等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

【考試要求】1.掌握等式性質(zhì)2會比較兩個數(shù)的大小.3.理解不等式的性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用.

■落實主干知識

佚口識梳理】

1.兩個實數(shù)比較大小的方法

'a—b>Q0a>b,

作差法，。一b=O0a=b，（0,Z?ER）

.a—b<Q<^a<b.

2.等式的性質(zhì)

性質(zhì)1對稱性：如果a=6,那么b=a；

性質(zhì)2傳遞性：如果a=b,b=c,那么a=c；

性質(zhì)3可加（減）性：如果。=6,那么。士c=6士c；

性質(zhì)4可乘性：如果a=6,那么ac=6c；

-ab

性質(zhì)5可除性：如果a=6,cWO,那么-=-.

CC

3.不等式的性質(zhì)

性質(zhì)1對稱性：a>b0b<a；

性質(zhì)2傳遞性：a>b,b>c=>a>c；

性質(zhì)3可加性：a>b<^a+c>b+c；

性質(zhì)4可乘性：a>b,c>O=>ac>bc；a>b,c<O=>ac<bc；

性質(zhì)5同向可加性：a>b,c>d=>a-\-c>b-\-d；

性質(zhì)6同向同正可乘性：a>b>0,c>d>O=>ac>bd；

性質(zhì)7同正可乘方性：a>b>O=>an>bn（nN,〃22）.

【常用結(jié)論】

一11

1.若ab>O且a>b<^>—<—.

fab

bb~\~m

2.若Q>6>0,加>0=Y~1—；

aa~rm

bb~\~m

若b>a>0,m>0=>—>~'—.

aa+m

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

（1）兩個實數(shù)a,b之間，有且只有a=b9三種關(guān)系中的一種.（V）

b

(2)若一>1,則加u(X)

a

⑶若貝UN>y2.(x)

11

(4)若一>-,則b<a.(X)

ab

【教材改編題】

1.如果碇>A，那么下列不等式中，一定成立的是()

A.ac2>3bc2B.a>b

ab

C.a+c>b+cD—>—

cc

答案D

解析若c<0,貝！]所以QC2Vbe2,Q+C〈Z?+C,A,B,C均錯；

debeab

因為ac>6c,貝1]°2>0,因為ac>bc,則一;>一,即-故D正確.

C2c2CC

2.己知M=N-3X,N=—3N+X—3,則7，N的大小關(guān)系是

答案M>N

解析?/M-N^(x2-3x)-(-3x2+x-3)

=4X2—4X+3=(2X—l)2+2>0,

：.M>N.

a

3.若1<戰(zhàn)2,2<*3,貝卜的取值范圍是______.

b

答案(I.1)

解析由2vb<3,

111

得十一，

3b2

又l<a<2,

111

1X—<67X—<2X—,

3b2

1a

即_<1.

3b

■探究核心題型

題型一數(shù)(式)的大小比較

例1(1)已知0GR,〃=(2。+1)⑦-3),N=(p—6)g+3)+10,則M,N的大小關(guān)系為()

A.M<NB.M>N

C.MWND.M^N

答案B

解析因為M—N=(2〃+l)g—3)—[①-6)偽+3)+10]=夕2—22+5=0一1尸+4>0,所以

M>N.

(2)若Ab>l,P=a?,Q=be%則尸，0的大小關(guān)系是()

A.P>QB.P=Q

C.P<QD.不能確定

答案C

eb

Paeb

解析p9。作商可得一=一=2,

Qbea空

a

1)

令加)=一，則/(x)=-----;—，

Xxz

QK

當(dāng)X>I時，f(x)>o,所以小)=—在(1,+8)上單調(diào)遞增，

X

g/jQCI

因為a>b>l,所以:<一,

ba

eb

ebeaP

又:>0,->0,所以一=2<1,所以尸<0.

ba0G

a

思維升華比較大小的常用方法

⑴作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結(jié)論.

(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論.

