比較大小的六大技巧（五大題型）

方法歸納

技巧一：構(gòu)造函數(shù)法

根據(jù)題目所給數(shù)的特點，尋求某個函數(shù)作為模型，然后將各數(shù)統(tǒng)一到一個模型中，利用函數(shù)的單

調(diào)性比較大小。

技巧二：中間量法

技法歸納

當兩個數(shù)或式直接比較大小比較困難時，我們可以嘗試引用中間量輔助判斷.中間量是一種輔助手

段，選取的中間量也是因題而異，要多觀察題目本身的特點，經(jīng)過適當?shù)霓D(zhuǎn)化，找到恰當?shù)闹虚g量，

完成判斷.

技巧三：圖像法

在同一個坐標系中畫出兩函數(shù)的圖像，確定圖像的交點，在相鄰兩個交點之間觀察圖像的高低，

進而確定函數(shù)值的大小。

技巧四：特值法

根據(jù)題意巧賦特值可快速比較大??；特殊值法是解決一些客觀題的重要法寶。

技巧五：函數(shù)模型法

f（X）=如的圖像如圖所所示

（1）f（x）=——在區(qū)間（0,e）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（e,+8）上單調(diào)遞減；當X=e時，取得最大

X

值L

e

（2）f（2）=f（4）

（3）a11與1/（a>b>0）的大小關(guān)系：當e>a>b>0時，ab>ba；當a>b>e時，ab<bao

記憶口訣：大指小底（大于e看指數(shù)，小于e看底數(shù)）

技巧六：作差（商）法

題型歸納

目錄：

?題型01混合式的大小比較、利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小

?題型02對數(shù)式的大小比較、利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小

?題型03構(gòu)造函數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)比較大小

?題型04利用導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性比較大小

?題型05不等式與利用函數(shù)性質(zhì)比較大小比較綜合

?題型01混合式的大小比較、利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小

1.（2024?天津?一模）已知a=3°3,b=log43,,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】B

【分析】由幕函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.

【解析】H^/0=log4l<Z?=log43<log44=l,

-0.3

=20-3>1,a=3°3>1,

因為在（0,+8）上單調(diào)遞增，

所以2。.3<3。.3,所以*c<a.

故選：B.

2.（2024?安徽?三模）若。=bg37,6=log,40,°而，貝U（）

A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

【答案】D

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)a=log37=log949,可比較a,6,然后凡。再與2比較大小，可得結(jié)果.

【解析】依題意，a=log37=log949,故。>b；nUtz<log39=2<c,

i^b<a<c,

故選：D.

3.(2024?山東濰坊?二模)已知q=eT,b=\ga,°=e。，貝I()

A.b<a<cB.b<c<a

C.a<b<cD.c<b<a

【答案】A

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性并結(jié)合中間量0和1即可比較大小.

【解析】a=e~le(0,1),b=\ga=\ge~l=-1ge<0,c=e°=B

所以,

故選：A.

4.(2024?寧夏銀川?三模)已知q=0.2°5,6=cos2,c=lgl5,則()

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【分析】根據(jù)/(X)=lg無，g(x)=o.2\〃(x)=cosx的單調(diào)性，分別判斷。,6,C的大概范圍，即可得出大小.

【解析】由題知a=0.2°-5,Z)=cos2,c=lgl5,因為/(無)=lgx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

所以/(15)>[(10),即c=lgl5>lgl0=l,

因為g(x)=02在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以g&]<g(O),BPO<a=O.2o'5<O.2°=l,

因為=cosx在(0,7i)上單調(diào)遞減，所以〃(2)<〃D即6=cos2<cos]=0,

綜上：b<Q<a<\<c.

故選：D

5.(2024?山東聊城?三模)設(shè)。=1鳴9力=題=“=31唯4,則4力箝的大小關(guān)系為￡)

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.c>b>a

【答案】A

【分析】根據(jù)對數(shù)運算性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小即可.

