猜想05概率初步（?？急厮?0題9種題型專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）

一.隨機(jī)事件（共1小題）

1.（2022秋?保德縣校級(jí)期末）下列事件是必然事件的是（）

A.刻舟求劍

B.兩個(gè)不同溫度的物體靠在一起，發(fā)生熱傳遞

C.水溶解金屬

D.受精卵發(fā)生了基因突變

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可.

【解答】解：A.刻舟求劍，是不可能事件，不符合題意；

8、兩個(gè)不同溫度的物體靠在一起，發(fā)生熱傳遞，是必然事件，符合題意；

C、水溶解金屬，是不可能事件，不符合題意；

。、受精卵發(fā)生了基因突變，是隨機(jī)事件，不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生

的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下,

可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

可能性的大小（共2小題）

2.（2022秋?惠安縣期末）口袋中放有3只紅球和11只黃球，這兩種球除顏色外沒(méi)有任何區(qū)別，隨機(jī)從口

袋中任取一只球，取得黃球的可能性的大小是（）

A.HB.C.2D.且

14141111

【分析】計(jì)算出取得黃球的概率即可.

【解答】解：取得黃球的概率=」1_=旦，

3+1114

所以隨機(jī)從口袋中任取一只球，取得黃球的可能性的大小里.

14

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了可能性的大?。和ㄟ^(guò)比較概率的大小確定可能性的大小.

3.（2022秋?宜陽(yáng)縣期末）甲袋中放著22個(gè)紅球和8個(gè)黑球，乙袋中放著100個(gè)紅球、40個(gè)黑球和5個(gè)白

球.三種球除了顏色以外沒(méi)有任何區(qū)別.兩袋中的球都已經(jīng)各自攪勻，從袋中任取1個(gè)球，如果你想取

出一個(gè)黑球，選哪個(gè)袋成功的機(jī)會(huì)大呢？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】直接求出概率比較即可.

【解答】解：從乙袋中取出一個(gè)球是黑球的機(jī)會(huì)大.

原因如下：從甲袋中取出一個(gè)球是黑球的概率是且；

30

從乙袋中取出一個(gè)球是黑球的概率是4°=8.

14529

???—8/8>

3029

，從乙袋中取出一個(gè)球是黑球的機(jī)會(huì)大.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查可能性的大小，如果一個(gè)事件有"種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件/

出現(xiàn)加種可能，那么事件/的概率

n

三.概率的意義（共2小題）

4.（2022秋?新鄉(xiāng)期末）下列說(shuō)法正確的是（）

A.若你在上一個(gè)路口遇到綠燈，則在下一路口必遇到紅燈

B.某籃球運(yùn)動(dòng)員2次罰球，投中一個(gè)，則可斷定他罰球命中的概率一定為50%

C.“明天我市會(huì)下雨”是隨機(jī)事件

D.若某種彩票中獎(jiǎng)的概率是1%,則買(mǎi)100張?jiān)摲N彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)

【分析】根據(jù)概率的定義進(jìn)行判斷.

【解答】解：/、若你在上一個(gè)路口遇到綠燈，則在下一路口不一定遇到紅燈，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

8、某籃球運(yùn)動(dòng)員2次罰球，投中一個(gè)，這是一個(gè)隨機(jī)事件，但不能斷定他罰球命中的概率一定為50%,

故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、明天我市會(huì)下雨是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)正確；

D,某種彩票中獎(jiǎng)的概率是1%,買(mǎi)100張?jiān)摲N彩票不一定會(huì)中獎(jiǎng)，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】考查了概率的意義.正確理解概率的含義是解決本題的關(guān)鍵.

