專題04分式的運算與化簡求值

知識回顧

1.因式分解的方法：

①提公因式法：am+bm+cm=m(a+Z?+c)；

②公式法：平方差公式：a2-b~=(a+b\a-b),完全平方公式：a~±2ab+b2=(a+b^□

③十字相乘法：在f+bx+c中，若c=m/i且m+n=b(m,"，均為整匏，則：

X2+bx+c=(^x+m^x+n)o

2.分式的性質(zhì)：

分式的分子與分母同時乘上或除以同一個不為0的數(shù)或式子，分式的值不變。

BBCB+C7

3.約分與通分：

①約分：將分式中能進行分解因式的分子分母分解因式，約掉公因式。公因式等于系數(shù)的最大公

約數(shù)乘上相同字母或式子的最低次幕。

②通分：將幾個異分母的分式化成同分母的分式的過程。公分母等于系數(shù)的最小公倍數(shù)乘上所有

式子的最高次幕。

4.分式的乘除運算：

①乘法運算步驟：I：對分子分母因式分解；

II：約掉公因式；

III：分子乘以分子得到積的分子，分母乘以分母得到積的分母。

②除法運算法則：除以一個分式等于乘上這個分式的倒數(shù)式。

5.分式的加減運算：

具體步驟：I：對能分解的分母進行因式分解，并求出公分母；

II：將分式通分成同分母；

III：分母不變，分子相加減。

6.分式的化簡求值：將分式按照加減乘除的運算法則化簡至最簡分式，然后帶入已知數(shù)據(jù)求值即可。

專題練習(xí)

a1+2aa2

46.(2022?西藏)計算:

aa2-4-a—2

【分析】分式的混合運算，要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序；先乘方，再乘除，然后加

減，有括號的先算括號里面的.

【解答】解:原式=a(a+2)a2

a(a+2)(a-2)a-2

a_2

a-2a-2

=1.*

47.(2022?蘭州)計算:1+

lrx

【分析】根據(jù)分式的加減運算以及乘除運算法則即可求出答案.

【解答】解：原式=五

Xx2+x

x+1X

XX(x+1)

—_—1.

X

一、*、?任—4%?+2%1

48.(2022.大連)計算：-z------------：-------------------.

x2-4x+42x-4x

【分析】先算除法，后算減法，即可解答.

22

【解答】解：?-4+幺+2三一1

X2-4X+42X-4x

_(x+2)(x-2).2(x-2)_1

(x-2)2x(x+2)x

_--2——1—

XX

_1

——.

X

/工工L、工替。2_廬(廿_2仍)

49.(2022?十堰)計算：-------+a+-----------.

〃(a,

【分析】根據(jù)分式的運算法則計算即可.

a2b2

【解答】解：-%(fl+b-2ab)

aa

2,22,2,

a-b(a?b-o/ab)

aaa

一a2-br.2-a2-2Qabu+bu—

aa

(a+b)(a-b).a

a(a-b)?

-a+b

a-b

/2，上、，、f(1〃+3、a?—1

50.(2022?常德)化簡：a-l+----+-----.

I41+2y〃+2

【分析】根據(jù)分式混合運算的法則計算即可.

2

【解答】解：Q-1+生曳)+月二

a+2a+2

_[(a-1)(a+2)+~+3].a+2

a+2a+2(a+1)(a-1)

a'+2a+l.a+2

a+2(a+1)(a-1)

a+]

a-1

51.(2022?內(nèi)蒙古)先化簡，再求值：(———11'—4.+4,其中苫=3.

\x-lJx-1

【分析】先通分算括號內(nèi)的，把除化為乘，化簡后將x=3代入計算即可.

[解答]解：原式=3-底2-1)?X-1

xT晨-2產(chǎn)

=_(x+2)(x-2).x-1

x-1(x-2)2

__x+2

x-2

當(dāng)％=3時，

原式=叱

3-2

-5.

a6a+9

52.(2022?阜新)先化簡，再求值：；^fl—--\其中a=4.

a*I2-2aIa-2)

【分析】根據(jù)分式的混合運算法則把原式化簡，把。的值代入計算即可.

【解答】解：原式=」亨3)：+(亙2-」_)

a(a-2)a-2a-2

(a-3)2-a-3

a(a-2)a-2

(a-3)2.&-2

a(a-2)a-3

_

_-a-,3

a

當(dāng)a=4時，原式==，.

