專題19基本不等式小題

解題秘籍

1.基本不等式

tz>0,b>0n-fab<—當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號

2,

其中"2叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)，

2

“而叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù)

通常表達為：。+匕22，石(積定和最小)

應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”

(1)基本不等式的推論1

a>0,b>Q=i>ab<"(和定積最大)

4

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號

(2)基本不等式的推論2

\/a,bea2+b~>2ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號

(3)其他結(jié)論

域+"2(a6>0).

c^+b2

2—(。>0,/?>0).

③已知a,b,x,y為正實數(shù)，

(1

(ax+by)—I—

若〃%+紗=1,則有：+：=I，=a+b+^-+^>a+b+2\[ab=(yla+ylb)2.

以+上=1,貝!1有x+y=I"=a+b+^+y->a+b+2y[ab=（y[ci+y[by.

注意L使用基本不等式求最值時，“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不可.

注意2.“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立”的含義是％=6”是等號成立的充要條件，這一點至關(guān)重要，忽略它往

往會導(dǎo)致解題錯誤.

注意3.連續(xù)使用基本不等式求最值，要求每次等號成立的條件一致.

模擬訓(xùn)練

一、單選題

y1

1.（2223下?湖北?二模）若正數(shù)X，>滿足x+2y=2,則」+一的最小值為（）

xy

A.V2+1B.2V2+IC.2D.I

2Q

2.（22?23?邯鄲?一'模）已知a〉0,b>0且a+/?=2,貝!J-----F-------的最小值是（）

9a+1b+1

9

A.2B.4C.-D.9

2

12

3.（22?23下?湖北?二模）已知。〉0,b>0,且——+—-=1,那么a+b的最小值為（）

a+1l+b

A.2A/2-1B.2C.2A/2+1D.4

4.（22?23上?重慶?一模）己知a,b為非負實數(shù)，且2a+6=l,則工+生±1的最小值為（）

a+1b

A.1B.2C.3D.4

5.（2223下?長沙一模）已知2"，=3'=6,貝!J7","不可能滿足的關(guān)系是（）

A.m+n>4B.mn>4

C.加？+儲<8D.（"7-1）2+5-1）2>2

6.（22?23下?安康?二模）若。>0,b>0,且a+6=l,則下列說法正確的是（）

12、3石

A.—I---------N—卜。2B.c^+b2<-

ab+122

C.--------b>2V3—2D.2a2+Z?〉一

Q+18

7.（22?23?滁州?二模）若〃，b,。均為正數(shù)，且滿足Q2+3ab+3ac+90c=18,貝U2a+3b+3。的最小值是（）

A.6B.476C.60D.6月

33.湛江?二模）當(dāng)X,W（…）時，先景于節(jié)恒成立，則加的取值范圍是（）

8.

A.（25,+co）B.（26,+oo）C.,+℃jD.（27,y）

9.（22吃3下?遼寧?二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種.利用圖形證明就是一種方式.現(xiàn)有如圖所示圖形，

在等腰直角三角形一ABC中，點。為斜邊A8的中點，點D為斜邊上異于頂點的一個動點，設(shè)AD=a,

BD=b,用該圖形能證明的不等式為（）.

B.2a\>Q,b>0)

C.*舌^(g0,"0)

D.a2+b2>2y[ab(^a>0,b>0)

12\x\

10.（2223下?荷澤?一模）設(shè)實數(shù)x，y滿足x+y=l,y>0,xwo,則1+q的最小值為（）

A.2A/2-1B.2四+1C.V2-1D.V2+1

11.（2223?江西?二模）實數(shù)。，b>0,滿足：a3+b3+lab=9,則a+方的范圍是（）

A.[高B.2,g]C.（2,啊D.[2,啊

二、多選題

12.（2223?汕頭?三模）若。>0,6>0,。+6=4,則下列不等式對一切滿足條件a,b恒成立的是（）

A.y[ab<2B.y/a+4b<2

2

C.—+Z?2>4D.-+->1

3ab

19

13.（2223?白山?一模）若正數(shù)a,6滿足一+丁=1,貝I（）

ab

21^211

A.ab<8B.----------1------->---2-C.-+D.2a+b>8

a-1b—2ab2

14.(2223?惠州?一模)若6"=2,6』,則()

