專題6.10平面向量及其應(yīng)用全章十二大壓軸題型歸納（拔尖篇）【人教A版（2019）】題型1題型1利用向量關(guān)系研究幾何圖形的性質(zhì)1．（23-24高一下·遼寧撫順·開學(xué)考試）若四邊形ABCD中BA=CD，AB→=ADA．平行四邊形 B．矩形C．梯形 D．正方形【解題思路】根據(jù)向量條件可判斷四邊形ABCD為正方形，據(jù)此判斷各選項.【解答過程】四邊形ABCD中BA=若同時滿足AB=最后AC=于是三項都滿足的四邊形為正方形，故A，B，D正確，C錯誤.故選：C.2．（24-25高一下·天津和平·階段練習(xí)）如圖所示，四邊形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）A．AB=EF B．AB與C．BD與EH共線 D．CD【解題思路】利用菱形的性質(zhì)及向量的定義逐一判斷即可.【解答過程】∵四邊形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，∴∠DCG+∠GCE=180°，即∴AB=EF,CD=FG，AB//即AB=EF，CD=FG，對于C：若BD與EH共線，則必有∠BDC=∠HED，即∠GCE=2∠BDC=2∠HED，該條件不一定成立，如∠GCE=90°時，∠HED≠45°，故故選：C.3．（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，已知在四邊形ABCD中，M，N分別是BC，AD的中點，又AB=DC.求證：【解題思路】根據(jù)相等向量的定義、中點的定義、平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理，可以證明出CN=【解答過程】證明：由AB=DC可知AB=DC且所以四邊形ABCD為平行四邊形，從而AD=又M，N分別是BC，AD的中點，于是AN=所以AN=MC且AN//MC.所以四邊形AMCN是平行四邊形.從而CN=4．（24-25高一·全國·課后作業(yè)）如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，且AO=OC，BO=

【解題思路】由AO=OC，BO=OD可得【解答過程】因為四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，且AO=OC，所以四邊形ABCD的對角線AC、BD互相平分，所以四邊形ABCD是平行四邊形．即證.題型2題型2向量共線定理及其應(yīng)用1．（23-24高一下·廣東深圳·期中）已知AB=a+5b，BC=?2A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D【解題思路】A選項，設(shè)BC=mBD，則?2=2m8=10m【解答過程】A選項，BC=?2a+8令BC=mBD，則B選項，AB=a+5令A(yù)B=nBC，則C選項，AC=AD=令A(yù)C=tAD，則∴AC，ADD選項，AB=a+5故選：D.2．（23-24高一下·山東濰坊·期中）已知a，b是平面內(nèi)兩個不共線向量，AB=ma+2b，BC=3a?b，A，A．?23 B．23 C．【解題思路】利用共線向量定理列式計算即得.【解答過程】由A，B，C三點共線，得AB，BC共線，設(shè)AB=λBC，而AB=m則ma+2b=λ(3a?b)，又所以m=?6.故選：C.3．（23-24高一下·全國·課堂例題）已知e1、e2是兩個不平行的向量，向量AB=3e1(1)求證：AC//(2)判斷A、C、D三點的位置關(guān)系.【解題思路】（1）求出AC，找到使AC=λCD成立的（2）根據(jù)AC//CD可知【解答過程】（1）證明：AC=因此AC//（2）由（1）知AC//CD，又AC,故A、C、D三點共線.4．