【解析】因為函數(shù)y=bg2x在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故b=log25>log23=log49=a>log22=1,

log3

又C二31Tog34_31og33-log34_34_鄉(xiāng)<|

--一一W'

所以

故選：A

?題型02對數(shù)式的大小比較、利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小

6.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）設(shè)a=log615,6=log820,c=log2te2024,則。、6、c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.c<b<a

【答案】D

【分析】利用對數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.

叫［5+

【解析】tz=log15=log?X6=11,

662

208j=log|+l,

/?=log20=log——x8

888

C=lo2024=lo2024)506

g2012g2012------x2012=log2012+

2012J503'

因為Iog61'>log8，所以〃>b,

因為10g8g>bg82=；,

log2oi2|^|<log2o1210=log20121000log.2012

所以6>c，

所以c<b<a.

故選：D.

7.（23-24高三下?陜西西安?階段練習）已知〃=log42,6=log53,c=（log42）（log53）,則。，b,。的大

小關(guān)系為（）

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

【答案】D

【分析】根據(jù)對數(shù)運算得。=1，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得。<6,根據(jù)不等式的性質(zhì)可得a>c,從而可得

2

結(jié)果.

J_11

【解析】因為。=log42=log442=—,fe=log53>log55^=-,：,a<b,

22

因為0<log53<1,/.c=(log42)(log53)<log42=a,

b>a>c.

故選：D.

8.(20-21高三上?廣西?階段練習)已知實數(shù)。、6滿足l°g[a=l°gl6,下列五個關(guān)系式：①。>b>l,

23

②0<b<a<l,?b>a>\,?^<a<b<\,⑤。=b.其中不可能成立的關(guān)系式有個.

【答案】2

【解析】設(shè)l°g/T°g/=，，可得出a=[￡|,6=']，分/<0、七0、"0三種情況討論，利用幕函

數(shù)y=/在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)性可得出結(jié)論.

【解析】設(shè)i°g/T°g[=',可得。=[]，^=QJ.

(1)當/<0時，由于幕函數(shù)y=x'在區(qū)間(0,+8)上為減函數(shù)，則，]>(1>V=1,即③成立;

(2)當，=0時，貝!Jq=6=l,⑤成立；

(3)當/>0時，由于幕函數(shù)尸/在區(qū)間(0,+”)上為增函數(shù)，貝iJOvg]<f=l,

即0<b<a<l,②成立.

因此，不可能成立的為①④.

故答案為：2.

【點睛】本題考查利用幕函數(shù)的單調(diào)性比較大小，同時也考查了對數(shù)式與指數(shù)式相互轉(zhuǎn)化，屬于中等題.

9.(2024?四川成都?二模)若a=ln26,6=4成都In3,c=(l+ln3)2,則。也c的大小關(guān)系是()

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<a<c

【答案】D

【分析】做差法比較。力的大小，利用對數(shù)的性質(zhì)比較a，。的大小.

【解析】a=In26=(In2+ln3)2,c=(lne+ln3)2

因為In2+ln3<lne+ln3,所以(In2+ln3)~<(lne+ln3『，即a<c,

4Z=In26=(In2+ln3)2,ft=4In2-In3,

則q—6=(in2+In3『-4In2?In3=(in2—In3/>0,即6<a,

所以Z?<Q<c.

故選：D.

?題型03構(gòu)造函數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)比較大小

10.(23-24高二下?湖南衡陽?期中)已知〃=4出3/=3兀,°=4111兀3,則的大小關(guān)系是()

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<c<aD.a<b<c

【答案】C

【分析】觀察。的式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)/(》)=手，利用導(dǎo)數(shù)判斷/'(x)的單調(diào)性，從而得到c<a,再利

用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出6<c,從而得解.

【解析】因為a=41113"=4KIn3,Z?=3K,C=41n7i3=4x31n7t,

aIn3cIn兀工4、小?業(yè)乙、Inx、1-lnx

—=—=——，構(gòu)造函數(shù)/X=——，貝！l/'(x)=——-

1271312兀71XX

當xe(0,e)時，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

當xe(e,+s)時，/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

因為7t>3>e,所以/(兀)<〃3),即皿<苧，gp—<—,所以c<a；

兀312TI12TI

XIn7c>Ine=1,所以3兀<3x4<4x31n?i,即b<c.