A.以1

B.ab<—

a4

C.a2+b2<—D.b-a>一

25

15.（2223下?煙臺?三模）已知。>。力>0且4°+匕=2,則（）

A.4的最大值為gB.2\/^+A/F的最大值為2

C.2+：的最小值為6

D.4"+2'的最小值為4

ab

16.(22?23下?江蘇?二模)已知〃〉0,b>0,且/+》=i,貝U()

A.a+y/b<V2B.-<2a~^<2

2

2

C.log2a+log2V&>-1D.a-b>-l

17.（22?23?濟寧?二模）已知機且機+〃=2w,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.mn>lB.m+n<V2C.m2+n2>2D.2根+/23+2&

18.（2223上?寧波?一模）已知正實數(shù)。、6滿足片+〃—（。+》）+"=1,則（）

A.a+b的最大值為2B.的最小值為土5

2

C.Y+b,的最小值為2D./+°2的最大值為3

19.（2324上?長春?一模）設(shè)。，b為正實數(shù)，則下列不等式正確的是（）

aba+b（1V1

A.------>-------B.a+-7b+->4

a+b4I〃八b）

Ca+bD.^<a+b

,ab

20.（22?23?福建?一模）已知正實數(shù)x,y滿足x+y=l,則（）

314

A.尤2+y的最小值為二B.一+一的最小值為8

4xy

C.?+五的最大值為行D.log?X+log4y沒有最大值

21.（2223上?山西?一模）設(shè)。>0,b>Q,a+b=l,則下列結(jié)論正確的是（）

A.4的最大值為!B."+02的最小值為g

4

41

C.J的最小值為9D.&+JF的最小值為百

ab

22.（2223下?江蘇一模）已知正數(shù)匕滿足=4+人+1，貝U（）

A.。+人的最小值為2+20B.次?的最小值為1+0

工+工的最小值為

C.2>/1-2D.2。+4”的最小值為16及

ab

三、填空題

23.（2223?南開?一模）已知實數(shù)。>0/>0,。+6=1,則2"+2〃的最小值為.

24.（2223下?崇明?二模）已知正實數(shù)以6滿足仍=1,則a+46的最小值等于.

12

25.（22?23?金山?二模）已知正實數(shù)〃力滿足一+7=1,則2〃+人的最小值為_______.

ab

26.（2223?沈陽?二模）已知1<。<4,則--+-^的最小值是____.

4—aa—1

19

27.（2223?安慶?三模）己知非負數(shù)匹丁滿足彳+》=1,則一;+一^的最小值是________.

x+1y+2

28.（2223下?邵陽?二模）若a>0,b>0,a+b=9,則生+f的最小值為____.

ab

91

29.（22?23?延邊?二模）設(shè)a>0,b>l,若a+b=2,則一十二二取最小值時4的值為____

ab-1

30.（2223下?貴陽?一模）正實數(shù)a,6滿足《+；=1,則a+劭的最小值為_______.

4Qb

1x

31.（22?23?太原?一模）已知x>0,y>。，—+y=2,則一的最小值為_______.

xy

32.（22?23?四川?一模）已知正數(shù)x,y滿足x+>=5,則片的最小值是____.

x+2y+2

33.（2223下?渭南?二模）設(shè)。>0力>。，若3+6=1,則=v+!的最小值是________.

2a+1b

34.（22?23下?浙江?二模）已知正數(shù)x,y滿足%（x+2y）=9,則高了的最大值為.

