二、體積

一、平面圖形的面積定積分在幾何上的應(yīng)用

三、平面曲線的弧長一、平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線與直及x軸所則圍曲邊梯形面積為A,線

，圖形面積元素為：對右圖所示圖形、與垂直于x軸的直線僅有一個(gè)交點(diǎn)，則可取x為積分變量；積分區(qū)間為圖形所占有的區(qū)間面積公式：上邊界曲線函數(shù)下邊界曲線函數(shù)，曲線步驟，圖形面積元素為：對右圖所示圖形、與垂直于y軸的直線僅有一個(gè)交點(diǎn)，則可取y為積分變量；積分區(qū)間為圖形所占有的區(qū)間面積公式：右邊界曲線函數(shù)左邊界曲線函數(shù)，曲線步驟例2.計(jì)算曲線所圍圖形的面積A。解:由得由于上下邊界曲線形成交叉，所以面積需分塊計(jì)算

例3.計(jì)算拋物線與直線圍圖形的面積.解:由得交點(diǎn)所為簡便計(jì)算,選取y作積分變量,則有

例4.求橢圓解:利用對稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng)a=b時(shí)得圓面積公式

一般地,當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程給出時(shí),端點(diǎn)處對應(yīng)的參數(shù)值為，則曲邊梯形面積

例5.求變量t

的取值填充部分的面積A1+A2為最小。解:1tA1A2，使圖中令，得當(dāng)時(shí)，，即A取值最小。

2.極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)概念：xyoyrP對平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)了平面點(diǎn)P平面曲線與方程之間的對應(yīng)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)具有同等的地位：表示平面點(diǎn)P與原點(diǎn)連線段的距離：表示連線段與x軸正向之間的夾角如果規(guī)定：，則平面點(diǎn)P稱為點(diǎn)P的極坐標(biāo)

直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系：特殊曲線的極坐標(biāo)方程：表示圓心在原點(diǎn)，半徑為r0的圓表示由原點(diǎn)發(fā)出，與x軸正向夾角為的射線Poxyry

阿基米德螺線點(diǎn)擊圖片任意處動(dòng)畫開始或暫停心形線點(diǎn)擊圖中任意處動(dòng)畫開始或暫停星形線點(diǎn)擊圖片任意處播放開始或暫停

極坐標(biāo)下計(jì)算平面圖形面積求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為

例6.計(jì)算阿基米德螺線解:對應(yīng)

從0變到2

所圍圖形面積.

例7.計(jì)算心形線所圍圖形的面積。解:(利用對稱性)

例8.計(jì)算心形線與圓所圍圖形的面積.解:利用對稱性,所求面積

例9.求雙紐線所圍圖形面積.解:利用對稱性,則所求面積為思考:用定積分表示該雙紐線與圓所圍公共部分的面積.答案:

1.平行截面面積為已知函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于x軸的截面面積為A(x),對應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為上連續(xù),則

二、體積當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞x軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的旋轉(zhuǎn)體體積時(shí),有當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞y軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的旋轉(zhuǎn)體體積時(shí),有

2.旋轉(zhuǎn)體的體積繞x：繞y：例10.計(jì)算由橢圓所圍圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:方法1利用直角坐標(biāo)方程則(利用對稱性)

方法2利用橢圓參數(shù)方程則特別當(dāng)b=a時(shí),就得半徑為a的球體的體積

例11.計(jì)算擺線的一拱與所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積.解:繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為利用對稱性y＝0

例12.一平面經(jīng)過半徑為R

的圓柱體的底圓中心,并與底面交成

角,解:如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為垂直于x軸的截面是直角三角形,其面積為利用對稱性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積.

思考:

可否選擇y

作積分變量?此時(shí)截面面積函數(shù)是什么?如何用定積分表示體積?提示:

例13.試用定積分求圓上半圓為下提示:繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積V。

(1)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長三、平面曲線的弧長

(2)曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長

(3)曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:因此所求弧長則轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程情形弧長元素(弧微分):

例14.求連續(xù)曲線段解:在之間的弧長.

例15.計(jì)算擺線一拱的弧長.解:

例16.求阿基米德螺線于0≤

≤2

一段的弧長.解:相應(yīng)

內(nèi)容小結(jié)1.平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程2.平行截面面面積為已知函數(shù)的立體體積旋轉(zhuǎn)體的體積繞x軸:繞y軸:

3.平面曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程