易錯(cuò)點(diǎn)10立體幾何

易錯(cuò)題［01］確定點(diǎn)線面位置關(guān)系考慮不全面

確定空間中點(diǎn)線面位置關(guān)系，熱點(diǎn)是線線、線面位置關(guān)系，空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要

是異面、平行和垂直的判定.對(duì)于異面直線，可采用直接法或反證法；對(duì)于平行直線，可利用

三角形（梯形）中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理對(duì)于垂直關(guān)系往往

利用線面垂直的性質(zhì)來(lái)解決，確定位置關(guān)系時(shí)要考慮到所有可能，有時(shí)也可構(gòu)造正方體等模型,

直觀進(jìn)行判斷.

易錯(cuò)題［02］判斷或證明線面平行忽略線在面外

判斷或證明線面平行,可以利用線面平行的定義；也可以利用線面平行的判定定理，面面平行

的性質(zhì)定理，在利用線面平行的判定定理判斷或證明線面平行時(shí)一定要注意條件中是平面外

一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，才能推出平面外的該直線與平面平行,若僅有au〃

a,推不出6〃&，因?yàn)?可能在a內(nèi).

易錯(cuò)題【03】證明垂直問(wèn)題推理不嚴(yán)謹(jǐn)

在利用線面垂直的判定定理判斷或證明線面垂直是要注意是一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條

相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直,尤其是“相交”這一條件不可缺少.

易錯(cuò)題［04］利用表面展開圖求多面體表面上的最短距離考慮不全面

求多面體表面上的最短距離一般是把多面體表面展開成一個(gè)平面，利用平面上兩點(diǎn)之間的最

短距離是連接兩點(diǎn)的線段長(zhǎng)，但是要注意展開圖的所有可能情況，防止考慮不全面出錯(cuò).

易錯(cuò)題［05］誤認(rèn)為兩平面法向量的夾角就是二面角

設(shè)“1,"2分別是二面角a—/一/的兩個(gè)半平面a/的法向量，則二面角的大小。滿足|cos（9|=|cos

〈"1,"2〉二面角的平面角大小是向量"1與"2的夾角（或其補(bǔ)角）.所以不要認(rèn)為向量?1與"2

的夾角就是二面角，求解時(shí)要結(jié)合圖形判斷所求二面角是銳角還是鈍角.

易錯(cuò)題四

已知/、B、C、D、E五點(diǎn)中么、B、C、。共面乃、C、D、￡1共面，貝l|/、B、C、D、E五點(diǎn)

一定共面嗎？

【警示】本題錯(cuò)誤解法是：因?yàn)?、B、C、。共面，所以點(diǎn)/在3、C、。所確定的平面內(nèi),

因?yàn)?、C、D、E共面,所以點(diǎn)K也在8、C、。所確定的平面內(nèi),所以點(diǎn)/、E都在8、C、D

所確定的平面內(nèi)，即4、B、C、D、E五點(diǎn)一定共面.

【問(wèn)診】錯(cuò)解忽略了公理2中“不在一條直線上的三點(diǎn)”這個(gè)重要條件,實(shí)際上3、C、。三點(diǎn)

還可能共線.

【答案】⑴如果8、C、。三點(diǎn)不共線，則它們確定一個(gè)平面a.因?yàn)?B、C、。共面，所以

點(diǎn)/在平面a內(nèi)，因?yàn)?、C、D、E共面,所以點(diǎn)E在平面a內(nèi),所以點(diǎn)/、E都在平面a內(nèi),

即/、B、C、D、E五點(diǎn)一定共面.

（2）如果8、C、Z）三點(diǎn)共線于/，若4、E都在/上，則/、B、C、D、E五點(diǎn)一定共面；

若/、“中有且只有一個(gè)在/上，則/、B、C、D、E五點(diǎn)一定共面；

若/、E都不在/上，則/、B、C、D、E五點(diǎn)可能不共面.

【叮囑】在確定空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系時(shí)，如果對(duì)于條件所給的位置關(guān)系考慮不全面,

會(huì)出現(xiàn)遺漏情況，碰到此類問(wèn)題要注意特殊情形，如點(diǎn)共線或點(diǎn)共面的情形，線共點(diǎn)的情形等.

