2024學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)12月階段測(cè)試

皿「、、九

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁(yè)，滿(mǎn)分150分，考試用120分鐘

注意事項(xiàng)：

1.開(kāi)考前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息填寫(xiě)在答

題卡指定區(qū)域內(nèi).

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相

應(yīng)位置上，不得使用涂改液，不得使用計(jì)算器.不按以上要求作答的答案無(wú)效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.設(shè)iz=4+3i,則2=（）

A.4+3iB.-4+3iC.3-4iD.-3-4z

【答案】C

【解析】

【分析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可求得z的值.

【詳解】解：由題意可得：z=i±^=（4+『）’=^^=3—

ii2-1

故選：C.

2.下列結(jié)論正確的是（）

A.a,b,。為實(shí)數(shù)，且〃〉6〉0,則

B.VXGR,x+—>2

x

C.若x滿(mǎn)足犬2_3%+2<0，piijlog2xe（2,4）

D.正數(shù)。力滿(mǎn)足。+匕=1,則0<a。

【答案】D

第1頁(yè)/共24頁(yè)

【解析】

【分析】利用不等式的性質(zhì)判斷選項(xiàng)A；利用基本不等式判斷選項(xiàng)B,D；利用一元二次不等式的解法和對(duì)數(shù)

函數(shù)的性質(zhì)判斷選項(xiàng)C.

【詳解】對(duì)A,當(dāng)c=0時(shí)，ac2=bc2,A錯(cuò)誤;

對(duì)B,當(dāng)x〉0時(shí)，x+->2Jx--=2,當(dāng)且僅當(dāng)了=工，即x=l時(shí)取等號(hào),

x\xx

當(dāng)x<0時(shí)，x+—=-(-x+—)<—2J(—x)?f—j=-2,

當(dāng)且僅當(dāng)一x='，即x=—1時(shí)取等號(hào)，B錯(cuò)誤;

-X

對(duì)C,由丁―3X+2<0,解得1<X<2,

所以log21<log2X<log22,gplog2xe(0,l),C錯(cuò)誤；

對(duì)D,由基本不等式可得而W”=工，即

224

當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)等號(hào)成立，

2

又因?yàn)檎龜?shù)a,b,所以ab>0,所以0<。?！垂?，D正確；

4

故選:D.

3.設(shè)a,b為兩條直線,a,￡為兩個(gè)平面，且bLp”,則刃是a,6的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C,必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】利用直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系判斷.

【詳解】因?yàn)閎Lp,且所以a_L￡,

又由a_La,bL(3,aL/3,所以；_|_刃，

所以"，族是a的充要條件，

故選:A.

第2頁(yè)/共24頁(yè)

4.若向量％=(1,2)與3=)-1怖力的夾角為銳角，貝心的取值范圍為()

A.(4,+co)B.C.100，；]D.Q,4^U(4,+OO)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及共線的坐標(biāo)表示求解.

【詳解】由。=l+3f＞0，解得/＞：，

4

3

當(dāng)之小時(shí)，lx]]—2”—1)=0,解得/=4,

此時(shí)1=(1,2),囚=(3,6),則標(biāo)共線且同向，

所以要使向量％=(1,2)與3=上一1，9’的夾角為銳角，

則。〉,且,

4

故選:D.

22

5.設(shè)點(diǎn)月，居分別是雙曲線a：三一二=i(。＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)片且與x軸垂直的直線/與雙

a2

曲線C交于A,B兩點(diǎn).若AAB乙的面積為2C，則該雙曲線的漸近線方程為()

A.y=±V3xB.y=±^-xC.y=±y/2xD.y=

32

【答案】D

【解析】

【分析】利用拋物線的方程求得4-G43(

-C,--),再利用三角形面積公式求出a=2,即可求漸近線方

aa

程.

