重難點(diǎn)專(zhuān)題1-1函數(shù)對(duì)稱性周期性問(wèn)題

近4年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2023年新高考2卷，第6題對(duì)稱性與函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題函數(shù)對(duì)稱性的識(shí)別

導(dǎo)函與原函數(shù)數(shù)對(duì)稱性問(wèn)

2022年新高考1卷，第12題函數(shù)對(duì)稱性與周期性題的轉(zhuǎn)換，由平移關(guān)系得出

對(duì)稱性

函數(shù)軸對(duì)稱與中心對(duì)稱的

2022年全國(guó)乙卷，第12題函數(shù)對(duì)稱性與周期性抽象表示式，由對(duì)稱性得出

周期

由平移關(guān)系得出對(duì)稱性，再

2021年新高考2卷，第8題函數(shù)對(duì)稱性與周期性

由對(duì)稱性得出周期

由平移關(guān)系得出對(duì)稱性，由

2021年甲卷（理），第12題函數(shù)對(duì)稱性與周期性

對(duì)稱性得出周期

函數(shù)軸對(duì)稱與中心對(duì)稱的

2021年甲卷（文），第12題函數(shù)對(duì)稱性與周期性抽象表示式，由對(duì)稱性得出

周期

模塊一a熱點(diǎn)題型解讀（目錄）

【題型1】識(shí)別對(duì)稱軸，對(duì)稱中心.................................................2

【題型2】由對(duì)稱求解析式........................................................3

【題型3】由平移前后關(guān)系得出原函數(shù)對(duì)稱性.......................................4

【題型4】與對(duì)稱性有關(guān)的材料題.................................................4

【題型5】通過(guò)周期性求值或解析式...............................................5

【題型6】由對(duì)稱性進(jìn)而得出周期.................................................7

【題型7】類(lèi)周期函數(shù)與倍增函數(shù)................................................10

【題型8】由中心對(duì)稱求出函數(shù)中間值...........................................11

【題型9】由對(duì)稱性求交點(diǎn)坐標(biāo)的和..............................................13

【題型10］由解析式看出對(duì)稱性.................................................15

【題型11】由對(duì)稱性解函數(shù)不等式...............................................16

【題型12］由解析式看出對(duì)稱中心再解函數(shù)不等式.................................17

【題型13］由解析式看出對(duì)稱軸再解函數(shù)不等式...................................18

【題型14］配湊后得出新函數(shù)的對(duì)稱性...........................................18

【題型15】已知一個(gè)對(duì)稱軸(中心)和周期.......................................19

【題型16】涉及導(dǎo)函數(shù)對(duì)稱性問(wèn)題...............................................20

【題型17】?jī)蓚€(gè)函數(shù)混合型......................................................24

【題型18］兩個(gè)函數(shù)混合且涉及導(dǎo)數(shù).............................................25

模塊二4核心題型?舉一反三(講與練)

【題型1】識(shí)別對(duì)稱軸，對(duì)稱中心

核心?技巧7

rri4-rj

若/(m+x)=/("-x),且竺h=匕回"X)關(guān)于x=Z，對(duì)稱

若f(m+x)+f(n-x)=2b,且m；"=as^/(x)關(guān)于(a,b)對(duì)稱

1.設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且〃l+x)=〃f).若/)

15

AB.——cD.

--I3-I3

【答案】C

【詳解】由題意可得:

【鞏固練習(xí)。(多選題)已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,“X+，為奇函數(shù)，且對(duì)于任意xeR,都

有〃2-3x)=〃3x),則()

A./(x+l)=/(x)

C./(x+2)為偶函數(shù)

【答案】BCD

【解析】由/(2—3x)=〃3x),得〃2—x)于(x).

由+,是奇函數(shù)，得了(x+；］=-/,x+；),即/(x)=—/(l—x),

所以/(2_尤)=_/(1-尤)，即/(x+l)=_=(x),所以〃x+2)=/(x),故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

由〃力=一/(1一力，得(￡|=0,由〃%+1)=-得了[]=-[-；)，所以/[-￡|=。，故

選項(xiàng)B正確；

由〃x+2)=/(x),f(2-x)=f(x),</(2-x)=/(2+x),即"x+2)為偶函數(shù)，故選項(xiàng)C正確;

由〃同=_〃1一力，f(x+2)=f(x),得=貝I=

即/卜一g)為奇函數(shù)，故選項(xiàng)D正確.