支式練習(xí)

1.（2021屆陜西省渭南市高三質(zhì)量檢測(cè)）已知。力是兩條異面直線，直線c與6都垂直，則下列

說(shuō)法正確的是（）

A.若cu平面々，則a_LaB.若c_1_平面a,則?！╝,6//a

C.存在平面々,使得c_La,aua,b//eD.存在平面a,使得c〃_Lar/J.a

【答案】C

【解析】由a,b是兩條異面直線，直線c與a,b都垂直，知：

在A中，若cu平面%則。與a相交、平行或aua,故A錯(cuò)誤；

在B中，若cl平面a,貝I]a,b與平面a平行或a,b在平面a內(nèi)，故B錯(cuò)誤；

在C中，由線面垂直的性質(zhì)得：存在平面a,使得cla,aua,6||a,故C正確；

在D中，若存在平面a,使得c||a,ala,61a,則all瓦與已知a,b是兩條異面直線矛盾，故D錯(cuò)誤.故

選C.

2.如圖，在四面體N8CD中〃3=CD〃、N分別是BC、的中點(diǎn)，若與CD所成角的大

小為60。,則MN與CD所成角的大小為（）

A.30°B.60°

C.30°或60°D.15°或60°

【答案】C

【解析】

取友?中點(diǎn)O,連接V。、也9,「在四面體48。。中,48=。"陋分別是5(7、/。的中點(diǎn)〃8

與CD所成角的大小為60°,.'.MOIICD,NO11AB

MO=-CD,NO=-AB

22

：2NMO是MN和CD所成的角或所成角的補(bǔ)角，

AMON=60°或120°,MO=NO

???ZNMO=60°或ZNMO=30°

二兒/N與CD所成角為60?；?0°.故選C.

易錯(cuò)題匹|

如圖，四棱錐尸一48CD中HO||BC/8=3C=；4D￡F,〃分別為線段4D,尸C,CD的中點(diǎn)與

BE交于。點(diǎn),G是線段OF上一點(diǎn).

(1)求證：NPII平面8ER

(2)求證：G〃||平面P/D

【警示】本題錯(cuò)誤解法是：證明(1)連接EC,

1

■■■AD\\BC,BC=-AD,

2

：.BC=AE,KBCWAE,

???四邊形/BCE是平行四邊形,

為/C的中點(diǎn).

又,:F是PC的中點(diǎn),??.R9IMP,

???4PII平面BEF.

⑵連接FH,OH,

■-F,H分別是PC,CD的中點(diǎn)，

.?.尸“IIP。,；.p〃||平面PAD.

又是BE的中點(diǎn)，"是CD的中點(diǎn)，

.,.。旬|40,二。印平面PAD.

平面O毋II平面PAD.

又平面OHF,：.GR|平面PAD.

【問(wèn)診】對(duì)于(1)由尸0II4P證明/刊平面5￡尸,沒(méi)有指出尸Ou平面BEF^PC平面2EF,對(duì)于(2)

由尸“II平面PNDOHII平面尸/￡),證明平面OHFII平面P/Z),沒(méi)有指出FHCOH=H.

【答案】⑴連接EC,

1

■■■AD\\BC,BC=-AD,

2

■■.BC=AE,S.BCWAE,

.?.四邊形ABCE是平行四邊形，

■■■O為NC的中點(diǎn).

義,:F是尸C的中點(diǎn)，二尸0||4尸,

FOu平面8EQPC平面BEF,

.?/尸||平面BEF.

(2)連接FH,0H,

,于冉分別是PC,co的中點(diǎn)，

.?.尸〃||尸。,.*〃||平面PAD.

又是的中點(diǎn)戶是CD的中點(diǎn)，

二。印/。，:。印平面PAD.

又FHCOH=H,：.平面OHFII平面PAD.

又?.?G/Zu平面O〃F,;.GH|呼面PAD.

【叮囑】證明線面平行常用線面平行的判定定理aNa力ua,且。忖今酬服

支戈練習(xí)

1.(2022屆華大新高考聯(lián)盟高三上學(xué)期質(zhì)量測(cè)評(píng))已知兩條不同直線和〃和平面巴下列判斷

正確的是()

A.若加//%〃//%則加〃〃B.若根_La,幾_La,則加_L〃

C.若機(jī)//c,m〃〃，則〃//aD.若“_La,w//",則〃_La

【答案】D

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：若“//a,"〃a,則加與〃可能平行，可能相交，可能異面,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)B：若加,則故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)"ua時(shí)不滿足〃//口,

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；綜上，可知選項(xiàng)D正確.故選D.

