專題05三角形中的倒角模型之雙角平分線（三角形）模型

近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和

定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就三類雙角平分線模型

進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對于所學(xué)知識的靈活運(yùn)用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點(diǎn)，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每

一個題型，做到活學(xué)活用！

.........................................................................................................................................................................................1

模型1雙角平分線模型（雙內(nèi)角）..............................................................................................................1

模型2.雙角平分線模型（一內(nèi)角一外角）..................................................................................................4

模型3.雙角平分線模型（雙外角）..............................................................................................................6

...................................................................................................................................................9

模型1雙角平分線模型（雙內(nèi)角）

雙角平分線模型1：當(dāng)這兩個角為內(nèi)角時，這夾角等于90°與第三個角的一半的和。

1）兩內(nèi)角平分線的夾角模型

圖1圖2圖3

1

條件：如圖1，在ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BP，CP交于點(diǎn)P；結(jié)論：P90A。

2

△11

證明：∵∠ABC和∠ACB的平分線BP，CP交于點(diǎn)P，∴PBCABC，PCBACB。

22

111

∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。

222

2）凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型1

條件：如圖2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：2∠P=∠A+∠D。

11

證明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴PBCABC，PCBDCB。

22

111

∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。

222

即：2∠P=∠A+∠D。

3）凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型2

條件：如圖3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：2PABE180。

11

證明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴PCDBCD，PDCCDE。

22

∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-1（∠BCD+∠CDE）=180°-1（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠

22

E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。

例1．（2023秋·安徽阜陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在ABC中，點(diǎn)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P到ABC三邊

的距離相等，若BPC124，則A．

例2．（2023秋·山西太原·八年級?？计谀┮阎喝鐖D，P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PB，PC．