5.（2023春?清苑區(qū)期末）已知拋一枚均勻硬幣正面朝上的概率為工，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

2

A.通過(guò)拋一枚均勻硬幣確定籃球賽中誰(shuí)先發(fā)球是公平的

B.大量重復(fù)拋一枚均勻硬幣，出現(xiàn)正面朝上的頻率穩(wěn)定于上

2

C.連續(xù)拋一枚均勻硬幣10次可能都是正面朝上

D.連續(xù)拋一枚均勻硬幣2次必有1次正面朝上

【分析】根據(jù)概率的意義，結(jié)合具體的問(wèn)題情境綜合進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：拋一枚均勻硬幣正面朝上的概率為工，就是經(jīng)過(guò)大量重復(fù)的實(shí)驗(yàn)，拋一枚均勻硬幣正面朝

2

上的頻率越穩(wěn)定在上左右，因此，

2

A.通過(guò)拋一枚均勻硬幣確定籃球賽中誰(shuí)先發(fā)球是公平的，這是公平的，因此選項(xiàng)/不符合題意；

B.大量重復(fù)拋一枚均勻硬幣，出現(xiàn)正面朝上的頻率穩(wěn)定于工，這種說(shuō)法是正確的，因此選項(xiàng)3不符合

2

題意；

C.連續(xù)拋一枚均勻硬幣10次可能都是正面朝上，是可能存在的，因此選項(xiàng)C不符合題意；

D.連續(xù)拋一枚均勻硬幣2次必有1次正面朝上，這是不正確的，因此選項(xiàng)。符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率與概率，理解概率的意義，掌握頻率與概率的關(guān)系是正確判斷的前提.

四.概率公式（共5小題）

6.（2023秋?瑞安市期末）如圖/是某公園的進(jìn)口，B,C,。是三個(gè)不同的出口，小明從/處進(jìn)入公園，

4323

【分析】列出所有等可能結(jié)果，從所有結(jié)果中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可.

【解答】解：從/口進(jìn)入，出口有3、C、。三種情況，其中從C口出的只有1種結(jié)果，

...從2、C、。三個(gè)出口中恰好在C出口出來(lái)的概率為工，

3

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率公式，找到所有等可能的結(jié)果"，再?gòu)闹羞x出符合事件/或3的結(jié)果數(shù)目〃"

然后利用概率公式求事件/或2的概率.

7.（2022秋?合川區(qū)期末）在一個(gè)不透明袋子中有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球，這些球除顏色外無(wú)其他差別.從袋

子中隨機(jī)取出1個(gè)球，則取出紅球的概率是_3_.

-5-

【分析】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是

其發(fā)生的概率.

【解答】解：???在一個(gè)不透明袋子中有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球，共5個(gè)球,

...取出紅球的概率是旦.

5

故答案為：旦.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有〃種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件/出

現(xiàn)機(jī)種可能，那么事件/的概率尸（/）=螞.

n

8.（2022秋?青羊區(qū)期末）一個(gè)密碼鎖的密碼由四個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字都是0?9這十個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，

只有當(dāng)四個(gè)數(shù)字與所設(shè)定的密碼相同時(shí)，才能將鎖打開(kāi)，粗心的小張忘記了后兩個(gè)數(shù)字，他一次就能打

開(kāi)該鎖的概率是

100

【分析】計(jì)算出數(shù)字的總共組合有幾種，其中只有一種能打開(kāi).利用概率公式進(jìn)行求解即可.

【解答】解：因?yàn)槊艽a由四個(gè)數(shù)字組成，如百位和千位上的數(shù)字已經(jīng)確定，假設(shè)十位上的數(shù)字是0,則

個(gè)位上的數(shù)字即有可能是0-9中的一個(gè)，要試10次，同樣，假設(shè)十位上的數(shù)字是1,則個(gè)位上的數(shù)字

即有可能是0-9中的一個(gè)，也要試10次，依此類(lèi)推，要打開(kāi)該鎖需要試100次，而其中只有一次可以

打開(kāi)，所以一次就能打開(kāi)該鎖的概率是」一；

100

故答案為：」一.

100

【點(diǎn)評(píng)】本題考查隨機(jī)事件概率的求法：如果一個(gè)事件有〃種可能，而且這些事件的可能性相同，其中

事件/出現(xiàn)"，種可能，那么事件/的概率尸（/）=旦.

n

9.（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)期末）如圖是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤(pán)，被分成12個(gè)相同的小扇形.若把

某些小扇形涂上紅色,使轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí)，指針指向紅色的概率是工,則涂上紅色的小扇形有4個(gè).

