福建省泉州市2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性考試模擬試題

（一模）

一、單選題

z（l+i）=|l+V3i|

1.若復(fù)數(shù)z滿足,7?I,貝了=（）

A.1-iB.1+iC.2-2iD.2+2i

【答案】A

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的模公式及復(fù)數(shù)除法法則即可得解.

【詳解】因?yàn)椴?司"1+（@2=2,

所以由Z（l+i,l+6|,得2=11T=（；'］）=j.

故選：A.

2.若實(shí)數(shù)?！?〉0,則下列不等式一定不成立的是（）

A.0.3a<0.36B.lga>lg&C.二<」7D.

a-\0-1

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B,利用特殊值判斷C,根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)

判斷D.

【詳解】因?yàn)閥=0.3'在定義域R上單調(diào)遞減且。〉6〉0,所以0,3〃<0.3"，故A正確；

因?yàn)閥=lgx在定義域（0,+。）上單調(diào)遞增且?！?〉0,所以lga>lg6,故B正確；

當(dāng)Q〉l〉b>0時(shí)，--->0>,故C不正確；

a-\b-\

因?yàn)閥=6在定義域［0,+oo）上單調(diào)遞增且?！?〉0,所以&>&,故D正確.

故選：C.

3.已知命題2:（2、+1）（2。2）<0,q-lgx<0,則。是4的￡）

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C,既不充分也不必要條件D.充要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別求得X的范圍，結(jié)合充分、必要條件的判定方

法，即可求解.

【詳解】因?yàn)镻：（2'+1）?！?）<0,可得2工一2<0,解得x<l,

又由q:lgx<0,可得0<x<l,所以。是4的必要不充分條件.

故選：B.

4.4知集合Z={xeN|2x2-x-15V0},3={y|y=sinx},則2口5=（）

A.{x|-l<x<l}B,{0,1}C.{-1,0,1}D.{1}

【答案】B

【解析】

【分析】求出48后利用交集的定義可求

【詳解】A=[xeN|2x2-x-15<0}=|xeN|-|<x<3|={0,1,2,3},

而8={4>=sinx}={y,

故幺口5={0,1},

故選：B

5.已知等差數(shù)列{?！眪的前，項(xiàng)和為S“，若％=§,。6=屋則S"=（）

A.51B.34C.17D.1

【答案】C

【解析】

【分析】由題意列方程組可求出4,d,再由等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式求解即可.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列{4}的首項(xiàng)為6,公差為d,

C71

%+2d=—

12

所以由%，。6=§可得：<

2

%+5d——

1

Q]二-

19

解得:

d=-

9

/17x16、r117x161/

所以S]7=17〃]H----------dJ—17x—i-----------x-=17.

1712929

故選：C.

6.已知2sina=3+2百cosa，貝Usin(2a-7)=()

6

1737

A.一一B.——C.-D.-

8848

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用輔助角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式計(jì)算即得.

【詳解】由2sina=3+26cosa，得Isina-Y^cosa=2，即sin(a-g)=g,

22434

所以sin(2a-^)=sin[2(a-y)+^-]=cos2(a-y)=l-2sin2(cr-y)=l-2x(^-)2=--^.

故選：A

7.已知函數(shù)/(x)=sin[x—￡|,xe[—2,—lMl,2],則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

A./(x)是奇函數(shù)B./(x)max=1

C./(x)在[—2,-1]上遞增D./⑴在[1,2]上遞增

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可判A；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性并求出最值判斷B、C、D

【詳解】因?yàn)閤e[-2,-所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且f(-x)=sin-x+—=sin

所以/(x)是奇函數(shù)；故A對(duì)；

令"=x—L,xe[l,2],所以“久)在[1,2]單調(diào)遞增,

所以04%一▲三34工，即3V四，Xj=sinw0,—單調(diào)遞增，

x2222L2_

所以/(x)=sin[x-J在[1,2]單調(diào)遞增，故D對(duì)；

因?yàn)?(x)是奇函數(shù)，所以/(x)在12,-1]上遞增，故c對(duì)，

綜上，/(-1)=-/(1)=0,則/(x)max=/(2)=sin[2—g]=sinTwl,故B錯(cuò)；

故選：B

8.在滿足24玉<、，獷=球的實(shí)數(shù)對(duì)(xqJ(i=l,2,3,…/)中,使得％+y2+…+?1T<20第成

立的正整數(shù)，的最大值為()

A.22B.23C.30D.31

【答案】C

【解析】

InxInyi

【分析】由邸=短得一L=—，構(gòu)造函數(shù)/(x)=n=r(x22),利用導(dǎo)數(shù)求得/(X)的單調(diào)性，求

xiyj%

得N的取值范圍，結(jié)合不等式的知識(shí)即可得解.

