【例題1】有一小麥品比試驗(yàn)，共有8個品種，用A、B、C、D、E、F、G、H作為品種代號，其中A為對照品種。采用隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)，設(shè)置三次重復(fù)，小區(qū)面積25m2。試作分析。小麥品比試驗(yàn)（隨機(jī)區(qū)組）的產(chǎn)量結(jié)果（kg）區(qū)組ⅠⅡⅢTt平均品種A(CK)10.99.112.232.210.7B10.812.314.037.112.4C11.112.510.534.111.4D9.110.710.129.910.0E11.813.916.842.514.2F10.110.611.832.510.8G10.011.514.135.611.9H9.310.414.434.111.4Tr83.191.0103.9278【例題2】為了了解我國小麥品種的產(chǎn)量變異情況，今從品種資源庫中隨機(jī)抽取8個品種，用A、B、C、D、E、F、G、H作為品種代號，進(jìn)行品比試驗(yàn)。采用隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)，設(shè)置三次重復(fù)，小區(qū)面積25m2。試作分析。堅(jiān)強(qiáng)是什么？是長夜漫漫淚水流盡，依然早起擁抱新的太陽樂觀是什么？是暴雨傾盆沒有帶傘，就笑著跑著來一場淋浴游戲第四章理論分布和抽樣分布概率基礎(chǔ)知識幾種常見的理論分布離散型隨機(jī)變量的理論分布

二項(xiàng)分布泊松分布

連續(xù)性隨機(jī)變量的理論分布

正態(tài)分布抽樣分布

第一節(jié)事件、概率和隨機(jī)變量一、事件和事件發(fā)生的概率

在科學(xué)試驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)踐中，人們會觀察到各種各樣的現(xiàn)象，每種現(xiàn)象出現(xiàn)的可能結(jié)果稱為事件。必然事件：在一定條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象。用U表示。不可能事件：在一定條件下必然不出現(xiàn)的事件，用V表示。隨機(jī)事件：相同條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)，而事前無法預(yù)言其隨后結(jié)果（可出現(xiàn)也可不出現(xiàn)）的現(xiàn)象。

隨機(jī)事件的特點(diǎn)：

（1）試驗(yàn)可以在相同條件下多次重復(fù)進(jìn)行；（2）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個，并且

事先知道會有哪些可能的結(jié)果；（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果

中的一個，但在一次試驗(yàn)之前卻不能

肯定這次試驗(yàn)會出現(xiàn)哪一個結(jié)果。一次或少數(shù)試驗(yàn)，結(jié)果呈現(xiàn)偶然性。大量重復(fù)試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)某種規(guī)律性——頻率的穩(wěn)定性。例如：拋擲一枚硬幣發(fā)生正面朝上的頻率試驗(yàn)結(jié)果試驗(yàn)的次數(shù)頻率1.000.000.250.500.750255075100125

概率（probability）

一個事件發(fā)生的可能性，稱為概率。

事件A的概率表示方法為P（A）。

1、對于任何事件A，有0≤P（A）≤1；2、必然事件的概率為1，即P（U）=1；3、不可能事件的概率為0，即P（V）=0。

小概率原理若隨機(jī)事件的概率很小，稱之為小概率事件。

例如:統(tǒng)計(jì)學(xué)一般將概率小于0.05、0.01、0.001，稱為小概率?！鲈谝淮卧囼?yàn)中不可能發(fā)生；■大量試驗(yàn)中，一定發(fā)生。

小概率事件在一次試驗(yàn)中看成是實(shí)際不可能發(fā)生的事件,稱為小概率事件實(shí)際不可能性原理，亦稱為小概率原理。小概率原理是統(tǒng)計(jì)學(xué)上進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)（顯著性檢驗(yàn)）的基本依據(jù)。

二、事件間的關(guān)系（P48）

三、計(jì)算事件概率的法則（P49）

四、隨機(jī)變量（randomvariable)

作一次試驗(yàn)，其結(jié)果有多種可能。每一種可能結(jié)果的出現(xiàn)都具有一定的隨機(jī)性和偶然性，這些變量叫隨機(jī)變量。

隨機(jī)變量常用X、Y和Z等表示.離散型隨機(jī)變量(discreterandomvariable)；

如果隨機(jī)變量X的結(jié)果是明確的，并可一一列出，當(dāng)X取某一值時，其概率是確定的，則稱X為離散型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量的概率分布

