又BC=2，AC=5，所以AB所以AB=41故選：D.【變式2-2】（23-24高一下·浙江·期中）已知△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且a+b:b+c:A．π3 B．2π3 C．3【解題思路】根據(jù)題意由邊長(zhǎng)比例關(guān)系可求得a=7k,b=5k,c=8k,再由余弦定理可得A=π【解答過(guò)程】根據(jù)題意不妨設(shè)a+b=12kb+c=13ka+c=15k，k>0所以可得此三角形的最大角與最小角分別為∠C和∠B；由余弦定理可得cosA=b2可得A=π所以C+B=π故選：B.【變式2-3】（23-24高一下·山西長(zhǎng)治·期末）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，a=2c=2，tanA+B2+tanCA．2 B．3 C．2 D．5【解題思路】先根據(jù)tanA+B2+tanC【解答過(guò)程】由tanA+B2+∴tan∴1∴sin又a=2c=2,所以a=2所以C∈0,∴C=π∴cosC=3故選：B.【題型3正弦定理邊角互化的應(yīng)用】【例3】（23-24高一下·青海海東·期中）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若B=2A，ab=22，則A．π6 B．π4 C．π3【解題思路】根據(jù)題意利用正弦定理可得cosA=【解答過(guò)程】因?yàn)閍sinA=可得cosA=22，且A∈故選：B.【變式3-1】（23-24高一下·北京通州·期中）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則“A>B”是“asinA>bsinA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)正弦定理分別判斷充分性和必要性即可.【解答過(guò)程】若A>B，則a>b>0，由正弦定理可知asin則sinA>則asinA>bsinB，則可得“再由asinA>bsinB，由正弦定理得a2則“asinA>bsin所以“A>B”是“asin故選：C.【變式3-2】（23-24高一下·吉林長(zhǎng)春·期末）已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A:B:C=1:1:4，則a:b:c等于（

）A．1:1:3 B．2:2:3 C．1:1:2 【解題思路】根據(jù)正弦定理求解即可.【解答過(guò)程】因?yàn)锳:B:C=1:1:4，故A=B=π1+1+4=由正弦定理，a:b:c=sin故選：A.【變式3-3】（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）在△ABC中，若A=30°,a=1,則b+2csinB+2sinA．2 B．12 C．32 【解題思路】由同角的三角函數(shù)關(guān)系求出sinA【解答過(guò)程】根據(jù)正弦定理邊角互化可知asin所以b+2csin故選：A.【題型4正弦定理解三角形】【例4】（23-24高一下·江蘇常州·期末）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若A=π3，tanB=32，a=A．2 B．5 C．3 D．7【解題思路】利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得sinB【解答過(guò)程】由tanB=32，可得sin所以(32cos又因?yàn)閠anB=32>0，0<B<π由正弦定理可得asinA=bsin故選：A.【變式4-1】（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知acosC=3ccosA，且tanC=A．π6 B．π4 C．π3【解題思路】由正弦定理可得sinAcosC=3sinCcosA，從而得sin【解答過(guò)程】解：因?yàn)閍cosC=3ccos所以sinA從而得sinC即tanC=又tanC=所以tanA=1又因?yàn)锳∈(0,π所以A=π故選：B.【變式4-2】（23-24高一下·山東聊城·期中）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若sinA=45，cosC=1213，A．3326 B．6365 C．2113 D．【解題思路】由題意求出cosA=±35【解答過(guò)程】由題意知：在△ABC中，sinA=45所以sinC=1?12132=5當(dāng)A∈0,π2于是sinB=又由asinA=可得b=a當(dāng)A∈π2,π于是sinB=又由asinA=可得b=a故選：D.【變式4-3】（23-24高一下·山西大同·期中）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若c=3，b=6，C=60°，則A=（

A．45° B．75° C．105° D．135°【解題思路】利用正弦定理求出B，即可求出A．【解答過(guò)程】由正弦定理得csinC=因?yàn)閏>b，所以C>B，所以B=45則A=180°?60°?45°=75°，故選：B．【題型5正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)】【例5】（23-24高一下·天津西青·期末）由下列條件解△ABC，其中有兩解的是（