2.(2022屆北京市中央民族大學(xué)附屬中學(xué)高三12月月考)如圖，梯形/BCD所在的平面與等腰

梯形ABEF所在的平面互相垂直,AB//CDHEF,48-=\AF\=\FE\=2,

|AB|=4.

⑴求證：。尸〃平面2c￡；

(2)求二面角C-AF-4的余弦值；

(3)線段CE上是否存在點(diǎn)G,使得4G，平面水方？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】⑴7CD//EF，且CD=EF,

???四邊形CDFE為平行四邊形,DF//CE.

■：DFN平面BCEDF\\平面BCE.

(2)在平面ABEF內(nèi)，過(guò)A作/z_L4B.

???平面ABCD1平面ABEF，平面ABCDA平面ABEF=AB,

又Nzu平面ABEF,Az1AB,

Az±平面ABCD,

AD±AB,ADIAz,AziAB.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系孫z：

由題意得,4。,0,0),5(0,4,0),C(2,2,0),￡(0,3,73),尸(0,1,百).

.-.BC=(2,-2,0),5F=(0,-3,V3).

喳=。,即］2x-2y=0

設(shè)平面BCF的法向量為五=(x,y,z)，則

n-BF=O-3y+y/3z=0

令y=i,則x=i,z=6,；.k=(i,i,G).

平面45尸的一個(gè)法向量為<=(1,0,0),

貝ljcos<n,v>=.

I^llvl5

?-?二面角。-2尸-/的余弦值

⑶線段CE上不存在點(diǎn)G，使得AG±平面BCF，理由如下:

2項(xiàng)+2%=0

m-AC=Oan

解法一：設(shè)平面ACE的法向量為所=(X]，M，ZJ，則——，即1

m-AE=O3必+=0

令必=1，則X=-1/1=—y/3m=(—1,1,—>/3).

vm-n中0平面ACE與平面BCF不可能垂直，

從而線段CE上不存在點(diǎn)G,使得/G，平面BCF.

解法二：線段CE上不存在點(diǎn)G,使得AG±平面BCF,理由如下:

假設(shè)線段CE上存在點(diǎn)G，使得AG1平面BCF,

^CG=ACE淇中4e[0J.

設(shè)G?/，馬),則有H-2,%-2,Z2)=(-22,2,跖,

?'?Z=2-22,%=2+%,z?=,從而G(2—2A,2+A,,

???^G=(2-2/,2+2,V32).

■.■AGmBCF,.-.AG//n....有==尊，

11V3

???上述方程組無(wú)解,假設(shè)不成立.

線段CE上不存在點(diǎn)G，使得4G，平面BCF.

易錯(cuò)題歷

在棱長(zhǎng)為2的正方體N8CD—小氏。。1中,￡、廠分別為。。1、的中點(diǎn).求證：￡尸151c.

【警示】本題錯(cuò)誤解法是：又/C1AD,

.?./CL平面BDD^.-.EFLAC.

【問(wèn)診】推理論證不嚴(yán)謹(jǐn),思路不清晰.

【答案】ABCD—ABCD為正方體n/81面BCClBl

nBiC±AB

BiC±BCi}0BiC±平面

AB,8Gu平面/BCi。}gu平面NBCIA)

ABCBCi=B

=BC±BDn

EF//BDi)￡F151C-

【叮囑】證明空間線面位置關(guān)系的基本思想是轉(zhuǎn)化與化歸，根據(jù)線面平行、垂直關(guān)系的判定

和性質(zhì)，進(jìn)行相互之間的轉(zhuǎn)化,證明線線垂直，分析問(wèn)題時(shí)不能只局限在線上，要把相關(guān)的線歸

結(jié)到某個(gè)平面上(或是把與這些線平行的直線歸結(jié)到某個(gè)平面上)，通過(guò)證明線面的垂直達(dá)到

證明線線垂直的目的，但證明線面垂直又要借助于線線垂直，在不斷的相互轉(zhuǎn)化中達(dá)到最終目

的.解這類問(wèn)題時(shí)要注意推理嚴(yán)謹(jǐn)，使用定理時(shí)找足條件,書寫規(guī)范等.

