專題8.2立體圖形的直觀圖【六大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1斜二測畫法的辨析】 2【題型2畫平面圖形的直觀圖】 5【題型3畫空間幾何體的直觀圖】 7【題型4由直觀圖還原幾何圖形】 10【題型5斜二測畫法中有關(guān)量的計算】 13【題型6平面圖形的面積與其直觀圖的面積的關(guān)系】 15【知識點1立體圖形的直觀圖】1．空間幾何體的直觀圖(1)直觀圖的概念

直觀圖是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體獲得的圖形.畫立體圖形的直觀圖，實際上是把不完全在同一平面內(nèi)的點的集合，用同一平面內(nèi)的點表示.因此，直觀圖往往與立體圖形的真實形狀不完全相同.

在立體幾何中，立體圖形的直觀圖通常是在平行投影下得到的平面圖形.

(2)斜二測畫法及其步驟

利用平行投影，人們獲得了畫直觀圖的斜二測畫法.利用這種畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，其步驟是：

①在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O.畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x'軸和y'軸，兩軸相交于點O'，且使∠x'O'y'=(或)，它們確定的平面表示水平面.

②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別面成平行于x'軸或y'軸的線段.

③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，在直觀圖中長度為原來的一半.(3)旋轉(zhuǎn)體及其相關(guān)概念

斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的規(guī)則

畫幾何體的直觀圖時，與畫平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個與x軸、y軸都垂直的z軸，并且有以下規(guī)則.①已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x'軸、y'軸或z'軸的線段.

②已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话?

③連線成圖以后，擦去作為輔助線的坐標軸，就得到了空間圖形的直觀圖.2．平面圖形的面積與其直觀圖的面積間的關(guān)系(1)以三角形為例，則有.如圖所示，，它的直觀圖的面積.(2)平面多邊形的面積與其直觀圖的面積間的關(guān)系：=.即若記一個平面多邊形的面積為S原，由斜二測畫法得到的直觀圖的面積為S直，則有S直=S原.3．斜二測畫法的常用結(jié)論：(1)在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點及關(guān)鍵線段.“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半.”(2)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：.【題型1斜二測畫法的辨析】【例1】（2024高一下·全國·專題練習）關(guān)于斜二測畫法所得直觀圖，以下說法正確的是（）A．等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形B．正方形的直觀圖為平行四邊形C．梯形的直觀圖不是梯形D．正三角形的直觀圖一定為等腰三角形【解題思路】根據(jù)斜二測畫法的性質(zhì)判斷BC的正誤，根據(jù)特例可判斷AD的正誤.【解答過程】對于B，由于直角在直觀圖中有的成為45°，有的成為135°,但直觀圖的平行關(guān)系依然保留，故B正確.對于C，梯形的直觀圖一定是梯形，故C錯誤.對于D，如圖等邊三角形ABC中，O為AB的中點，設(shè)AB=4則CO=23，則在直觀圖中，EF=4故FG=7?2×2×3故三角形EFG不為等腰三角形，故AD錯誤.故選：B.【變式1-1】（2024高一下·全國·專題練習）下列說法中正確的是（

）A．相等的角在直觀圖中對應(yīng)的角仍然相等B．相等的線段在直觀圖中對應(yīng)的線段仍然相等C．不相等的線段在直觀圖中對應(yīng)的線段一定不相等D．線段的中點在直觀圖中仍然是線段的中點【解題思路】根據(jù)正方體的直觀圖可判斷A,B；利用矩形鄰邊滿足OC=2OA的直觀圖可判斷C,易知D正確.【解答過程】如圖，由正方形的直觀圖是平行四邊形可知A,B錯誤，易知D正確.C項，如圖，矩形的鄰邊滿足OC=2OA,其直觀圖的鄰邊是相等的，故C錯誤.故選：D.【變式1-2】（23-24高一下·天津·期末）用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結(jié)論正確的是（