）A．b=20,A=45°,C=C．a(chǎn)=11,b=6,A=45° 【解題思路】根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°【解答過(guò)程】對(duì)于A，由b=20,A=45°,C=80°由a=bsinAsinB和c=bsin對(duì)于B，因?yàn)閍=30,c=28,B=60°，由余弦定理b2所以三角形的三個(gè)邊唯一確定，即△ABC只有唯一解，因此B不正確；對(duì)于C，因?yàn)閍=11,b=6,A=45°，由正弦定理得即sinB=bsinAa所以角B只有唯一解，即△ABC只有唯一解，因此C不正確；對(duì)于D，因?yàn)閍=9,c=10,A=30°，由正弦定理得所以sinC=csinAa=109×故選：D.【變式5-1】（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·期中）在△ABC中，若a=1，cosA=154，b=2A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．不確定【解題思路】先求出sinA=14【解答過(guò)程】由題a<b，所以A<B,A∈0,又cosA=154所以0<A<π6且由正弦定理所以由B∈0,π得B=π故選：C.【變式5-2】（23-24高一下·河北張家口·期末）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，sinB=33,c=3，若△ABC有兩解，則A．3,3 B．3,3 C．【解題思路】根據(jù)題意得到三角形有兩解的條件，進(jìn)而得解.【解答過(guò)程】三角形中，sinB=當(dāng)△ABC有兩解時(shí)，csin即3×33<b<3故選：A.【變式5-3】（23-24高一下·湖北·期中）根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，其中有兩解的是（

）A．b=1,A=45°,C=C．a(chǎn)=3,b=1,B=120° 【解題思路】根據(jù)已知結(jié)合正弦定理判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【解答過(guò)程】A項(xiàng)是角角邊類型的三角形，有唯一解；B項(xiàng)解兩邊夾一角類型的三角形，是唯一解；C項(xiàng)是兩邊一對(duì)角類型的三角形，角B為鈍角，也是三角形的最大角，對(duì)應(yīng)三角形最大邊，但是b<a，故該三角形無(wú)解；D項(xiàng)是兩邊一對(duì)角類型的三角形，asinA=故選：D.【題型6正、余弦定理判定三角形形狀】【例6】（23-24高一下·福建龍巖·期中）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，cosB=?12，aA．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【解題思路】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得B=2π【解答過(guò)程】由cosB=?12，B∈由asinB=bsin由于sinB≠0，則sin∵A，C均為三角形的內(nèi)角，∴A=C，即a=c，故該三角形的形狀是等腰三角形．故選：B．【變式6-1】（23-24高一下·安徽馬鞍山·期末）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若bcosA+acosB=csinA．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【解題思路】由正弦定理和正弦和角公式化簡(jiǎn)得到sinC=1，求出C=【解答過(guò)程】由正弦定理得sinB其中sinA所以sinC=因?yàn)镃∈0,π，所以故sinC=1因?yàn)镃∈0,π，所以故△ABC為直角三角形.故選：C.【變式6-2】（23-24高一下·天津·階段練習(xí)）在△ABC中，已知asinAa2+A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰或直角三角形 D．等邊三角形【解題思路】利用余弦定理邊化角化簡(jiǎn)等式，再利用二倍角的正弦及正弦函數(shù)性質(zhì)推理判斷即可.【解答過(guò)程】在△ABC中，由asinAa整理得sinAcosA=而0<2A<2π,0<2B<2π,0<2A+2B<2π所以A=B或A+B=π2，即故選：C.【變式6-3】（23-24高一下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a?ccosB=b?ccosA，則A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角【解題思路】利用余弦定理將等式整理得到a2+b2?