2024-2025學年高中數學第2章解析幾何初步2圓與圓的方程2.3第2課時圓與圓的位置關系（教師用書）教學實錄北師大版必修2授課內容授課時數授課班級授課人數授課地點授課時間設計思路本節(jié)課以“圓與圓的位置關系”為主題，結合北師大版必修2教材內容，通過實例分析和練習，幫助學生理解并掌握圓與圓之間的位置關系，提高學生的空間想象能力和解題能力。教學過程中，注重理論與實踐相結合，引導學生主動探究，培養(yǎng)學生的學習興趣和自主學習能力。核心素養(yǎng)目標培養(yǎng)學生空間觀念，提高幾何直觀能力，通過圓與圓的位置關系的學習，讓學生體會數形結合的思想方法，增強邏輯推理和數學建模能力。同時，激發(fā)學生對數學問題的探究興趣，培養(yǎng)合作學習和問題解決意識。學習者分析1.學生已經掌握了哪些相關知識：

學生在進入本節(jié)課之前，已經學習了圓的基本性質，包括圓的定義、半徑和直徑、圓心角和圓周角等基本概念。此外，他們還應該掌握了直角坐標系的基本知識，能夠運用坐標系表示點和圖形。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：

高中學生對數學的興趣普遍較高，尤其是對幾何問題有較強的探索欲望。學生的能力方面，他們已經具備一定的邏輯推理能力和空間想象能力。學習風格上，部分學生可能更傾向于直觀理解，通過圖形直觀感受幾何關系；而另一部分學生可能更擅長邏輯推導，偏好通過公式和定理來解決問題。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

在學習圓與圓的位置關系時，學生可能面臨以下困難和挑戰(zhàn)：一是對于幾何圖形的直觀理解和空間想象能力不足，難以將抽象的數學關系與具體的圖形對應起來；二是對于位置關系的判定條件理解不夠深入，容易混淆不同情況下的判定方法；三是缺乏解決復雜幾何問題的策略，難以在多個條件限制下找到合適的解題思路。教學方法與策略1.采用講授與討論相結合的教學方法，通過講解圓與圓的位置關系的定義和判定條件，引導學生思考。