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）如圖，在?ABCD中，E，H分別是AD，BC的中點，AF=2FB，G為DF與(1)記向量AB=a，AD=b，試以向量a，b為基底表示(2)若AC=mBE+nDF，求(3)求證：A，G，H三點共線．【解題思路】（1）根據(jù)向量的減法法則結(jié)合題意求解；（2）對AC=mBE+nDF結(jié)合（1）化簡用a，（3）設(shè)BG=λBE，DG=μDF，由AG=AB+BG，AG=【解答過程】（1）因為在?ABCD中，E，H分別是AD，BC的中點，AF=2所以BE=DF=（2）由（1）知BE=12所以AC=m因為AC=a+b，所以（3）AH=設(shè)BG=λBE，AG=又AG=所以23μ=1?λ1?μ=12∴AG=∴AG∥AH，即A，G，題型3題型3向量線性運算的幾何應(yīng)用1．（23-24高一下·山西·階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，CE=2DE,EB和AC相交于點G，且F為AG上一點（不包括端點），若BF=λBE+μBA，則A．5+33 B．6+25 C．8+【解題思路】先確定G的位置，接著由BF=λBE+μ【解答過程】由題可設(shè)BG=xBE,x∈0,1則由題意得BG=x因為A、G、C三點共線，故x+2所以BG=所以BF=λ又A、G、F三點共線，所以53所以3λ當(dāng)且僅當(dāng)3μλ=5λ故3λ+1故選：B.2．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知O為△ABC內(nèi)一點，且滿足OA+λOB+(λ?1)OC=0，若△OAB的面積與△OAC的面積的比值為A．34 B．43 C．1【解題思路】如圖，根據(jù)平面向量的線性運算可得2λOD=AC，則O在線段DE上，且λ=DEOD，設(shè)OD=1【解答過程】由OA+λOB+(λ?1)如圖，D,E分別是BC,AB的中點，

則2λOD所以O(shè)在線段DE上，且2λOD=AC=2DE，得λ=DEOD，設(shè)OD=1，則DE=λ，所以因為S△OABS△ABD=OE所以S△OAC=S△ABD，則故選：B.3．（23-24高一下·河南周口·階段練習(xí)）如圖，在梯形ABCD中，|DA|=2，∠CDA=π3，CB=12

(1)若PE=34DA+(2)若|DC|=t，當(dāng)λ為何值時，【解題思路】（1）結(jié)合圖形，先證得四邊形ABCF是平行四邊形，利用向量的線性運算即可判斷點P在線段DC上的位置；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論，得到PE關(guān)于λ的表達式，進而利用向量數(shù)量積運算求模得到PE2關(guān)于λ的二次表達式，從而可求得|PE|【解答過程】（1）過C作CF//AB交AD于F，如圖，

因為CB=12則四邊形ABCF是平行四邊形，故DA=2BC=2AF，即F是AD的中點，所以BE=因為DP=λDC，所以所以PE=又因為PE=所以12?λ=1所以P在線段DC上靠近D點的四等分點處；（2）因為DP=λDC(λ≠0)所以PE=因為DC?DA=2tcos所以PE2所以當(dāng)12?λt=?34，即λ=所以|PE|的最小值為334．（24-25高一·全國·隨堂練習(xí)）如圖，點D是△ABC中BC邊的中點，AB=a，

(1)試用a，b表示AD；(2)若點G是△ABC的重心，能否用a，b表示AG？(3)若點G是△ABC的重心，求GA+【解題思路】（1）利用三角形法則整理化簡即可；（2）利用三角形重心性質(zhì)及向量的線性運算化簡計算即可；（3）利用三角形重心性質(zhì)及三角形法則化簡計算即可.【解答過程】（1）因為點D是△ABC中BC邊的中點，且AB=a，所以AD=（2）因為點G是△ABC的重心，所以AG=23AD=2=1（3）因為點G是△ABC的重心且D是BC邊的中點，所以GB+又AG=23AD=2題型4題型4向量的夾角（夾角的余弦值）問題1．