3

【分析】先根據(jù)題意得出指針指向紅色的概率是工，再根據(jù)有12個(gè)等分區(qū)，結(jié)合概率公式即可求出答案.

3

【解答】解：12XL=4（個(gè)）.

3

故涂上紅色的小扇形有4個(gè).

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了概率公式，掌握概率公式的求法即概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比是解題的關(guān)鍵,

是一道?？碱}型.

10.（2022秋?延邊州期末）一個(gè)批發(fā)商從某服裝制造公司購(gòu)進(jìn)了50包型號(hào)為L(zhǎng)的襯衫，由于包裝工人的疏

忽，在包裹中混進(jìn)了型號(hào)為M的襯衫，每一包中混入的M號(hào)襯衫數(shù)見(jiàn)下表：

"號(hào)襯衫數(shù)0145791011

包數(shù)7310155433

一位零售商從50包中任意選取了一包，求下列事件的概率：

（1）包中沒(méi)有混入的河號(hào)襯衫；

（2）包中混入的M號(hào)襯衫數(shù)不超過(guò)7；

（3）包中混入的M號(hào)襯衫數(shù)超過(guò)10.

【分析】列舉出符合題意的各種情況的個(gè)數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可.

【解答】解：（1）沒(méi)有混入的M號(hào)襯衫的包數(shù)是7包，所以P（沒(méi)有混入的M號(hào)襯衫）=工；

50

（2）混入的"號(hào)襯衫數(shù)不超過(guò)7的包數(shù)是40包，所以P（混入的"號(hào)襯衫數(shù)不超過(guò)7）=也4；

505

（3）混入的M號(hào)襯衫數(shù)超過(guò)10的包數(shù)是3包，所以P（混入的M號(hào)襯衫數(shù)超過(guò)10）=上-.

50

【點(diǎn)評(píng)】如果一個(gè)事件有〃種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件/出現(xiàn)加種可能，那么事件

/的概率尸（/）=螞.根據(jù)概率公式分別計(jì)算即可.

n

五.幾何概率（共4小題）

11.（2022秋?仙桃校級(jí)期末）如圖，是由7個(gè)全等的正六邊形組成的圖案，假設(shè)可以隨機(jī)在圖中取點(diǎn)，那

么這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是（）

A.AB.3c.AD.3

2774

【分析】先設(shè)每個(gè)正六邊形的面積為X,則陰影部分的面積是4x,得出整個(gè)圖形的面積是7x,再根據(jù)幾

何概率的求法即可得出答案.

【解答】解：先設(shè)每個(gè)正六邊形的面積為X,

則陰影部分的面積是4x,得出整個(gè)圖形的面積是7x,

則這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是絲=9.

7x7

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來(lái)，一般用陰影區(qū)域表示所

求事件（N）；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件CA）發(fā)生的概率.

12.（2022秋?潼南區(qū)期末）一個(gè)小球在如圖所示的地板上自由滾動(dòng)，并隨機(jī)停在某塊方磚上.如果每一塊

方磚除顏色外完全相同，那么小球最終停留在黑磚上的概率是（）

【分析】根據(jù)幾何概率的求法：最終停留在黑色的方磚上的概率就是黑色區(qū)域的面積與總面積的比值.

【解答】解：觀(guān)察這個(gè)圖可知：黑色區(qū)域（5塊）的面積占總面積（9塊）的2，

9

則它最終停留在黑磚上的概率是立.

9

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來(lái)，一般用陰影區(qū)域表示所

求事件（N）；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件（A）發(fā)生的概率.

13.（2022秋?江陰市期末）一只蜘蛛爬到如圖所示的一面墻上，停留位置是隨機(jī)的，則停留在陰影區(qū)域上

的概率是1.

【分析】設(shè)每小格的面積為1，易得整個(gè)方磚的面積為9,陰影區(qū)域的面積3,然后根據(jù)概率的定義計(jì)算

即可.

【解答】解：設(shè)每小格的面積為1,

整個(gè)方磚的面積為9,

陰影區(qū)域的面積為3,

，最終停在陰影區(qū)域上的概率為：3=工.