222,2

【詳解】點(diǎn)片(一C,0),將x=-c代入會(huì)—]=1-可得二-乙=1,

。22

292

解得y=±—,所以A(—g—),5(—G——),

aaa

所以S0BF2=|x|A5|x寓用=;x±x2c=竺=2魴

22aa

第3頁(yè)/共24頁(yè)

所以c=Y5a

2

3

又因?yàn)椤?=/+/=/+2=—所以片=4，則。=2,

2

又因?yàn)樨?2,所以b=J5，

所以該雙曲線的漸近線方程為y=+-x=+—X，

a2

故選:D.

6.如圖，在正三棱柱ABC—A與G中，AB=2BB1=4,點(diǎn)。是棱BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)G到直線的距

A.gB.2sC.572D.10V2

【答案】A

【解析】

【分析】取AC的中點(diǎn)。，取4G的中點(diǎn)區(qū)。以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為X軸，0C所在直線為了

軸，。￡所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到直線的距離的向量求法可得答案.

【詳解】取AC的中點(diǎn)O,取AG的中點(diǎn)E，連接OE，貝U44/0E,所以。E,平面ABC,

連接。8,因?yàn)锳ABC是等邊三角形，所以O(shè)BLAC,因?yàn)椤?,ACu平面ABC,

所以08,AC,OE兩兩垂直，所以。以為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB所在直線為無(wú)軸，

0c所在直線為y軸，所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所

示.又AB=2BB1=4,所以A（0,—2,2）,§（26,0,0）,C（0,2,0）,

G(0,2,2),所以。(6,1,0),所以函=卜百,一3,2),DQ=(-73,1,2),

所以cos°"G)=信茵3-3+4_V2

j3+9+4xj3+l+4—4

第4頁(yè)/共24頁(yè)

所以點(diǎn)G到直線的距離d=J函］—函|cos（麗，運(yùn)》2=V7.

故選：A.

7.已知橢圓C:f+2i=i,直線/：y=x+m,若橢圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線/對(duì)稱(chēng)，則〃z的取值范圍是

2

（）

（4141}

彳工

〈，，）

【答案】C

【解析】

【分析】利用對(duì)稱(chēng)關(guān)系，求得直線MN的方程，代入橢圓方程，利用A〉。，求得〃的范圍，再根據(jù)機(jī)，”的

關(guān)系即可求m的取值范圍.

2

【詳解】設(shè)設(shè)橢圓C：/+匕=1上存在關(guān)于直線/：y=%+相對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)為,X）,N（%2，丁2），

2一一

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知線段MN被直線l:y=x+m垂直平分,

且MN的中點(diǎn)(x0,%)在直線y=x+m±,且k.=—1,

故可設(shè)直線MN的方程為y=~x+n,

y--x+n

聯(lián)立2y1，整理可得：3d一2〃％+/-2=0，

X+—=1

2

2幾2〃4n

所以玉+%—M+%=2rl—+w)=2〃—~T

由/^4工一以"一？）〉。，可得〃2一3<0，解得一6<“<6,

第5頁(yè)/共24頁(yè)

ll-x+xnV)+y_2n

所以X。=^y^9=-^o=2

因?yàn)镸N的中點(diǎn)（為,y0）在直線y=x+m±,

所以出■="+/?,所以m=g,所以一直＜m＜立,

33333

故選:C.

8.比利時(shí)數(shù)學(xué)家60"7血4/￡＞卬1①〃〃發(fā)現(xiàn)：在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同且不相切的球，使得它們分別與圓錐

的側(cè)面、底面相切，用與兩球都相切的平面截圓錐的側(cè)面得到的截面曲線是橢圓.這個(gè)結(jié)論在圓柱中也適

用，如圖所示，在一個(gè)高為10,底面半徑為2的圓柱體內(nèi)放球，球與圓柱底面及側(cè)面均相切.若一個(gè)平面

與兩個(gè)球均相切，則此平面截圓柱邊緣所得的圖形為一個(gè)橢圓，該橢圓的離心率為（）

V65

【答案】D

【解析】

【分析】

如圖，作出圓柱的軸截面，由于/405=/。。，所以5詁/403=5皿/0。。，而由已知可求出

的長(zhǎng)，從而可得。=OC=3,而橢圓短軸的長(zhǎng)就等于圓柱的底面直徑，得。=2,由此可求出

離心率.