要了解離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，就必須知道它的一切可能值xi及取每種可能值的概率pi。

常用分布列來表示：x1x2…xi…p1p2…pi…

pi≥0，Σpi=1連續(xù)型隨機(jī)變量(continuousrandomvariable)。

如果表示試驗(yàn)結(jié)果的變量X，其可能取值為某范圍內(nèi)的任何數(shù)值，且X在其取值范圍內(nèi)的任一區(qū)間中取值時，其概率是確定的，則稱X為

連續(xù)型隨機(jī)變量。連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

連續(xù)型隨機(jī)變量(如產(chǎn)量、株高)的概率分布不能用分布列來表示，因?yàn)槠淇赡苋≈凳遣豢蓴?shù)的。我們改用隨機(jī)變量X在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率P(a≤x<b)來表示。P(a≤x<b)=

連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)：

1、f(x)≥0；2、

(c為任意實(shí)數(shù))因而，對于連續(xù)型隨機(jī)變量，僅研究其在某一個區(qū)間內(nèi)取值的概率，而不去討論取某一個值的概率。3、

第二節(jié)二項(xiàng)分布一、二項(xiàng)總體和二項(xiàng)分布生物學(xué)研究中經(jīng)常碰到離散型的隨機(jī)變量，常?？梢园涯硞€性狀分成兩種類型，例如，種子的發(fā)芽與不發(fā)芽、穗子有芒與無芒、哺乳動物的雄性與雌性等。由對立事件構(gòu)成的總體，稱為二項(xiàng)總體。貝努里試驗(yàn)：試驗(yàn)的對象只有兩種結(jié)果，事件A和A。事件A的概率是p，事件A的概率是q。而且p+q=1事件A和A是可以計(jì)數(shù)的。從二項(xiàng)總體中連續(xù)抽取n個個體，將結(jié)果是A的次數(shù)記為X。以x表示事件A在n個個體中出現(xiàn)的次數(shù)，則x是一個離散型隨機(jī)變量。它的所有可能取值為0,1,2,…,n，其概率分布函數(shù)為：稱P(x)為隨機(jī)變量x的二項(xiàng)分布，記作B(n,p),也叫貝努里分布。如果連續(xù)進(jìn)行N次同樣的抽樣，得到某一觀察值xi的理論次數(shù)則為：理論次數(shù)=

N·P(xi)二項(xiàng)分布的概率累積函數(shù)：F(x)=∑P(x=i)

i=0x二項(xiàng)分布的特征：

（1）每個試驗(yàn)只有兩個對立結(jié)果。（2）若其中一個結(jié)果的概率為p,則其對立結(jié)果的概率為q=1-p（3）n次試驗(yàn)是互相獨(dú)立的，即每個試驗(yàn)結(jié)果不會影響到其它試驗(yàn)結(jié)果。二、二項(xiàng)分布的概率計(jì)算

【例題1】豌豆紅花與白花雜交，根據(jù)孟德爾遺傳理論，F(xiàn)2代中紅花與白花的比率為3:1。若一次隨機(jī)觀察12株，有7株紅花的概率是多少？若連續(xù)觀察50次，理論上有幾次出現(xiàn)7株紅花？解：n=12，p=3/4=0.75，

q=1/4=0.25。設(shè)12株豌豆中紅花的株數(shù)以x表示，則x為服從二項(xiàng)分布B(12，0.75)的隨機(jī)變量。于是12株豌豆中有7株是紅花的概率為：P(7)=C127.p7.q5=792×0.757×0.255=0.1032若觀察50次（N），出現(xiàn)7株紅花的理論次數(shù)為理論次數(shù)=N×P(7)=50X0.1032=5.16(次)例題2某小麥品種在田間出現(xiàn)自然變異植株的概率為0.0045，試計(jì)算：（1）觀察100株，獲得兩株或兩株以上變異植株的概率是多少?（2）期望有0.99的概率獲得1株或1株以上的變異植株，至少應(yīng)觀察多少株?解：已知變異株概率p=0.0045非變異株的概率q=1-p=0.9955

n=100

（1）獲得0個變異株概率，

x=0，P(0)=0.6370 獲得1個變異株概率，

x=1，P(1)=0.2879

獲得2株或以上變異株概率為：

x≥2，P(x≥2)=1-P(0)-P(1)=0.0751（2）如果期望調(diào)查n株中至少有1株是變異株的概率是0.99，則獲得非變異株的概率:P(0)=1-0.99=0.01即：x=0,P(0)=因?yàn)閝=0.9955，所以，因此，至少應(yīng)觀察1021株才能滿足要求。三、二項(xiàng)分布的形狀和參數(shù)1.二項(xiàng)分布的形狀