（23-24高一下·北京通州·期中）已知兩個單位向量a，b滿足2a+b=7，則aA．π6 B．π4 C．π3【解題思路】首先同平方求出a?【解答過程】2a+b即4+4a?b+1=7，解得又因為，所以.故選：C.2．（23-24高一下·湖北·期末）已知單位向量a，b互相垂直，若存在實數(shù)t，使得a+1?tb與1?ta+b的夾角為A．?1±22 B．?1±2 C．?1±【解題思路】根據(jù)向量數(shù)量積的運算律和定義，列等式，即可求解.【解答過程】因為a=1?t+1?t=2?2t，a+1?tb又a+1?tb與1?t所以2?2t=1+1?t2解得：t=?1±3故選：D.3．（23-24高一下·江蘇南京·期中）已知向量a與b滿足a=2，b=1，a與b的夾角為(1)當(dāng)k為何值時，3a(2)求向量a+3b與向量【解題思路】（1）根據(jù)向量垂直得數(shù)量積為0，即可根據(jù)數(shù)量積的運算律求解，（2）根據(jù)模長公式求解長度，即可由夾角公式求解.【解答過程】（1）∵3a+2∴3a+2∴12k?2k?3?2=0，解得∴當(dāng)k=?110時，（2）a+3a+3∴cos4．（23-24高一下·上海寶山·階段練習(xí)）已知a=2,b=3，且(1)求2a+b(2)若向量a+kb與ka【解題思路】（1）先求出a?（2）由題意得a+kb?ka+b【解答過程】（1）設(shè)2a+b與?3因為a=2,b=3，且所以a?b=所以cos=?6a因為θ∈0,π，所以（2）因為向量a+kb與所以a+kb?ka由a+kb?所以2k+3+3k2+9k>0解得k<?11?856當(dāng)a+kb與ka因為a與b不共線，所以λk=1k=λ，解得k=1λ=1或當(dāng)λ=1時θ=0，當(dāng)λ=?1時，θ=π綜上，k∈?題型5題型5向量共線、垂直的坐標表示1．（23-24高一下·福建寧德·期中）已知平面向量a=1,m，b=n,2，c=2,4，若a//A．6 B．?6 C．2 D．?2【解題思路】由向量平行和垂直的坐標表示計算即可.【解答過程】因為a//所以1×4?2m=0?m=2，又b⊥所以2n+8=0?n=?4，所以m+n=?2，故選：D.2．（2024·四川宜賓·二模）已知向量a=1,2,b=3,1，向量c滿足A．?2,?1 B．2,?1 C．?2,1 D．2,1【解題思路】設(shè)出c=【解答過程】設(shè)c=x,y，則由c⊥a，得又a//c+b，得聯(lián)立x+2y=0y=2x+5，解得x=?2∴c故選：C.3．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期中）已知平面向量a=(1)若a⊥a+(2)若a+b//c，求x，并求出向量【解題思路】（1）由a⊥a+b得a?a+（2）由a+b//c，解出x的值，得到b，由公式cosa【解答過程】（1）a+b=所以a?解得x=4，此時b=所以b=（2）a+b=所以3x+5=?3?3+x此時a=a?b=1×2+?3×所以cosa又因為a,所以向量a與b的夾角a,4．（23-24高一下·甘肅·期末）已知向量a=1,2，(1)若a⊥a?(2)若向量c=?3,?2，a∥b+【解題思路】（1）用向量垂直的坐標結(jié)論求出x，再用模公式求解即可；（2）用向量平行的坐標結(jié)論求出x，再用夾角的坐標公式求解即可；【解答過程】（1）因為a=1,2，b=由a⊥a?即?1×1+22?x=0，解得所以b=2,3（2）依題意得b+因為a∥b解得x=0，則b=a?b=2，a所以cosa所以a與b夾角的余弦值為55題型6題型6向量坐標運算的幾何應(yīng)用1．（23-24高一下·山西太原·期中）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，分別以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．在如圖所示的勒洛三角形中，已知AB=2，點P在弧AC上，且∠PBC=30°，則PA?