93

故答案為：1.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求幾何概率的方法：先利用幾何性質(zhì)求出整個(gè)幾何圖形的面積小再計(jì)算出其中某

個(gè)區(qū)域的幾何圖形的面積m,然后根據(jù)概率的定義計(jì)算出落在這個(gè)幾何區(qū)域的事件的概率=圾.

n

14.（2022秋?城廂區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)。為正方形的中心，點(diǎn)E、尸分別在正方形的邊上，且/￡。尸=

90。，隨機(jī)地往圖中投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率是

4

【分析】米粒落在圖中陰影部分的概率就是陰影部分的面積同正方形總面積的比.

【解答】解：設(shè)正方形為48CD,故點(diǎn)。作08,3c于點(diǎn)X,作。G,48于點(diǎn)G,

VZEOG+ZGOF^90°,ZGOF+ZFOH=90°,

ZEOG=ZHOF,

；NOGE=NOHF=9Q°,OH=OG,

:.△OGE^XOHF（AAS）,

??S^OGE—S/\OHF^

陰影=S正方形正方形48cD，

4

在正方形中，滿(mǎn)足點(diǎn)E、尸分別在正方形的邊上（此處采用極限思想），且/E。b=90°的圖形如圖所示:

因此￡0F的面積是正方形總面積的工，因此米粒落在圖中陰影部分的概率是工.

44

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了幾何概率問(wèn)題，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比，證明三角

形全等是本題解題的關(guān)鍵.

六.列表法與樹(shù)狀圖法（共3小題）

15.（2022秋?高青縣期末）為解決“在甲、乙兩個(gè)不透明口袋中隨機(jī)摸球”的問(wèn)題，小明畫(huà)出如圖所示的

樹(shù)狀圖，已知這些球除顏色外無(wú)其他差別，根據(jù)樹(shù)狀圖，小明從兩個(gè)口袋中各隨機(jī)取出一個(gè)球，其中取

出的球是一個(gè)紅球和一個(gè)白球的結(jié)果共有（）種.

甲紅球白球

乙紅球白球黑球紅球白球黑球

A.1B.2C.3D.4

【分析】利用題中的樹(shù)狀圖找出一個(gè)紅球和一個(gè)白球的結(jié)果數(shù)即可.

【解答】解：樹(shù)狀圖為：

開(kāi)始

甲紅球白球

/K/1\

乙紅球白球黑球紅球白球黑球

共有6種等可能的結(jié)果，其中取出的球是一個(gè)紅球和一個(gè)白球的結(jié)果共有2種.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法或樹(shù)狀圖展示所有可能的結(jié)果求出"，再?gòu)闹羞x出

符合事件/或2的結(jié)果數(shù)目m,然后利用概率公式求出事件/或2的概率.

16.（2022秋?溫州期末）如圖，一只松鼠先經(jīng)過(guò)第一道門(mén)CA,8或C）,再經(jīng)過(guò)第二道門(mén)（D或E）出去,

則松鼠走出籠子的路線(xiàn)是“先經(jīng)過(guò)/門(mén)，再經(jīng)過(guò)E門(mén)”的概率是（）

【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖列出所有等可能結(jié)果，從中找到松鼠走出籠子的路線(xiàn)是“先經(jīng)過(guò)/門(mén)，再經(jīng)過(guò)E門(mén)”

的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可.

【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

共有6種等可能的結(jié)果，其中松鼠走出籠子的路線(xiàn)是“先經(jīng)過(guò)/門(mén)，再經(jīng)過(guò)E門(mén)”的只有1種結(jié)果,

所以松鼠走出籠子的路線(xiàn)是“先經(jīng)過(guò)N門(mén)，再經(jīng)過(guò)￡門(mén)”的概率為工，

6

故選：D.

DEDEDE

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果,

適合于兩步完成的事件；樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況

數(shù)與總情況數(shù)之比.