Inx.Iny.

【詳解】因?yàn)??蒼<乂，*=y：,所以一^二」\

Xi必

設(shè)/(x)=g(x22),貝=

XX

令/'(x)>0,則2<x<e,令/'(x)<0,則％>e,

所以/(x)在(2,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

因?yàn)?⑵=/(4)=竽,2?西<力,

所以2<七<e<%<4,

所以弘+8+~+匕t〉e(〃T)，又以44,20yn<80,

QQ

要使得%+%+…+%-iV20%成立，只需e(〃—1)<80,即〃<1+—“30.4,

e

所以正整數(shù)"的最大值為30.

故選：C.

Inx.Iny.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是由=y『變換得一L二-S從而得以構(gòu)造函數(shù)

Xi乂

1TlV

/(%)=—(x>2),由此得解.

X

二、多選題

9.下列說法正確的是()

A.0￡{0}

B.集合1%|x=2n,〃eZ}=<X]eZ>

/、1xeQ

C.函數(shù)/x=八的值域?yàn)閇0刀

[0xeLRQ

D./(x)=x|x|在定義域內(nèi)單調(diào)遞增

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)空集的定義判斷A,根據(jù)集合元素的特征判斷B,根據(jù)所給函數(shù)解析式判斷C,將函數(shù)寫成分

段函數(shù)、再分析函數(shù)在各段的單調(diào)性即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A：07{0}或0￡{0},故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：{x\x=2n,n&Z]={???,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,???},

xx

又一wZ,令一=kEZ,所以x=2左，keZ,

22

即<x]￡Z>={x[x=2k,k￡Z}={…，一6,-4,—2,0,2,4,6,8，…},

所以｛x|x=2n,=—GZ>,故B正確;

1xeQ/、(、

對(duì)于C：因?yàn)?(%)=<「；，所以/(力的值域?yàn)閧0」},故C錯(cuò)誤;

UX￡Up

x2,x>0

對(duì)于D：/(x)=x|x|=<

-x2,x<0

因?yàn)榇?f在[(J,+8)上單調(diào)遞增，歹=—/在(一*0)上單調(diào)遞增,

且/(X)為連續(xù)函數(shù)，所以/(X)在R上單調(diào)遞增，故D正確;

故選：BD

10.如圖，點(diǎn)4民。是函數(shù)/(x)=sin(°x+e)(°>0)的圖象與直線y=x上相鄰的三個(gè)交點(diǎn),且

2

D.若將函數(shù)/(x)的圖象沿x軸平移。個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則網(wǎng)的最小值為(

【答案】ACD

【解析】

【分析】令/(%)=,求得5,馬,%根據(jù)怛求得①=4,根據(jù)/=0求得/(x)的

解析式，再逐項(xiàng)驗(yàn)證BCD選項(xiàng).

兀2兀

【詳解】令/(x)=sin(cox+(p^——得，GX+0=§+24?；騁X+0=-^—1~24兀，ksZ,

兀兀叫+0=g+2E,

由圖可知：cox+0=]+2kji,CDXQ+/=]■+2ATI+2兀,

1]_71

所以忸C|=xc-xB=—I--+2n],

\AB\=XB-XA

CDG)

jrii27rA

所以彳二忸。|一|48|=一—-不+2兀，所以8=4,故A選項(xiàng)正確,

3切I33J

71

所以/(x)=sin(4x+0),由/=0且x=—石71■處在減區(qū)間，得sin[—,+0)=0,

1212

兀

所以——+0=兀+2左兀kGZ,

4兀

所以0=5+2而，keZ,

.(44兀=sin4x+竺

所以/(x)=sm4x+——+2H-sin(4x+yj,

I3I3

.71

當(dāng)xe4x+—e

3

3兀TT\

因?yàn)閂=-sin/在/e日~,2兀+§)為減函數(shù),故/(X)在上單調(diào)遞減，故C正確;

將函數(shù)/(x)的圖象沿x軸平移，個(gè)單位得g(x)=—sin4x+4，+：,(8<0時(shí)向右平移，6>0時(shí)向

左平移)，

g(x)為偶函數(shù)得49+^=]+桁，左eZ,

所以e=---，k&Z,則網(wǎng)的最小值為；y,故D正確.