A．6?43 B．23?4 C．2【解題思路】以B為原點，建立平面直角坐標系，利用坐標法求向量數(shù)量積.【解答過程】以B為原點，BC為x軸，點A在第一象限，建立如圖所示的平面直角坐標系，

則有B0,0，C2,0，A1,3,P為弧AC上的點且PA=PA?故選：A.2．（23-24高一下·青?！て谀┘艏埵且环N用剪刀或刻刀在紙上創(chuàng)造出各種形狀和圖案的傳統(tǒng)民間藝術(shù)形式，是中華民族傳統(tǒng)文化的瑰寶．如圖1，這是一個正八邊形的剪紙作品．如圖2，這是一個正八邊形，其中AB=4，P是這個八邊形上的任意一點，則AB?AP的取值范圍是（A．?16?82,16+82C．?16?82,82【解題思路】以點A為坐標原點，AB、AF所在直線分別為x、y軸建立平面直角坐標系，設(shè)點Px,y，可得?22≤x≤4+2【解答過程】正八邊形的每個內(nèi)角為6×180延長GH交直線AB于點M，延長DC交直線AB于點N，∠HAM=∠AHM=45°，則且AM=BN=AHcos以點A為坐標原點，AB、AF所在直線分別為x、y軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則A0,0、B4,0、M?2設(shè)點Px,y，則?22≤x≤4+22，所以，AP?故選：B.3．（24-25高一下·廣東中山·階段練習(xí)）在直角梯形ABCD中，已知AB//CD，∠BAD=90°，AB=6，AD=CD=3，對角線AC交BD于點O，點M在(1)求AM?(2)若N為線段AC上任意一點，求AN?【解題思路】（1）以A為原點，AB、AD分別為x、y軸建立平面直角坐標系，根據(jù)題中條件求出點O、M的坐標，然后利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可求得AM?（2）設(shè)AN=λAC，其中λ∈0,1，求出向量AN、MN【解答過程】（1）解：以A為原點，AB、AD分別為x、y軸建立平面直角坐標系，則A0,0、B6,0、C3,3因為AB//CD，AB=6，所以△ABO∽△CDO，所以O(shè)AOC=OB設(shè)Mm,0，則OM=m?2,?2因為OM⊥BD，所以O(shè)M?BD=?6所以M1,0，AM=1,0（2）解：由（1）知，AC=3,3，設(shè)AN=λ則MN=所以AN?因為λ∈0,1，故當(dāng)λ=1時，AN?MN當(dāng)λ=112時，AN?故AN?MN的取值范圍為4．（23-24高一下·河南·期末）如圖，已知平行四邊形ABCD的三個頂點B、C、D的坐標分別是(?1,3)、(3,4)、(2,2).(1)求頂點A的坐標；(2)在線段AD上是否存在一點E滿足AC⊥BE，若存在，求【解題思路】（1）利用AD=（2）設(shè)AE=λAD(0<λ<1)【解答過程】（1）設(shè)A(x,y)，又B(?1,3)、C(3,4)、D(2,2)，∴AD=(2?x,2?y)，BC又四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD=∴(2?x,2?y)=(4,1)，即2?x=4,2?y=1,解得∴頂點A的坐標為(?2,1).（2）存在.由（1）可知，AC=(5,3)，AD=(4,1)，設(shè)AE=λAD(0<λ<1)又AC⊥BE，解得，λ=1123，即題型7題型7用向量解決夾角、線段的長度問題1．（2024·四川南充·三模）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=3，AM=2MC，AN=12AB，CN與BMA．55 B．C．?55 【解題思路】將三角形放到直角坐標系當(dāng)中，利用坐標法求向量夾角，即可求解.【解答過程】解：建立如圖直角坐標系，則B(0,2),N(0,1),C(3,0),M(2,0),得CN=(?3,1),所以cos∠BPN=故選：D.2．（23-24高一下·重慶沙坪壩·期中）在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，|AB|=2，|BC|=2|ADA．72 B．4 C．92【解題思路】以B為原點，BC為x軸正方向，BA為y軸正方向建立平面直角坐標系，利用坐標法求解.【解答過程】如圖示，以B為原點，BC為x軸正方向，BA為y軸正方向建立平面直角坐標系.