）A．正方形的直觀圖是正方形B．矩形的直觀圖是矩形C．菱形的直觀圖是菱形D．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形【解題思路】根據(jù)平面圖形的直觀圖的畫法規(guī)則，逐項判定，即可求解.【解答過程】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可知，平行于坐標軸的直線平行性不變，平行于x軸的線段長度不變，平行于y軸的線段長度減半.對于A中，正方形的直角，在直觀圖中變?yōu)?5°或135對于B中，矩形的直角，在直觀圖中變?yōu)?5°或135對于C中，菱形的對角線互相垂直平分，在直觀圖中對角線的夾角變?yōu)?5°對于D中，根據(jù)平行線不變，可知平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形，所以D正確.故選：D.【變式1-3】（23-24高一下·陜西寶雞·期中）用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．相等的線段在直觀圖中仍然相等B．相等的角在直觀圖中不一定相等C．平行的線段在直觀圖中仍然平行D．互相垂直的線段在直觀圖中不一定互相垂直【解題思路】根據(jù)斜二測畫法的作圖規(guī)則結(jié)合反例，判斷各選項.【解答過程】如圖：四邊形OABC為正方形，由斜二測畫法可得其直觀圖如下：對于A，因為OA=OC，而O′故相等的線段在直觀圖中仍然相等這種說法錯誤，A錯誤；對于B，因為∠OAB=∠ABC，而∠故相等的角在直觀圖中不一定相等這種說法正確，B正確；對于C，由斜二測畫法性質(zhì)可得平行的線段在直觀圖中仍然平行，C正確；對于D，因為OA⊥AB，而O′所以互相垂直的線段在直觀圖中不一定互相垂直這種說法正確，D正確.故選：A.【題型2畫平面圖形的直觀圖】【例2】（23-24高一下·湖南株洲·期中）利用斜二測畫法畫出邊長為3cm的正方形的直觀圖，正確的是（

A． B． C． D．【解題思路】利用直觀圖的性質(zhì)求解即可.【解答過程】由直觀圖的性質(zhì)得原正方形的橫向長度不變，縱向長度減半，橫縱夾角變?yōu)棣?故選：C.【變式2-1】（23-24高一下·四川遂寧·期中）如圖，已知等腰三角形ABC，則如圖所示①②③④的四個圖中，可能是△ABC的直觀圖的有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題思路】按照直觀圖的概念依次判斷即可.【解答過程】等腰三角形畫成直觀圖后，原來的腰長不相等，①②不正確，③為∠x′O