2441124

故選：ACD.

11.已知函數(shù)/(力=-+$7+/一2工，若不等式/(2—a)</(/+3)對(duì)任意的^R恒成立，則實(shí)數(shù)

a的取值可能是()

1

A.-4B.——C.1D.2

2

【答案】BCD

【解析】

【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式判斷對(duì)稱性，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，根據(jù)對(duì)稱性和單調(diào)性得出答案.

【詳解】因?yàn)?(x)=ei+eir+，—2x,

所以/(2_x)=ej+ei+(2_x)2_2(2_x)=/(x),

即函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.

當(dāng)x>l時(shí)，y=X?-2x=(x-1)--1為增函數(shù)；

令g(x)=e'T+廣工，貝！Ig'(x)=e'T-eJ,

X>1時(shí)，e，T〉l，所以g'(x)>0,所以g(x)=ei+ei為增函數(shù),

所以當(dāng)x>l時(shí)，/(x)為增函數(shù).

由對(duì)稱性可知，當(dāng)x<l時(shí)，/(x)為減函數(shù).

因?yàn)?(2-0</(/+3)恒成立，所以"水,2+2便成立，

即|1—4<2,解得—l<a<3.

故選：BCD.

三、填空題

12.已知向量點(diǎn)B滿足同=2,B=(1,2后)，且限3=-1，則向量用B夾角的余弦值為.

【答案】—

6

【解析】

【分析】由向量的夾角和模長(zhǎng)公式求解即可.

【詳解】因?yàn)?=(1,2行)，所以W=JI2+(2行『=3,

一1a-b-11

所以向量2B夾角的余弦值為：cos/'=用可=2Z=-j

故答案為：—.

6

13.“南昌之星”摩天輪半徑為80米，建成時(shí)為世界第一高摩天輪，成為南昌地標(biāo)建筑之一.已知摩天輪轉(zhuǎn)一

圈的時(shí)間為30分鐘，甲乙兩人相差10分鐘坐上摩天輪，那么在摩天輪上，他們離地面高度差的絕對(duì)值的

取值范圍是.

【答案】［0,8073］

【解析】

【分析】由已知設(shè)甲乙兩人坐上摩天輪的時(shí)間分別為/,/+10,得到甲乙兩人坐上摩天輪轉(zhuǎn)過的角度，分

別列出甲乙離地面的高度4=80-803a，/z2=80-80cosl^|r+yL然后得到

1%—%|=80^^sin［西,由/的取值范圍即可求解.

【詳解】設(shè)甲乙兩人坐上摩天輪的時(shí)間分別為"Z+10,

2jrjryJTTT27r

則甲乙兩人坐上摩天輪轉(zhuǎn)過的角度分別為—(^+10)=—?+—,

301530v'153

jr

則甲距離地面的高度為％=80-80COSE■/,

(兀2兀

乙距離地面的高度為02—80—80cosI1+

貝I%-/z2|=80—80cos^7—80+80cos(^7+g)

=80cosf—t+—1-80cos—t=80cos—tcos--sin—/sin--cos—

(153)1515315315

=80--cos—^-^-sin—/=80』^-cos—t

-sinAr=80V3sin+1

215215215

jrjr77r71兀)」，

因?yàn)?〈/<30,所以0<—/+—V—，所以ovsm-t+-<1,

1533U53

即|A]-A2|e[o,8()G].

故答案為：[0,80相].

14.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域?yàn)镽,g'(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù),且/(x)+g'(x)—8=0,

2023

/(x-2)-g,(6-x)-8=0,若g(x)為偶函數(shù)，求Z/(〃)=_____-

n=l

【答案】16184

【解析】

【分析】先利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與g(x)的奇偶性判斷g(x)的奇偶性，進(jìn)而推得g(x)與/(X)的周期性,

再利用賦值法求得/(2),/(4),/⑴+/(3)的值，從而得解.