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)〃x)=最匕的圖象關(guān)于點(diǎn)(I"⑴)對(duì)稱，則”=()

A.1B.2C.eD.e2

【題型2】由對(duì)稱求解析式

/康心?技巧

一、把/(x)的圖像關(guān)于x對(duì)稱，對(duì)稱后的函數(shù)為g(x),貝Ig(x)=/(2a—x)

證明：設(shè)對(duì)稱后的點(diǎn)為(x,y),則點(diǎn)(2a-x,y)在了⑴上，故y=/(2a-x),即g(x)=/(2a—x)

二、把/(x)的圖像關(guān)于(。,。)對(duì)稱，對(duì)稱后的函數(shù)為g(x),貝4g(x)=26—/(2a—x)

證明：設(shè)對(duì)稱后的點(diǎn)為(x,y),則點(diǎn)(2。一工,26-、)在了。)上，代入可得2b—y=/(2a-x),則有,

y=2b—f(2a-x)Fpg(x)=2b-f(2a-x)

2.(2024?四川成都?三模)函數(shù)y=32"與y=312的圖象()

A.關(guān)于x=2對(duì)稱B.關(guān)于x=l對(duì)稱

I1

c.關(guān)于尤=；對(duì)稱D.關(guān)于x=：對(duì)稱

24

【鞏固練習(xí)1】若函數(shù)y=g(x)的圖象與y=ln尤的圖象關(guān)于直線尤=2對(duì)稱，則g(x)=

【題型3】由平移前后關(guān)系得出原函數(shù)對(duì)稱性

核心?技巧7

若已知/5a+b)+c是奇(偶)函數(shù)求/(x)對(duì)稱性

a)+6是偶函數(shù)g/O)關(guān)于x=a對(duì)稱，/(〃認(rèn)+⑶+6是奇函數(shù)0/。)關(guān)于(a,b)對(duì)稱

舉個(gè)例子：

若/(2尤+1)+3是奇函數(shù)

證：設(shè)/(無(wú))關(guān)于x=a對(duì)稱，通過(guò)函數(shù)圖像的平移和伸縮變換求出a,b的值

f(x+l)f(2x+l)/(2x+l)+3

對(duì)稱中心(a,。)

I2叼

2024?江蘇高郵?統(tǒng)考

3.定義在R上的函數(shù)y=/(x)和y=g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且函數(shù)y=/(x-2)+i是奇函數(shù)，則

函數(shù)y=g(x)圖象的對(duì)稱中心為()

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(-2,1)D.(2,-1)

【鞏固練習(xí)】已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽1(l-2x)為偶函數(shù)，1)為奇函數(shù)，貝IJ()

A./(0)=0B./(-2)=0

C./(-3)=0D./(-5)=0

【題型4］與對(duì)稱性有關(guān)的材料題

核心?技巧

結(jié)合材料得出結(jié)論，再解決問(wèn)題

4.(多選)在學(xué)習(xí)了函數(shù)的奇偶性后，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)：函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)的充要條件是y=/(x)

的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，可以引申為：函數(shù)y=/(x+a)-6為奇函數(shù)的充要條件是

y=/(力的圖象關(guān)于點(diǎn)尸(。，3成中心對(duì)稱.已知函數(shù)"x)=%3+"V+2m一4的圖象關(guān)于(2,0)

成中心對(duì)稱，則下列結(jié)論正確的是()

A./(2)=1B./(4)=4

C.m+n=—1D./(2+尤)+/(2—x)=0

【鞏固練習(xí)1】(多選)已知函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于P(a/)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是

y=f(尤+°)-)是奇函數(shù)，函數(shù)1/(無(wú))的圖象關(guān)于x=。成軸對(duì)稱圖形的充要條件是y=/(x+a)是

偶函數(shù).則下列說(shuō)法正確的是()

A./(x)=/-3/的對(duì)稱中心為(1,_2)

B./(x)=尤'-4尤3+6^2-4x關(guān)于x=l對(duì)稱

c./(x)=4一的對(duì)稱中心為(1,-2)

x-1

X—2

D./(■=J「〈的圖象關(guān)于(一象0)對(duì)稱

廠-4.x+5

【鞏固練習(xí)2】(2023上?湖南長(zhǎng)沙?高一長(zhǎng)沙一中校考)我們知道，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原

點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/(X)為奇函數(shù),有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=/(x)

的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,6)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/(x+a)-b為奇函數(shù).