則B0,0,A0,2,C2d,0所以PC=2d?p,0，所以PC+3所以|PC+3PD所以|PC故選：D.3．（23-24高一下·廣西河池·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知AB=2,AC=5,∠BAC=60°,BC,AC邊上的兩條中線AM，BN

(1)求AM的長度；(2)求∠MPB的正弦值.【解題思路】（1）根據(jù)AM是中線，由AM=（2）易知∠MPB為向量AM,NB的夾角【解答過程】（1）解：因為AM是中線，所以AM=所以AM?則AM=（2）由圖象知：∠MPB為向量AM,NB的夾角因為NB=所以NB2=4?2?5?12+又AM?NB==1所以cos∠MPB=因為∠MPB∈0,所以sin∠MPB=4．（23-24高一下·廣東廣州·期中）如圖，在△ABC中，AB=3,AC=2,∠BAC=π3,D是BC邊的中點，CE⊥AB,AD與CE(1)求CE和AD的長度；(2)求cos∠CFD【解題思路】（1）利用三角函數(shù)定義即可求得CE的長；利用向量法即可求得AD的長度；（2）利用向量夾角的余弦公式即可求得cos∠CFD【解答過程】（1）∵CE是高，∴∠AEC=π2，在Rt△AEC中，所以CE=ACsin∵AD是中線，∴AD∴AD2=∴CE=3,AD=19∴EC=AC?另解：過D作DG//CE交BE于∵D是BC的中點，∴G是BE的中點，∴AE=EG=GB=1,EF是△AGD的中位線，DG是△BCE的中位線，∴EF=1cos∠CFD=題型8題型8向量與幾何最值問題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知正六邊形ABCDEF的邊長為4，圓O的圓心為該正六邊形的中心，圓O的半徑為2，圓O的直徑MN∥CD，點P在正六邊形的邊上運動，則PM?PN的最小值為（A．5 B．6 C．7 D．8【解題思路】根據(jù)PM?PN=【解答過程】如圖所示，由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，△OAB，△OBC，△OCD，△ODE，△OEF，△OFA均是邊長為4的等邊三角形，當(dāng)點P位于正六邊形ABCDEF的頂點時，PO取最大值4，當(dāng)點P為正六邊形各邊的中點時，PO取最小值，即POmin所以PO∈所以PM?即PM?故選：D.2．（23-24高一下·北京·期中）如圖，邊長為4的正方形中心與單位圓圓心O重合，M，N分別在圓周上，正方形的四條邊上運動，則OM+ON的取值范圍是（

A．[1,22] B．[1,22+1] C．【解題思路】設(shè)OM的反向延長線與單位圓交于點P，得出OM+ON=【解答過程】如圖，OM的反向延長線與單位圓交于點P，則OM=?OM+所以O(shè)M+又由題意ON的最大值是22，最小值是2，而P因此PN的最大值是22+1，最小值是2?1=1，即所求值域是故選：B．

3．（23-24高一下·遼寧朝陽·期中）在△ABC中，CA=2，AB=3，∠BAC=2π3，D為BC(1)求AD?(2)若點P滿足CP=λCA，求PB?【解題思路】（1）將AD?BC化為AB和AC表示，利用AB和（2）用AB、AC表示PB?PC，求出PB?【解答過程】（1）因為D為BC的三等分點（靠近C點），所以CD=所以AD=AC+所以AD?BC=(=?13×9+（2）因為CP=λCA，所以因為PB=PC+所以PB?PC==λ|AB||AC|cos2所以當(dāng)λ=78時，PB?4．（23-24高一下·湖北武漢·期中）如圖是由兩個有一個公共邊的正六邊形構(gòu)成的平面圖形，其中正六邊形邊長為2.(1)設(shè)AG=xAB+y(2)若點P在OD邊上運動（包括端點），則求AO+2【解題思路】（1）根據(jù)向量的加減法運算，可得答案；（2）建立平面直角坐標系，求得相關(guān)各點坐標，表示出P點坐標(m,33m),0≤m≤【解答過程】（1）由題意得：兩個正六邊形全等，IG=則AG=故由AG=xAB+y（2）如圖，以O(shè)為坐標原點，F(xiàn)C為x軸，OI為y軸建立平面直角坐標系，則A(3,?3),B(23由于直線OD的方程為y=33x，故設(shè)P則BP=(m?2所以AO+2則AO+2由于0≤m≤3，此時函數(shù)y=故當(dāng)m=3時，y=所以AO+2題型9題型9\o"正、余弦定理判定三角形形狀"\t"/gzsx/zj168411/_blank"正、余弦定理判定三角形形狀1．