17.（2022秋?大名縣校級(jí)期末）“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國(guó)際氣象界譽(yù)為“中國(guó)

第五大發(fā)明”.小文購(gòu)買(mǎi)了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票

中的兩張送給好朋友小樂(lè).小文將它們背面朝上放在桌面上（郵票背面完全相同），讓小樂(lè)從中隨機(jī)抽取

一張（不放回），再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張，則小樂(lè)抽到的兩張郵票恰好是''立春"和“立夏”的概率是（）

A.2B.Ac.AD.A

3268

【分析】根據(jù)題意，可以畫(huà)出相應(yīng)的樹(shù)狀圖，從而可以得到小樂(lè)抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立

夏”的概率.

【解答】解：設(shè)立春用/表示，立夏用8表示，秋分用C表示，大寒用。表示，樹(shù)狀圖如下,

???小樂(lè)抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的概率是2=工，

126

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹(shù)狀圖法，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫(huà)出相應(yīng)的樹(shù)狀圖.

七.游戲公平性（共5小題）

18.（2022秋?靈寶市期末）甲、乙兩人做游戲，他們準(zhǔn)備了一個(gè)質(zhì)量分布均勻的正六面體骰子，骰子的六

個(gè)面分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6.若擲出的骰子的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，則甲贏(yíng)；若擲出的骰子的點(diǎn)數(shù)是3的倍

數(shù)，則乙贏(yíng).這個(gè)游戲?qū)?、乙?lái)說(shuō)是不公平的.（填“公平”或“不公平”）

【分析】根據(jù)所出現(xiàn)的情況，分別計(jì)算兩人能贏(yíng)的概率，即可解答.

【解答】解：???骰子的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的有2,4,6,其概率為2=工；

62

骰子的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的有3,6,其概率為2=工；

63

故游戲規(guī)則對(duì)甲有利.

故答案為：不公平.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平,

否則就不公平.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

19.（2022秋?豐南區(qū)校級(jí)期末）小明和小亮玩一個(gè)游戲：三張大小、質(zhì)地都相同的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1,

2,3,現(xiàn)將標(biāo)有數(shù)字的一面朝下，小明從中任意抽取一張后，小亮再?gòu)氖Ｏ碌目ㄆ谐槿∫粡?計(jì)算小

明和小亮抽得的兩個(gè)數(shù)字之和，如果和為奇數(shù)則小明勝，和為偶數(shù)則小亮勝.

（1）請(qǐng)用列表法或樹(shù)狀圖等方法求小明獲勝的概率；

（2）你認(rèn)為該游戲?qū)﹄p方是否公平？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】（1）將所有可能的情況在圖中表示出來(lái)即可；

（2）計(jì)算出和為奇數(shù)與和為偶數(shù)的概率，即可得到游戲是否公平.

【解答】解：（1）列表如下：

小明123

小亮

12+1=33+1=4

21+2=33+2=5

31+3=42+3=5

由上表可知，所有等可能的結(jié)果共有6種.

（2）?.?共有6種等可能的情況數(shù)，其中和為奇數(shù)的有4種，和為偶數(shù)的有2種,

p（和為奇數(shù)）=匡=2,p（和為偶數(shù)）=2=上，

6363

33

/.這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方是不公平的.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平,

否則就不公平.

20.（2022秋?息縣期末）2022年10月12日下午，“天宮課堂”第三課開(kāi)講，航天員陳冬、劉洋、蔡旭哲

相互配合進(jìn)行授課，激發(fā)了同學(xué)們學(xué)習(xí)航天知識(shí)的熱情.在學(xué)校組織的航天知識(shí)競(jìng)賽中，小明和小雪均

獲得了一等獎(jiǎng)，學(xué)校決定通過(guò)兩人做游戲的方式，從中選取一名游戲獲勝的同學(xué)作為代表分享獲獎(jiǎng)心

得.游戲規(guī)則如下：

甲口袋（不透明）裝有編號(hào)為1,2,3的三個(gè)小球，乙口袋（不透明）裝有編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)小

球，每個(gè)口袋中的小球除編號(hào)外其他都相同.小明先從甲口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，小雪再?gòu)囊铱诖须S

機(jī)摸出一個(gè)球，若兩球編號(hào)之和為偶數(shù)，則小明獲勝；若兩球編號(hào)之和為奇數(shù)，則小雪獲勝.