(1)請(qǐng)你利用這個(gè)結(jié)論求得函數(shù)/(x)=V+3d的對(duì)稱中心為.

⑵已知函數(shù)g(x)=--尤3―3/與一次函數(shù)y=z(x+i)_3有兩個(gè)交點(diǎn)加(為,％),

x+1

則無(wú)1+必+%+%=.

【題型5】通過(guò)周期性求值或解析式

核心?技巧

(1)求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)周期定義，從而求出函數(shù)的周期.

(2)利用函數(shù)的周期性，可以解決區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問(wèn)題.

周期函數(shù)的常見(jiàn)條件

一、若/(X)+/(尤+a)=C(c為常數(shù))，則/(%)周期為2a.

證明：令無(wú)=x+an/(x+a)+/(x+2a)=c,兩式相減得了(x+2a)-/(x)=0

即/(x+2a)=/(x),故7=2同

二、若/(%+。)=則丁=2同(相對(duì)少見(jiàn))

F(X)

證明：由/(%+。)=^~7，得/+~~-=f(x)^T=2\a\

/(x)f(x+a)

三、其它周期條件

設(shè)函數(shù)y=/(x),xeR,a>0,a1b.

(1)若〃x+a)=/(x-a),則函數(shù)f(無(wú))的周期為2a;

(2)f(x+a)=-f(x),則函數(shù)/(x)的周期為2a；

若/(%+〃)=---;~~r

(3)右I)〃尤)，則函數(shù)/(X)的周期為2a;

若小f,

(4)則函數(shù)〃x)的周期為2a；

(5)若〃x+a)=〃x+。)，則函數(shù)〃x)的周期為|。一小

(6)若函數(shù)“X)的圖象關(guān)于直線x=a與x=b對(duì)稱，則函數(shù)“X)的周期為2。-4；

(7)若函數(shù)“X)的圖象既關(guān)于點(diǎn)(。,0)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)他,0)對(duì)稱，則函數(shù)“X)的周期為2弧-4；

(8)若函數(shù)/(x)的圖象既關(guān)于直線x=a對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)。,0)對(duì)稱，則函數(shù)/(x)的周期為4忸-4；

(9)若函數(shù)/(尤)是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線％對(duì)稱，則/(x)的周期為2a；

(10)若函數(shù)f(尤)是奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，則/(X)的周期為4a.

三、周期與對(duì)稱性的區(qū)分

1.若/'(x+a)=±/(x+6),則f(x)具有周期性;

2.若+a)=±f(b-%),則f(x)具有對(duì)稱性:

口訣：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對(duì)稱性''

5.(2024?陜西西安?二模)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)Ax)滿足/(x+2)=-/(x),且當(dāng)0<x<2時(shí),

/(x)=3'-lnx,貝4/(211)=.

【鞏固練習(xí)1】(多選)已知回(團(tuán)是定義在回上的函數(shù)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)回恒有回(回+2)=-回(回).當(dāng)回6

［。,2］時(shí),團(tuán)聞=一呼+2固則()

A.回(回)為奇函數(shù)

B.團(tuán)(團(tuán)在回G［2,4］上的解析式為回(回)=呼一60+8

C.C回)的值域?yàn)椋?。?/p>

D.0(1)+回(2)+0(3)+?--+回(2022)=1

【鞏固練習(xí)2］設(shè)回(回)是定義在回上的周期為2的偶函數(shù)，已知回e［2,3］時(shí)，0(0)=0,則團(tuán)e［-2,。］時(shí)，

回(助的解析式為目(0)=()

A.13+4B.2—回

C.j—|0+i|D.2—|0+i|

【題型6】由對(duì)稱性進(jìn)而得出周期

核心?技巧

一、若/(X)關(guān)于x=4和(b,c)對(duì)稱，則7=川〃-4(類(lèi)比三角函數(shù))

證明：由對(duì)稱軸可得/(%)=/(2。一％),

由對(duì)稱中心可得/(x)+f(2b-x)=2c=>f(x)=2c-f(2b-尤)