(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知a,b為不相等的實數(shù)，記〃=層一h，N=ab-b2,則/與N的大小關(guān)

系為()

A.M>NB.M=N

C.M<ND.不確定

答案A

解析因為M~N=(a2—ab)一(ab—b2)=(Q—b)2,

入a#b,所以(〃一6)2>o,即

e20211e2022^-|

(2)已知,N=——~,貝IJM,N的大小關(guān)系為________.

e2022~r1e，十1

答案M>N

e2021-|-|e2022-|-|

解析方法-M—N=-------------------------

e2022+le2023+l

_(e2021+l)(e2023+l)-(e2022+1)2

一(e2022+l)(e2023+l)

Q2021e2023—2e2022

-(e2022+l)(e2023+l)

e2021(e—I)2

=------------------------->0.

(e2022+l)(e2023+l)

：.M>N.

6^+1

方法二令危)

i十1

—(6^+1+1)+1——]]一一

e*+1+1ee*+1+1)

顯然於)是區(qū)上的減函數(shù)，

：.fl2021)次2022),即M>N.

題型二不等式的性質(zhì)

例2(1)已知0>6>c>0,下列結(jié)論正確的是()

A.2a<b~\~cB.a(b—c)>b(a—c)

C.------>------D.(。一。)3>(6—c)3

a-cb~c

答案D

解析*.*a>b>c>0,2a>b+c,故A錯誤；

取a=3>b=2>c=l>0,則a(b—c)=3<b(a—c)=4,故B錯誤;

由a>b>c>0可知，Q—c>b—c>0,

11

------<------,(a—c)3>(b—c)3,故C錯誤，D正確.

a-cb-c

(2)(多選)若c<d<0,則下列結(jié)論正確的是()

ab

A.ad>bcB.一-I—<0

dc

C.a-c>b~dD.a(d~c)>b(d—c)

答案BCD

解析因為〃>0>b,c<d<09所以qd<0,bc>0,所以故A錯誤；

因為0>b>~a9所以a>—b>0,因為c<d<0,

ac+bdab

所以一c>—d>0,所以a(—c)>(—6)(—d),所以Qc+bd<0,cd>0,所以------=—I—<0,故B

cddc

正確;

因為所以一c>—d,因為所以Q+(—c)>b+(—d),即Q—c>b—d,故C正確；

因為a>O>b,d-c>0,所以a(d-c)>b(d—c)9故D正確.

思維升華判斷不等式的常用方法

(1)利用不等式的性質(zhì)逐個驗證.

(2)利用特殊值法排除錯誤選項.

(3)作差法.

(4)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性.

跟蹤訓(xùn)練2(1)十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等

號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用和符號，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等

號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若Q,b,cER,則下列命題正確的是()

A.若a>b,則ac2>bc2

ab

B.^―>—,貝!Ja<b

c1c1

bb~\~c

C.若a<b<c<0,貝!Jy~'—

aa~rc

D.若a>b,貝1JQ2?2

答案C

解析對于A選項，當(dāng)。=0時不滿足，故錯誤;

ab

對于B選項，由不等式性質(zhì)知，三>三兩邊同時乘以。2>0,可得Q>b,故錯誤；

C1C1

,,且，bb-\~c

對于C選項，若a<b<c<0,則a+c<0,b—6z>0,(b—a)c<0,a(a+c)>0,故------

aa~TC

b(a+c)-Q(b+c)(b~d)cbb~\-c

-一—一^0,即~<丁，故正確；

6Z(6z+c)aa-TC

對于D選項，取Q=—1,b=-2,可得42Vb2,故錯誤.

11

(2)(多選)若YY0,則下列不等式正確的是()

ab

11

A—~<—B.\a\+b>0

a-rbab

11

C.a-->b----D.Ina2>\nb1

ab

答案AC

解析由yyO,可知加S〈0.

ab

11

A中，因為Q+6<0,ab>0,所以一■<0,—>0.

a^~bab

11

則——,故A正確；

a-vbab

B中，因為b<Q〈O,所以一6>—4>0.