(1)猜想：BPC與ABP、ACP、A存在怎樣的等量關(guān)系？證明你的猜想．(2)若∠A69，PB、PC分

別是ABC、ACB的三等分線，直接利用（1）中結(jié)論，可得BPC的度數(shù)為．

例3．（2023秋·河南濮陽·八年級?？计谀┠Ｐ驼J(rèn)識：我們學(xué)過三角形的內(nèi)角和等于180，又知道角平分

線可以把一個角分成大小相等的兩部分，接下來我們就利用上述知識進(jìn)行下面的探究活動．

如圖①，在ABC中，BP、CP分別是ABC和ACB的角平分線．

解決問題：(1)若ABC40，ACB80，則BPC______；（直接寫出答案）

(2)若BAC100，求出BPC的度數(shù)；

拓展延伸：(3)如圖②，在四邊形ABCD中，BP、CP分別是ABC和DCB的角平分線，直接寫出BPC

與AD的數(shù)量關(guān)系．

例4．（23-24八年級·山東青島·期末）【基礎(chǔ)探究1】（1）如圖1，ABC中，BP平分ABC，CP平分ACB，

探求BPC與A之間的數(shù)量關(guān)系；

【基礎(chǔ)探究2】（2）如圖2，ABC中，BP1、BP2是ABC的三等分線，CP1、CP2是ACB的三等分線，

則BP1C與A之間的數(shù)量關(guān)系是______；

【基礎(chǔ)探究3】（3）如圖3，ABC中，BP1、BP2、BP3是ABC的四等分線，CP1、CP2、CP3是ACB的

四等分線，則BP3C與A之間的數(shù)量關(guān)系是______；

【拓展與探究】（4）如圖4，ABC中，BP1、BP2、……、BPn2、BPn1是ABC的n等分線，CP1、CP2、……、

CPn2、CPn1是ACB的n等分線，請用一個等式表示BP1C、BPn1C、A三者之間的數(shù)量關(guān)系是______；

【探究與應(yīng)用】（5）ABC中，BP1、BP2、……、BP2023是ABC的2024等分線，CP1、CP2、……、CP2023

是ACB的2024等分線，若BP2C與BP2022C的和是A的7倍，則BP1012C______．

模型2.雙角平分線模型（一內(nèi)角一外角）

雙角平分線模型2：當(dāng)這兩個角為一個內(nèi)角和一個外角時，這夾角等于第三個角的一半。

圖1圖2

1）一個內(nèi)角一個外角平分線的夾角模型

1

條件：如圖1，在ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：PA．

2

△11

證明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴PBCABC，PCDACD。

22

11

∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。

22

2）一個內(nèi)角一個外角平分線的夾角模型（累計平分線）

條件：如圖2，A，∠ABC、∠ACD的平分線相交于點(diǎn)P1，P1BC,P1CD的平分線相交于點(diǎn)P2，P2BC，

P2CD的平分線相交于點(diǎn)P3……以此類推；結(jié)論：Pn的度數(shù)是．

11

證明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴PBCABC，PCDACD。

22

11111

∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn=

222222

1．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，OG平分MON，點(diǎn)A,B是射線OM，ON上的點(diǎn)，連接AB．按

以下步驟作圖：

①以點(diǎn)B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)C，交BN于點(diǎn)D；

1

②分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于CD長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E；

2

③作射線BE，交OG于點(diǎn)P．若ABN140，MON50，則OPB的度數(shù)為（）

A．35B．45C．55D．65

例2．（2023·河北·九年級專題練習(xí)）問題情境：如圖1，點(diǎn)D是ABC外的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊的延長線上，

△

BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．試探究∠D與∠A的數(shù)量關(guān)系．

(1)特例探究：如圖2，若ABC是等邊三角形，其余條件不變，則∠D＝；

如圖3，若ABC是等腰三△角形，頂角∠A＝100°，其余條件不變，則∠D＝；這兩個圖中，與∠A度

數(shù)的比是△；(2)猜想證明：如圖1，ABC為一般三角形，在（1）中獲得的∠D與∠A的關(guān)系是否還

成立？若成立，利用圖1證明你的結(jié)論；若△不成立，說明理由．

例3．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）∠ACD是ABC的外角，ABC的平分線與ACD的平分線交于

△

點(diǎn)A1，A1BC的平分線與A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，…，An1BC的平分線與An1CD的平分線交于點(diǎn)

An．設(shè)∠A＝．則A1＝，∠A2021＝．

模型3.雙角平分線模型（雙外角）

雙角平分線模型3：當(dāng)這兩個角為外角時，這夾角等于90°與第三個角的一半的差。

圖1圖2圖3

1）兩外角平分線的夾角模型

1

條件：如圖1，在ABC中，BO，CO是ABC的外角平分線；結(jié)論：O90A．

2

△△11

證明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴OBCEBC，OCBBCF。

22

∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-1（∠EBC+∠BCF）=180°-1（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）

22

11

=180°-（180°+∠A）=90°+∠A。

22

2）旁心模型旁心：三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點(diǎn)

條件：如圖2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)D；結(jié)論：AD平分∠CAD。

證明：如圖3，過點(diǎn)D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，

∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。,

例1．（2023.廣東八年級期中）如圖，在ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于

點(diǎn)E，則∠AEC＝．△

例2．（2023·安徽宿州·八年級校聯(lián)考期末）（1）如圖（a），BD平分ABC，CD平分ACB.

①當(dāng)A60時，求D的度數(shù).②猜想A與D有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

（2）如圖（b），BD平分外角CBP，CD平分外角BCQ，（1）中②的猜想還正確嗎？如果不正確，請

你直接寫出正確的結(jié)論（不用寫出證明過程）.