【解答過(guò)程】由a?ccos由余弦定理得a?c×a化簡(jiǎn)得a2當(dāng)a2+b2?當(dāng)a2+b2?綜上：△ABC為等腰或直角三角形，故D正確．故選：D．【題型7三角形面積公式的應(yīng)用】【例7】（23-24高一下·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）已知在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若b=2,c=23，且2sinB+CcosC=1?2A．23 B．32 C．34或32 【解題思路】由sinB+C=sinπ?A=sin【解答過(guò)程】因?yàn)閟inB+C所以由2sinB+Ccos所以sinB=12，因?yàn)閎<c，又B∈0,π所以b2=a化簡(jiǎn)為a2?6a+8=0?a=4或所以S△ABC=1故選：D.【變式7-1】（23-24高一下·山西呂梁·期末）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若a+b?ca+b+c=3ab,a=4,b=2，則△ABC的面積是（A．2 B．4 C．23 【解題思路】由余弦定理求出C，再由面積公式求解即可.【解答過(guò)程】若a+b?ca+b+c=3ab，則由余弦定理得cosC=因?yàn)?<C<π，所以C=則△ABC的面積是12故選：C.【變式7-2】（23-24高一下·山東聊城·期末）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，c=2，a2+b2=A．32 B．1 C．3 D．【解題思路】根據(jù)題意利用余弦定理可得C=π3，進(jìn)而可得【解答過(guò)程】因?yàn)閏=2，且a2+b整理可得a2由余弦定理可得2abcosC=2且C∈0,π，可知C=π又因?yàn)閍2+b則ab+4≥2ab，即ab≤4，所以△ABC面積的最大值為12故選：C.【變式7-3】（23-24高一下·海南?？凇て谀鰽BC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，sin2B+sin2C?sin2A=sinBsinA．3 B．23 C．3 【解題思路】利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理求出A，再用向量的方法表示中線，再由余弦定理可得bc的值，進(jìn)而求出該三角形的面積．【解答過(guò)程】因?yàn)閟in2B+sin由余弦定理可得b2+c而A∈(0,π)，可得由余弦定理可得a2即16=b因?yàn)锽C邊上的中線為6，設(shè)中線為AD，則2AD兩邊平方可得4AD即4×6=b②?①可得2bc=8，即bc=4，所以S△ABC故選：A．【題型8正、余弦定理在幾何圖形中的應(yīng)用】【例8】（23-24高一下·北京·期中）如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=26(1)求cos∠ABD(2)求BC的長(zhǎng)．【解題思路】（1）計(jì)算出sinA、sin∠ADB，利用兩角和的余弦公式可求得（2）在△ABD中，利用正弦定理可求出BD的長(zhǎng)，然后在△BCD中利用余弦定理可求得BC的長(zhǎng).【解答過(guò)程】（1）在△ABD中，cosA=63，cos∠ADB=1則sinA=1?coscos∠ABD=cos（2）在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB=由AB//CD，得∠BDC=∠ABD，在△BCD中，由余弦定理得：BC所以BC=11【變式8-1】（23-24高一下·廣東佛山·期中）在四邊形ABCD中，AB//CD，記∠ACD=α，AD?sinD=3AC?cosα，∠BAC的角平分線與BC相交于點(diǎn)(1)求cosα(2)求BC的值.【解題思路】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)得到ADsinD=ACsinα，再由（2）根據(jù)題意，利用S△BAE+S【解答過(guò)程】（1）在△ACD中，由正弦定理得ADsinα=因?yàn)锳D?sinD=3AC?cos又因?yàn)?<α<π，可得α=π3（2）因?yàn)锳B//CD，所以∠BAC=α=π又因?yàn)锳E平分∠BAC，可得∠BAE=∠CAE=π因?yàn)镾△BAE+S△CAE=所以12即12×3在△ABC中，由余弦定理得B=322【變式8-2】（23-24高一下·內(nèi)蒙古·期中）如圖，在平面四邊形ABCD中，BC=2,∠BCD=π6,△BCD