2Q

35.（2023?遼陽?二模）若0vav4,則一+一的值可以是_______.

a4-a

17

36.（22?23上?重慶?一模）已知〃>0”>0,2。+〃=2,則一+7的最小值是________.

ab

21

37.（22?23?哈爾濱?一模）已知了+>=4,且％>y>0,則---+一的最小值為_____.

x-yy

4m

38.（23?24上?長春?一模）已知r>1,H>0,m2-3m+n=0,則;+—的最小值為________

m-1n

21

39.（23?24?鞍山?二模）設(shè)且〃+b=4,則一+丁一：；的最小值是____.

ab—2

40.（2223上?江西?一模）己知“，b,。是正實數(shù)，且6+c=?,則蘇+2：十_§_最小值為_

be〃+1

專題19基本不等式小題

解題秘籍

2.基本不等式

。>0,Z?>0=>4ab<—當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號

2

其中"2叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)，

2

9叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù)

通常表達為：a+b>2y[ab(積定和最小)

應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”

(4)基本不等式的推論1

。〉0,0〉0=>V"(和定積最大)

4

當(dāng)且僅當(dāng)a=6時取等號

(5)基本不等式的推論2

\/a,bea2+b2>lab

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號

(6)其他結(jié)論

①注2(a6>0).

?2+Z?2

2-(〃〉0,/?>0).

③已知a,b,x,y為正實數(shù),

(ax+by)—I—

若〃x+by=l,則有(+：=I，=a+b+^+y->a+b+2y[ab=(y[a+y[b)2.

(\

/、ab7

(x+y)—i—

若。+；=1,則有x+y=I*—a+b+^-+^>a+b+2-\[ab—(y[a+\[b)2.

注意1.使用基本不等式求最值時，“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不可.

注意2.“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立”的含義是％=6”是等號成立的充要條件，這一點至關(guān)重要，忽略它往

往會導(dǎo)致解題錯誤.

注意3.連續(xù)使用基本不等式求最值，要求每次等號成立的條件一致.

模擬訓(xùn)練

一、單選題

y1

1.(2223下?湖北?二模)若正數(shù)滿足x+2y=2,則上+一的最小值為()

Xy

A.72+1B.2&+1C.2D.1

【答案】A

【分析】利用基本不等式及不等式的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因為正數(shù)為，滿足無+2y=2,

所以主箸=1.

所以上+」+葉生―*巨+「行+1,

xyx2yx2y\x2y

fx2=2v2

當(dāng)且僅當(dāng)Jc，即x=26-2,y=2-夜時，取等號，

[x+2y=2

當(dāng)x=2亞-2,y=2-0時，5+；取得的最小值為0+1.

故選：A.

2Q

2.(2223?邯鄲?一模)已知a>0,b>0,E.a+b=2,則——+——的最小值是()

a+1b+1

9

A.2B.4C.-D.9

2

【答案】c

【分析】根據(jù)“乘1法”，運用基本不等式即可求解.

【詳解】依題意,

因為a+b=2,所以（。+1）+（6+1）=4,則

28

高+高中（“+1）+（"1---+----

Q+1Z?+1

1「2（6+1）8（＜2+1）1Q

--------------1-----------+10^-x（2x4+10）=1,

4Q+1。+1

當(dāng)且僅當(dāng).=:，b時，等號成立.

33

故選：C.

19

3.（22?23下?湖北?二模）已知〃〉0,40,且——+—7=1,那么。+人的最小值為（）

。+11+b

A.2^2-1B.2C.2A/2+1D.4

【答案】C

【分析】由題意可得a+6=（a+l+6+l）［-：+三］-2,再由基本不等式求解即可求出答案.

\a+l1+b）

12

【詳角軍】因為。＞0,b＞0,--+=1,

a+l1+b

則a+b=a+l+b+1—2=（〃+l+/7+l）（+-———2

=3+小±11+”1_2

1+Z?〃+1

=2（?±l）+^±l+i^/2（a±l）±tl+i=2^+i

1+Z?Q+1Y1+Z?。+1

2（。+1）_b+1［四

1+b〃+1a——

當(dāng)且僅當(dāng)<即2時取等.