綜上，b<c<a.

故選：C.

11.(2023?遼寧撫順?模擬預(yù)測)已知"3,3=4,,則在log",log?c,log/,log/,log”，

a-b

logc6這6個數(shù)中，值最小的是.

【答案】log/

--1

537i。午并利用導(dǎo)數(shù)研究其在

【分析】首先利用對數(shù)的性質(zhì)得到廠6<萬<"%且仍=2,構(gòu)造，-

a

Nb

(1,+功上的單調(diào)性可得M"一[”<2，進而有0<c<我<2<6<h<0<二，結(jié)合6個數(shù)的正負只需判斷

a-bs/ab2424

log,a、log/大小，作商法魯q=log。"log,2-log；a判斷與1的大小關(guān)系，即可得答案.

log/

【解析】由bg3^/^'='|<6=log34<k>g3；=log2￡<q=log?3<log244^"^；—，

^ab=log23xlog34=log,3x^-7=2,

一log23

所以故一>1,

424b

￡_12

構(gòu)造V=ln(_『，令崢pe(l,+⑹,則/⑷=21n/T+L貝|]/⑺=2_]_[=_,

"巴Vbtttt

\~b

Q/b__Rn\na-\nb16

所以九)在(1,+s)上遞減，故/⑺〈/⑴=0,-T<If即---------<-7=-

bqa-bTab2

綜上，0<c<-^-<—<b<—<<7<—,

2424

6個數(shù)中，正數(shù)有l(wèi)og46、log(,。，負數(shù)有l(wèi)og°a<logc6<0、0>logflc=--^—>log6c=-^—

log,alog,b

logci2

所以只需比較log,。、log/大小，又■；——=\oga\ogb,JfjJ10gZ?=log-=log2-loga,

log/,cccccacc

所以器“=logaxlog2—log：a=-(log,a-log*'<號"=bg：,

logbccc\c744

由log亞亞=-l<log,0<O,故log；/<1,即。<；：：：<1，!ogca>logje.

綜上，值最小的是logf.

故答案為：log/

【點睛】關(guān)鍵點點睛：由對數(shù)的性質(zhì)得到2<6<3<a<二且。6=2,利用對數(shù)均值不等式確定C=In"二"6

424a-b

的范圍，結(jié)合不等式性質(zhì)找到最小數(shù).

12.(23-24高三上?河北?期末)已知sina+2"=sinb+3"=2,貝(I()

A.blg〃>Qlgb>blgbB.blga>blgb>algb

C.algb>blga>blgbD.algb>blgb>blga

【答案】B

【分析】由題意構(gòu)造〃x)=sinx+2，，g(x)=sinx+3A,結(jié)合/'(x)與g(尤)的大小關(guān)系與單調(diào)性得0<b<a<l,

從而利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和運算性質(zhì)得到答案.

【解析】令〃x)=sinx+2x,g(x)=sinx+3x,

當x>0時，g(x)>/(尤)>0,當x<0時，g(x)</(尤)<2.

在(0,+s)上/'(尤)=cosx+2*ln2>0,g'(x)=cosx+3rIn3>0,

所以/(x),g(x)在(0,+8)上均單調(diào)遞增,

由sina+2"=sinb+3*=2,即/(a)=g(b)=2可得。

因為幕函數(shù)y=，在(0,+e)上單調(diào)遞增，所以

指數(shù)函數(shù)y=6-'在R上單調(diào)遞減，所以"

綜上可知,ab>bh>ba.

又因為對數(shù)函數(shù)y=1g無在(0,+(?)上單調(diào)遞增，

所以Iga6>1g">lgZ>a,即blga>blgb>algb.

故選：B.