支式練習(xí)

1.(2021年高考全國(guó)甲卷理科)已知直三棱柱48C-48cl中，側(cè)面為正方形，

AB=BC=2,E,F分別為AC和CG的中點(diǎn)Q為棱4片上的點(diǎn).BF1

(1)證明：BFLDE-

(2)當(dāng)B.D為何值時(shí)，面BB&C與面DFE所成的二面角的正弦值最??？

【解析】因?yàn)槿庵鵄BC-48cl是直三棱柱，所以BBX1底面48。,所以BBJAB

因?yàn)?4/"8,BF1幺得，所以5尸，/慶

又BB]CBF=B，所以ABL平面BCCXB1.

所以R4,8C,兩兩垂直.

以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BA,BC,BBX所在直線為x,八z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

所以8（0,0,0）,4（2,0,0）,C（0,2,0）,4（0,0,2）,4（2,0,2）,G（0,2,2）,

E（l,l,0）,F（0,2,l）.

由題設(shè)。(見0,2)(0WaW2).

⑴因?yàn)槊?(0,2,1),瓦=(1—d1,一2),

所以麗?瓦=0x(1-a)+2x1+1x(—2)=0,所以AF_LZ)E.

⑵設(shè)平面DEE的法向量為蔡=(x,y,z),

因?yàn)辂?(—1,1,1),/=(l_a,l,_2),

m-EF=0〔—X+y+z=0

所以《———，即七\(yùn)cn.

m-DE=0[(1-a)x+y-2?=0

令z=2—a,則沅=(3,1+a,2—a)

因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛榈?(2,08)，

設(shè)平面BCC4與平面QE尸的二面角的平面角為氏

..\m-BA63

則cos6\=???—?=------/,=/、.

網(wǎng).出|2x，2/—2a+14V2a2-2a+14

127

當(dāng)a=5時(shí),27—2a+4取最小值為y,

此時(shí)cos。取最大值為產(chǎn)所以(sin1nm9'=?，

此時(shí)為D=g.

2.(2022屆廣西玉林市高三11月統(tǒng)考)如圖，在四棱錐P4BCD中,四邊形4BCD為菱

^,PA=AB=2,PB=2>/2,Z^5C=60°,M￥ffiP4C_L平面ABCD.

(1)證明：P/1平面/BCD；

(2)若/是PC上一點(diǎn)，且2M1PC,求三棱錐M-BCD的體積.

【解析】⑴證明：:四邊形4BCD為菱形,??.30UC.

?.?平面P/UL平面/8CD,平面P4Cn平面/8C￡>=/C,8Ou平面平面PAC.

■：PAu平面PNC,所以PA1BD.

又“PA=AB=2,PB=2C,..PA2+AB2=PB2MPAA.AB.

又???NB.BOu平面ABCD^BABD=B,PAL^-^ABCD.

(2)解：由(1)得尸/I平面48cD,

MCu平面ABCD,.--PA1AC,

PC=JPA?+AC?=2V2，得、PBC為等腰三角形.

在△P2C中，由余弦定理得cosZBPC=尸'+CC=-.

2PB-PC4

PM3r、PM3,口1

■.■BM1PC,.-.——=一，貝U——=—.得CM=-PC,

PB4PC44

又S^cb=IBC-CDsmnO°=拒,

]1111,

???二棱錐M-BCD的體積VM-BCD=~7VP-BCD=_7X-SABCD'PA=—x—xV3x2=—

443436

多錯(cuò)題四

長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3、2、1,從/到q沿長(zhǎng)方體的表面的最短距離為

【警示】本題出錯(cuò)主要原因是只考慮一種可能

【問(wèn)診】根據(jù)題意，將長(zhǎng)方體按照三種不同方式展開，如下圖所示：

結(jié)合長(zhǎng)方體的三種展開圖，求得NG的長(zhǎng)分別是3上，眉,2石，所以最小值是3亞.

【叮囑】求幾何體表面上兩點(diǎn)之間的最短距離一般要把幾何體的側(cè)面或表面展開川等問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為平面圖形中的距離問(wèn)題，但要注意多于多面體來(lái)說(shuō)，其展開方式可能有多種

變式練習(xí)

1.在高為百的正三棱柱ABC-A^C,中,A4BC的邊長(zhǎng)為2,D為棱B&的中點(diǎn)，若一只螞蟻

從點(diǎn)/沿表面爬向點(diǎn)。，則螞蟻爬行的最短距離為()

A.3B.2A/3c.3V2D.2

【答案】A

【解析】如圖1,將矩形8C4G翻折到與平面ABC共面的位置BCC；用'，此時(shí)，爬行的最短距離

為AD'=26；如圖2,將翻折到與平面45月4共面的位置48。；,易知

A1D'=AAA=^,ZD'A1A=120。,此時(shí)爬行的最短距離=3；如圖3,將矩形3cBe翻折到

與平面共面的位置2cG'81，此時(shí)，爬行的最短距離40'=2G.