(1)求BD；(2)若AD=22,∠ABD=π【解題思路】（1）由三角形面積公式求出CD的長(zhǎng)，再由余弦定理可求出BD.（2）根據(jù)已知條件可由正弦定理優(yōu)先求出sin∠BAD=24，進(jìn)而可由內(nèi)角和為π【解答過(guò)程】（1）因?yàn)镾△BCD=1所以CD=3+1．在BD所以BD=2（2）在△ABD中，由正弦定理得ADsin∠ABD=解得sin∠BAD=24，又∠BAD∈所以sin∠ADB==sin=22×【變式8-3】（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）如圖，D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)且點(diǎn)B，D位于直線AC的兩側(cè)，在△ADC中，2AD?DC=A

(1)求∠ADC的大??；(2)若∠BAD=π3，∠ABC=5π6，AB=1【解題思路】（1）由已知條件得|AD|2+|DC|2（2）設(shè)∠CAD=α，AC=x，在△ACD和△ABC中都由正弦定理得x=3sinα，x=【解答過(guò)程】（1）因?yàn)樵凇鰽DC中，2|AD|?|DC|=|AC所以|AD|在△ADC中，由余弦定理得|AD|所以cos∠ADC=因?yàn)樵凇鰽DC中，∠ADC∈(0,π)，所以（2）在△ACD中，設(shè)∠CAD=α，AC=x，則由正弦定理得|AC|sin∠ADC=又在△ABC中，∠CAB=π3?α則由正弦定理得|AC|sin∠ABC=則由①②兩式得，3sinα=展開并整理得2sinα=3cosα因?yàn)樵凇鰽CD中，sinα>0，所以sin把sinα=217【題型9\o"求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍"\t"/gzsx/zj168411/_blank"求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍】【例9】（23-24高一下·湖北武漢·期中）在銳角△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,S為△ABC的面積，a=4，且2S=a2?b?c2A．8,45+4 B．12,25+2 C．【解題思路】利用面積公式和余弦定理可得tanA2=12【解答過(guò)程】∵2S=a∴S=bc?bccos∴1?cosA=12sin∴tanA2=由正弦定理可得asin所以b+c=5=5sinB+35sinB+因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以π2?A<B<π即：π2所以cosA2<∴8<45sinB+φ故△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍是12,45故選：D.【變式9-1】（23-24高一下·寧夏石嘴山·期末）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若b2+c2?a2A．3，2 B．3,2 C．3【解題思路】先根據(jù)已知式子化簡(jiǎn)得出角，再由余弦定理結(jié)合基本不等式求邊長(zhǎng)和范圍即可.【解答過(guò)程】由余弦定理得b2所以cosAsinC所以cosA所以2sin所以2sin可得2由余弦定理可得3=b又因?yàn)榛静坏仁絙+c≥2bc,所以所以3=b+c當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時(shí)，b+c取最大值2，因?yàn)閍=3,所以b+c>所以3<b+c≤2故選：B.【變式9-2】（23-24高一下·湖北武漢·期末）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，433S=b2(1)求角A；(2)若a=3，求△ABC【解題思路】（1）利用三角形面積公式與余弦定理代入已知條件，整理得tanA=（2）利用基本不等式與兩邊之和大于第三邊求得3<b+c≤2【解答過(guò)程】（1）因?yàn)?33S=b2所以433×12又0<A<π，所以A=（2）△ABC的周長(zhǎng)為l=a+b+c=3因?yàn)閍2=b因?yàn)閎+c≥2bc，所以bc≤所以(b+c)2≤3+3(b+c)24又b+c>a=3，所以23<所以△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍為23【變式9-3】（23-24高一下·重慶·期末）在銳角△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，已知2a?c=2bcos(1)求B的大?。?2)求a+bc【解題思路】（1）利用余弦定理化角為邊，再利用余弦定理即可得解；（2）利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)?a?c=2bcos由余弦定理得2a?c=2b?a整理得a2所以cosB=又B∈0,π，所以（2）由正弦定理得a+b=32因?yàn)?<C<π20<A=所以π12<C而tanπ所以2?3<tan所以a+bc【知識(shí)點(diǎn)2測(cè)量問(wèn)題】1．測(cè)量問(wèn)題(1)測(cè)量距離問(wèn)題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的長(zhǎng)度不可直接測(cè)量時(shí)，求AB的距離有以下三種類型：類型簡(jiǎn)圖計(jì)算方法A,B間不可達(dá)也不可視測(cè)得AC=b，BC=a，C的大小，則由余弦定理得B,C與點(diǎn)A可視但不可達(dá)測(cè)得BC=a，B，C的大小，則A=π-(B+C)，由正弦定理得C,D與點(diǎn)A,B均可視不可達(dá)測(cè)得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度數(shù).在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB.(2)測(cè)量高度問(wèn)題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的高度不可直接測(cè)量時(shí)，求AB的高度有以下三種類型：類型簡(jiǎn)圖計(jì)算方法底部

可達(dá)測(cè)得BC=a，C的大小，AB=a·tanC.底部不可達(dá)點(diǎn)B與C,D共線測(cè)得CD=a及∠ACB與∠ADB的度數(shù).

先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值.點(diǎn)B與C,D不共線測(cè)得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度數(shù).

在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值.(3)測(cè)量角度問(wèn)題測(cè)量角度問(wèn)題主要涉及光線(入射角、折射角)，海上、空中的追及與攔截，此時(shí)問(wèn)題涉及方向角、方位角等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會(huì)涉及俯角、仰角等概念.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題意、圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形中，該三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.【題型10距離、高度、角度測(cè)量問(wèn)題】【例10】（24-25高一下·全國(guó)·隨堂練習(xí)）如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者與A在河的同側(cè)，在所在的河岸邊先確定一點(diǎn)C，測(cè)出A，C的距離為50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為（

）A．502m B．503m C．【解題思路】求出∠ABC，再利用正弦定理求解即可.【解答過(guò)程】因?yàn)椤螦CB=45°，∠CAB=105°,所以∠ABC=180°?45°?105°=30°，在△ABC中，由正弦定理得A