（23-24高一下·天津·階段練習(xí)）在△ABC中，已知asinAa2+A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰或直角三角形 D．等邊三角形【解題思路】利用余弦定理邊化角化簡等式，再利用二倍角的正弦及正弦函數(shù)性質(zhì)推理判斷即可.【解答過程】在△ABC中，由asinAa整理得sinAcosA=而0<2A<2π,0<2B<2π,0<2A+2B<2π所以A=B或A+B=π2，即故選：C.2．（24-25高二上·廣東潮州·開學(xué)考試）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sinAk=sinBA．當(dāng)k=5時，△ABC是直角三角形 B．當(dāng)k=3時，△ABC是銳角三角形C．當(dāng)k=2時，△ABC是鈍角三角形 D．當(dāng)k=1時，△ABC是鈍角三角形【解題思路】由正弦定理化簡已知可得a:b:c=k:3:4，利用余弦定理，勾股定理，三角形兩邊之和大于第三邊等知識逐一分析各個選項即可得解．【解答過程】對于選項A，當(dāng)k=5時，sinA5=sinB3=顯然△ABC是直角三角形，故命題正確；對于選項B，當(dāng)k=3時，sinA3=sinB3=顯然△ABC是等腰三角形，a2說明∠C為銳角，故△ABC是銳角三角形，故命題正確；對于選項C，當(dāng)k=2時，sinA2=sinB3=可得a2+b2?對于選項D，當(dāng)k=1時，sinA1=sinB3=此時a+b=c，不等構(gòu)成三角形，故命題錯誤.故選：D.3．（23-24高一·上?！ふn堂例題）根據(jù)下列條件，分別判斷三角形ABC的形狀：(1)sinC+(2)tanA【解題思路】（1）利用誘導(dǎo)公式及和差角的正弦公式化簡即可得解.（2）利用正弦定理邊化角，再利用二倍角的正弦及誘導(dǎo)公式求解即得.【解答過程】（1）在△ABC中，C=π?(A+B)，由得sin(A+B)+sin(B?A)=則sinB=sinA或cosA=0，而0<A<π所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.（2）在△ABC中，由tanAtanB=a而sinA>0，因此sinAcos由0<A<π,0<B<π因此2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.4．（23-24高一下·浙江·期中）在△ABC中，設(shè)A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sinA?(1)求角B的值；(2)若a:b=tanA:tan(3)若△ABC為銳角三角形，且c=2，求△ABC的面積S的取值范圍.【解題思路】（1）將角化邊進行化簡，然后結(jié)合余弦定理求解即可；（2）將邊化角，將正切變成正弦和余弦再進行化簡即可判斷；（3）根據(jù)條件表示a邊，再利用三角形的面積公式即可求解面積的取值范圍.【解答過程】（1）∵sinA?∴由正弦定理得a?bc即a?ba+b即a2即a2由余弦定理得cosB=∵0°<B<180°，∴B=60°；（2）∵a:b=∴sinA∴cosA=∴A=B，∴△ABC為等邊三角形.（3）因為A+C=120由正弦定理,得a=所以S=因為△ABC為銳角三角形,則30°從而tan?C∈所以S∈3題型10題型10\o"求三角形面積的最值或范圍"\t"/gzsx/zj168411/_blank"三角形面積的最值或范圍問題1．（23-24高二上·安徽亳州·期中）在△ABC中，設(shè)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且c+bsinC=a?bsinA+sinBA．3 B．23 C．