例3．（2023秋·貴州遵義·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖（1），CBF，ACG是ABC的外角，ACG的平

分線所在直線與ABC的平分線BD交于點(diǎn)D，與CBF的平分線BE交于點(diǎn)E．(1)若A70，則D度；

(2)若A，求∠E的度數(shù)；(3)在圖（1）的條件下，沿BA作射線BM，連接AD，如圖（2）．求證：AD

平分MAC．

例4．（2023·甘肅天水·七年級統(tǒng)考期末）已知在ABC中，圖1，圖2，圖3中的ABC的內(nèi)角平分線或外

角平分線交于點(diǎn)O，△△

（1）如圖1，點(diǎn)O是ABC的兩個內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，猜想∠O與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

（2）請直接寫出結(jié)果．△如圖2，若A60，ABC的內(nèi)角平分線與外角平分線交于點(diǎn)O，則∠O＝________；

△

如圖3，若A60，ABC的兩個外角平分線交于點(diǎn)O，則∠O＝_________．

△

1．（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，ABC的外角ACD的平分線CP與內(nèi)角ABC的平分線BP

交與點(diǎn)P，若BPC40，則CAP（）

A．45B．60C．50D．55

2．（2023·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）ABC中，點(diǎn)O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到ABC三邊的距離相等；A40，

則BOC()

A．110B．120C．130D．140

3．（2023秋·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，∠A＝30°，E為BC延長線上一點(diǎn)，∠ABC與

∠ACE的平分線相交于點(diǎn)D，則∠D等于（）△

A．10°B．15°C．20°D．30°

4．（2023春·廣東·七年級專題練習(xí)）如圖，已知ABC，O是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接OB、OC，將∠ABO、

∠ACO分別記為∠1、∠2，則∠1、∠2、∠A、△∠O四個角之△間的數(shù)量關(guān)系是（）

A．∠1+∠0=∠A+∠2B．∠1+∠2+∠A+∠O=180°C．∠1+∠2+∠A+∠O=360°D．∠1+∠2+∠A=∠O

5（.2023.廣東七年級期中）在四邊形ABCD中，ABC的平分線與BCD的平分線交于點(diǎn)P，若AD，

則P（）

111

A．90B．C．90D．180

222

6．（2023春·福建漳州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，ACBA,BD是角平分線，BE是邊AC上

的高，延長BD與外角ACF的平分線交于點(diǎn)G．以下四個結(jié)論：①ABDCBD；②ABEA90；

③G45；④AACB2EBD．其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

7．（2023·遼寧營口·八年級校考階段練習(xí)）如圖，∠ACD是ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平

分線交于點(diǎn)A1，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)△A2，…，∠An﹣1BC的平分線與∠An﹣1CD的平

分線交于點(diǎn)An．設(shè)∠A=．則：（1）∠A1=；（2）∠An=．

8．（2023春·成都市七年級課時練習(xí)）如圖在ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE

為外角∠ACD的平分線，交BO的延長線于點(diǎn)△E，記BAC1，BEC2，則以下結(jié)論①122，

②BOC32，③BOC901，④BOC902，正確的是．（把所有正確的結(jié)論的序

號寫在橫線上）

9．（2023秋·安徽阜陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在ABC中，點(diǎn)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P到ABC三邊的

距離相等，若BPC124，則A．

10．（2023秋·北京大興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，ABAC，BAC的平分線與外角BCD的

平分線相交于點(diǎn)M，作AB的延長線得到射線AE，作射線BM，有下面四個結(jié)論：

1

①M(fèi)CDMAB；②BMCM；③射線BM是EBC的角平分線；④BMC90BAC．

2

所有正確結(jié)論的序號是．

11．（2023春·河南鄭州·七年級校考期末）如圖，已知在ABC中，A70．

(1)分別作B，C的平分線，它們交于點(diǎn)O（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

(2)當(dāng)B=60時，BOC的度數(shù)為．(3)當(dāng)B時，BOC的度數(shù)為．

12．（2023·成都市·八年級專題練習(xí)）在ABC中，BAC60，線段BF、CE分別平分ABC、ACB交

于點(diǎn)G．(1)如圖1，求BGC的度數(shù)；(2)如圖2，求證：EGFG；(3)如圖3，過點(diǎn)C作CDEC交BF延

長線于點(diǎn)D，連接AD，點(diǎn)N在BA延長線上，連接NG交AC于點(diǎn)M，使DACNGD，若EB:FC1:2，

CG10，求線段MN的長．

13．（2023秋·山東·八年級專題練習(xí)）如圖，在ABC中，BAC50，I是ABC，ACB平分線的交

點(diǎn)．(1)BIC；(2)若D是兩條外角平分線的交點(diǎn)，則BDC；(3)在（2）的條件下，若

E是內(nèi)角ABC和外角ACG的平分線的交點(diǎn)，試探索BEC與BAC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