請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，說(shuō)明這個(gè)游戲?qū)﹄p方是否公平.

【分析】先用列表法將所有可能發(fā)生的結(jié)果列出來(lái)，再分別求出小明獲勝和小雪獲勝的概率，進(jìn)行比較

即可求解.

【解答】解：根據(jù)題意列表如下：

4123

1(1,4)(1,1)(1,2)(1,3)

2(2,4)(2,1)(2,2)(2,3)

3(3,4)(3,1)(3,2)(3,3)

共有12種等可能的結(jié)果，其中兩球編號(hào)之和為偶數(shù)的有6種結(jié)果，兩球編號(hào)之和為奇數(shù)的有6種結(jié)果,

則小明獲勝的概率是上，小雪獲勝的概率是工，

22

.?.1_1——，

22

，這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法，游戲公平性，解題的關(guān)鍵是正確列出所有可能的結(jié)果.

21.（2022秋?秦皇島期末）老師隨機(jī)抽查了本學(xué)期學(xué)生讀課外書(shū)冊(cè)數(shù)的情況，繪制成條形圖和不完整的扇

形圖，其中條形圖被墨跡遮蓋了一部分.

（1）求所抽查學(xué)生讀課外書(shū)冊(cè)數(shù)的平均數(shù);

（2）隨后又補(bǔ)查了另外幾人，得知其中1人讀了4冊(cè)，其余幾人最少的讀了6冊(cè)，將其與之前的數(shù)據(jù)合

并后，發(fā)現(xiàn)冊(cè)數(shù)的中位數(shù)沒(méi)改變，則最多又補(bǔ)查了5人.

（3）老師手里有1本課外讀物，七、八年級(jí)兩位同學(xué)都想借閱，為此九年級(jí)的一位同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)

游戲，如圖，指針固定不動(dòng)，分別旋轉(zhuǎn)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，若先后兩次轉(zhuǎn)動(dòng)出現(xiàn)字母/與3的混合結(jié)果，就借給

七年級(jí)的同學(xué)，否則就借給八年級(jí)的同學(xué)，你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？為什么？

再求加權(quán)平均數(shù);

（2）先求原來(lái)的中位數(shù)，再求最多補(bǔ)查人數(shù);

（3）先分別他們的概率，再作比較.

【解答】解：⑴抽查的總?cè)藬?shù)為：64-0.25=24（人），

.?.讀5冊(cè)的學(xué)生有：24-5-6-4=9（人），

，所抽查學(xué)生讀課外書(shū)冊(cè)數(shù)的平均數(shù)為：」-X（4X5+5X9+6X6+4X7）=5.375（本）；

24

（2）原來(lái)的中位數(shù)為：5,

6+9=15-10=4,4+1=5,

故答案為：5；

（3）不公平；

理由：借給七年級(jí)同學(xué)的概率為：

9

借給八年級(jí)同學(xué)的概率為：1-?=匡,

99

99

故游戲不公平.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了游戲的公平性，掌握有關(guān)統(tǒng)計(jì)和概率知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

22.（2023春?豐城市校級(jí)期末）小莉的爸爸買(mǎi)了今年七月份去上?？词啦?huì)的一張門(mén)票，她和哥哥兩人都

很想去觀(guān)看，可門(mén)票只有一張，讀九年級(jí)的哥哥想了一個(gè)辦法，拿了八張撲克牌，將數(shù)字為1,2,3,5

的四張牌給小莉，將數(shù)字為4,6,7,8的四張牌留給自己，并按如下游戲規(guī)則進(jìn)行：小莉和哥哥從各自

的四張牌中隨機(jī)抽出一張，然后將抽出的兩張撲克牌數(shù)字相加，如果和為偶數(shù)，則小莉去；如果和為奇

數(shù)，則哥哥去.

（1）請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法求小莉去上?？词啦?huì)的概率；

（2）哥哥設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則公平嗎？若公平，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不公平，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種公平的游戲規(guī)則.

【分析】（1）首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果是偶數(shù)的情況，再利用概

率公式即可求得答案；

（2）根據(jù)（1）求得哥哥去的概率，比較概率的大小，即可知游戲規(guī)則是否公平.

