高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（15）

JT

15.如圖1,四邊形A3CD為菱形，ZABC=~,E,產(chǎn)分別為A。，。。的中點，如

3

圖2.將ABC沿AC向上折疊，使得平面ABC1平面ACFE,將”?所沿所向上折

疊.使得平面DEFL平面ACFE,連接BD.

CD求證：A,B,D,E四點共面：

（2）求平面與平面ED3C所成角的余弦值.

16.教練為了解運動員甲的罰籃情況，記錄了甲罰籃前30次的投籃情況，得到下表（用

“1”表示投中，用“0”表示沒有投中）：

序號123456789101112131415

投籃情況110111101110001

序號161718192021222324252627282930

投籃情況101100111001110

把頻率估計為概率：

（1）若認為甲各次投籃是獨立的，計算甲第31,32兩次投籃恰好一次投中，一次沒有投

中的概率；

（2）若認為甲從第2次投籃開始，每次投籃受且僅受上一次投籃的影響，記甲第31,32

兩次投籃投中的次數(shù)為X,寫出隨機變量X的分布列，并求EX.

17.已知橢圓E：W+/=l（a〉6〉0）的離心率為e=￥，過點C（L。）作斜率為左直線

/與橢圓E交于A,B兩點交于A,B（A在*軸上方），當上=—1時，|A3|=￡1—.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）過點A作直線x=4垂線，垂足為N,連接8N與x軸交于點若四邊形

AC兒W為等腰梯形，求直線/的斜率左.

18.定義：若變量x,y>0,且滿足：=1,其中a力>O,meZ,稱）是關(guān)

于的“加型函數(shù)”.

（1）當a=2,b=l時，求>關(guān)于尤的“2型函數(shù)”在點1,處的切線方程;

（2）若y是關(guān)于X的“T型函數(shù)”,

（D求x+y的最小值：

n+1

j_（_n__n_A/

（ii）求證：+an+i+bn+in，）.

19.數(shù)列｛a,｝滿足%+iW%+；”+2,則稱數(shù)列｛4｝為下凸數(shù)列.

（1）證明：任意一個正項等比數(shù)列均為下凸數(shù)列；

（2）設(shè)c“=Z+e"，其中｛4｝分別是公比為名，如的兩個正項等比數(shù)列，且

證明：｛%｝是下凸數(shù)列且不是等比數(shù)列；

2

（3）若正項下凸數(shù)列前九項和為S"，且'〈I,求證：al+^~^<an<ai.

n

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（15）

7T

15.如圖1,四邊形A3CD為菱形，ZABC=~,E,產(chǎn)分別為A。，。。的中點，如

3

圖2.將ABC沿AC向上折疊，使得平面ABC1平面ACFE,將”?所沿所向上折

疊.使得平面DEFL平面ACFE,連接BD.

CD求證：A,B,D,E四點共面:

（2）求平面與平面ED3C所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見解答

⑵」

5

【解答】

【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)得到5M〃DN,結(jié)合中位線定理得到最后證

明四點共面即可.

（2）找到對應(yīng)二面角的平面角，放入三角形中，利用余弦定理求解即可.

【小問1詳解】

取AC,ER的中點分別為N,連接BM，DN,

取AM,的中點分別為G,H,連接G",HD,GE,

E

E

P

由題意知_ABC,JJEF都是等邊二角形，

所以DN±EF,

因為平面ABC1平面ACEE,平面DEF，平面ACEE,

所以1平面ACFE,0N1平面ACFE,所以BMHDN,

因為A"，8M的中點分別為G,H,距以、GEIIMN

所以HM=DN,所以DHHMN,

所以DH〃GE,又因DH=GE,

所以GH〃DE,

因為AM,的中點分別為G,H,

所以GH〃AB,

所以AB//DE,所以A,B,D,E四點共面；

【小問2詳解】

連接AD,DC,且延長AE,b交于點P,由題意知AP=A5,BD=DP，

所以AD15D,同理CDL3D,

所以NADC就是二面角A—￡>B—C的平面角,

設(shè)AB=2a,則AC=2a,DN=^~a,AN=^-a>

22

所以由平a，同理心辛,

1010242

2H--—4a

—aa1

所以cosZADC=44

5

所以平面AEDB與平面FDBC所成角的余弦值為1.

16.教練為了解運動員甲的罰籃情況，記錄了甲罰籃前30次的投籃情況，得到下表（用

“1”表示投中，用“0”表示沒有投中）：

序號123456789101112131415

投籃情況110111101110001

序號161718192021222324252627282930

投籃情況101100111001110

把頻率估計為概率：

（1）若認為甲各次投籃是獨立的，計算甲第31,32兩次投籃恰好一次投中，一次沒有投

中的概率；

（2）若認為甲從第2次投籃開始，每次投籃受且僅受上一次投籃的影響，記甲第31,32

兩次投籃投中的次數(shù)為X,寫出隨機變量X的分布列，并求EX.