13.(23-24高三下?黑龍江大慶?階段練習)已知a=logz986-logz985,6=l-cos3,c=上，貝|()

9oo9o5

A.b>a>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>b>a

【答案】C

【分析】設(shè)g(尤)=bgz(x+l)-x,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較a,c,再根據(jù)6,c作差比較大小的思想，設(shè)

/(x)=l-cosx-x,0<x<l,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性得出/'(x)<0,再結(jié)合6,C的具體值得出

結(jié)果.

【解析】設(shè)g(x)=log2(x+l)-x,xe(0,l),則g'(x)=a+])1n2

當時，g,(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當了"《一1』時，8仃”0g(x)單調(diào)遞增；

又g(°)=g(l)=°，所以g(x)=log2(x+l)-x>0,xe(0,l),

所以"log2986-log2985=log2(1+/):=c

0<b=l-cos-----<1,0<—<c=—<1

986986985

設(shè)/(x)=l-cosx-x,0<x<l,

r(x)=sinx-l<0,所以函數(shù)/(，在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,

所以/(%)=1-COSXTV/(0)=0,

所以1一cosX<X,又0<<1,

所以1-cos」一<二一<-1-,貝!]b<c,

986986985

綜上，a>c>b.

故選：C.

14.（23-24高二下?安徽宿州?期中）已知a=In>,b=e-lc=lnV3（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)a/,c

的大小關(guān)系為（）

A.a<c<bB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【分析】根據(jù)a,6,c式子特點，構(gòu)建函數(shù)/（刈=叱，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性比

X

較仇C大小，再由y=lnx的單調(diào)性比較a,c大小，則可得結(jié)果.

【解析】令/（*）=叱，則/'。）=匕坐，

XX

故當xe（0,e）時，f'（x）>0,單調(diào)遞增，

當xe(e,+s)時，r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

1

^/,=e-=—=/(e),c=lnV3=—=/(3),

e3

因為e<3,/(e)>/(3),故c<6,

因為函數(shù)V=lnx在(0,+e)上為增函數(shù)，

而(⑹6=[(6)；=8,(啊、](啊[.且&<9,

所以也<指，所以a<c,

所以a<c<6.

故選：A.

15.(2024?安徽?三模)已知〃=e"3,b=ln(e兀一2e),c=7i—2,貝[]()

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【分析】構(gòu)造函數(shù)/'(xhei-x,利用導(dǎo)數(shù)求取單調(diào)性可得。、c之間大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx-尤+1,

利用導(dǎo)數(shù)求取單調(diào)性可得6、。之間大小關(guān)系，即可得解.

【解析】由。=67,6=111(或一26),

即a=eg??=ln(ejt-2e)=ln(7t-2)+l,

令f(x)=ev-1-x(x>1),

則1(x)=ei-1>0在(1,+叫上恒成立，

故/(x)在(1,+⑹上單調(diào)遞增，

則有/(兀-2)=e("2)T_(兀-2)>/(1)=0,即a>c,

令g(x)=lnx—x+l(x>l),

則g'(x)=±T=—<0在。，+8)上恒成立，

XX

故g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

則有g(shù)(兀-2)=In(兀-2)+1—(兀-2)<g(1)=0,即,

故方<c<a.

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于構(gòu)造出函數(shù)〃x)=ei-x、g(x)=lnx-x+l,以比較。、c與b、c

之間大小關(guān)系.

173

16.(2024?湖北黃岡二模)已知a,b,c,d分別滿足下列關(guān)系：⑹=15,6=log]716,log]5c=Rt/utan7，則

17162

(j,6,c,d的大小關(guān)系為()

A.a<b<c<dB.c<a<b<d

C.a<c<b<dD.a<d<b<c

【答案】B

【分析】將指數(shù)式化成對數(shù)式，利用換底公式，基本不等式可推得a<b,利用指對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通過