121

-------1-------=Ib=y/2

+1I+Z?

故選：C.

4.（2223上?重慶?一模）已知。，b為非負實數(shù)，且2a+6=l,則生+匕1的最小值為（

a+1b

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】首先根據(jù)題意求出0Va<3,0<b<l,然后將原式變形得型+且1=二-+工一1,

最后利用1

2a+1ba+1b

的妙用即可求出其最值.

【詳解】2a+b=l,且。力為非負實數(shù)，bwO,

則a20,b>0

貝ij〃=1—2a>0,解得2a=1—解得OvbKl,

2/?/+I_2(Q+1)2—4(Q+1)+2尸+1

Q+1ba+1b

?八,27107c、212I1

=2(a+1)—4H--------\-b-\—=(2a+Z?—2)H--------1—=-------1------1

a+lba+lba+lb

21411「,cC、714J

------+-=--------+-=—[(2〃+2)+“?

a+lb2a+2b3L」2。+2b

4b2a+24+2.~2a+2)

5+-----------1-----------二3,

42a+2b2。+2b,

4b2a+2

當(dāng)且僅當(dāng)即2a+2=?,2a+0=1時，即6=1,。=0時等號成立,

2a+2b

故1=2,

a+lbmin

故選：B.

5.（22?23下?長沙?一模）已知2m=3〃=6,則根，〃不可熊滿足的關(guān)系是（)

A.m+n>4B.mn>4

C.nr+n2<8D.(m-l)2+(n-l)2>2

【答案】C

【分析】根據(jù)對數(shù)的運算判斷A,根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷BCD.

【詳解】-2?=3"=6,.-.m=log26>0,n=log,6>0,§P—+i=log62+log63=l,即

mn

m+n=nm(mw*,m>0,n>6.

對于A,m+n=mn<m+n，，根+〃>4成立.

I2J

對于B,mn=m+n>2y]mn,mn>4,成立.

對于C,m+n>4,/.16<(m+H)2=m2+n2+2mw<2(m2+n2),即病+/>8.故C錯誤;

對于D,(根—I)?+5—1)2=(根—〃K+2>2成立.

故選：C.

6.（22?23下?安康?二模）若。>0,b>0,且a+b=l,則下列說法正確的是（）

12、3公

A.—I-------N—I-，2B.a2+b2<—

ab+122

C.--------b>2-\/3—2D.2/+b>—

Q+18

【答案】A

【分析】由基本不等式可判斷A、B、C；因為24+b=2a2+(1-a)=2+-,再由二次函數(shù)的性質(zhì)

8

可判斷D.

121

【詳解】對于A：——I--------=—

ab+12

故A正確;

對于B：'：a+b<^2[a2+b2),：.a2+b2>^,故B錯誤;

等+(々+1)—222石一2,

對于C：-----b=----(1-Q)-

Q+1a+117

當(dāng)且僅當(dāng)〃=6-1時取等號，故C錯誤;

對于D：2a2+b=2a2+(l-a)=2[a-^-\故D錯誤.

I7L4j88

故選：A.

7.(2223?滁州?二模)若a,6,c均為正數(shù)，且滿足/+3a6+3ac+96c=18,則2a+36+3c的最小值是()

A.6B.4,\/6C.6>/2D.6*\/3

【答案】C

【分析】利用因式分解法，結(jié)合基本不等式進行求解即可.

【詳解】片+3仍+3ac+96c=18=>a(a+3b)+3c(a+3b)=18=>(a+3b)(a+3c)=18,

因為a,b,c均為正數(shù)，

所以有18=(a+36)(a+3c)w[a+36；a+3c[^>2a+3b+3c>6A/2,

當(dāng)且僅當(dāng)a+38=o+3c時取等號，即a+3b=30,b=c時取等號，

故選：C

8.(22如?湛江?二模)當(dāng)x,ye(O,y)時，4x：+?：y+4y恒成立,則機的取值范圍是()

'x+2ry+y4

A.(25,+co)B.(26,+co)C.[言，+°°)D.(27,+co)

【答案】A

【分析】將左側(cè)分式的分子因式分解成（先+■任+分）的形式，再利用均值不等式的結(jié)論進行計算即可

以得到結(jié)果.