14．（2022春·湖北十堰·七年級統(tǒng)考期末）在三角形中，由三角形的內(nèi)角平分線所形成的角存在一定的規(guī)律，

理解并掌握其中的規(guī)律，有助于同學(xué)們鞏固相關(guān)的數(shù)學(xué)知識．

,

如圖1，ABC中，BA1CA1分別平分ABC,ACB，且相交于點(diǎn)A1,“勤奮小組”的同學(xué)發(fā)

1

現(xiàn):BAC90BAC．證明過程如下:

12

證明:如圖2，連接AA1并延長，

則1ABA1BAA1,2ACA1CAA1(依據(jù)1)

BA1與CA1分別平分ABC,ACB

11

ABAABC,ACAACB

1212

11

BAC12ABCBAAACBCAA

12121

1111

ABCACBBACABCACBBACBAC

2222

又QABCACBBAC180o，(依據(jù)2)

111

BAC180BAC90BAC．

1222

1依據(jù)1是___，依據(jù)2是__；2如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上，作A1BC,A1CB的角平分線BA2,CA2,交于

點(diǎn)A2,試探究BA2C與BAC之間的數(shù)量關(guān)系．

15．（2023秋·山西朔州·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）（1）【情境引入】如圖1，BD，CD分別是ABC的內(nèi)角ABC，

1

ACB的平分線，說明D90A的理由．

2

（2）【深入探究】①如圖2，BD，CD分別是ABC的兩個外角EBC，F(xiàn)CB的平分線，D與A之間

的等量關(guān)系是_________；

②如圖3，BD，CD分別是ABC的一個內(nèi)角ABC和一個外角ACE的平分線．BD，CD交于點(diǎn)D，探

究D與A之間的等量關(guān)系，并說明理由．

（3）【拓展應(yīng)用】請用以上結(jié)論解決下列問題：如圖4，在ABC中，BD，CD分別平分ABC，ACB．M，

N，Q分別在DB，DC，BC的延長線上，BE，CE分別平分MBC，BCN，BF，CF分別平分EBC，

ECQ．若A80，則F的度數(shù)是________．

16．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·七年級校考期中）（1）如圖1，BO、CO分別是ABC中ABC和ACB的平分線，

則BOC與A的關(guān)系是______（直接寫出結(jié)論）；

（2）如圖2，BO、CO分別是ABC兩個外角CBD和BCE的平分線，則BOC與A的關(guān)系是______，

請證明你的結(jié)論．（3）如圖3，BO、CO分別是ABC一個內(nèi)角和一個外角的平分線，則BOC與A的關(guān)

系是______，請證明你的結(jié)論．（4）利用以上結(jié)論完成以下問題：如圖4，已知：DOF90，點(diǎn)A、B

分別是射線OF、OD上的動點(diǎn)，ABO的外角OBE的平分線與內(nèi)角OAB的平分線相交于點(diǎn)P，猜想P

的大小是否變化？請證明你的猜想．

17．（2023·天津河西·八年級期中）探究一：已知：如圖1，F(xiàn)DC與ECD分別為△ADC的兩個外角．

試探究A與FDCECD的數(shù)量關(guān)系_____(即列出一個含有A，F(xiàn)DC，ECD的等式，直接寫出

答案即可)；

探究二：已知：如圖2，在△ADC中，DP,CP分別平分ADC和ACD，求：P與A的數(shù)量關(guān)系；

探究三：若將探究2中的△ADC改為任意四邊形ABCD呢？

即：如圖3，在四邊形ABCD中，DP,CP分別平分ADC和BCD，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論探究P與A+B的

數(shù)量關(guān)系．

18．（2023·山東濟(jì)南·?？寄M預(yù)測）如圖1，在ABC中，∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于