故可能是△ABC的直觀圖的有：③④.故選：B.【變式2-2】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）用斜二測畫法畫出圖中四邊形OBCD的直觀圖．【解題思路】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則和步驟，將直角畫成45°，沿x′軸方向長度不變，y【解答過程】分以下三步進行作圖：（1）過點C作CE⊥x軸，垂足為E，如圖①所示．（2）畫出對應(yīng)的x′軸、y′軸，使在x′軸上取點B′，E′，使得O在y′軸上取一點D′，使得過E′作E′C′∥y′（3）擦去x′軸與y如圖③所示，四邊形O′【變式2-3】（2025高一·全國·專題練習）用斜二測畫法畫出如圖所示水平放置的等腰梯形和正五邊形的直觀圖.【解題思路】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則作圖．【解答過程】（1）用斜二測畫法畫出水平放置的等腰梯形，如下圖所示：畫出相應(yīng)的x′軸、y′軸，使過點D作DF⊥x軸，垂足為F，過點C作CE⊥x軸，垂足為E，在x′軸上取A′B過點E′作E′C′//y′軸，使E連結(jié)A′D′（2）用斜二測畫法畫出正五邊形的直觀圖，如下圖所示：連接AD交OE于F，畫出相應(yīng)的x′軸、y′軸，使在x′軸上取O′C′=OC，O′B過點F′作F′D′//x′軸，且F連結(jié)A′B′【題型3畫空間幾何體的直觀圖】【例3】（24-25高一·湖南·課后作業(yè)）畫出下列圖形的直觀圖：(1)棱長為4cm的正方體；(2)底面半徑為2cm，高為4cm的圓錐．【解題思路】根據(jù)要求用斜二測法畫出符合要求的直觀圖【解答過程】（1）如下圖所示，按如下步驟完成：第一步：作水平放置的正方形ABCD的直觀圖，使得AB=4cm，BC=2cm，且∠DAB=45°，取平行四邊形ABCD的中心O，作x軸∥AB，y軸∥BD，第二步：過點O作∠xOz=90°，過點A、B、C、D分別作AA1,B第三步：去掉圖中的輔助線，就得到棱長為4的正方體的直觀圖.（2）如下圖所示，按如下步驟完成：第一步：作水平放置的圓的直觀圖⊙O′，使A′第二步：過O′作z′軸，使∠x′O′z′=90°，在z′上取點第三步：去掉圖中的輔助線，就得到所求圓錐的直觀圖.【變式3-1】（2024高一下·全國·專題練習）有一個正六棱錐，底面邊長為3cm，高為3cm，畫出這個正六棱錐的直觀圖．【解題思路】借助直觀圖的畫法逐步畫出即可得.【解答過程】（1）先畫出邊長為3cm的正六邊形的水平放置的直觀圖，如圖①所示．（2）過正六邊形的中心O′建立z′軸，在z′軸上截取O′V′＝3cm，如圖②所示．（3）連接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如圖③所示．（4）擦去輔助線，遮擋部分用虛線表示，即得到正六棱錐的直觀圖，如圖④所示．【變式3-2】（24-25高一·湖南·課后作業(yè)）畫出圖中簡單組合體的直觀圖（尺寸單位：cm）．【解題思路】利用斜二測畫法求解.【解答過程】如圖所示：【變式3-3】（2024高一下·全國·專題練習）用斜二測畫法畫出正六棱錐P?ABCDEF（底面ABCDEF是正六邊形，點P與底面正六邊形的中心O的連線垂直于底面）的直觀圖（尺寸自定）．【解題思路】根據(jù)給定條件，利用斜二測畫法規(guī)則，按畫底面再確定頂點的步驟作出正六棱錐的直觀圖.【解答過程】（1）畫底面：①在正六邊形ABCDEF中，EF的中點為M，BC的中點為N，以AD所在直線為x軸，MN所在直線為y軸，兩軸相交于點O（如圖①所示），畫相應(yīng)的x′軸、y′軸和z′軸，三軸交于點O′，使

②在圖②中，以O(shè)′為中點，在x′軸上取A′D′以N′為中點畫B′C′平行于x′軸，并且等于BC；再以M′為中點畫③連接A′B′,C（2）畫頂點：在z′軸的正半軸上任意選取一點（不含點O′）為（3）成圖：連接P′A′，P′B′，P′C′加以整理（將被遮擋的線改為虛線），便得到正六棱錐P?ABCDEF的直觀圖P′【題型4由直觀圖還原幾何圖形】【例4】（23-24高一上·甘肅蘭州·期末）如圖所示，矩形O′A′B′A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形【解題思路】根據(jù)直觀圖與原圖的關(guān)系即可得解.【解答過程】因為矩形O′A′所以直觀圖還原得OA//BC,OA=BC=O四邊形OABC為平行四邊形，OD⊥BC，則C′D′O′OC=C所以O(shè)C=OA=6，故原圖形為菱形.故選：C.【變式4-1】（23-24高一下·黑龍江·期中）如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形是一個邊長為1的正方形，則原圖形的形狀是（

）A． B． C． D．【解題思路】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則進行判斷.【解答過程】由斜二測畫法的規(guī)則，與x軸平行的線段長度不變，注意到正方形的對角線在y軸上，對角線長為2，經(jīng)過斜二測畫法后對角線會變?yōu)樵瓉淼囊话耄试瓐D的對角線長是22故選：A.【變式4-2】（23-24高一下·天津河北·期中）如圖所示為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是下圖中的（