故一6>同,即同+b<0,故B錯誤;

11

C中，因為加ZVO,又YYO,

ab

1111

則—>—>0,所以q—>b—,故C正確；

abab

D中，因為b<a<0,根據(jù)y=N在(一8,0)上單調(diào)遞減，可得片〉。2〉。，而y=lnx在定義域

(0,+8)上單調(diào)遞增，所以lnZ>2>lna2,故D錯誤.

題型三不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例3⑴已知一1<%<4,2勺<3,則x—>的取值范圍是,3x+2y的取值范圍是

答案(-4,2)(1,18)

解析,?*—l〈x<4,2勺<3,—3<-y<—2,

—4<x~y<2.

由—l<x<4,2<y<3,

#-3<3x<12,4<2y<6,

.,.l<3x+2y<18.

延伸探究若將本例⑴中條件改為一l<x+y<4,2vx—y<3,求3x+2y的取值范圍.

解設(shè)3x~\~2y=m(x+^)~\~n(x—y),

'5

m=二,

加+〃=3,2

則=

m~n291

n——

、2,

51

即3x+2y=^x+y)+^(x-y),

又—1<x+j<4,2<x-y<3,

323

即一不3%+2產(chǎn)萬，

I323'

???3x+2y的取值范圍為［―鼻，—

(2)已知3<。<8,4<6<9,貝膜的取值范圍是________

b

2

答案（?1

解析V4<Z><9,

964

又3<tz<8,

1a11a

-X3<—<—X8,即_<2.

9b43b

思維升華求代數(shù)式的取值范圍，一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求

得整體范圍.

跟蹤訓(xùn)練3⑴已知1MW2,—1W6W4,則。一2b的取值范圍是（）

A.[-7,4]B.[-6,9]C.[6,9]D.[-2,8]

答案A

解析因為一1W6W4,

所以一8W—2bW2,

由得一7WQ—26W4.

（2）已知實數(shù)a,b,c,滿足Q>b>c,且a+b+c=O,那么-的取值范圍是.

a

c1

答案一2<Y——

a2

解析由于a>b>c,且Q+6+C=0,

所以〃>0,c<0,b=—a—c,-a—c<a,2a>—c,—>—2,

c1

-a—c>c,-a>2c,—<--,

a2

a2

課時精練

立基礎(chǔ)保分練

1.（2023?長春模擬）已知“>0,b>0,Mfa+b,則M與N的大小關(guān)系為（）

A.M>N

B.M<N

C.MWN

D.M,N大小關(guān)系不確定

答案B

解析Afi—乃=(〃+6)—(a-\~b-\-2y/~ab)

=-2y[ab<0,

：.M<N.

11

2.已知q,b￡R,若a>b,y-同時成立，則()

ab

A.ab>0B.ab<0

C.a+b>0D.a+b<0

答案A

11

解析因為一<：,

ab

11b~a

所以-=——<0

abab

又Q>6,所以所以ab>0.

3.(多選)已知a<b<0,則下列結(jié)論正確的是()

11

A.b2<abB.Y-

ab

C.2a>2bD.ln(l-tz)>ln(l-Z))

答案AD

解析對于A,因為a<6<0,所以b—Q>0,貝UZ>2—Qb=b(b—a)v0,RPb2<ab,故選項A正確

ab\\

對于B,因為QV/KO,所以〃b>0,則—<—,即y-,故選項B錯誤；

ababba

對于C,因為。<b<0且函數(shù)>=2、是增函數(shù)，所以2y2\故選項c錯誤；

對于D,因為qvbvO,所以1—Q>1—b>l,又因為函數(shù)y=lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以

ln(l-a)>ln(l-i),故選項D正確.

4.若一兀VQ<%兀，則a一』的取值范圍是()

A.一2兀<(/一夕<2兀B.0<a一4<2兀

C.—2兀<。一￡<0D.{0}

答案C

角翠析兀于〈兀，

一兀<一夕<兀,

又一兀<。<兀,

—2jt<a一萬<2兀,

又a<B，:.a_B<0,

—2n<a—胃<0.