【解答】解：（1）畫(huà)樹(shù)狀圖得：

57896891079101191112B

一共有16種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同.

和為偶數(shù)的概率為&=旦，

168

所以小莉去上海看世博會(huì)的概率為3；

8

（2）由（1）列表的結(jié)果可知：小莉去的概率為3,哥哥去的概率為所以游戲不公平，對(duì)哥哥有利.

88

游戲規(guī)則改為：將1,2,3,4四張牌給小莉，將5,6,7,8四張牌給哥哥，則游戲是公平的.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平,

否則就不公平.

A.利用頻率估計(jì)概率（共6小題）

23.（2022秋?龍泉驛區(qū)期末）一個(gè)不透明的箱子里裝有加個(gè)球，其中紅球3個(gè)，這些球除顏色不同其余都

相同，每次攪拌均勻后，任意摸出一個(gè)球記下顏色后再放回，大量重復(fù)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定

在0.3附近，則可以估算出m的值為（）

A.3B.5C.10D.12

【分析】用紅球的個(gè)數(shù)除以紅球頻率的穩(wěn)定值即可.

【解答】解：由題意知，加的值約為3+0.3=10,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng),

并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的

近似值就是這個(gè)事件的概率.

24.（2022秋?沈河區(qū)期末）一個(gè)不透明的袋中裝有若干個(gè)紅球，為了估計(jì)袋中紅球的個(gè)數(shù)，在袋中放入3

個(gè)除了顏色外其余均相同的白球，隨機(jī)的從袋子中摸出一個(gè)球，記錄下顏色后，放回袋中并搖勻，通過(guò)

大量重復(fù)這樣的試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.15附近，則紅球的個(gè)數(shù)為（）

A.11B.14C.17D.20

【分析】根據(jù)口袋中有3個(gè)白球，利用小球在總數(shù)中所占比例得出與實(shí)驗(yàn)比例應(yīng)該相等求出即可.

【解答】解：設(shè)紅球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)題意得：

.,.-^=0.15,

3+x

解得：x=17,

經(jīng)檢驗(yàn)x=17是原方程的解，

則紅球的個(gè)數(shù)為17個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了用樣本估計(jì)總體，根據(jù)已知得出小球在總數(shù)中所占比例得出與實(shí)驗(yàn)比例應(yīng)該相

等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

25.（2023春?蘭州期末）在一個(gè)不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共20只，某學(xué)習(xí)

小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù).下表是活動(dòng)

進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

摸球的次數(shù)1001502005008001000

n

摸到白球的5896116295484601

次數(shù)m

摸到白球的0.580.640.580.590.6050.601

頻率典

n

（1）請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)"很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近0.60；

（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是0.6,摸到黑球的概率是0.4；（精確到0.1）

（3）試估算口袋中黑、白兩種顏色的球各有多少只？

【分析】（1）本題需先根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計(jì)出摸到白球的頻率.

（2）本題根據(jù)摸到白球的頻率即可求出摸到白球和黑球的概率.

（3）根據(jù)口袋中黑、白兩種顏色的球的概率即可求出口袋中黑、白兩種顏色的球有多少只.

【解答】解：（1）根據(jù)題意可得當(dāng)〃很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近0.60,

故答案為：。60；

（2）因?yàn)楫?dāng)"很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近0.60；

所以摸到白球的概率是0.6；

摸到黑球的概率是0.4；

故答案為：0.6,0.4；

（3）因?yàn)槊桨浊虻母怕适?.6,摸到黑球的概率是0.4,

所以口袋中黑、白兩種顏色的球有白球有30X0.6=18個(gè)，黑球有30X0.4=12個(gè).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了如何利用頻率估計(jì)概率，在解題時(shí)要注意頻率和概率之間的關(guān)系.