【詳解】對(duì)圓柱沿軸截面進(jìn)行切割，如圖所示，切點(diǎn)為A,4,延長(zhǎng)A4與圓柱面相交于C,G，過(guò)點(diǎn)。

作ODLDC,垂足為D.

第6頁(yè)/共24頁(yè)

在直角三角形A3O中，AB=2,BO=------------=3,

2

所以sin/AO3=^=2,又因?yàn)閟in/AOB=sin/OCD=—=2=工，

BO3OCOC3

所以。=OC=3.

由平面與圓柱所截可知橢圓短軸即為圓柱底面直徑的長(zhǎng)，即26=4,則可求得

c=y/a2—b2=19-4=亞,

所以e=￡=@，

a3

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓與圓的位置關(guān)系、直角三角形中正弦的定義和橢圓的基本概念等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.將函數(shù)/。)=5由［2》+m］的圖象向右平移;個(gè)單位長(zhǎng)度得到g(x)的圖象，則下列判斷正確的是()

7171

A.函數(shù)g(x)在—上單調(diào)遞增B.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線工=——對(duì)稱(chēng)

12

兀兀D.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(三,0卜寸稱(chēng)

C.函數(shù)g(x)在-7，彳上單調(diào)遞減

_63_

【答案】ABD

【解析】

第7頁(yè)/共24頁(yè)

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的變換關(guān)系確定函數(shù)g(x)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一求解.

【詳解】將函數(shù)/(X)=Sin"x+g］的圖象向右平移］個(gè)單位，

可得g(x)=sin2^x--|-^+j=sin12x_g1,

jr27r7TJT77r

對(duì)A,由——+2kji<2x----V—+2E,解得——+<x<——+kn.keZ,

2321212

令k=a,則'■vxvN,

1212

IT/TTTTTT

所以函數(shù)g(x)在—上單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)在—上單調(diào)遞增，A正確；

JL乙JL乙_L乙乙

,/7兀、.(7兀2兀).711

對(duì)B,g(—)=sm---=sm-=l,

12I63J2

7兀

所以函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x==對(duì)稱(chēng)，B正確；

12

jr9jr37r7兀137r

對(duì)C,由+—--<—+2kn,解得？+EVxW」++而,左eZ,

2321212

令k=T,則—至

1212

5兀71717171

所以函數(shù)g(x)在一二，二上單調(diào)遞減,而-:〈二<4,所以c錯(cuò)誤；

L1212J6123

對(duì)D,因?yàn)間(m)=sin［g-g］=O,所以點(diǎn)［三,。］在函數(shù)g(x)圖象上，D正確；

故選:ABD.

10.已知斜率為方的直線/經(jīng)過(guò)拋物線C：y2=lpx(?！?)的焦點(diǎn)尸，與拋物線C交于點(diǎn)A,8兩點(diǎn)

(點(diǎn)A在第一象限)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)。，若|A同=8,則以下結(jié)論正確的是()

C.\BD\=2\BF\D.F為4D中點(diǎn)

【答案】BCD

【解析】

第8頁(yè)/共24頁(yè)

YX

【分析】由條件，NxE4=60。,則NEDA=30°，設(shè)所以|BE|=||=于|A4,|=4+萬(wàn),由

XX

|ABHAE|+|8E|=—+4+—=8,可解出X,可得出答案.