(4x*2*+y+x2+4yY

【詳解】當(dāng)X，ye(O,a)時，4—+17x2y+4y2(4/+y)(Y+4y)J2J「25,

422222

x+2xy+y—(x+yf=(x+y)一4

當(dāng)且僅當(dāng)4/+＞=/+4＞即y=f時，等號成立,

4x4+17尤2y+4y2

所以的最大值為彳.

x4+2x2y+y2

rrt25

所以‘>三，即”>25.

44

故選：A.

9.（2223下?遼寧?二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種.利用圖形證明就是一種方式.現(xiàn)有如圖所示圖形,

在等腰直角三角形ABC中，點。為斜邊AB的中點，點。為斜邊上異于頂點的一個動點，設(shè)總＞=a,

BD=b,用該圖形能證明的不等式為

a+

A.^>4ab(a>0,b>0")B.~~~-(?>0,Z?>0)

c￡±^<^±Z(fl>o,z,>o)D.a2+&2>2y[ab^a>0,b>Q^

【答案】C

【分析】由一ABC為等腰直角三角形，得到。C=等，OD=\OB-BD\,然后在無△OCD中，得到CD判

斷.

【詳解】解：由圖知：OC=^AB=^,OD=\OB-BD\=^-b=,

22

在RtAOCD中,CD=^OC2+OD-=a+b

a+b

所以O(shè)CWOZ）,即<Ja7(a>0/>0)，

2

故選：C

12|x|

10.（2223下?荷澤?一模）設(shè)實數(shù)滿足x+y=l,y>0,xwO,則n+q的最小值為（）

國y

A.272-1B.2V2+IC.V2-1D.V2+1

【答案】A

【分析】分為x>0與x<0,去掉絕對值后，根據(jù)“1”的代換，化簡后分別根據(jù)基本不等式，即可求解得出

答案.

++2++2+1

【詳解】當(dāng)x>o時，n—=—-=-^^=2^+B

V2xLLL

當(dāng)且僅當(dāng)t=7,即工=應(yīng)-1，y=2-應(yīng)時等號成立，此時有最小值20+1;

當(dāng)x<o時，n+—=—+—=-+--i^2U-^-l=2^-l.

國>-xy—%y\-xy

當(dāng)且僅當(dāng)5即X=_1—應(yīng)，y=2+0時等號成立，此時有最小值2夜-1.

121x1「

所以，n+—的最小值為2近-1.

故選：A.

11.（22?23?江西?二模）實數(shù)。，b>0,滿足：a3+b3+7ab=9,則的范圍是（）

A.1用B.2,3C.（2,啊D.［2,啊

【答案】D

【分析】用立方和公式和完全平方公式將4+63用與他表示，再分離出他，使用基本不等式求解即

可.

【詳解】/+口+7而=9,（a+l）（〃2—"+（2）+7成=9,

.二（a+/?）［（〃+0）—3。。］+7。/?=9,（a+Z;y—3a6（a+6）+7aZ?=9,

〃“7—3（〃+〃）］=9-（a+Z?y,

丁〃，b>0,令〃+/?=/,則ab（7—3。=9—F

易知7-3r與9T3均不為0且符號相同，（7-3/）（9-?）>0,解得我或r>g.