圖3

綜上，小螞蟻爬行的最短距離為3.故選A..

易錯(cuò)題吧

如圖，在四棱錐尸一/BC。中，底面48?！?gt;H。1/248||￡)。40=。。=4?=248=1,點(diǎn)￡'為

棱尸C的中點(diǎn).

(1)證明：BE1DC；

(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；

(3)若尸為棱PC上一點(diǎn)，滿足即1/C,求二面角F-AB-P的余弦值.

【警示】本題錯(cuò)誤解法是：(1)證明依題意，以點(diǎn)N為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖，可得

5(l,0,0),C(2,2,0),￡>(0,2,0),P(0,0,2).

由E為棱PC的中點(diǎn)，得￡(1,1,1).

B￡=(0,l/)QC=(2,0,0),

故前?詼=0,所以BELDC.

(2)解訪=(—1,2,0),

PS=(l,0,-2).

設(shè)”=(x,y,z)為平面PBD的一個(gè)法向量，

[n-BD=0,____=n

則-即仁受I不妨令尸1，

〃?尸5=0,I

可得〃=(2,1,1).

(3)解ic=(l,2,0),C>=(-2,-2,2)Jc=(2,2,0)Jg=(l,0,0).

由點(diǎn)/在棱PC^^CF=AO<X<1,

故話=病+CF=BC+ACP=(1—22,2-2A,2A).

由BRL4C,得殍?就=0,

3

因此,2(1—22)+2(2—22)=0,解得4=一，

4

即彷=(一：,：，1).[9分]

設(shè)"i=(x,y,z)為平面FAB的一個(gè)法向量，

tn\-AB=0,

則一即113

-?+?+?=0.

不妨令2=1,可得?1=(0,—3,1).

取平面ABP的法向量肛=。1,0),

nvm-33-/10

則COS

\ni\\n2\JTUx110

所以二面角F-AB-P的余弦值為一支m.

10

【問(wèn)診】忽略二面角為銳角

【答案】(1)證明依題意，以點(diǎn)/為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖，可得

5(1,0,0),C(2,2,0),Z)(0,2,0),P(0,0,2).

由E為棱尸C的中點(diǎn)，得￡(1,1,1).

3E=(0,1,1),。。=(2,0,0),

故3￡Z)C=0,所以BELDC.

(2)解詬=(-1,2,0),

->

P5=(l,0-2).

設(shè)〃=(x,y/)為平面PBD的一個(gè)法向量，

則-即『2e0：不妨令尸1，

〃?尸8=0,I

可得〃=(2,1,1).

nBE2A

于是有cos(n,BE)=-----=—p--尸=—,

I”強(qiáng)I二/3

所以，直線BE與平面PBD所成角的正弦值為、

(3)解BC=(l,2,0),CP=(-2,—2,2)〃C=(2,2,0)〃8=(l,0,0).

由點(diǎn)尸在棱PC±,igCF=ACP,0</<l,

故3/=2C+。尸=3。+入。尸=(1一2九2—2九24).

由BFLAC,得前,就：=0,

,3

因此,2(1—22)+2(2—22)=0,解得/=—,

4

即屆'=(一；,；，1).[9分]

設(shè)"i=(x,%z)為平面FAB的一個(gè)法向量,

mAB=O,,x=0,

則

nrBF=Q,

不妨令z=l,可得"1=(0,—3,1).

取平面ABP的法向量犯=(0,1,0),

mm__3_

貝！JCOS

|m||w2|yflOx110

易知,二面角F-AB-P是銳角，所以其余弦值為誓.

【叮囑】利用向量法計(jì)算二面角大小的常用方法

(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向

量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小.

(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)

的兩個(gè)向量,則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.

變灰練習(xí)

1.(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科)如圖，在四棱錐尸-ABCD中,ABIICD,

ZBAP=ZCDP=90°.

⑴證明:平面PAB±平面PAD；

(2)若PA=PD=AB=DC,/APD=90°,求二面角4—尸8—C的余弦值.