【詳解】因?yàn)間(x)是偶函數(shù)，貝I]g(-x)=g(x),

兩邊求導(dǎo)得—g'(-x)=g'(x),所以g'(x)是奇函數(shù)，故g'(0)=0,

由/(x)+g'(x)-8=o=/(x-2)+g，(x-2)-8=0n/(x-2)=8-g，(x-2),

代入/(x—2)—g'(6—x)—8=0,得8—g'(x—2)—g'(6—x)—8=0,

貝|]8'(X一2)+8’(6—》)=0,所以g'(x+4)+g'(—x)=0,

又g'(x)是奇函數(shù)，所以g'(x+4)=-g'(—x)=g'(x),

所以g(x)是周期函數(shù)，且周期為4,

又又x)+g'(x)-8=0,可知/(%)也是以4為周期的周期函數(shù),

令x=4,得/(4)+g'(4)—8=/(4)+g'(0)—8=0,故/(4)=8,

而g'(2)=g'(2-4)=g'(-2)=-g'⑵所以g'(2)=0,

令x=2,得/(2)+g'(2)—8=0,則/(2)=8,

而/⑴+g'⑴—8=0,/⑶+g'⑶—8=0,

又g'(3)=g'(-1)=-g'(l),則/(1)+/⑶=16,

2023

￡/(〃)=505[/(l)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(l)+f(2)+f(3)

n=l

=505x(8+16+8)+(8+16)=16184,

故答案為：16184.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的對(duì)稱性與周期性：

zy卜「\

[(―，萬)中心對(duì)稱；

(2)若/(x+a)=/(-x+b),則函數(shù)/(x)關(guān)于x對(duì)稱；

(3)若/(x+a)=/(x—a),則函數(shù)/(x)的周期為2a；

(4)若/(x+a)=-/(x),則函數(shù)/(x)的周期為2a.

四、解答題

717T

15.如圖，兩塊直角三角形模具，斜邊靠在一起，其中公共斜邊ZC=10,NBAC=一,/DAC=一,

34

BD交AC于點(diǎn)、E.

(1)求BO?；

⑵求ZE.

【答案】（1）50+2573;

⑵573-5.

【解析】

ITIT

【分析】（1）由銳角三角函數(shù)求出46、AD,又NBAD=—十—,利用兩角和的余弦公式求出

34

cosNBAD,最后由余弦定理計(jì)算可得；

（2）解法1：首先求出sin/"。，再由S"BO=S“BE+S”DE，利用面積公式計(jì)算可得；解法2：首先得

到匹.=03=無，再由N￡+￡C=10計(jì)算可得

ECS&BCD3,

【小問1詳解】

由己知，AB=AC-cosZBAC=\Qx-=5,

2

AD=AC.cos/DAC=\。乂顯=56，

2

jrjr

因?yàn)?BAD=ABAC+ADAC=ABAC=—+—,

34

（兀兀）兀兀7C71

所以cos/5/D=cos—+—=cos—cos——sin—sin—

（34）3434

1V2V3V2V2-V6

=—X---------X----=----------，

22224

所以在AABD中由余弦定理可得BD-=AB2+AD2-2AB-AD-cosZBAD

=25+50-2x5x572

4

=50+2573.

【小問2詳解】

.兀兀兀.兀V6+V2

=sin—cos—+cos—sin—=-,

H34344

又因?yàn)?S“BE+S“DE'

所以工??sinZBAD=--AB-AE-sm^BAE+--AE-AD-sinZEAD,

222

即工x5x5cx"+行=—x5xAEx-+—xAEx5>/2x，

242222

解得NE=56-5.

解法2：因?yàn)镹54D+N8CO=兀，所以sin=sin（兀一/BCD）=sin/BCD,

又AD=CD=5C，BC=5也,

“Lo—xAB-AD-sin^/BAD—x5x5V2sin^BADr

所以至=LABD_=2___________________=_J___________________=11

加以FC1I/-7-A'

J

d、&BCD_xBC-CDsin/BCD-x5V3x5y/2sin^BCD

又因?yàn)?。=10,所以/￡+EC=10,則4E+Jl4E=10，

所以幺￡=5JJ—5.

[cl11

16.設(shè)S“為數(shù)列｛%,｝的前〃項(xiàng)和，已知是首項(xiàng)為Q、公差為§的等差數(shù)列?

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵令b121D%,空為數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)積，證明：T<6nl.