（此時，可通過驗證〃=6=1時，/+63+7M=9滿足題意，a-\-b=2,結(jié)合選項確定選項D正確.）

又丁?！怠?，b>0,a-\-b=t>Q,"（7—3%）=9—r，

?,?由基本不等式，2zL=ab<(^\=匚，當(dāng)且僅當(dāng)，=。時，等號成立，

7-3.I2J4

32332

,產(chǎn)9-?_t(7-3r)-4(9-r)_z+7r-36>0

"7-7-3f-4(7-3r)4(7-3?)，

又：戶+7產(chǎn)-36=產(chǎn)―8+7產(chǎn)-28=(f-2)(/2+2r+4)+7(r+2)(?-2)=(r-2)(?2+9f+18),

〃一2)仔+%+⑻

-------7------r——->0,(當(dāng)t>0時，/+%+18>0),

4(7-3/)

77

解得24f<§,^2<a+b<-,當(dāng)且僅當(dāng)。=人=1時，等號成立.

???綜上所述，a+b的取值范圍是[2,班).

故選：D.

【點睛】易錯點睛：本題若忽視而(7-3。=9T3中的7-3?與9T3同號，直接使用基本不等式求解，就容

易錯解，而優(yōu)先考慮7-3f與9-/同號，并結(jié)合選項進行特值驗證，則可以很輕松的選出正確選項.

二、多選題

12.(2223?汕頭?三模)若。>0,6>0,。+6=4,則下列不等式對一切滿足條件恒成立的是()

A.y[ab<2B.y/a+y/b<2

C.—+b2>4D.-+->1

3ab

【答案】ACD

【分析】對于A,B,D,利用基本不等式即可求得答案；對于C,利用6=4-匹求出幺+爐==4々"3)2+4,

33

結(jié)合。的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得.

【詳解】對于A,a>0,b>0,a+b>2y^b,即疝《皇=2,當(dāng)且僅當(dāng)。=6=2時等號成立，所以A正

確；

對于B,a>0,b>0,+=a+b+14ab=4+2A/^<4+2x2=8,

又&+而>0,則&+揚W2拒，當(dāng)且僅當(dāng)。=6=2時等號成立，所以B錯誤；

對于C,a+b=4,b=4—a>0,所以0vav4,

則;+/=；+?一幻2=丫一8〃+16=g(。-3)2+424,并且。=3時等號成立.，所以C正確；

對于D,a>0,b>0,a+b=4,所以"2=1,

4

11/11、a+b=IX（c2+b+a、）1X（小2+2Jb。aQ）、=?lf

貝°一+不=（_+：）?---4ab-4^~~

abab4ab

當(dāng)且僅當(dāng)2=：,即a=b=2時等號成立，所以D正確.

ab

故選：ACD.

12

13.（22?23?白山?一模）若正數(shù)”，人滿足一+7=1,貝IJ（）

ab

21211

A.ab48B.-----1-----22C.—F—<—D.2a+Z?28

a—1h—2ab2

【答案】BD

【分析】由不等式的性質(zhì)和基本不等式，驗證各選項是否正確.

【詳解】因為a>0,b>0,所以工+入2戶,所以2、"Ml,則"28,當(dāng)且僅當(dāng)。=2,6=4時，等號

abVabyab

成立，故A錯誤;

因為工+?=1,所以工=一=竽，則士=?,同理可得±=2,因為2+隆2、"=2,所以

ababbb-2ba-\.aab\ba

-A+T^-=-+7>2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時，等號成立，則B正確；

a-1b-2ab

因為0<]2=l-上1<1,所以o<1；<：1,所以一i:<_iJ<0,所以2_+1=2（2、+工1=321>[,則C錯誤;

bab22babyb）bb2

因為2a+6=（2a+6）[工+2[=2+?+色+224+2、&?蟲=8,當(dāng)且僅當(dāng)a=2,6=4時，等號成立，所以D

\ab）ab\ab

正確.

故選：BD

14.(2223?惠州?一模)若6。=2,6"=3,則()

b1

A.—>1B.ab<—

a4

11

C.Q9+b9<—D.b—a>一

25

【答案】ABD

【分析】利用條件進行指對數(shù)轉(zhuǎn)換，得到人=log63,Q=log62,從而有a+b=l,再對各個選項逐一分析判斷

即可得出結(jié)果.