【答案】（1）小

450

579

（2）分布列見解答，——

475

【解答】

1911

【分析】（1）由題可得甲投籃投中的概率片=.，投不中的概率為￡=玄，故所求概率

為恰有一次投中，一次沒有投中的概率為尸=C；《E，代入數(shù)據(jù)即可求解；

（2）表格中的數(shù)據(jù)可以知道：上一次投籃投中，這一次也投中的概率為上，上一次投籃沒

19

3

有投中，這一次投籃投中的概率為X的所有可能取值為0,1,2,然后求出對應(yīng)概率即

可得解.

【小問1詳解】

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在甲前30次的投籃過程中，有19次投中，11次沒有投中，因此因動員

1911

甲投籃投中的概率6=二，投不中的概率為鳥=二，若甲各次投籃互相獨立，那么第

31,32次投籃，恰有一次投中，一次沒有投中的概率為

PC2xtx片|||

【小問2詳解】

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以知道：上一次投籃投中，這一次也投中的概率為一,

19

3

上一次投籃沒有投中，這一次投籃投中的概率為《，

X的所有可能取值為0,1，2,且由表格可知第30次運動員甲沒有投中，

則p（x=o）=r|MW，

P(X=1)=

「(x=i)3U0,

51995

所以隨機變量X的分布列為:

17.已知橢圓E:j+}=l（a〉人〉0）的離心率為e=乎，過點。（1,0）作斜率為左直線

/與橢圓E交于A,3兩點交于A,B（A在x軸上方），當上=—1時，|A3|=」一.

5

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）過點A作直線x=4的垂線，垂足為N,連接與x軸交于點M,若四邊形

AC兒W為等腰梯形，求直線/的斜率左.

【答案】（1）—+y2=l

4-

(2)一匹

6

【解答】

【分析】(1)由離心率可得。=24將橢圓方程化為爐+4產(chǎn)=4〃，聯(lián)立直線與橢圓方程,

消元，列出韋達定理，利用弦長公式求出b,即可得解；

(2)不妨設(shè)的中點為G,則必有BGLGW,則問題只需要求點3的坐標，設(shè)4(%,%)，

，直線A5的方程為》=陽+1,(加。0),聯(lián)立直線與橢圓方程，求出巧，為，

即可求出直線的斜率.

【小問1詳解】

因為e=￡=Jl-與=1,所以2即a=2b,

a\a22a2

22

X

不妨設(shè)橢圓的方程為—+匕—1，即x2+4y2=4".

4/b2

x2+4y2=4b2

并與直線y=-x+l聯(lián)立方程，\,消去y得5x~—8x+4—4Zr=0,

、y=-x+l

、/\\84-4b2

設(shè)A(%3,%)，%)，則有%3+冗4=1，X3,X4—-----，

55

1

由IAB|=V2|X3-X4|=&J(X3+X4)2-4X3X4=四小I]-16=172>

所以l—b2=o，即匕=1或。=」(舍去)，

所以橢圓E的標準方程為—+/=1；

4-

【小問2詳解】

因為四邊形ACMN為等腰梯形，則必有NBCM=NB/WC,

即|BC|=|8M|,不妨設(shè)CM的中點為G,則必有3GLCM,

要求直線/的斜率，只需要轉(zhuǎn)化為求點8的坐標，則有%=%=上?，

設(shè)A(再5(孫%),則有N(4,yJ,

有直線BN的方程為了一%=與二"(x—4),令y=0,則有為—4y+4,

4一%

不妨設(shè)直線AB的方程為％=陽+1,(mwO),

myK-3y,

則有工2=7沖2+1，X“=—~—+44,

一%一%

x+4y=4/9\7

并與橢圓聯(lián)立方程《，，消去X得（次+4）^+2沖—3=0,顯然A>0,

x=my+1

_2m_33/\

則有X+%=^~7，則有的1%=彳（%+%），

m十rra-rH-乙

35

則有_2(X+為)-3%5,所以I.

卜無M2_2.'

…f"-2”一北一

2—2一4

所以為

所以左=f-=—叵.

Z-16

4

丹

/\m/xm

18.定義：若變量x,y>。，且滿足：2+2=1，其中a,b>O,〃zeZ,稱y是關(guān)

于的“加型函數(shù)

(1)當a=21=1時，求>關(guān)于x的“2型函數(shù)”在點,手］處的切線方程；

(2)若V是關(guān)于％的“-1型函數(shù)”，

(i)求％+y的最小值：

n+\

1(〃〃/\

(ii)求證：(九〃+an+i+bn+i，(〃wN)

7

【答案】(1)x+2傷-4=0

(2)(i)(&+揚＞；(ii)證明見解答

【解答】

'2、21(2、2,［、

【分析】(1)根據(jù)題意，得到y(tǒng)=1—三求得y，=L1—土\,結(jié)合導(dǎo)數(shù)

I4；2(4)I2J

的幾何意義，即可求解；

ab.