貝I有f(2a-x)=2c-f(2b-x),

令x=2a-x,則有f(x)-2c-f(2b-2tz+x)=>/(%)+f(2b-2a+x)=2c,

ikT=2\2a-2b\=4\a-b\

三、若/(%)關(guān)于(a,C)和他,C)對(duì)稱，則T=2|a-6|(類(lèi)比三角函數(shù))

f(-x)+f(x+2a)=2c

證明：由對(duì)稱性可得4,則/(x+2a)=/(x+2Z?),故T=|2a-24

/(—九)+/(%+2。)=2c

四、若/(X)關(guān)于x=。和x對(duì)稱，則T=2|a-b|

f(-x)=f(x-2a)

證明：由對(duì)稱性可得</(X—2a)=/(%_2Z>),故T=|2a—26]

f(-x)=f(x-2b)

2021全國(guó)甲卷(文)12題——由對(duì)稱性得出周期性求值

6.設(shè)〃x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且〃l+x)=〃-x).若/㈢=；,則/《)=()

55

A.B.C.D.

333

2021新高考2卷第8題——由對(duì)稱性得出周期性求值

7.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,〃x+2)為偶函數(shù)，/(2x+l)為奇函數(shù)，則()

A.C=。B./(-1)=0C."2)=0D./(4)=0

2024?廣東省一模

8.(多選)已知偶函數(shù)的定義域?yàn)镽,+l1為奇函數(shù)，且人無(wú))在［0』上單調(diào)遞增，則下

列結(jié)論正確的是()

A.B.心>。C.〃3)<0D./［喂|>0

2024?安徽蕪湖?二模

2024

9.已知函數(shù)〃力的定義域?yàn)镽,且〃x+2)-2為奇函數(shù)，〃3x+l)為偶函數(shù)，/⑴=0,則無(wú))

k=l

=()

A.4036B.4040C.4044D.4048

10.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,”x-2)為偶函數(shù)，/(x-3)+/(-x+l)=0,當(dāng)xe[T,0]時(shí),

19

f[x)=x+\,則(無(wú))=()

k=\

A.19B.0C.1D.-1

2024?山東濟(jì)寧?一模

11.設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽,/(2x-l)為奇函數(shù)，2)為偶函數(shù)，當(dāng)xe［0,l］時(shí)，/(x)=x2-l,

貝1)/(2023)_/(2024)=()

A.-1B.0C.1D.2

12.（多選）己知函數(shù)〃x）的定義域?yàn)镽,若/（2x-l）+/（3—2x）=2,且〃x-2）為偶函數(shù)，八2）=2,

則（）

A./（x+4）=/（x）B./（2024）=0

25

C./（3）+/（9）=2D.￡/（0=25

Z=1

2024?浙江?Z20第二次聯(lián)考

13.函數(shù)“可是定義在R上的奇函數(shù)，滿足/（I-x）=〃l+x）,〃l）=-l,以下結(jié)論正確的是（）

A./（3）=0B.7（4）=0

20232023

C.￡/（幻=0D.￡/（2左一1）=0

k=lk=l

2024?河北張家口?一模

14.已知定義在R上的函數(shù)滿足:）=2J（x）-/（4-x）=0,且〃0）=2.若

2024

ieN*,則三"）=（）

i=\

A.506B.1012C.2024D.4048

【鞏固練習(xí)1]（2024?湖南長(zhǎng)沙?二模）已知定義在R上的函數(shù)/（%）是奇函數(shù)，對(duì)任意xeR都有

+當(dāng)/（-3）=—2時(shí)，則”2023）等于（）

A.2B.-2C.0D.-4

【鞏固練習(xí)2】（2024.高三.遼寧營(yíng)口.期末）設(shè)函數(shù)“X）的定義域?yàn)镽,/（》+1）-3為奇函數(shù)，/（x+2）

2023

為偶函數(shù)，當(dāng)龍目1,2]時(shí)，f^x）=cvc+b.若/（一1）+/（0）=1,則/）

2

A.-衛(wèi)11

B.—D

1212c1-1

【鞏固練習(xí)312021全國(guó)甲卷（理）12題

2

設(shè)函數(shù)〃力的定義域?yàn)镽,/（x+1）為奇函數(shù)，〃x+2）為偶函數(shù)，當(dāng)xw[l,2]時(shí)，f（x）=ax+b.若