22

【詳解】根據(jù)題意作出其圖像，過(guò)A3分別作準(zhǔn)線的垂線，垂直分別為4,用如下

直線/的傾斜角為百，即NxE4=60°,則/歹。4=30°

設(shè)8。=%，

YX

則放中，可得出耳匚,，|AAJ=4+-

XX

所以|64|=|8用=5,|AA,I=IAF|=4+-

YX

IAB|=|AE|+|B7q=4+—+—=4+x=8,解得x=4

22

所以|5b|=2|,|AP|=6,所以B正確.

1111,

所以同+西直所以A不正確?

所以|5。|=4,滿(mǎn)足|皮）|=4=2|8成,所以C正確.

而|。咒|=|8。|+18b|=4+2=6=|AF],所以D正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的過(guò)焦點(diǎn)弦的基本性質(zhì)，屬于中檔題.

11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。—AgCQi中，已知”,N,尸分別是棱G2,的中點(diǎn)，

Q為平面PMN上的動(dòng)點(diǎn)，且直線。片與直線。片的夾角為30°,則（）

第9頁(yè)/共24頁(yè)

A.DB11平面PMN

B.平面PMN截正方體所得的截面圖形為正六邊形

C.點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為兀

D.能放入由平面尸分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體內(nèi)部（厚度忽略不計(jì)）的球的半徑的最大值為

3-V3

2

【答案】ABD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，得到線面垂直；B選項(xiàng)，作出輔助線，

找到平面截正方體所得的截面；C選項(xiàng)，作出輔助線，得到點(diǎn)Q的軌跡，并求出軌跡長(zhǎng)度；D選項(xiàng)，由對(duì)稱(chēng)

性得到平面PMN分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體對(duì)稱(chēng)，由對(duì)稱(chēng)性可知，球心在耳。上，設(shè)球心坐標(biāo)建

立方程，求出半徑的最大值.

【詳解】A選項(xiàng)，如圖所示以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則尸（1,2,0）,“（0,1,2）,N（2,0,1）,與（2,2,2）,

故函=（2,2,2）,麗=（—1,一1,2）,麗=（1,一2,1）.

.---?

in-PM=—x—y+2z=0

設(shè)平面尸MN的法向量為訪=則L一.，

in-PN=x-2y+z=0

令z=lnx=y=1得m=

易知函=2獲，故。用，平面PAW,即A正確；

第10頁(yè)/共24頁(yè)

>

y

B選項(xiàng)，取AB,CG，A2的中點(diǎn)￡。，&

連接NE,NF,ME,MQ,PQ,PF,AXB,EP,D.C,

結(jié)合題意可知NFIABHEP,EP11CD,//MQ,

所以N、F、P、E四點(diǎn)共面且“、Q、P、E四點(diǎn)共面，兩個(gè)平面都過(guò)點(diǎn)尸,

所以M、Q、P、E、N、R六點(diǎn)共面，

易知EM=MQ=QP=PF=FN=NE=42,

所以平面尸MN截正方體所得的截面為正六邊形ENRPQM,B正確；

C選項(xiàng)，由上知。耳，平面尸AW,設(shè)垂足為S,以S為圓心m4s為半徑在平面尸仰上作圓,

由題意可知。軌跡即為該圓，結(jié)合B的結(jié)論可知平面平分正方體，

根據(jù)正方體的中心對(duì)稱(chēng)性可知S平分。耳，故半徑等與S==1，

故點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為2兀，C錯(cuò)誤；

第11頁(yè)/共24頁(yè)

D選項(xiàng)，由上知該兩部分空間幾何體相同，不妨求能放入含有頂點(diǎn)。的這一空間幾何體的球的半徑最大

值，

結(jié)合A項(xiàng)空間坐標(biāo)系及正方體的對(duì)稱(chēng)性知該球球心。在。耳上，

該球與平面尸切于點(diǎn)S,與平面A3CD、平面平面。都相切，

設(shè)球心為。（a,a,a）（O<aW1）,則球半徑為。，

易知S（1,1,1）,故=an3（a-I）?=a2na=3,,

故球的半徑的最大值為匕目，D正確.