P

【解析】(1)由已知NBAP=ZCDP=90°,得ABLAP,CDLPD

由于45//CD，故AB±PD，從而45，平面PAD

又ABu平面PAB，所以平面PAB±平面PAD

(2)在平面PAD內(nèi)做尸尸，AD，垂足為F,

由(1)可知,AB1平面PAD，故AB1尸尸，可得PFI平面ABCD.

以R為坐標(biāo)原點(diǎn)，成的方向?yàn)楣廨S正方向,1萬(wàn)I為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

F-xyz.

由⑴及已知可得4字。。），尸（。,。,字）,5（字」,。）。一孝」,。）.

所以金（岑L等譯成,。,。）〃=（條。，4））=（?！?。）.

設(shè)〃=（x,y,z）是平面PCB的法向量，則

n-PC=0-^-x+=0r-

\_，即<2-2，可取〃=（0,—1,—0）.

[〃0=0啟=o

\m-PA=01亞萬(wàn)—也”0

設(shè)機(jī)=（x,y,z）是平面尸48的法向量，則4_，即22，可取

m-AB=0

ib=on

〃=（i,o/）.

貝Ucosv〃,M>=------=—J,因?yàn)槎娼?—四—C為鈍角，所以二面角4—必—C的

|n||/?|3

余弦值為-必.

3

2.如圖所示的幾何體是由棱臺(tái)N8C一小叢。和棱錐D—44CQ拼接而成的組合體，其底面四

邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且4民4。=60。,3田_1平面ABCD,BBX=BXC^\.

(1)求證：平面平面ABQ；

⑵求二面角A.-BD-Cr的余弦值.

［解析］(l)vBBlJL平面ABCD,ACc平面ABCD,：.BB.1AC,

在菱形/BCD中,ADL/C,

又BDnBB、=B,BD,u平面BBQAC1平面BBQ,

ACu平面ABfi平面ABtC1平面BB'D.

⑵設(shè)32/C交于點(diǎn)。似。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CM為x軸，以60為y軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)

系,z軸顯然平行于直

由四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且48/0=60。,得03=OD=1,=OC=百，

5(0,-l,0),D(0,1,0),^(0,-1,l),^(V3,0,0),C(-V3,0,0),

方=(右,1,0)應(yīng)=函+市=函+(防=(弓；1),麗=(0,2,0),

設(shè)平面的一個(gè)法向量為"=(x,%z),

BD?萬(wàn)=2歹=0,

令z=G,得y=。/=-2，從而幾=卜2,0,6）

_??.>1-,1

同理BG=54+瓦。1=38]+5BC=（—^-，5，l）,

設(shè)平面MG的一個(gè)法向量為浣=（匹,如zj,

——一百1

_.BC[?m=----MH—y,+z,=0,

則彳」212711

8。?沅=2M=0,

令馬=6,得乂=0,%=2,從而加=（2,0,?。?

——m-n2x（-2）+限61

則cos<m,n>=I=----7=—,=-------=—

時(shí).忖V7xV77-

又由圖可知4-33-G為銳角，故二面角A「BD-Q的余弦值為1.

易錯(cuò)題通關(guān)

1.（2022屆云南省三校高三聯(lián)考）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體/8CO-44CQ中，點(diǎn)E,尸，G

分別是棱CG,C8,C。的中點(diǎn),P為線段NR上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面a〃平面EFG，則下列命題中

錯(cuò)誤的是（）

A.不存在點(diǎn)P,使得CP，平面EFG

B.三棱錐尸-EFG的體積為定值

c.平面口截該正方體所得截面面積的最大值為也

2

D.平面夕截該正方體所得截面可能是三角形或六邊形

【答案】C

【解析】如圖，連接4c，可得4c1平面EFG，由4c與ADX異面可知，不存在點(diǎn)P，使得CP±

平面EFG，故A正確；又〃平面EFG，所以動(dòng)點(diǎn)尸到平面EPG的距離為定值，故三棱錐

P-E/G的體積為定值，故B正確如圖，當(dāng)截面為正六邊形Z7KLW時(shí)（其中

都是中點(diǎn)）,易得該正六邊形的邊長(zhǎng)為烏所以其面積為6xfx［回=攣，故c錯(cuò)誤；截

24（2）4

面可能為三角形，也可能為六邊形，故D正確，故選C.