2 【解題思路】利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理求出cosA，從而求出sinA，由重要不等式求出【解答過程】因為c+bsin由正弦定理可得c+bc=a?ba+b，即a所以cosA=b2+c又因為b2+c2?所以bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時取得等號，所以S△ABC即△ABC面積的最大值為3，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時取得.故選：A．2．（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）在銳角△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊，已知2a?c6=cosCcosB且A．0,43 B．43,93 C．【解題思路】首先利用正弦定理求出角B，再利用三角形面積公式結(jié)合正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角恒等變換轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求范圍即可.【解答過程】∵2a?c6=cosCcosB且根據(jù)正弦定理得，2sin即2sin整理得2sin∵A∈0,π2，∴sinA>0，∴2cos∵asin∴a=43sinA∴△ABC的面積S=∴S=123sinA32cosA+12sinA=1233∴π6<A<∴sin∴S=63故選：C.3．（23-24高一下·江蘇無錫·期中）從①asinA+B2=csin在△ABC中，三邊a,b,c分別是角A,B,C的對邊，若______.(1)求C；(2)若c=2，求△ABC的面積的最大值．【解題思路】（1）條件①，化簡得到cosC2=sinC=2選條件②，由正弦定理得到a2+b選條件③：化簡得到sinA=2sinA（2）由（1）和由余弦定理得4=a2+【解答過程】（1）解：若選條件①，由asin可得sinAsin(π因為A∈(0,π)，所以sinA>0因為C2∈(0,π2)，可得cosC2若選條件②，由sin2根據(jù)正弦定理得a2+b由余弦定理得cosC=因為C∈(0,π)，所以若選條件③：由ccosB?2a?b即sinC因為sinA=sin(B+C)=又因為A∈(0,π)，所以sinA>0因為C∈(0,π)，所以（2）解：由（1）知：C=π3且又由余弦定理得c2即4=a當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立，所以ab≤4，則S△ABC=12ab4．（23-24高三上·湖南·階段練習(xí)）如圖，在平面四邊形ABCD中，BC⊥CD,AB=BC=2,∠ABC=θ,120(1)若θ=120°,AD=6(2)若2CD?sinθ2【解題思路】（1）在△ABC中，先求出AC，再在△ACD利用正弦定理求出sin∠ADC（2）把四邊形ABCD的面積用題干中給出的變量θ進行表示，求解最值即可.【解答過程】（1）解：由已知∠ABC=120°,AB=BC=2所以AC2=A在△ACD中，因為BC⊥CD,∠BCA=30°，所以∠ACD=60由正弦定理得ADsin∠ACD=因為AD=6>AC=23，所以∠ACD>∠ADC，所以0°<∠ADC<（2）在△ABC中，由已知AB=BC=2,∠ABC=θ,120所以S△ABC由余弦定理AC2=A在△ACD中，因為∠ACD=90又2CD?sinθ所以S△ACD=1所以四邊形ABCD的面積Sθ因為120°≤θ<180°，所以60°≤θ?60故四邊形ABCD面積的最大值為23題型11題型11\o"二項式定理與數(shù)列求和"\t"/gzsx/zsd29551/_blank"求\o"求三角形中的邊長或周長的最值或范圍"\t"/gzsx/zj168411/_blank"三角形中的邊長或周長的最值或范圍1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosCc+sinAtanCA．32,3 C．3,23 【解題思路】先根據(jù)正弦定理和條件化簡得到csinC=2【解答過程】因為cosCc+整理可得csinC=2又b=3，所以sinB=32，解得于是a+c=2=23因為三角形是銳角三角形，所以A∈π6,所以a+c的取值范圍是3,23故選：B.2．