2

故選：ABD

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于立體幾何中截面的處理思路有以下方法（1）直接連接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同

一個(gè)平面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交線的過(guò)程；（2）作平行線法：過(guò)直線

與直線外一點(diǎn)作截面，若直線所在的平面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過(guò)過(guò)點(diǎn)找直線的平行線找到幾何體

與截面的交線；（3）作延長(zhǎng)線找交點(diǎn)法：若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn)，可通過(guò)作延長(zhǎng)線的方法先找

到交點(diǎn)，然后借助交點(diǎn)找到截面形成的交線；（4）輔助平面法：若三個(gè)點(diǎn)兩兩都不在一個(gè)側(cè)面或者底面

中，則在作截面時(shí)需要作一個(gè)輔助平面.

關(guān)于立體幾何中求動(dòng)點(diǎn)軌跡的問(wèn)題注意利用幾何特征，比如動(dòng)直線與定直線夾角為定值，可以考慮結(jié)合圓

錐體得出動(dòng)點(diǎn)軌跡.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.函數(shù)/（x）=log2（—V+3x-2）的定義域是.

【答案】（1,2）

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和一元二次不等式的解法求解.

【詳解】由—x?+3x—2〉0，可得％2_3X+2<0，解得1<X<2,

第12頁(yè)/共24頁(yè)

故答案為:(1,2).

13.已知點(diǎn)P是雙曲線C:圣一箕=l(a>0,6>0)左支上一點(diǎn)耳,B是雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，且

尸耳，尸鳥(niǎo)，尸耳與兩條漸近線相交于M,N兩點(diǎn)(如圖)，點(diǎn)N恰好平分線段尸工，則雙曲線的離心率是

【解析】

【分析】利用三角形中位線定理、銳角三角函數(shù)的正弦與余弦的定義，結(jié)合已知，可以求出a力的雙曲，進(jìn)

而求得雙曲線的離心率.

【詳解】因?yàn)镹是P區(qū)中點(diǎn)，即ON是口的中位線,

b

則tanNP4鳥(niǎo)=tan/NOF?=-,

a

ha

可得sin/Pf；B=—，COS/PKB=—，

cc

又因?yàn)殚|周=2c,則|尸用=2a,|尸閭=2。，關(guān)系

則|「月］—［尸尸］］=2Z?-2a=2a==2a,

所以雙曲線的離心率是

故答案為：行.

2

14.已知直線4：y=Ax+機(jī)(左。0,m^O)與橢圓C:一+產(chǎn)=1相交于不同的兩點(diǎn)A,B,過(guò)A3的中

4

點(diǎn)M作垂直于/i的直線小設(shè)乙與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)C,D,且CD的中點(diǎn)為N.設(shè)原點(diǎn)O到直線4

的距離為d,則出M的取值范圍是.

d

第13頁(yè)/共24頁(yè)

【答案】n，i

【解析】

【分析】聯(lián)立橢圓和直線，i：y=履+m的方程，設(shè)4和%）,5（%,當(dāng)），結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得M的坐

m\MN\

標(biāo)，利用相同方法求得N的坐標(biāo)，再根據(jù)d二^^,從而可得J—^的表達(dá)式，即可求解.

k2+1d

【詳解】設(shè)4（須,%）,3（々,必），

x2+8kmx+4m2-4=0,

Smk4m2-4

則%+%2=—

1+4左2'1+4左2

2m4mkm

%+%=左（石+%2）+2機(jī)=-----7,所以"（一）,

1+4上1+442'1+442

m

71z4mkx13m

所以4?y---------7——（xH---------7），即4：y二—％-------7

21+442k1+4左2，2/k1+4左2

2

X1

——+y2=12

4224m36m

1々得,1+%+-4=0

聯(lián)立左（1+4左2）X+0+442）2

13m

y=——x---------

-k1+4左2

設(shè)。（退，%）,。（％4，%）,

24mk1、6m6mk~

則x+x=—…z）一帝

i4（1+4左2）（左2+4）'