由n和p兩個參數(shù)決定（1）當(dāng)p值較小且n值不大時圖形是偏畸的。隨著n值的增大，分布逐漸趨于對稱。（2）當(dāng)p值趨于0.5時，分布趨于對稱。

2、二項(xiàng)分布的參數(shù)

二項(xiàng)總體次數(shù)分布的參數(shù)

若隨機(jī)變量（次數(shù)X）服從二項(xiàng)分布B(n,p)平均數(shù)μx=np

標(biāo)準(zhǔn)差（例題）：豌豆花色遺傳，F(xiàn)2代紅花P=0.75。每次觀察10株，觀察100次，由此形成一個二項(xiàng)分布。求出現(xiàn)紅花的平均次數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差。

以p=0.75，n=10代入上式得：μx=np=10×0.75=7.5(株)

=1.37(株)四、泊松分布---二項(xiàng)分布的一種極限分布

1、泊松分布的意義在生物學(xué)研究中，當(dāng)許多事件出現(xiàn)的概率很小，而樣本的容量或試驗(yàn)次數(shù)卻往往很大，即有很小的p值和很大的n值時，二項(xiàng)分布就變成了一種特殊的分布——泊松分布（Poissondistribution）。泊松分布也是一種離散型隨機(jī)變量的分布，其分布的概率函數(shù)為：式中，λ為參數(shù)，λ=np，x=0，1，2，…，∞。稱x服從參數(shù)為λ的波松分布，記為x～P(λ)。泊松分布的平均數(shù)和方差、標(biāo)準(zhǔn)差為：

μ=λ σ2=λ

μ=σ2=λ

是泊松分布的重要特征二項(xiàng)分布中，一般當(dāng)P<0.1和np<5時，可用泊松分布來近似計(jì)算。

2、波松分布的概率計(jì)算

由上式可知，波松分布的概率計(jì)算，依賴于參數(shù)λ的確定。但是在大多數(shù)服從波松分布的實(shí)例中，分布參數(shù)λ往往是未知的，只能從所觀察的隨機(jī)樣本中計(jì)算出相應(yīng)的樣本平均數(shù)作為λ的估計(jì)值。進(jìn)而計(jì)算出x=0，1，2，…時的各事件概率。

泊松分布是描述在一定空間或時間內(nèi)，稀少點(diǎn)子散布狀況的一種理論分布。在農(nóng)業(yè)生物學(xué)上有著較廣泛應(yīng)用。μ=σ2=λ

是泊松分布的重要特征解:100m2麥田中,平均雜草株數(shù)μμ=1×100/10=10(株)因此根據(jù)進(jìn)而可求出100m2麥田中有x株雜草的概率.例題1:麥田內(nèi)，平均每10m2有1株雜草，現(xiàn)在要問每100m2麥田中，有0株、1株、2株…的概率是多少?雜草數(shù)(x)≤5678910概率P(x)0.06700.06310.09010.11260.12510.1137雜草數(shù)(x)11121314≥15概率P(x)0.11370.09480.07290.05210.0835每100m2麥田中雜草株數(shù)的概率第三節(jié)正態(tài)分布一種很重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布：（1）生物現(xiàn)象中有許多變量是服從或近似服從正態(tài)分布的。因此許多統(tǒng)計(jì)分析方法都是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。（2）還有不少隨機(jī)變量的概率分布在一定條件下以正態(tài)分布為其極限分布。因此在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，正態(tài)分布無論在理論研究上還是實(shí)際應(yīng)用中，均占有重要的地位。一、正態(tài)分布的定義

若連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率分布密度函數(shù)為：

其中μ為平均數(shù)，σ2為方差，則稱隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布(normaldistribution)，記為x～N(μ,σ2)。

μ是位置參數(shù)。當(dāng)σ恒定時，μ愈大，則曲線沿x軸愈向右移動；反之，μ愈小，曲線沿x軸愈向左移動。σ是變異度參數(shù)。σ愈大，表示x的取值愈分散，曲線愈“胖”；σ愈小，x的取值愈集中在μ附近，曲線愈“瘦”。