26.（2022秋?廣陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖所示為某商場(chǎng)的一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)，商場(chǎng)規(guī)定顧客購(gòu)物滿(mǎn)100

元即可獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的機(jī)會(huì)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí)，指針落在哪一個(gè)區(qū)域就獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品，如表是活動(dòng)

進(jìn)行中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的次數(shù)50100200500800100020005000

落在“紙巾”區(qū)的227110931247361211933004

次數(shù)

根據(jù)以上信息，解析下列問(wèn)題：

（1）請(qǐng)估計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤(pán)一次，獲得紙巾的概率是0.6；（精確到0.1）

（2）現(xiàn)有若干個(gè)除顏色外都相同的白球和黑球，根據(jù)（1）的結(jié)論，在保證獲得紙巾和免洗洗手液概率

不變的情況下，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)可行的摸球抽獎(jiǎng)規(guī)則，詳細(xì)說(shuō)明步驟;

（3）小明和小亮都購(gòu)買(mǎi)了超過(guò)100元的商品，均獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的機(jī)會(huì)，根據(jù)（2）中設(shè)計(jì)的規(guī)則,

利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求兩人都獲得紙巾的概率.

【分析】（1）利用頻率估計(jì)概率，用轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)1000次的頻率去估計(jì)概率；

（2）利用概率公式設(shè)計(jì)一個(gè)摸球游戲規(guī)則，使摸到白球的概率為0.6,摸到黑球的概率為0.4即可；

（3）畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有25種等可能的結(jié)果數(shù)，找出兩人都獲得紙巾的結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式求解.

【解答】解：（1）估計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤(pán)一次，獲得紙巾的概率約是0.6（精確到0.1）；

故答案為：0.6；

（2）摸球抽獎(jiǎng)規(guī)則：把3個(gè)白球和2個(gè)黑球放入一個(gè)不透明的袋子（5個(gè)球除顏色外都相同），顧客購(gòu)

物滿(mǎn)100元即可獲得一次摸球的機(jī)會(huì)，當(dāng)摸到白球時(shí)獎(jiǎng)品為紙巾，摸到黑球時(shí)獎(jiǎng)品為免洗洗手液；

（3）畫(huà)樹(shù)狀圖為：

共有25種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩人都獲得紙巾的結(jié)果數(shù)為9,

所以?xún)扇硕极@得紙巾的概率為2.

25

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)

越精確.也考查了列表法與樹(shù)狀圖法.

27.（2022秋?邯鄲期末）在一個(gè)不透明的袋子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共4個(gè)，某學(xué)習(xí)

小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)上述過(guò)程，下

表是試驗(yàn)進(jìn)行中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).

摸球的次數(shù)n101002005001000

摸到黑球的次32651126251

數(shù)加

摸到黑球的頻0.30.260.2550.2520.251

率典

n

（1）當(dāng)〃很大時(shí)，摸到黑球的頻率將會(huì)趨近0.25（精確到0.01）,該袋子中的黑球有1個(gè):

（2）該學(xué)習(xí)小組成員從該袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球，請(qǐng)你用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出隨機(jī)摸出的2個(gè)球的

顏色不同的概率.

【分析】（1）根據(jù)頻率的概念及表中頻率穩(wěn)定的數(shù)值求解即可，根據(jù)概率公式可求得黑球的個(gè)數(shù)；

（2）根據(jù)畫(huà)樹(shù)狀圖，得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可.

【解答】解：（1）當(dāng)〃很大時(shí)，摸到黑球的頻率將會(huì)趨近0.25,

估計(jì)摸到黑球的概率為0.25,設(shè)黑球有a個(gè)，則包=o25，

4°

解得：。=1,

故答案為：025,1；

（2）樹(shù)狀圖如圖；

隨機(jī)摸出的2個(gè)球的顏色不同的概率為且二.

122

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用頻率估計(jì)概率、用樹(shù)狀圖求概率，會(huì)用樹(shù)狀圖列出所有可能的結(jié)果是解題關(guān)鍵.

28.（2022秋?西豐縣期末）一個(gè)黑箱子里裝有紅、白兩種顏色的球4只，它們除顏色外，其他都相同，小

明將球攪勻后從箱子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色，再把它放回不斷重復(fù)實(shí)驗(yàn)，將多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果畫(huà)出如

下頻率統(tǒng)計(jì)圖.

U）當(dāng)摸球次數(shù)