12mk3mk2、

所以N----------:----5------,------------5----1------，

（（1+4左2）伏2+4）（1+4/）（左2+4〃

4|m|（^+l）V^2+l

所以阿2=.+匕肉-止

（1+4左2）（左2+4）

第14頁(yè)/共24頁(yè)

Iml

又因?yàn)閐=/—,

VF+i

|MN|4(父+1)2

d一(1+4S)62+4)

令^=左~+1〉1，

|"N|_4伏2+1)2_44_4』

人~d~―(1+402)(-2+4)—(由一3)。+3)-4r+9r-9

4

MN16

25,所以—■-￡—,1?

+d25)

4^4L7

故答案為：石」）

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且c-tanA=（28—c）-tanC.

（1）求角A的大?。?/p>

AJJ3

（2）若點(diǎn)。在AC邊上，且——=-,BD=BC,求sin/ABC的值.

DC2

【答案】（1）（2）述.

314

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理，進(jìn)行邊化角，再通過(guò)三角恒等變換，切化弦，整理可求得COSA=L,即可

2

求出角A；

7T

（2）作垂足為E,設(shè)￡>C=2/,AD=3九由（1）可得NA3E=一,由勾股定理及兩角和

6

的正弦公式即可求得sinNA5C的值.

r用小、八、次昨*短短p丹一,見(jiàn)sinC.sinA（2sin5-sinC）-sinC

【詳解】（1）依題意，根據(jù)正弦定理得-----------=----------------------,

cosAcosC

整理得sinAcosC+cosAsinC=2cosAsin5,

即sin（A+C）=2cosAsinB.

因?yàn)閟in（A+C）=sin（兀-5）=sin5〉0,

第15頁(yè)/共24頁(yè)

所以cosA='.

2

jr

又0<4<兀，所以A=一.

3

(2)如圖，作BE，AC,垂足為￡,

B

兀兀

則445￡二——NA=一，

26

71

所以ZABC=/ABE+NCBE=—+NC5E.

6

設(shè)DC=2/(f>0).

AD3

因?yàn)?---二一，BD=BC,

DC2

所以AO=3%,DE=EC=t,=

在RtZXABE中，BE=AE-tanA=4>j3t^

在RtOBEC中，BC=yjBE2+EC-=It>

所以sin/C3E=L,COSZCBE=—，

77

所以sinNABC=sin+

7171

=sin—cosZCBE+cos—sinZCBE

66

272714

16.某校對(duì)2021年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績(jī)(單位：分)進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將分?jǐn)?shù)按

照[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]分成6組，制成了如圖所示的頻率分

布直方圖：

第16頁(yè)/共24頁(yè)

00200

（1）求a的值；

（2）估計(jì)該校高一期中數(shù)學(xué)考試成績(jī)的第80百分位數(shù)；

（3）為了進(jìn)一步了解學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情況，由頻率分布直方圖，成績(jī)?cè)冢?0,70）和［70,90）的兩組

中，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再?gòu)倪@5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)

查，求抽取的這2名學(xué)生至少有1人成績(jī)?cè)冢?0,70）內(nèi)的概率.

【答案】（1）67=0.01;

（2）115分；

⑶—.

10

【解析】

【分析】（1）利用頻率之和為1,即可計(jì)算出a=0.01；

（2）利用百分位數(shù)的運(yùn)算方法，求出成績(jī)的第80百分位數(shù)；

（3）利用分層抽樣取樣方法，算出需在［50,70）分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽2人，分別記為A，4,需在［70,90）分?jǐn)?shù)

段內(nèi)抽3人，分別記為用，B2,B3,寫(xiě)出樣本空間和符合條件樣本點(diǎn)，即可求出相應(yīng)概率.

