專題14弧長(zhǎng)及扇形的面積重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（七大題型）【題型目錄】題型一求弧長(zhǎng)題型二求扇形半徑題型三求圓心角題型四求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度題型五求扇形面積題型六求弓形面積題型七求不規(guī)則圖形的面積【經(jīng)典例題一求弧長(zhǎng)】1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，是邊上的一點(diǎn)，以為直徑的交邊于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C． D．2．（2023秋·山西長(zhǎng)治·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，以為直徑的與相交于點(diǎn)E，與相交于點(diǎn)F，，已知，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．3．（2022秋·廣西貴港·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，分別以等邊的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫弧，得到的封閉圖形是萊洛三角形，若該萊洛三角形的周長(zhǎng)（即外周三段弧的和）為，則的邊長(zhǎng)為．

4．（2023·四川成都·?？既＃办巢瞧趼菪€”（也稱“黃金螺旋”）是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線，人類耳朵的形狀也符合這種螺旋形狀，這種形狀的構(gòu)造幫助人類可以更好地接收聲波，從而增強(qiáng)聽覺．現(xiàn)依次取邊長(zhǎng)為1，1，2，3，5……的正方形按如圖所示方式拼接，分別以每個(gè)正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，連接形成的螺旋曲線即為“斐波那契螺旋線”．那么前五個(gè)正方形內(nèi)形成的曲線的長(zhǎng)度是．

5．（2023春·河北邢臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，一量角器所在圓的直徑為，其外緣有兩點(diǎn)，其讀數(shù)分別為和．

(1)劣弧所對(duì)圓心角=__________；(2)求的長(zhǎng)（結(jié)果不求近似值）．6．（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【感知】（1）如圖，在中，，，，是中線，點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，以相同的速度分別沿方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，直線分別與、相交于G、H．證明：．【探究】（2）證明：點(diǎn)A、C、G、D均在以為直徑的圓上．【拓展】（3）在點(diǎn)E、F移動(dòng)過程中，點(diǎn)G移動(dòng)路線的長(zhǎng)度為．【經(jīng)典例題二求扇形半徑】1．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，矩形紙片中，，把它分割成正方形紙片和矩形紙片后，分別裁出扇形和半徑最大的圓，恰好能作為同一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖是某圓弧形橋洞，水面跨徑米，小明為了計(jì)算圓弧所在圓的半徑，他在左側(cè)水面處測(cè)得橋洞高米，則圓弧所在圓的半徑為（

）A．米 B．米 C．米 D．米3．（2023·河南新鄉(xiāng)·校聯(lián)考二模）如圖，將矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，若的長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為．4．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，半圓的直徑為，點(diǎn)為半圓的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為直徑上任意一點(diǎn)，若陰影部分的面積為，則半圓的半徑為．5．（2022春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知．（1）試用尺規(guī)作圖確定所在圓的圓心O（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若的度數(shù)為120°，的長(zhǎng)是8π，求所在圓的半徑的長(zhǎng)．6．（2022秋·全國·九年級(jí)統(tǒng)考期末）慶祝小麗十三歲生日那天，小麗和位好朋友一起均勻地圍坐在一張半徑為厘米的圓桌旁，每人離圓桌的距離均為厘米．后來小麗的爸爸和媽媽也趕到了，在座的每個(gè)人都向后挪動(dòng)了相同的距離，再左右調(diào)整位置，使人都坐下，此時(shí)人之間的距離與原來人之間的距離（即在圓周上兩人之間的圓弧的長(zhǎng)）相等，那么每人向后挪動(dòng)的距離是多少厘米？【經(jīng)典例題三求圓心角】1．（2023·河北邯鄲·校考三模）如圖1是邊長(zhǎng)為的等邊三角形鐵絲框，按圖2方式變形成以為圓心，長(zhǎng)為半徑的扇形（圖形周長(zhǎng)保持不變），則所得扇形的面積是（

）

A．1 B．2 C． D．2．（2021秋·甘肅金昌·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在半徑為6cm的圓中，長(zhǎng)為2πcm的弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．90°3．（2023·云南臨滄·統(tǒng)考三模）現(xiàn)有一個(gè)圓周的扇形紙片，該扇形的半徑為40cm，小琪同學(xué)為了在“六一”兒童節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)上表演節(jié)目，她打算剪去部分扇形紙片后，利用剩下的紙片制作一個(gè)底面半徑為10cm的圓錐形紙帽（接縫處不重疊），那么剪去的扇形紙片的圓心角度數(shù)為．4．（2023秋·湖北荊州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）扇子在我國已經(jīng)有三、四千年的歷史，中國扇文化有豐富的文化底蘊(yùn)．如圖，扇形紙扇完全打開后，的長(zhǎng)為，扇面的長(zhǎng)為，若弧的長(zhǎng)為，則扇面的面積為．5．（2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）石家莊市水上公園南側(cè)新建的摩天輪吸引了附近市民的目光．據(jù)工作人員介紹，新建摩天輪直徑為100m，最低點(diǎn)距離地面1m，摩天輪的圓周上均勻地安裝了24個(gè)座艙（本題中將座艙視為圓周上的點(diǎn)），游客在距離地面最近的位置進(jìn)艙，運(yùn)行一圈時(shí)間恰好是13分14秒，寓意“一生一世”．小明從摩天輪的底部出發(fā)開始觀光，摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)1周．(1)小明所在座艙到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)距離地面的高度為