）A． B． C． D．【解題思路】由斜二測畫法的規(guī)則可知：平行于x′軸的線在原圖中平行于x軸，且長度不變，作出原圖，即可選出答案．【解答過程】設(shè)直觀圖中與x′軸和y′軸的交點分別為A′和B′，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則在直角坐標系中先做出對應(yīng)的A和B點，再由平行于x′軸的線在原圖中平行于x軸，且長度不變，作出原圖得四邊形OACD，故選：B．【變式4-3】（24-25高二上·貴州遵義·階段練習）把△ABC按斜二測畫法得到△A′B′C′，如圖所示，其中B′A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．三邊互不相等的三角形【解題思路】根據(jù)斜二側(cè)畫法還原△ABC在直角坐標系的圖形，進而分析出△ABC的形狀．【解答過程】根據(jù)斜二側(cè)畫法還原△ABC在直角坐標系的圖形，如下圖所示：由圖得AO=3，AB=AC=32故選：A.【題型5\o"斜二測畫法中有關(guān)量的計算"\t"/gzsx/zj135423/_blank"斜二測畫法中有關(guān)量的計算】【例5】（24-25高一上·全國·期中）用斜二測畫法畫出的某平面四邊形的直觀圖如圖所示，邊AB平行于y軸，BC,AD平行于x軸，若四邊形ABCD為等腰梯形，且AB=BC=1cm，則原四邊形的周長為（

）cmA．3+2+3 B．3+2+6【解題思路】根據(jù)斜二測畫法畫法，結(jié)合題中條件求出各邊邊長，即可求出結(jié)果.【解答過程】記四邊形ABCD所對應(yīng)的原四邊形為四邊形A1由題意可得，原四邊形中A1B1⊥A1D因為AB=BC=1cm，四邊形ABCD所以AD=ABcos所以A1B1=2cm因此C1所以原四邊形的周長為A1故選：D.【變式5-1】（23-24高一下·重慶九龍坡·期中）如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二測畫法的直觀圖，△A′B′C

A．213 B．33 C．43【解題思路】由△ABC的直觀圖可得AC=6，BC=8，AB=10，再利用角平分線定理可求得CD=3，再由勾股定理可得結(jié)論.【解答過程】易知△ABC為直角三角形，且AC=6，BC=8，由勾股定理可得AB=10，設(shè)角A的角平分線交BC于D，如下圖所示：

根據(jù)角平分線性質(zhì)知CD:DB=AC:AB=6:10，又因為BC=8，所以CD=3，DB=5，所以AD=A故選：D．【變式5-2】（23-24高一下·浙江臺州·期中）如圖，水平放置的四邊形ABCD的斜二測直觀圖為矩形A′B′C′D′A．62 B．122 C．8【解題思路】根據(jù)斜二測畫法的原則進行求解即可.【解答過程】由題設(shè)知：原四邊形中AB=CD=A′B所以原四邊形ABCD為平行四邊形，而O′C′=2綜上，四邊形ABCD的周長為AB+CD+AD+BC=10.故選：D.【變式5-3】（23-24高一下·湖北武漢·期中）如圖，四邊形ABCD的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形A′B′C′D′A．AB=2B．AC．四邊形ABCD的周長為4+2D．四邊形ABCD的面積為6【解題思路】利用斜二測畫法將圖形還原計算幾何圖形的面積與周長以及相關(guān).【解答過程】如圖可知AB=4,A′D′四邊形ABCD的周長為6+22+23，四邊形ABCD故選：D.【題型6平面圖形的面積與其直觀圖的面積的關(guān)系】【例6】（23-24高一下·廣東廣州·期中）如圖，已知等腰直角三角形O′A′B′是一個平面圖形的直觀圖，O

A．22 B．1 C．2 D．【解題思路】根據(jù)斜二測畫法的定義，畫出平面圖形，求得原三角形的直角邊，從而面積可得．【解答過程】利用斜二測畫法的定義，畫出原圖形，

由Rt△O′A′B′因此OB=O′B所以原平面圖形的面積是12故選：A.【變式6-1】（24-25高二上·湖南岳陽·期中）有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所示）.∠ABC=45°，A．2+