5.已知x,且％>y>0,貝!1()

A.cos%—cosj>0

B.cosx+cosy>0

C.Inx-Inj；>0

D.Inx+lnj;>0

答案C

解析對于A,y=cosx在(0,+8)上不是單調(diào)函數(shù)，故cosx—cosy>0不一定成立，A錯誤

71、、、

對于B,當(dāng)工=兀，時，cosx+cosy=-1<0,B不一定成立；

對于C,y=lnx在(0,+8)上為增函數(shù)，若％*>0,貝!Jlnx>lny,必有Inx—lny>0,C正確;

11一

對于D,當(dāng)x=l,y=a時，lnx+lny=ln10,D不一定成立.

6.(多選)(2023?汕頭模擬)已知a,6,c滿足c〈qvb,且qc〈0,那么下列各式中一定成立的是

()

A.ac(a-c)>0B.c(b-a)<0

C.cb2<ab2D.ab>ac

答案BCD

解析因為Q,b,c滿足cVQ〈b,且QC〈0,

所以c<0,6z>0,b>0,a-c>0,b—a>0,

22

所以QC(G—c)<0,c(b—d)<09cb<ab,ab>ac.

7.(多選)設(shè)a,b,c,d為實數(shù)，且a>b>0>c>d,則下列不等式正確的有()

A.c2<cdB.a~c<b—d

cd

C.ac<bdD.------->0

ab

答案AD

解析因為a>b>0>c>d,

所以a>b>0fi>c>d,

對于A,因為0>c>d,由不等式的性質(zhì)可得02<〃，故選項A正確；

對于B,取。=2,b=l,c=—l,d=-2,

則a—c=3,b—d=3,

所以a—c=b—d,故選項B錯誤；

對于C,取q=2,b=l,c=—1,d=~2,

則ac=-2,bd=-2,

所以ac=bd,故選項C錯誤；

對于D,因為a>b>Q,d<c<0,則ad<bc,

cd

所以一>7,

ab

故---->0,故選項D正確.

ab

8.（多選）（2022?沈陽模擬）已知非零實數(shù)a,6滿足0>以+1,則下列不等關(guān)系一定成立的是（）

A.a2>b2+]B.2a>2b+1

a

C.a2>4bD.->b+l

b

答案ABC

解析對于非零實數(shù)a,6滿足心向+1,

則小>他+1）2,

即02>爐+2回+故A一定成立；

因為a>|臼+1》6+1=2。>2"1,故B一定成立；

又（回一1）220,即—I*瓦

所以〃>4向》46,故C一定成立；

令a=5,6=3,滿足0>向+1,

a5

此時-=Yb+l=4,故D不一定成立.

b3

9.已知M=N+y2+z2,N=2x+2y+2z—兀，則MN.（填或“=”）

答案>

解析Af—?V=x2+y2+z2—2x—2j—2z+?t

=（x-l）2+（y-l）2+（z-1）2+兀-32兀一3>0,

故M>N.

10.能夠說明“設(shè)a,b,c是任意實數(shù).若落兒*,則a+b>c”是假命題的一組整數(shù)a,

b,c的值依次為.

答案一3,一1,0（答案不唯一）

解析令a=-3,b=—\,c=0,則°2>62>。2,

此時a-\-b=—4<0,所以a-\-b>c是假命題.

11.若l<a<3,—4<B<2,則2a+網(wǎng)的取值范圍是.

答案（2,10）

解析?：—4<廣2,

；.0W網(wǎng)<4,

又l<a<3,

/.2<2a<6,

；.2<2a+拗<10.

12.e21?兀e與ee?兀兀的大小關(guān)系為

答案e71,兀eVee?兀兀

e

解析

ee?兀兀兀Le血

e

又0vYl,Ov兀一e<l,

71

e兀?兀e

即----<1,即e71?兀e〈ee?兀7t.

ee-7in

*合提升練

、/Ina\

13.已知0<a〈b〈l,設(shè)加=bln〃，n=alnb,2=ln-,則m,n,p的大小關(guān)系為（)

\lnbI

A.m<n<pB.n<m<p

C.p<m<n