【答案】（1）a.=/

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）利用等差數(shù)列定義可得S,，再利用S”與4的關(guān)系即可得解；

(2)由S“與見可得〃，從而利用累乘法得到7；,進(jìn)而得證.

【小問1詳解】

S]11

因?yàn)?“，、是首項(xiàng)為一、公差為一的等差數(shù)列，

+323

Sn1lzn1

蟻〃(〃+l)23V736

即S"=1+加〃+1）=〃（2〃+*1）,

當(dāng)心2時(shí)，SJ（2〃T）（〃T）,

n—i/

0

故y―S”.=an

66

2

n（2/+3/7+1-2n+3〃-1）2

——77’

6

3x2

當(dāng)〃=1時(shí)，4=4=----=1,符合上式,

6

故=/；

【小問2詳解】

由％"s'=〃（2〃+l）（〃+l）,

6

6（2〃-1）〃26（2〃-1）〃

〃（2〃+1）（〃+1）（2〃+1）（〃+1）'

6x1x16x3x26x5x36伽-1）〃6"

則1=6也.,也3x2-.-5^37x4…（2〃+1）（〃+1）—（2?+1）（?+1）'

因?yàn)椋?〃+1）（〃+1）23x2=6,故7；<y=6"-'.

17.已知四棱錐P—48C。的底面是一個(gè)梯形，AB//DC,ZABC=90°,AB=BC=4,CD=2,

PA=PD=3,PB=PC=y/ll.

(1)證明：平面尸40,平面45CD；

(2)求二面角C—尸幺―。的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

5

【解析】

【分析】(1)由題意可得。尸，又OP；D,由線面垂直的判定定理可得OPJ■平面N5CD,再由

面面垂直的判定定理即可證明；

(2)以。為原點(diǎn)，OE,。尸所在直線分別為了軸，z軸，作出x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面尸

和平面P4C的法向量，由二面角的向量公式求解即可.

【小問1詳解】

設(shè)的中點(diǎn)分別為。,￡,連接OP,OE,PE.

因?yàn)?所以0尸，/￡).

因?yàn)镻8=PC,所以BCLPE.

在梯形48CD中，AD=^42+(4-2)2=275-

所以0尸=,32-5=2,OE=g(/8+DC)=3,

PE=V17-22=V13-因此。尸2+。￡2=產(chǎn)62，

所以0尸，0￡,又0P_L4D,0￡,4Du平面4ffC￡),

OEcAD=O,所以。尸，平面48CQ.

又因?yàn)镺Pu平面040,所以平面040J_平面4BCD.

【小問2詳解】

如圖，以。為原點(diǎn)，OE,。尸所在直線分別為N軸，z軸，作出x軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-斗，則

4(2,-1,0),。(一2,3,0),1)(-2,1,0),P(0,0,2).

貝|」衣=(-2,1,2),而=(-4,2,0),AC=(-4,4,0),

設(shè)平面尸40的法向量加=(%i，%,Z]),

m?AP=0—2苞+%+2Z]=0

一，即〈

m?AD=0—4/+2%=0

令玉—1,得到y(tǒng)l=2,zl=0,即加=(1,2,0).

設(shè)平面尸4C的法向量〃二(々,72/2),則

n-AP=0—+%+2z2—0

一，則〈

n-AC=0~X2+%=0

1一1

令％2=1，得到%=1，,2=5，即〃=(1/，5).

326

cosm,n=

氐一

因?yàn)槎娼荂-PA-D是銳二面角，

所以二面角C-PZ-。的余弦值是拽.

5

18.已知函數(shù)/(X)=xlnx-a(2x2+1)(aeR).

(1)若a=-1,求/(x)的圖象在x=l處的切線方程;

(2)若/⑴有兩個(gè)極值點(diǎn)為，x2(<x2).

①求。的取值范圍；

②求證：3%—X］〉—2.

a

【答案】(1)5x-y-2=0

(2)①［°，；］；②證明見解析

【解析】

【分析】(1)利用切點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)幾何意義即可求解；

⑵①令g(x)=/'(x)=lnx-4辦+1,由題意可知，g(x)在(0,+。)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)

g(x)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理分類討論求解即可；

②由①分析得馬—西〉(—1，(=7：千/，令〃(x)=Mx-空三，可得〃⑴在(0』)上單

調(diào)遞增，因?yàn)榱?lt;1,所以力上根據(jù)不等式性質(zhì)計(jì)算即可得證.