44

53.(2022?資陽)先化簡，再求值.fl———其中。=-3.

Ia+lja2-l

【分析】根據(jù)分式的加減運算以及乘除運算法則進行化簡，然后將。的值代入原式即可求出答案.

【解答】解：原式="上工+7一包一-

a+1(a+1)(a-1)

a(a+1)(a-1)

-

_-a-,l

a

當(dāng)a-—3時，

原式二HL二.

-33

54.(2022?黃石)先化簡，再求值：+從-3,-1,2中選擇合適的0的值代入求

[6Z+lya+1

值.

【分析】根據(jù)分式的加減運算以及乘除運算法則進行化簡，然后將〃的值代入原式即可求出答案.

2

【解答】解：原式=①氈■+<.3)

a+1a+1

=a+3.a+1

a+l（a+3）2

_1

a+3

由分式有意義的條件可知：。不能取-1,-3,

故a—2,

5"

丫2—4v4-3x1

55.（2022?朝陽）先化簡，再求值：--------:+^,其中尤=（上）一2.

22

X-4X+4X-2XX+32

【分析】把除化為乘，再算同分母的分式相加，化簡后求出尤的值，代入即可.

【解答】解：原式=(x+2)(x：2)?x(x-2)+上

(x-2)2x+3x+3

x2+2x+.x

x+3x+3

_X2+3X

x+3

_x(x+3)

x+3

=Xf

'：X=(A)-2=4,

2

，原式=4.

56.(2022?錦州)先化簡，再求值：|—+^—其中％1.

Ix+1x_2Jx—2

【分析】先對分式進行化簡，然后再代入求解即可.

2x-4x+1_____-i.x-l

【解答】解：原式=(x+1)(x-2)4(x+1)(x-2)'x-2

_3x-3_____.x-l

(x+1)(x-2)'x-2

=3(x-l)vx-2

(x+1)(x-2)x-l

=3

x+1'

當(dāng)x=V3-1時，

原式=7出——=A/3-

V3-1+1

57.(2022?盤錦)先化簡，再求值：■+,1——[―+1],其中x=|—五|+1.

x2-lX2+2X+1U-1)11

【分析】根據(jù)分式的運算法則“除以一個數(shù)等于乘以它的倒數(shù)”把除法改寫成乘法；利用平方差公式和

完全平方公式將分式的分子分母分別因式分解；約分化簡后，求x的值；去掉絕對值符號時注意正負,

正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，最后將X的值代入原式.

【解答】解：原式=早-+「^—（士+1）

X-1x，2x+lx-1

(x+1)(x-1)x-3x-1x-i

x+1X

x-1x-1

1

X-1

x=I-V2I+1=我+1，

1V2

原式=]

V2+1-1

58.(2022?郴州)先化簡，再求值：—4—+^^

其中4=百+1,b=V5-1.

a-bya+ba-b

【分析】先算括號里，再算括號外，然后把。，b的值代入化簡后的式子進行計算即可解答.

【解答】解：金+(，+2b)

a-ba+b

=ab-a-b+2b

a-b(a+b)(a-b)

=ab.(a+b)(a-b)

a-ba+b

=4。，

當(dāng)。=遙+1,/?=返-1時，原式=（V5+1）（V5■1）

=5-1

=4.

59.(2022?營口)先化簡，再求值：二+］_^^］二2+4.+4,其中。=西+卜2|-(1)

I〃+1J4Z+12

【分析】先把括號內(nèi)通分，再把除法運算化為乘法運算，接著把分子分母因式分解，則約分得到原式=

亙2,然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義、絕對值和負整數(shù)指數(shù)幕的意義計算出。的值，最后把。的值代入計

a+2

算即可.

2

［解答］解：原式=(叱！)_-(?2亙)..a+1

a+1(a+2)2

9

a+2軟+1-5-2&.a+1

a+l(a+2)2

一a2-4.a+］

a+l(a+2產(chǎn)

(a+2)(軟-2).a+l

a+l(a+2)2

-a-2

一初'

???a=V9+|-21-(A)-1=3+2-2=3,

2

???原式=髭w

1/in

60.(2022?綿陽)(1)計算：2tan60°+|百-