構(gòu)造函數(shù)判斷單調(diào)性可推得c<。，最后利用正切函數(shù)的單調(diào)性可得

【解析】由16"=15,可得。=10&615,

八1i[乙lnl5lnl6lnl5-lnl7-(lnl6)

a-^log15-log16=---=

1617Inl6-lnl7

日，「Clnl5+lnl7Y(ln255V(ln256Y,

因Inl5/nl7<[-------------I=^―<1—^—1=(lZn1l6)2,

又Inl6」nl7>0,故。-6<0,即。<6；

1715

因l°g竺c=R?則，=(與％身由C.而15ki]6=ln16.ln15,

ib

而U6j16'alOg161516lnl516,15

“皿Inx,1-lnxe、,八

由函數(shù)y=—，y——2—，因x>e時，y<0,

XX

即函數(shù)y=也在(e,+8)上單調(diào)遞減，則有0<器<萼，故得c<a；

x1615

3Tl

由b=logplGv1,]fu(/=tan—>tan—=1,即匕<d,

24

綜上，貝！I有c<a<6<〃.

故選：B.

【點睛】方法點睛：解決此類題的常見方法，

（1）指、對數(shù)函數(shù)的值比較：一般需要指對互化、換底公式，以及運用函數(shù)的單調(diào)性判斷；

（2）作差、作商比較：對于結(jié)構(gòu)相似的一般進行作差或作商比較，有時還需基本不等式放縮比較;

（3）構(gòu)造函數(shù)法：對于相同結(jié)構(gòu)的式子，常構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性判斷.

?題型04利用導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性比較大小

17.（2024?遼寧?二模）已知定義在R上的函數(shù)〃x）=e、-eT,設(shè)。=2°'./Q。'），6=七廠。，./（（；）-。,，

c=-log071.25./(log070.8),則0,6,c的大小關(guān)系是()

A.b>a>cB.c>a>bC.b>c>aD.c>b>a

【答案】A

【分析】構(gòu)造函數(shù)并判斷奇偶性，通過導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小即可

【解析】令尸(工)=切(》)(％€10,因為尸(-x)=-x(eT-e，)=x(e*-e-*)=F(x),

所以尸（x）為偶函數(shù).

尸'(x)=(e*-ef+xC+eT),

因為當x20時，ex-e-i，>e°-e-0=0,x(ex+e^)>0,此時尸'(x)》0,

所以尸（x）在［0,E）上單調(diào)遞增.

因為"20'7./(20-7)=F(20-7),b=(1)-0-8■/((1)-°-8)=F((1)-08),

c=-log071.25-"log。70.8)=log071.25-'./(log070.8)=log070.8?/(log070.8)=F(log070.8),

80807

因為2°，>1,(1)-°-=2->2-,log070.8<log070.7=1,

0J07

所以>2>log0,70.8>0,所以尸((g)48)>F(2)>F(log070.8),

即6〉a〉c.

故選：A.

18.(2024?山東荷澤?一模)已知/(x)=x〃(x),其中〃(%)是奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，則()

【答案】c

1_3_2

【分析】判斷函數(shù)/(x)=x/z(x)的奇偶性和單調(diào)性，繼而判斷l(xiāng)og22大的取值范圍和大小關(guān)系，結(jié)合函

數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，即可比較大小，即得答案.

【解析】由于〃(x)是奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，故以0)=0,

當x>0時，h(x)>h(0)=0,且/(x)=M(x)為偶函數(shù)，

且/(x)=xh(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(--0)上單調(diào)遞減，

12

23

又log21co<2<2<1<log23,

故小。82；］=/(-1嗎3)=/(1唯3)>/(2,

故選：C

19.(23-24高二下?甘肅蘭州?期中)已知函數(shù)/(x)=；+cost,設(shè)a=/(0.2°，,b=/(2°2),c=/(k>&22),

則()

A.b>a>cB.a>b>c

C.b>c>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】先判斷函數(shù)〃尤)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/(x)的單調(diào)性，最后利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的

單調(diào)性比較0.20-2,20-2,logs2大小,即可比較.