X2<X2J

【小問1詳解】

若口=一1,則/(x)=xlnx+Zx?+1,所以/''(x)=lnx+l+4x,

所以/'⑴=1+4=5,又/⑴=2+1=3,

所以/(x)的圖象在x=l處的切線方程為了一3=5(%一1),即5x—y—2=0.

【小問2詳解】

①由題意知/，(x)=lnx+l-4ax.

令g(x)=/'(x)=Inx-4ax+1,則g<x)='—4a.

JC

因?yàn)?(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)為，%(%1<x2),所以g(x)=0有兩個(gè)不等正實(shí)根%，%2(X1<x2).

若a40,g'(x)>0,則g(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，

所以g(x)在(0,+8)上至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

若a〉0,令g'(x)=0,解得x='-,所以當(dāng)0<x<，時(shí)，g'(x)〉0,

4。4(7

當(dāng)x〉5時(shí)，g'(x)<0,所以g(x)在上單調(diào)遞增，在15，+，|上單調(diào)遞減.

所以x=5時(shí)，g(x)取得極大值，即最大值為g[5]=Tn(4a),

所以g[5]=Tn(4a)〉0,解得0<a<；.

當(dāng)°<":時(shí)‘又所以glaK*。，

由零點(diǎn)存在性定理知：存在唯一的使得g(X1)=0.

(1、1144

又g)=ln--4a?一+l=-21na——+1,令〃(x)=-21nx——+1,

\aJaaax

所以〃'(x)=---+—=—J,所以當(dāng)0<x<2時(shí)，〃'(x)〉0,當(dāng)x〉2時(shí)，〃'(x)<0,

所以〃(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,+s)上單調(diào)遞減，

4

所以〃(a)——2InciF1V〃(2)-—2In2—1<0,

所以g[5]<5所以g〔一d—<°'

由零點(diǎn)存在性定理知：存在唯一的/使得g(%)=0.

所以當(dāng)0<a<；時(shí)，g(x)=O有兩個(gè)不等正實(shí)根占，x2.

綜上，。的取值范圍是［(),；：

②證明：由①知0<a<—，且0</<—<%,所以—>1,

44a24a

因?yàn)間(x)在上為增函數(shù)，及g⑴=1—4。>0,所以玉<1,

又>--，所以％—M>----1.

4a4a

因?yàn)間(xJ=O，g(x2)=0,所以ln%i—4。再+1=0,Inx2-4ax2+1=0,

所以In》］-In》？=4。(苞_/),所以;=『三一?一.

4ainX］—inx2

2(x-l)

令h(x)=Inx-(0<x<l),

x+1

所以=4=(：°〉0,所以〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,

%(x+1)x(x+l)

(\

因?yàn)橛?lt;12，所以土<1，所以〃—</z(l)=0,

%2\X2j

2土-1

所以出區(qū)-工~2X-X,國(guó)+x

<0'所以附嬴2

2

/A+1

1M-x2X1+x2

所以丁<2所以再+%2>--.

In&-Inx22a

所以3工2—2=(再+%)+2(%一再)>---1-----2——2.

2a2aa

/、2(x-\\1x-xx+x

【點(diǎn)睛】本題證明的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)〃(x)=lnx-進(jìn)而求證口=記?9；<—9,再

運(yùn)用不等式性質(zhì)即可證明.

19.已知集合力為非空數(shù)集，對(duì)于集合/,定義對(duì)/中任意兩個(gè)不同元素相加得到一個(gè)絕對(duì)值，將這些絕

對(duì)值重新組成一個(gè)新的集合，對(duì)于這一過程，我們定義為“自相加”，重新組成的集合叫做“集合/的1次

自相加集合”，再次進(jìn)行〃一1次“自相加”操作，組成的集合叫做“集合/的〃次自相加集合”，若集合/的

任意人次自相加集合都不相等，則稱集合N為“完美自相加集合”，同理，我們可以定義出“/的1次自相減

集合”，集合/的1次自相加集合和1次自相減集合分別可表示為：

才={x|x=+eZ},/-={x|x-\a-b\,a,be.

(1)已知有兩個(gè)集合，集合8={1,2,3,4},集合