2.設計小組合作活動，讓學生通過繪制圖形、標注坐標，共同探究不同位置關系的特征。

3.利用多媒體教學，展示圓與圓位置關系的動態(tài)變化，幫助學生直觀理解抽象概念。

4.結合實際問題，設計練習題，讓學生在實際操作中鞏固知識，提高應用能力。教學流程1.導入新課

詳細內容：

-利用多媒體展示生活中常見的圓形物體，如鐘表、硬幣等，引導學生回顧圓的基本性質。

-提問：同學們還記得圓的定義和基本性質嗎？請舉例說明。

-引入課題：今天我們將學習圓與圓的位置關系，探究兩個圓在不同情況下的相互關系。

2.新課講授

詳細內容：

（1）圓與圓的位置關系概述

-講解圓與圓的位置關系的基本概念，如外離、外切、相交、內切、內含。

-通過幾何圖形展示不同位置關系的特征，幫助學生建立直觀印象。

（2）判定條件及性質

-講解判定兩個圓位置關系的條件，如圓心距與兩圓半徑的關系。

-通過實例分析，讓學生掌握判定方法，并總結出位置關系的性質。

（3）位置關系的應用

-以實際問題為例，引導學生運用所學知識解決實際問題。

-強調在解決實際問題時，要善于觀察、分析，靈活運用所學知識。

3.實踐活動

詳細內容：

（1）繪制圖形，標注坐標

-學生分組，每組繪制兩個圓的圖形，并標注圓心坐標和半徑。

-通過觀察圖形，討論兩圓的位置關系，并得出結論。

（2）判斷位置關系

-教師給出兩圓的圓心距和半徑，讓學生判斷兩圓的位置關系。

-學生分組討論，得出結論后，每組派代表匯報。

（3）解決實際問題

-教師給出實際問題，要求學生運用所學知識解決。

-學生分組討論，共同解決問題，并分享解題思路。

4.學生小組討論

寫3方面內容舉例回答XXX：

（1）圓心距與兩圓半徑的關系

-舉例：已知兩圓的圓心距為5，半徑分別為3和4，判斷兩圓的位置關系。

-回答：兩圓相交。

（2）判定條件及性質

-舉例：已知兩圓的圓心距為8，半徑分別為5和3，判斷兩圓的位置關系。

-回答：兩圓外離。

（3）位置關系的應用

-舉例：已知兩圓的圓心距為7，半徑分別為4和3，求兩圓的交點坐標。

-回答：設兩圓的圓心分別為O1和O2，兩圓的交點坐標為P，則OP=1，O1P=4，O2P=3。

5.總結回顧

內容：

-回顧本節(jié)課所學內容，強調圓與圓的位置關系及其判定條件。

-總結本節(jié)課的重難點，如判定條件、性質及應用。

-鼓勵學生在課后繼續(xù)練習，鞏固所學知識。

用時：45分鐘教學資源拓展1.拓展資源：

-《圓的方程》相關章節(jié)，探討圓的標準方程和非標準方程的轉換。

-《圓的性質》章節(jié)，深入分析圓的對稱性、圓心角和圓周角等性質。

-《圓的面積和周長》章節(jié)，復習圓的面積和周長的計算公式及其應用。

-《圓與直線的位置關系》章節(jié)，學習圓與直線相交、相切、相離的判定方法。

2.拓展建議：

-鼓勵學生通過閱讀相關數學雜志或書籍，如《數學通報》、《數學教學研究》等，以獲取更多關于圓的幾何性質和應用的信息。

-建議學生利用網絡資源，如在線幾何軟件（如Geogebra）來直觀地探索圓的性質和圓與圓的位置關系。

-建議學生參與數學競賽或挑戰(zhàn)，如美國數學競賽（AMC）或國際數學奧林匹克（IMO），以提升解題技巧和數學思維。

-推薦學生觀看教育視頻，如KhanAcademy的幾何課程，以獲得不同角度的教學內容和解釋。

-鼓勵學生參與數學小組討論，通過團隊合作解決復雜的幾何問題，提高解決問題的能力。

-建議學生嘗試設計自己的幾何實驗，通過實際操作來加深對圓的性質和位置關系的理解。

-推薦學生閱讀歷史書籍，了解圓在數學發(fā)展史上的重要地位和幾何學的起源。

-建議學生通過數學建模，將圓的性質應用到實際問題中，如建筑設計、城市規(guī)劃等領域。典型例題講解1.例題：

已知兩圓的方程分別為\((x-2)^2+(y+3)^2=9\)和\((x-5)^2+(y-1)^2=16\)，求兩圓的位置關系。

解答：

首先計算兩圓的圓心距\(d\)：

\[d=\sqrt{(5-2)^2+(1+3)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\]

兩圓的半徑分別為\(r_1=3\)和\(r_2=4\)。由于\(d=r_1+r_2\)，所以兩圓外切。

2.例題：

在直角坐標系中，圓\(x^2+y^2=25\)與直線\(y=2x+3\)相交于點\(A\)和\(B\)，求弦長\(AB\)。

解答：

將直線方程代入圓的方程中，得到：

\[x^2+(2x+3)^2=25\]

\[x^2+4x^2+12x+9=25\]

\[5x^2+12x-16=0\]

解這個一元二次方程，得到\(x\)的兩個解，然后分別代入直線方程求出\(y\)的值，得到點\(A\)和\(B\)的坐標。

使用距離公式計算\(AB\)的長度：

\[AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\]

3.例題：

已知兩圓的方程分別為\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)和\((x-3)^2+(y+1)^2=9\)，求兩圓的公共弦方程。

解答：

將兩圓的方程相減，消去平方項，得到：

\[(x-1)^2-(x-3)^2+(y-2)^2-(y+1)^2=4-9\]

\[-4x+8+-4y+4=-5\]

\[-4x-4y+12=-5\]

\[4x+4y=17\]

所以公共弦方程為\(x+y=\frac{17}{4}\)。

4.例題：

在直角坐標系中，圓\(x^2+y^2=16\)的圓心在原點，直線\(y=-\frac{1}{2}x+b\)與圓相交于點\(P\)和\(Q\)，當\(P\)和\(Q\)的坐標分別為\((4,0)\)和\((0,4)\)時，求\(b\)的值。

解答：

將點\(P\)和\(Q\)的坐標代入直線方程，得到兩個方程：

\[0=-\frac{1}{2}\cdot4+b\]

\[4=-\frac{1}{2}\cdot0+b\]

解這兩個方程，得到\(b=2\)。

5.例題：

已知兩圓的方程分別為\((x-2)^2+(y-3)^2=1\)和\((x-4)^2+(y-5)^2=4\)，求兩圓的公切線方程。

解答：

首先計算兩圓的圓心距\(d\)：

\[d=\sqrt{(4-2)^2+(5-3)^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\]

兩圓的半徑分別為\(r_1=1\)和\(r_2=2\)。由于\(d=r_1+r_2\)，所以兩圓外切。

設公切線方程為\(y=kx+c\)，通過圓心到直線的距離公式，可以得到兩個方程：

\[\frac{|k\cdot2-3+c|}{\sqrt{k^2+1}}=1\]

\[\frac{|k\cdot4-5+c|}{\sqrt{k^2+1}}=2\]

解這兩個方程，得到\(k\)和\(c\)的值，從而得到公切線方程。課堂1.課堂評價：

-提問環(huán)節(jié)：通過提問學生關于圓與圓的位置關系的基本概念和判定條件，了解學生對知識的掌握程度。例如，提問“如何判斷兩個圓是相交的？”或“圓心距與兩圓半徑的關系在判定位置關系時有什么作用？”通過學生的回答，教師可以評估學生對理論知識的理解。

-觀察環(huán)節(jié)：在學生進行實踐活動時，教師應觀察學生的操作過程，包括繪制圖形、標注坐標、分析圖形等，以評估學生的實踐能力和空間想象能力。

-測試環(huán)節(jié)：在課堂結束時，教師可以通過小測驗或隨堂練習來檢測學生對本節(jié)課內容的掌握情況。例如，給出幾個簡單的判斷題或填空題，讓學生在限定時間內完成。

2.及時反饋：

-對于提問環(huán)節(jié)，教師應鼓勵所有學生積極參與，并對學生的回答給予及時的反饋。對于正確回答的學生，給予肯定和表揚；對于回答錯誤的學生，教師應耐心解釋，幫助學生理解錯誤原因。

-在觀察環(huán)節(jié)，教師應給予學生正面的鼓勵，對于表現出色的學生，可以給予額外的表揚或獎勵。

-在測試環(huán)節(jié)，教師應立即批改學生的答案，并在下節(jié)課開始時進行講解，確保學生能夠及時了解自己的學習效果。

3.課后輔導：

-對于在課堂測試中表現不佳的學生，教師應提供課后輔導，幫助他們鞏固基礎知識。

-教師可以通過一對一輔導或小組輔導的形式，針對學生的具體問題進行講解，確保每個學生都能夠跟上教學進度。

4.作業(yè)評價：

-教師應認真批改學生的作業(yè)，對于作業(yè)中的錯誤，給予詳細的批注和改正建議。

-作業(yè)評價不僅要關注學生的答案是否正確，還要關注學生的解題過程和方法，以評估學生的思