【解析】因為函數(shù)/(X)=、+COSX的定義域為R,且/(—x)=(X)——|-COS(-x)=———FCOSX=/(@,

所以函數(shù)［(X)為偶函數(shù)，所以〃1叫22)=/(-1唱2)=/(1幅2),

又/"'(x)=x_sinx,(xNO),令g(x)=x-sinx,貝!］g'(x)=l_cosx20,

所以函數(shù)f'(x)=x-sinx在［0,+功上單調(diào)遞增，所以r(x"/'(O)=O-sin0=0,

所以函數(shù)l(x)在[0,+8)上單調(diào)遞增,

因為0〈log52<k)g5石=；,；=<0,2。2=&/<&]=]=2。<2°2,

所以O(shè)vlogsZvO^v^,所以〃log52)</(0.2°2)</(2B，所以6>°>c.

故選：A

20.(2024?山西?三模)已知函數(shù)[(x)=l°gi(十-2》+3)-|龍一1|,若°=/(bg。3),6=/[sin—fe5,

2V3>IJ

則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

【分析】首先得到/'(x)關(guān)于直線尤=1對稱，并根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得到其單調(diào)性，再構(gòu)造相關(guān)函數(shù)

14

g(x)=x-sinx,/z(x)=x-x2-sin^(x)=ex-x-1的單調(diào)性得到10823-1〈1一5山§<?5—1,則比較出大小關(guān)

系.

【解析】因為/3=呵[(1『+2]卜T|,

2

x[

則〃2-力=10gl[(2-無-曠+2]_|2-尤-1=log](1-2x+14-\=XK

2~2

則/(x)關(guān)于直線X=1對稱，

2

當x21時，/M=logi[(X-1)+2]-(X-1)；

2

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知>=logJ(xT)。2]在[1,+00)上單調(diào)遞減，

2

且歹二一(工一1)在[1,+8)上也單調(diào)遞減,

則/(X)在［1,+⑼上單調(diào)遞減，再結(jié)合其對稱性知/(X)在(-8,1］上單調(diào)遞增.

令g(x)=x-sinx,0<1,貝I，gr(x)=1-cosx>0,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，且g(0)=0,所以g(x)>0即x>sinx.

4^^(x)=x-x2-sinx,0<x<l,則〃'(x)=l—2x—cosx,

設(shè)0(x)=l-2x-cosx,e'(x)=—2+sinx<0,

所以為’⑶單調(diào)遞減且i(o)=o,因此〃a)〈o,

所以〃(x)單調(diào)遞減且〃(0)=0,所以〃(x)<0,BPx-x2<sinx.

、2.11217

由x-%2<sinx<x^—<sin—<—,所以不<1-sin^VK.

933339

3?-

3

又因為Iog23-1=10g2y=log22

2

所以log23-l<].

設(shè)0(x)=e*-x-l,0<x<1,則“(x)=e*-l>e°T=0,

則4(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,則0(x)>°⑼=0,

即eA-x-l>0,即/-1>x在(0,1)上恒成立，

347

即"一1>工，所以e5—

59

1i11

5

log23-1<1-sin-<e-1,則l<log23<2—sin§<e5,

故/(log??)〉/(2-sing)>/3,而/(2-5出皆=7,111,

即C<6<4.

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是得到/(無)的對稱性和單調(diào)性，再構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性得到

1i

5

log23-l<l-sin-<e-l,則比較出三者大小.

21.(2024高三上?陜西延安?專題練習)已知偶函數(shù)〃x)的定義域為R,對任意的x滿足〃-x)=〃x+2),

且在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減，若b=\og3—,c=；loga20,則/'(a),/⑻，/(c)的

814

大小關(guān)系為()

A./(c)>/(a)>/(/>)B./(c)>/(Z?)>/(a)

C./(a)>/(Z?)>/(c)D./(a)>/(c)>/(^)

【答案】D

【分析】由/(r)=/(x+2)求出對稱軸，再結(jié)合奇偶性求出/(x)的周期；求出。，6的范圍以及。的值，

得出0<H4<C<O<1的關(guān)系式，再利用“X)在(0,1)上的單調(diào)性，即可得出答案.