二、正態(tài)分布的特征

1、正態(tài)分布密度曲線是單峰、對稱的懸鐘形曲線，對稱軸為x=μ；2、f(x)在x=μ處達(dá)到極大，極大值為；

3、f(x)是非負(fù)函數(shù)，以x軸為漸近線，分布從-∞至+∞；

5、正態(tài)分布有兩個參數(shù)，即平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ。6、分布密度曲線與橫軸所夾的面積為1，即：4、曲線在x=μ±σ處各有一個拐點(diǎn)，即曲線在(-∞,μ-σ)和(μ+σ,+∞)區(qū)間是下凸的，在[μ-σ,μ+σ]區(qū)間是上凸的；

二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

正態(tài)分布是依賴于參數(shù)μ和σ2(或σ)的一簇曲線。這就給研究具體的正態(tài)總體帶來困難，需將一般的N(μ,σ2)轉(zhuǎn)換為μ=0,σ2=1的正態(tài)分布。

我們稱μ=0,σ2=1的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standardnormaldistribution)。

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)記作f(u)：

隨機(jī)變量u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作u～N(0,1)，分布密度曲線如下頁圖。

對于任何一個服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量x，都可以通過標(biāo)準(zhǔn)化變換：u=(x-μ)/σ將其變換為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的隨機(jī)變量u。

u稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差(standardnormaldeviate)。

三、正態(tài)分布的概率計(jì)算（一）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算在連續(xù)性隨機(jī)變數(shù)中，不能計(jì)算某一定值的概率，只能計(jì)求某一區(qū)間或范圍的概率。在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下，變量u在[a,b]區(qū)間的概率可用曲線下區(qū)間的面積來表示。區(qū)間的概率可用下式表示P(a≤u＜b)

正態(tài)分布曲線下一∝到u的面積，可以通過定積分得出，即：

F(ui)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積函數(shù)。它是變量u小于某一定值ui的概率。因此，正態(tài)分布任一區(qū)間的概率可以如下式計(jì)算：

P(u1≤u＜u2)=F(u2)-F(u1)

由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率累積函數(shù)具有廣泛的應(yīng)用，所以，統(tǒng)計(jì)學(xué)家已計(jì)算好實(shí)際需要的各個F(ui)值，列于附表1（P336）。學(xué)習(xí)查表例如，u=1.75，累計(jì)概率F(1.75)是多少？從第一列中找到1.7，在第一行中找到0.05。行與列相交處的數(shù)值為0.95994，所以

F(1.75)=0.95994有時會遇到給定F(u)值，反過來查u值。

例如：

F(u)=0.284，u值是多少？

這只要在附表2中找到與0.284最接近的值0.2843，對應(yīng)行的第一列數(shù)-0.5，對應(yīng)列的第一行數(shù)值0.07

即相應(yīng)的u值為u=-0.57。

由正態(tài)分布的對稱性可推出下列關(guān)系式，再借助附表2，便能很方便地計(jì)算有關(guān)概率：

P(0≤u＜u1)=

P(u≥u1)=

P(｜u｜≥u1)=

P(｜u｜＜u1)=

F(u1)-0.5F(-u1)2F(-u1)1-2F(-u1)

關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，以下幾種概率經(jīng)常用到：

P（-1≤u＜1）=0.6826P（-2≤u＜2）=0.9545

P（-3≤u＜3）=0.9973

P(-1.96≤u＜1.96)=0.95P(-2.58≤u＜2.58)=0.99

u變量在上述區(qū)間以外取值的概率分別為：

P(｜u｜≥1)=2F(-1)=1-P(-1≤u＜1)=1-0.6826=0.3174P(｜u｜≥2)=2F(-2)=1-P（-2≤u＜2）=1-0.9545=0.0455P(｜u｜≥3)=1-0.9973=0.0027

P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.01

從上述計(jì)算可知，雖然正態(tài)分布u的取值區(qū)間為(一∝,十∝)，但實(shí)際上|u|＞2.58的概率只有0.0l，|u|＞1.96的概率也只有0.05，即：在u±1.96和u±2.58范圍內(nèi)已分別包含了95％和99％的變量值。（二）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的兩尾概率和單尾概率以上在計(jì)算P(｜u｜≥1)和P(｜u｜≥2.58)等概率時，