2.（2022屆黑龍江省哈爾濱高三上學(xué)期期中）已知平面，直線/加，且有加u￡,則正

確的命題是（）

A.若///加,則B.若。則/_1加

C.若/，加，則a//夕D.若則〃/%

【答案】A

【解析】若〃加,則氏故A正確若a，/?,/La,///或/u￡,所以/不一定垂直加，故B

錯(cuò)誤；若/，加，/，￡,則加〃口或機(jī)ua,所以辦夕還有可能相交，故C錯(cuò)誤；若

則///或/u/，所以/不一定與m平行，故D錯(cuò)誤.故選A.

3.（2022屆云南省十五所名校高三11月聯(lián)考）在立體幾何探究課上，老師給每個(gè)小組分發(fā)了

一個(gè)正四面體的實(shí)物模型，同學(xué)們?cè)谔骄康倪^(guò)程中得到了一些有趣的結(jié)論.已知直線3〃平

面a，直線BC//平面a,F是棱BC上一動(dòng)點(diǎn),現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：

①若M,N分別為棱AC,BD的中點(diǎn),則直線MNH平面?；

②在棱BC上存在點(diǎn)尸,使/F1平面a；

③當(dāng)廠為棱5c的中點(diǎn)時(shí)，平面4D尸"L平面口；

④平面a與平面BCD所成銳二面角的正切值為V2.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）

A.①②B.①③C.②④D.③④

【答案】D

【解析】可將正四面體放在正方體中研究，如圖，平面￡就是與左右兩個(gè)側(cè)面平行的平面，

M,N是前后兩個(gè)側(cè)面的中心（對(duì)角線交點(diǎn)），直線MN//平面a或直線MNu平面C，①錯(cuò)誤.正

方體的左、右兩個(gè)側(cè)面與平面々平行，因此，與平面a垂直的直線只能是與其四條側(cè)棱平行或

重合的直線,②錯(cuò)誤.平面ADF就是平面ADPE,由DP與側(cè)面垂直，得面面垂直，③正確，同樣

正方體中易得8C與對(duì)角面加依垂直，因此ZDFP是是二面角。-3C-P的平面角，

tanZDFP=41■而平面?與平面CP3E平行,因此④正確.

故選D.

4.如圖，點(diǎn)A,B,C,M,N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則下列各圖中，不滿足直線MN//平面

ABC的是（）

【答案】D

【解析】對(duì)于A,由正方體的性質(zhì)可得MV〃07//C,可得直線〃平面能滿足;

N

H

對(duì)于B,作出完整的截面NO3CER由正方體的性質(zhì)可得可得直線MN//平面ABC,能

滿足；

對(duì)于C,作出完整的截面/BCD,由正方體的性質(zhì)可得MN//83,可得直線〃平面N8C,能滿

足；

A

對(duì)于D,作出完整的截面,如下圖可得MN在平面N3C內(nèi),不能得出平行，不能滿足.

故選D.

5.如圖，已知正方體48cl2的棱長(zhǎng)為2,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.直線4G與BA為異面直線

B.直線8片與平面/C2平行

C,將形狀為正方體的鐵塊磨制成一個(gè)球體零件，可能制作的最大零件的表

面積為16萬(wàn)

D.若矩形NCG4是某圓柱的軸截面（過(guò)圓柱的軸的截面叫做圓柱的軸截面），則從A點(diǎn)出發(fā)

沿該圓柱的側(cè)面到相對(duì)頂點(diǎn)G的最短距離是用萬(wàn)

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A,直線4G與3n既不平行也不相交,是異面直線,A正確；

對(duì)于B,9不/。2,而直線?！ㄅc平面NCR相交,故直線與平面/C2也相交,B錯(cuò)誤；對(duì)于

c,將形狀為正方體/8CD-4AGA的鐵塊磨制成一個(gè)球體零件，當(dāng)球的半徑為棱長(zhǎng)一半，即

其半徑為1時(shí)，球的表面積最大，其表面積最大值5=4萬(wàn)xF=4萬(wàn),C錯(cuò)誤；對(duì)于D,從A點(diǎn)沿圓

柱的側(cè)面到相對(duì)頂點(diǎn)G的最短距離即為圓柱側(cè)面展開圖一個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)的距離,即其最

短距離?=，4+2后或J8+7?,D錯(cuò)誤;故選BCD.

6.（2021屆內(nèi)蒙古赤峰市高三大聯(lián)考）正四棱柱NBC。-4片GR的外接球。的半徑為2,當(dāng)該

正四棱柱的側(cè)面積最大時(shí)，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從N出發(fā)移動(dòng)到G,則沿正四棱柱表面移動(dòng)的最短距離

與直接穿過(guò)球。內(nèi)部移動(dòng)的最短距離的比值是.