（23-24高一下·福建莆田·期中）在銳角三角形ABC中，已知a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且3b=2asinB，a=3，則三角形A．3?3,33 B．3?3,33【解題思路】由正弦定理化簡已知可得sinA，再由A是銳角，得到A=π3【解答過程】因為3b=2a根據(jù)正弦定理得，3sin因為B為銳角，所以sinB所以3=2sinA，即sin所以A=π因為根據(jù)正弦定理asin所以b=2sin因為三角形周長為a+b+c=3又因為A=π3，所以所以a+b+c=3因為B∈0,π2所以B∈π即B+π6∈所以a+b+c∈3+故選：C.3．（23-24高一下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a,????b,????c，向量m=((1)求角C的值；(2)若a=4，求b+c的取值范圍.【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標表示，方法一：利用正弦定理和余弦定理角化邊可得；方法二：利用和差公式化簡即可得解.（2）方法一：利用正弦定理將b+c表示為關(guān)于角A的函數(shù)，根據(jù)二倍角公式化簡，由正切函數(shù)的性質(zhì)可得；方法二：利用正弦定理將b表示為關(guān)于角A的函數(shù)，利用正切函數(shù)性質(zhì)求出b的范圍，由余弦定理用b表示c，然后表示出b+c，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可解.【解答過程】（1）因為m⊥所以m=2sin方法一：利用正弦定理角化邊得2asin又cosB=∴2asinC?a=0，則又△ABC為銳角三角形，故C=π方法二：由和差公式可得2sin又因為A∈0,π2又△ABC為銳角三角形，故C=π（2）由正弦定理得b=ac=a由于△ABC為銳角三角形，則A∈0,又0<C=5π6方法一：所以b+c=2=23而A2∈π∴1tanA2∈方法二：所以tanA>3，所以又b=23+2由余弦定理得c=a記fb易知fb在2所以f23<f所以b+c的取值范圍為2+234．（23-24高一下·河南商丘·階段練習(xí)）設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a，b，c，已知2ccosB=a2?b(1)求a的值；(2)若D為BC的延長線上一點，且∠CAD=π6，求三角形【解題思路】（1）根據(jù)題意利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得a=2cos（2）在△ACD中，可得DC=BC=b，AD=3b，在△ABC中，利用正弦定理結(jié)合三角函數(shù)可得【解答過程】（1）因為2ccos由正弦定理可得2sin則2sinCcos由正弦定理可得2bcosC=ba，即且C=π3，所以（2）在△ACD中，由題意可知：∠ACB=2π3可知DC=BC=b，由余弦定理可得AD2=A在△ABC中，由正弦定理asin可得b=a因為C=π3且△ABC為銳角三角形，則0<A<π則tanA>33，可得0<且三角形ACD周長為b+b+3所以三角形ACD周長的取值范圍為1+3題型12題型12距離、高度、角度測量問題1．（23-24高一下·浙江杭州·期末）如圖，計劃在兩個山頂M,N間架設(shè)一條索道.為測量M,N間的距離，施工單位測得以下數(shù)據(jù)：兩個山頂?shù)暮０胃進C=1003m,NB=502m，在BC同一水平面上選一點A，在A處測得山頂M,N的仰角分別為60°和30°

A．100m B．506m C．100【解題思路】根據(jù)題意，在直角△ACM和直角△ABN中，分別求得AM=200和AN=1002，再在△AMN中，利用余弦定理，即可求解MN【解答過程】由題意，可得∠MAC=60且∠MCA=∠NBA=90在Rt△ACM中，可得AM=在Rt△ABN中，可得AN=在△AMN中，由余弦定理得MN2所以MN=1002故選：C.2．（23-24高一下·江蘇南京·期