(2)根據(jù)題意，得到一+一=1,

xy

(i)化簡(尤+y)=(尤+y)—I—=a+b-\——H,結(jié)合基本不等式，即可求解;

Uy)xy

b

(ii)由題意，得到(x—a)(y—瓦)=ah,^x-a=at,y-b=-,其中te(0,+8),化

nn,記/z?)=a"(l+/)"+夕［1+；］,利用導(dǎo)數(shù)求

簡得到x"+y"=a(l+ty+b(l+^

得函數(shù)單調(diào)性和最小值，即可求解.

【小問1詳解】

(2、

解：當a=2力=1時，可得,=1_土

所以＞［-=—￡,所求切線方程為丁一#=一日(x—1),即X+2括y—4=0.

【小問2詳解】

解:由y是關(guān)于x的“t型函數(shù)"，可得上［+［工［=1,即@+2=1,

因為

(x+y)=(x+y)—+—=a+b+—+^>a+b+2—+—=(y/a+y/b)2,

y)xyyxy

ay_bx

當且僅當1%v即<%=a+7ab

L時取得最小值.

x+y=(布+揚『y=b+<ab

(ii)由=1>即0+。=1,則(x-a)(y—ZO=ab,S.x>a,y>b,

UJ\bxy

可設(shè)x-a=a/,y-b=—,其中/e(0,+8),

于是x"+y"=[a(l+/)]"+小+'=廢(1+/)〃+小+；

記帖)=a"(1+/)"+""[1+，

由“⑺=0,

當0＜/＜辦時〃'（。＜0,當/＞務(wù)時，”U）＞0,則

1丫(nIy\n

a+bn+1-an+1+b+a'l+1-bn+1

)\)7

【小結(jié)】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略:

1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；

2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分

離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，

就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

19.數(shù)列｛4｝滿足。"+1（咄產(chǎn)，則稱數(shù)列｛q,｝下凸數(shù)列.

（1）證明：任意一個正項等比數(shù)列均為下凸數(shù)列;

(2)設(shè)%=4,+，，其中｛4｝,｛e“｝分別是公比為名,0的兩個正項等比數(shù)列，且

%*%，證明：｛g｝是下凸數(shù)列且不是等比數(shù)列；

(3)若正項下凸數(shù)列的前〃項和為5“，且求證：q+型二小

n

【答案】(1)證明見解答

(2)證明見解答(3)證明見解答

【解答】

【分析】(1)根據(jù)數(shù)列新定義即可證明結(jié)論；

(2)根據(jù)定義只需證明+J+24。即可,從而結(jié)合正項等比數(shù)列的性質(zhì)即可證明；

利用反證法可證明｛%｝不是等比數(shù)列；

(3)先用反證法證明｛4｝不可能從某一項開始單調(diào)遞增，可得出a“-a,+i20,令

2

b),—a/—4+i,%=%+以+i，可推出4即得OW-a.+iW,從而

“(”+1)

-2-一一二］<。,+1—4<0,利用累加法即可證明結(jié)論.

\nn+Lj

【小問1詳解】

設(shè)正項等比數(shù)列｛0｝的公比為4,

則匕舟+2+2=匕g_2+優(yōu)才=f.國工工0，即

n+12〃/2〃22

所以任意一個正項等比數(shù)列｛%｝為下凸數(shù)列.

【小問2詳解】

顯然%>0,

C+2

Cn+1"^=(<+l+gn+l)-

2

jd〃+4〃+2與+，+2

+en+\

n+122

(2、

4+6/2+'禺2

-+一

27\

所以正項數(shù)列｛%｝為下凸數(shù)列.

下面證明：正項數(shù)列｛g｝不是等比數(shù)列.

若｛%｝是等比數(shù)列,則(dn+l+)2=(或+e.)?+2+en+2),

所以d"+l+e”+l+2d”+ie“+i=^n^n+2+^n^n+2+"”的+2+^n+2^n'

因為數(shù)列｛""｝,｛'｝分別為兩個正項等比數(shù)列，

e=ee

所以d：+i=dndn+2,n+lnn+2，

所以2d“+ie“+i—"”e“+2+,

所以2d“e”%%=d“e“4+4。端,

因為4,e,產(chǎn)0,所以2%g=4；+q：,

所以(%—《if=0，所以%=%，與%力%矛盾，

所以數(shù)列｛%