【詳解】因為6"=3,6"=2,所以6=log63,a=log62,貝指+6=1,

b10g,3,-1cr

選項A,-=-----=log23>log22=l,故A正確；

alog62

選項B,因為a+6=log63+log62=k>g66=l,且a>0,b>0,a",所以ab<(g^)2=:,故B正確；

選項C,因為/+廿=(&+6)2-2ab=l-2">l-2xLL故C錯誤；

42

3243

選項D,因為5僅-4)=51086/=1086q>10866=1,故D正確，

故選：ABD.

15.(2223下?煙臺?三模)己知"。/>0且4。+6=2,則()

A.協(xié)的最大值為3B.2&+而的最大值為2

C.2+￡的最小值為6D.4"+2"的最小值為4

ab

【答案】BC

【分析】利用基本不等式可判斷AB；先將2+/化為2+再妙用“1”可判斷C；取特值可判斷D.

aba2b4

【詳解】對于A,因為2=4〃+Z?22A/4a/?=,所以。人工1,當(dāng)且僅當(dāng)Q==1時，等號成立，故A錯

誤；

對于B,因為4。+人24^^^，所以8。+2/?24?^+4〃+6=（26+赤）2,

即(26+揚)2(4,26+加42,當(dāng)且僅當(dāng)Q=5,力=1時，等號成立，故B正確;

對于C,由43=2得。=汨,所以>

足421121—7、1172b2。、、1/7c不、25

因為一+打=彳（一+77）（4。+6）=7（彳+—+—）>-（—+2y/4）=—

a2b2a2b22ab224f

所以2+；=2+：一：2與一：=6,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=]時，等號成立，故C正確;

aba2b4445

對于D,令a=；,b=|,則￥+2嚏3+21=2x4久4,所以4"+2"的最小值不是4,D錯誤.

故選：BC.

16.（2223下?江蘇?二模）已知a>0,b>0,且"+8=1,則（）

A.a+4b<y[2B.；<2"一礪<2

2

C.log2a+log,4b>-lD.a-b>-l

【答案】ABD

【分析】對于A利用基本不等式可判斷；對于B利用不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷;

對于C可用特殊值法判斷；對于D直接根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷即可.

【詳解】a>0,b>0,且"+b=l,，l=a2+bN2a揚，

2（a?+6）2（a+9）,（。+仞2至2,

當(dāng)且僅當(dāng)”=靠=包取等號，故A正確；

2

a>Ofb>0,且〃2+b=i,

0<Q<LO<〃<1,二.一1<〃一G<1,/.；<2"一揚<2,故B正確；

則/一匕>_〃>_1,故D正確；

取0，斯=；,則logza+log?北=一|<一1,故C錯誤.

故選：ABD.

17.（22?23?濟寧?二模）已知根>0,〃>0,且機+〃=2w,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.mn>\B.m+n<V2C.r^+rv>2D.2m+n>3+2y/2

【答案】AC

【分析】利用基本不等式可得加21,可判斷A,C選項,特殊值法判斷B,D選項錯誤.

【詳解】因為機>0,n>0,m+n=2mn,

2mn=m+n>2y1mn,所以zmNl,當(dāng)且僅當(dāng)加=〃=1等號成立，故A正確，

當(dāng)根=〃=1,機+幾=23,則加+幾=1+1>a，故B錯誤；

因為zmiNl,所以冽之+/之2〃機N2,故C正確；

當(dāng)根=〃=1時，則2根+〃=3<3+2血，故D錯誤；

故選：AC.

18.（22?23上嚀波?一模）已知正實數(shù)〃、匕滿足儲+〃—（々+5）+"=1,則（）

A.。+人的最大值為2B.。+/,的最小值為匕且

2

C.4+匕2的最小值為2D./+戶的最大值為3

【答案】AC

【分析】利用基本不等式可得出關(guān)于的不等式，解出的取值范圍，可判斷AB選項；由已知可得

出?2+b2=-（。+與2+2（。+6）+2,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合。+6的取值范圍，可得出/+b-的取值范

圍，可判斷C