【解析】因為/(—)=/(無+2),

所以“X)關(guān)于x=l對稱，

又因為/(無)為偶函數(shù)，

所以/(x)=/(-x)=/(x+2),

所以/(無)為周期函數(shù)，7=2,

51

因為b=log3——=log3\2-log381=^og32-4,且0<log32<l,

812

71

所以一4<b<——,0<6+4<—，

22

3

4

H^log44=log42^-<log43<log44=1'

所以a=log43e2,l]

又因為c=，log拒2應(yīng)=：,

所以0<6+4<c<a<l,

因為/(x)在(T,0)上單調(diào)遞減，/(X)為偶函數(shù)，

所以/⑺在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以"6+4)</(c)</(a),

所以，

故選：D.

22.(2024高三?全國?專題練習)函數(shù)/'(x)=x3+2x-cosx,a=/(lg3),6=小電，c=/￡,則a,6,c的

大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>c>a

C.b>a>cD.c>a>b

【答案】D

【分析】先通過求導(dǎo)確定函數(shù)/(x)的單調(diào)性，再通過比較23,lg3,ln(的大小來得答案.

【解析】由題意知/''(x)=3/+2+sinx>0,易知/(無)在R上單調(diào)遞增.

11

因為O=lgl<lg3<lglO=l,ln-<In1=0,23>2°=1,

所以才>lg3>lng，所以小nJ,

即C〉4>6.

故選：D.

23.(2022高三?全國?專題練習)若/(x)Tn麗廠e，T,a=/(logo30.5),6=/(bgz52),c=/(log052),

則()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可知：/(x)為定義在R上的偶函數(shù)，且在［0,+。)內(nèi)單調(diào)遞減，再結(jié)合對數(shù)運算以及單調(diào)

性、奇偶性分析判斷.

【解析】由題意可知：/(x)的定義域為R,

且/(-%)=In—-el)、=In匕一1一=/(x),可知/'(x)為偶函數(shù)，

當x20時，貝|/(x)=ln匕一e'j,

因為夕=占在［0,+e)內(nèi)單調(diào)遞減，且V=lnx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

可知y=ln」一在［0,+e)內(nèi)單調(diào)遞減，

且>=爐-1在［0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，且尸=-二在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，

可知y=_e-在［。,+的內(nèi)單調(diào)遞減,

所以/(無)在［0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減,

.__In0.5In2__In2,_

l°go.3°-5==—j77，l°gz52=，l°go-52=-1n

XIAIZJIn0.3In2.5

nT

In2In2

貝！|lnW>ln2.5>ln2>0,可得,gpO<log030.5<log252<1,

3lnJ

所以/(logo.30.5)>/(log2.52)>/(1)=/(-I),即c<6<“.

故選：D.

?題型05不等式與利用函數(shù)性質(zhì)比較大小比較綜合

24.（2023?四川內(nèi)江?一模）已知實數(shù)a,6滿足3。=5〃=15,則。、6滿足的關(guān)系有.（填序號）

@a+b>4；②（a-1）-+（6-1）2<2；③3a<56；@?2+Z>2>10.

【答案】①③

【分析】對于①，先得到工+1=1,再利用基本不等式判斷得解；對于②③，利用作差比較即得解；對于④,

先作差，再求出4<。6<4.3,即可判斷得解.

【解析】解：，門"=5"=15,6=logs15,

對于①，1=7^77=10§153+logi55=bgisl5=1,

ablog315log515

所以“+6=(“+6)(工+9=2+冬2>2+2、"=4(由于/b,所以不能取等).

yab)ba\ba

所以該命題正確；

對于②，由，+；=1得〃+6=,因為

ab

a+6>4,.二ab>4——2="+爐-2{a+b)=(a+b^-2ab—2(a+b)=廿"一40

="（仍-4）>0,所以（〃_1）2+他_1）2>2,所以該命題錯誤;

對于③，3°-56=31嗚15-51叫15=4吟騁=*5(三耳

1g31g5lg3lg5

=lgl5(31g：5f3)=[g]5(lgl2；：g；43)<0,所以九筌人所以該命題正確;

Ig3-lg5Ig34g5

對于④，10=(Q+b)2—2ab—10=//—游6—10=(ab—l)2—n,

5.--9-Q

tz=log15<log9V3=-,-?-5>35,.\55>3,/.55>15,/.b=log15<log/55)=一，

33255

所以4<a+6<4.3,所以4<a6<4.3,

所以-11<（4.3-1）2-11=10.89-11<0,

所以所以該命題錯誤.