【答案】逅

2

【解析】設(shè)球內(nèi)接正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為。，高為機(jī)

?1-h2+2a2=16>26ahah<4后,

???%=4ahV16收，當(dāng)/=2/,即4=20,。=2時(shí)取得最大值.

沿四棱柱表面移動(dòng)的最短距離為血了;后=276,

直接穿過(guò)球O內(nèi)部移動(dòng)的最短距離為AQ='叵"2=4,

???沿正四棱柱表面移動(dòng)的最短距離與直接穿過(guò)球。內(nèi)部移動(dòng)的最短距離的比值是

2

7.（2022屆浙江省杭州市高三上學(xué)期月考）如圖，四棱錐尸-/BCD中,△PN3是等邊三角形，底

TT

面ABCD是直角梯形,AB//CD,AB1.AD,AB=BC=2,NABC=',尸，G分別是PC,AD的

中點(diǎn).

（1）求證：尸G〃平面尸4g；

（2）若PC=3,求直線FG與平面P8C所成角的正弦值.

【解析】（1）證明：取3c的中點(diǎn)/,連接a,",

p

因?yàn)榈酌鍭BCD是直角梯形,〃CO,G是的中點(diǎn)，所以G////8,因?yàn)椤眎平面PAB,

GI0平面尸/民所以G///平面PAB,

又因?yàn)槭鞘珻的中點(diǎn)，所以尸/是△尸3c的中位線，所以網(wǎng)//尸8,因?yàn)槭珺u平面PN民平

面P4B,所以￡/7/平面PAB,

因?yàn)镚/Pl以=/，所以平面GFIII平面PAB，而尸Gu平面GFI，所以尸G〃平面PAB；

(2)取AB中點(diǎn)連接PO,COAC,

因?yàn)椤魇?8是等邊三角形，所以尸2=AB=P/=2//84=60。,又因?yàn)榈酌鍭BCD是直角梯形,

TT

AB//CD,AB1AD,AB=BC=2,N48C=^,所以2M8C是等邊三角形,COLL8,故四邊形

是矩形，所以co=/o=i,

113

由第一問(wèn)可知，&=5P8=1，/G=-(CD+48)=5,NFIG=ZPBA=60°，由余弦定理得，

FGfl+--2xlx-xcos60°=—

V422

VPO=OC=V3,PC=3,由余弦定理得：cosZPOC=0°+℃re

2POOC2

ZPOC=120°

又尸O，AB,OC±AB,尸0noe=。AB±平面POC,-.?AB\平面4BC,.?.平面POC±平面

3

/SC,過(guò)點(diǎn)P作PH工OH,交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)則尸〃_L平面ABC,PH=POsin60°=-?

PB=BC=2,PC=3,...cosNPBC=PB'+BD—PC=一,，故sinZPBC=亙

2PBBC88

S=-PBBC-sinZPBC=—，連接G8,GC,其中

AJPTDBC'-24

c；(CD+AB>AD-；AB.AG-；CD.GD=當(dāng)-*f=當(dāng)

3GBC

設(shè)G到平面PBC的距離設(shè)為〃，貝IJ!x"*史=ax邁

34324

h=坦,二直線FG與平面PBC所成角的正弦值為上=攣.

14FG7

8.(2022屆陜西省寶雞市高三上學(xué)期11月質(zhì)量檢測(cè))如圖，在四棱錐尸中，底面N8CD

為菱形，尸/，平面ABCD,448c=60。,E為8c的中點(diǎn)，尸為尸。的中點(diǎn).

(1)求證：平面_L平面尸；

(2)若尸N=AB=2,求二面角A-EF-C的余弦值.

【解析】⑴因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，乙48C=60。,所以△ABC為等邊三角形,

60°

所以/￡平分NB/C,所以ZEAD=(180°-60°)--=90°,

所以NE_L4D,

又因?yàn)槭?_L平面48CD,所以PN_L,且尸/c4D=4,

所以/E_L平面PAD，又/Eu平面4E7"

所以平面AEF1平面PAD■.

(2)據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

因?yàn)镻/=N2=2,所以

/(0,0,0),E(石,0,0),尸(0,0,2),C(JI1,0),所以「,

I22J

-UU

設(shè)平面A