【小問(wèn)1詳解】

由0.005x20+0.005x20+0.0075x20+0.02x20+ax20+0.0025x20=1,

解得a=0.01；

【小問(wèn)2詳解】

由題可知知樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?10分以下所占比例為0.1+0.1+0.15+0.4=0.75,

在130分以下所占比例為0.75+0.2=0.95,

nQ_n75

因此，第80百分位數(shù)一定位于［110,130）內(nèi)，由110+20x°八”=115,

可以估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)約為115分，

據(jù)此可以估計(jì)該校高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績(jī)第80百分位數(shù)約為115分；

【小問(wèn)3詳解】

第17頁(yè)/共24頁(yè)

由題意可知，［50,70）分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為100x0.1=10（人）,

［70,90）分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為100x0.15=15（人）.

用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5名學(xué)生，則需在［50,70）分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽2人，分別記為4，A，

需在［70,90）分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽3人，分別記為4，B2,B3,

設(shè)“從樣本中任取2人，至少有1人在分?jǐn)?shù)段［50,70）內(nèi)”為事件A,

則樣本空間0=｛44，4與，,A｛B3，4四,4層,&外，與鳥(niǎo),片員,坊員｝共包含10個(gè)樣本點(diǎn)，

而A的對(duì)立事件X=｛用鳥(niǎo)，耳片，鳥(niǎo)片｝包含3個(gè)樣本點(diǎn),

_o_7

所以尸（可=而，所以尸⑷=1一尸?=5,

7

即抽取的這2名學(xué)生至少有1人在［50,70）內(nèi)的概率為七.

17.在以。為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C：V=4x,不過(guò)焦點(diǎn)的直線/與拋物線C交于A,

2兩點(diǎn)，OAOB=-3.

（1）求C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（2）證明：直線/過(guò)定點(diǎn).

【答案】（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,準(zhǔn)線方程為x=-1

（2）（3,0）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)拋物線的方程可直接得到結(jié)果；

（2）設(shè)出直線方程后，聯(lián)立與拋物線的方程，求得%%，再々值后，利用礪?礪的坐標(biāo)表示，建立方程,

解出后即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閽佄锞€C:y2=4x,

所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,準(zhǔn)線方程為x=-L

【小問(wèn)2詳解】

依題意，直線/的斜率不為零，且不過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，

設(shè)直線方程為x=+W1）,

第18頁(yè)/共24頁(yè)

y2=4%

聯(lián)立＜，消去尤得＞2—4my-4”=0,

x=my+n

設(shè)4尤1，%),B(X2,y2),

則K+%=4血,%%=—4〃,

22

xxx2-(my]+〃).(my?+“)=m2yly2++y2)+n-n,

又因?yàn)镺AOB=x1x2+%%="2—4"=-3,

所以〃=3或〃=1(舍),

當(dāng)〃=3時(shí)，直線/的方程為》=町+3,過(guò)定點(diǎn)(3,0),

故直線/過(guò)定點(diǎn)(3,0).

71

18.如圖所示的幾何體中，P。垂直于梯形A5CD所在的平面，/AOC=/BAO=—,尸為尸A的中點(diǎn),

2

PD=42,AB=AD=-CD=1,四邊形PDCE為矩形，線段PC交DE于點(diǎn)N.

2

(1)求證：AC〃平面D￡F；

(2)求二面角4—P6—C的正弦值；

TT

(3)在線段ER上是否存在一點(diǎn)Q,使得3Q與平面5cp所成角的大小為一？若存在，求出的長(zhǎng)；

6

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)是(3)在線段EE上存在一點(diǎn)。滿(mǎn)足題意，且尸。=巫

32

【解析】

【分析】(1)由題意結(jié)合線面平行的判定定理即可證得題中的結(jié)論；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系

可得二面角的正弦值；

(3)假設(shè)點(diǎn)。存在，利用直線的方向向量和平面的法向量計(jì)算可得點(diǎn)Q的存在性和位置.