故答案為：①③

【點睛】關(guān)鍵點睛：這道題關(guān)鍵是如何處理④，利用作差法得到/+〃-10=（而-1）2-11,然后用利用

r-5-Q

a=log15<log9V3=-,b=log15<log（55）=一得至U4<<4.3,即可求解

332555

h51n

25.（23-24高三下?重慶?階段練習）已知a=3%2=4叫c=5,2=63則在匕一味用一c|,

-4，卜-4這6個數(shù)中最小的是（）

A.\b-a\B.|c-Z7|C.\d-b\D.|c-a|

【答案】C

【分析】分析題意得出d=b,進行下一步轉(zhuǎn)化得出最小值是|d-6|即可.

【解析】因為Ina=ln3」n7,InZ?=In4-In6,

Inc=In5-In5,In（7=In4-In6,則d=b,故—4=0,

又|―a1〉0,卜―耳>0,|<7—c|>0,|c—6/|>0,—6z|>0,故最小值是J-一同,

故選：C.

26.（23-24高三上?黑龍江哈爾濱?開學考試）已知a>b>0且而=1,若把彖，㈤,（按照從大

到小的順序排列，則排在中間的數(shù)是（）

A.冬B.""C.專D.無法確定

【答案】B

【分析】本題可以采用特殊值法、不等式的性質(zhì)、構(gòu)造函數(shù)解決.

【解析】法一：特殊值法.

1a3

令a=3,b=-,則聲=下>1,

3223

4（《+（1）-111、1、1_1

?=23=—,而1>=>尹=/

2323

X，所以所以中間數(shù)為后…

法二：不等式的性質(zhì)

由題意，所以所以及＞彳，

,a1廠'-(a+b)

又?."Vr'后涉=2%所以吩＞聲=6，

b1/--(a+b)

又?；2?=&"＞'回"，所以初＜方寸=夜’

所以/＞VT("間＞￡,所以中間數(shù)為VT(*).

法三：構(gòu)造函數(shù)

Q21°g2alog2a_J_log2b_j_

~b

_____—___________7a…"bb

?1=z—

一2"

問題變?yōu)楸容^log2"La+bi71,,,

——,log,6一7的大小r.

a2b

11

XH--X---

構(gòu)造函數(shù)/、I1/x>0

g(x)=log,x----(-—^=\ogx+—^'

X2

很顯然，g(x)為兩個增函數(shù)的和，在(0,+8)為增函數(shù)，所以g(〃)＞g⑴=0〉g(6),

所以噫.」＞一％b+-.

a+b寸>bg27

a22

GKI'Iioga_J.iogHri"、f--(a+6)b

所以22">22>2b，即>—.

故選：B.

模擬精練＜

一、單選題

3

1.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知a=Log512,ft=sin—,c=fl>,貝lj()

31°⑺

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【答案】B

7r7rl1

【分析】由6=si啥<sin2=：,利用對數(shù)運算將a縮為！比較a,b；由

/?=sin—>sin—cos—=^-sin—>^sin—=-,利用指數(shù)運算將c放為工比較6,c.

101010252644

【解析】解：因為a=：log512=3k>gJ44>bog5125==,6=sin=vsin,

36621062

所以.

1.711.71]_

因為b=sin——>sin——cos——=—sin—>—sin—二

10101025264

所以c<b.

綜上可知，c<b<a.

故選：B.

2.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃力滿足/(x)=/(2-x),且在區(qū)間工+8)上單調(diào)遞減.設(shè)。=/(-lnl.1),

6=/(2。4),c=/(log25),貝!]()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>a