m；(2)在小明進(jìn)座艙后間隔3個(gè)座艙小亮進(jìn)入座艙（如圖，此時(shí)小明和小亮分別位于P、Q兩點(diǎn)），①求兩人所在座艙在摩天輪上的距離（弧的長(zhǎng)）；②求此時(shí)兩人所在座艙距離地面的高度差；(3)受周圍建筑物的影響，當(dāng)乘客與地面的距離不低于時(shí)，可視為最佳觀賞位置，求最佳觀賞時(shí)間有多長(zhǎng)（不足一分鐘按一分鐘記）．6．（2021·河北邢臺(tái)·?？级＃┤鐖D1，扇形的半徑為6，弧長(zhǎng)為．（1）求圓心角的度數(shù)；（2）如圖2，將扇形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，連接，．①判斷四邊形的形狀并證明；②如圖3，若，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，與，分別交于點(diǎn)（點(diǎn)，與點(diǎn)，，均不重合），判斷的值是否為定值，如果是定值請(qǐng)求出；如果不是，說明理由．【經(jīng)典例題四求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度】1．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形木板在平面直角坐標(biāo)系上繞點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，則頂點(diǎn)從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路程及的橫坐標(biāo)分別為()

A． B．， C．， D．，2．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形繞著其中心點(diǎn)沿所在直線順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)四周后剛好在以為中心的正方形處，在此過程中，中心點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為(

)

A． B． C． D．無法計(jì)算3．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，分別是射線上的動(dòng)點(diǎn)，的長(zhǎng)始終為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義，直角三角形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·浙江金華·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊重合（），其中量角器0刻度線的端點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，射線從處出發(fā)沿順時(shí)針方向以每秒3度的速度旋轉(zhuǎn)，與量角器的半圓弧交于點(diǎn)E，第20秒時(shí)點(diǎn)E在量角器上運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是．

5．（2023春·陜西西安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A的坐標(biāo)是

(1)將平移，使點(diǎn)B平移到，畫出平移后的，此時(shí)線段的長(zhǎng)度為；(2)畫出繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的，那么在旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)C走過的路徑長(zhǎng)為．6．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）為推進(jìn)“雙減”政策落地落實(shí)，某校在校內(nèi)課后延時(shí)服務(wù)中開設(shè)了豐富多彩的興趣社團(tuán)活動(dòng)，小明同學(xué)在手工社團(tuán)課上制造出一個(gè)特殊的小汽車，如圖1是這個(gè)小汽車的側(cè)面示意圖，其中矩形表示該小汽車的后備箱．在打開后備箱的過程中，箱蓋可以繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，箱蓋落在了的位置（如圖2所示，已知，）．求點(diǎn)E在旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路線長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)和）【經(jīng)典例題五求扇形面積】1．（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是等邊三角形，是邊上的中線，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧分別交，于點(diǎn)，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．2．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，連接，則陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．3．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，線段的長(zhǎng)為半徑作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求出陰影部分的面積（結(jié)果保留）．

4．（2023秋·河南濮陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，以E為圓心，為半徑作圓，分別交、于M、N兩點(diǎn)，與切于P點(diǎn)．則圖中陰影部分的面積是．

5．（2022秋·上海靜安·七年級(jí)上海市風(fēng)華初級(jí)中學(xué)?？计谥校┰陂L(zhǎng)方形中，弧是以為圓心的一段圓弧，．

求：(1)用含有的代數(shù)式表示陰影部分的面積；(2)當(dāng)時(shí)，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）．6．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，．動(dòng)點(diǎn)在上且位于直線上方，連結(jié)．作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)．

(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的大小為________度；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)當(dāng)平分線段時(shí)，求扇形的面積；(4)連接，當(dāng)時(shí)，直接寫出線段的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題六求弓形面積】1．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）如圖，是的直徑，是弦，，在直徑上截取，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，是的直徑，弦與垂直，垂足為點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．3．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，在中，，，以中點(diǎn)D為圓心、長(zhǎng)為半徑作半圓交線段于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為．

4．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是等腰直角三角形，，以為直徑作交斜邊于點(diǎn)D，點(diǎn)M是中點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．(1)證明：是的切線；(2)若，求圖中陰影部分面積．【經(jīng)典例題七求其他不規(guī)則圖形的面積】1．（2023秋·山西陽泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，為的直徑，射線交于點(diǎn)，點(diǎn)為劣弧的中點(diǎn)，連接．若，，則陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．2．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，某玩具品牌的標(biāo)志由半徑為的三個(gè)等圓構(gòu)成，且三個(gè)等圓相互經(jīng)過彼此的圓心，則