第19頁(yè)/共24頁(yè)

【詳解】(1)因?yàn)樗倪呅蜳QCE為矩形，所以N為PC的中點(diǎn).連接FN,

在口PAC中，RN分別為PAPC的中點(diǎn)，所以MV〃AC,

因?yàn)镕Nu平面。"，AC<Z平面。ER,

所以AC,平面DEF.

(2)易知D4,DC,。尸兩兩垂直，如圖以。為原點(diǎn)，分別以D4,QC,OP所在直線為x,二z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系.

則尸(0,0,/),A(l,0,0),B(l,l,0),C(0,2,0),所以而=(1,1,-揚(yáng)，阮=(-1,1,0).

設(shè)平面PBC的法向量為m=(x,y,z),

比."="辦("回=。即卜+y-缶=。,解得

in-BC=(x,y,z)-(-1,1,0)=0[一x+y=。，[z=J2x,

y=L

令x=1,得<

Z—V2,

所以平面PBC的一個(gè)法向量為m=(1,1,V2).

設(shè)平面ABP的法向量為n=(尤,y,z),

x=V2

n-AB=(x,y,z)?(0,1,0)=0

,據(jù)此可得<y=o,

n-PB=(x,y,z)-d,l,-揚(yáng)=0

z=1

則平面ABP的一個(gè)法向量為n=(V2,0,1),

第20頁(yè)/共24頁(yè)

V2+V2

cos<m,n>=于是sin(m,n)=

V1+1+2-V2+1-3'

故二面角A-PB-C的正弦值為立

3

（3）設(shè)存在點(diǎn)。滿(mǎn)足條件.

由尸2,0,2，E(0,2,6),

I'7

一,72(1+2)^

設(shè)R0=X而（0W2WD，整理得Q

2)

則詼=1手,2"1,且產(chǎn)、

\7

7F

因?yàn)橹本€BQ與平面BCP所成角的大小為^,

6

BQ-m152-111

所以si吟=|cos(BQ,|=|——I-/-------------

\BQ\-\m\2A/1922-102+72

解得九2=1,

由0WXW1知4=1，即點(diǎn)。與E重合.

故在線段所上存在一點(diǎn)Q,且EQ=E「理

【點(diǎn)睛】本題的核心在考查空間向量的應(yīng)用，需要注意以下問(wèn)題:

（1）求解本題要注意兩點(diǎn)：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量

運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算.

（2）設(shè)機(jī),〃分別為平面如用的法向量，則二面角夕與<相,〃>互補(bǔ)或相等.求解時(shí)一定要注意結(jié)合實(shí)際圖形

判斷所求角是銳角還是鈍角.

22

19.已知橢圓。：5+與=1（。1〉4〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、居,3為上頂點(diǎn)，離心率為：，直線明

%偽/

與圓4x2+4y2—3=0相切.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

22

（2）橢圓方程：r：=+y=l（a〉6〉0）,平面上有一點(diǎn)尸（X。，%）.定義直線方程/:乎+苔=1

a

第21頁(yè)/共24頁(yè)

是橢圓「在點(diǎn)p(%,%)處的極線.

①若P(x0，%)在橢圓C上，證明：橢圓C在點(diǎn)P處的極線就是過(guò)點(diǎn)P的切線；

②若過(guò)點(diǎn)尸(-4,0)分別作橢圓C的兩條切線和一條割線,切點(diǎn)為X、Y,割線交橢圓C于M、N兩點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)M、N分別作橢圓C的兩條切線，且相交于點(diǎn)Q.證明：Q、X、Y三點(diǎn)共線.

22

【答案】(1)—+^=1

43

(2)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析

【解析】

c.1口同V3

【分析】(1)由題意得」=w，再結(jié)合49=廳7+。；