〃0)+〃3)=6,則/

A-B-4c-7D-I

【鞏固練習(xí)4](2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?二模)已知定義在R上的函數(shù)(0)滿足/(2+一支)=

4%.若f(2久一3)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱,且f(0)=0,則f(l)+f(2)+…+f(50)=()

A.0B.50C.2509D.2499

【鞏固練習(xí)5】(2024全國(guó)?三模)(多選)已知函數(shù)定義域?yàn)镽且不恒為零，若函數(shù)y=/(2x-l)

的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，y=〃2-x)+l的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，則()

A./(x+6)=/(x)

B./(10)=0

C.x=7是/'(尤)圖象的一條對(duì)稱軸

D.(56,0)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

【題型7】類(lèi)周期函數(shù)與倍增函數(shù)

核心?技巧

類(lèi)周期函數(shù)的定義：若y=/(x)滿足：7(x+M=外(尤)或兀0=領(lǐng)工")，則y=/(x)橫坐標(biāo)每增加m個(gè)單位,

則函數(shù)值擴(kuò)大左倍.此函數(shù)稱為周期為根的類(lèi)周期函數(shù).

1、類(lèi)周期函數(shù)

若y=/(x)滿足：/0+m)=爐0)或/。)=50-》1),則y=/(x)橫坐標(biāo)每增加，〃個(gè)單位，貝"函數(shù)

值擴(kuò)大左倍.此函數(shù)稱為周期為，"的類(lèi)周期函數(shù).

2、倍增函數(shù)

X

若函數(shù)y=f(x)滿足于(mx)=勾'(x)或/(%)=做一),則y=/(X)橫坐標(biāo)每擴(kuò)大”Z倍，則函數(shù)值擴(kuò)大

m

k倍.此函數(shù)稱為倍增函數(shù).

2024?遼寧?二模

a1

15.己知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,滿足〃x+l)—2/(x)=0,且當(dāng)xe(O,l]時(shí)，小)=/_#,

則小[彳]的值為_(kāi)___.

&=11)

16.定義在R上的函數(shù)〃x)滿足〃x+l)=；〃x),且當(dāng)xe[0,l)時(shí)，/(x)=l-|2x-l|,當(dāng)xe

時(shí)，y=〃x)的值域?yàn)?)

A.B.[0,1]C.J/D.0,1

_2JL」|_16J16

17.已知定義在R上的函數(shù)y=/(x),滿足〃x)=2〃x+2),當(dāng)xe(O,2]時(shí)，〃x)=4x(2—力，

若方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為.

【鞏固練習(xí)1】設(shè)函數(shù)f(%)的定義域?yàn)镽,且/(%+4)=2/(%),當(dāng)XE(0,4]時(shí)，/(x)=2x2—8%,

若對(duì)于"久6(—8用，都有/(久)2—|恒成立，貝"的取值范圍是()

A.(-oo,-7]B.(-oo,-5]C.(-oo,-3]D.(-oo,-l]

【鞏固練習(xí)2](2024?云南昆明?二模)定義“函數(shù)y=/0)是。上的a級(jí)類(lèi)周期函數(shù)”如下：函數(shù)y=

f(x),xGD,對(duì)于給定的非零常數(shù)a,總存在非零常數(shù)T,使得定義域。內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x都有a〃>)=

f(x+T)恒成立，此時(shí)r為f(x)的周期.若y=/(久)是[1,+8)上的a級(jí)類(lèi)周期函數(shù)，且7=1,當(dāng)久e

[1,2)時(shí)，/(%)=2x+1,且y=f(x)是[1,+8)上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.[|,+8)B.[2,+oo)C.[|,+8)D.[10,+8)

【鞏固練習(xí)3】設(shè)函數(shù)/(久)的定義域?yàn)镽,滿足〃久)=2/(%-2),且當(dāng)x￡(0,2]時(shí),/(久)=久(2-久).若

對(duì)任意％E(-00,rn],都有/(%)<3,則zn的取值范圍是()

A.(-00,j]B,(-oo,|]c.(-81D.(—8,1

【題型8】由中心對(duì)稱求出函數(shù)中間值

核心?技巧

已知了(尤)=奇函數(shù)+M,-Ve[-a,a],則

(1)f(-x)+f(x)=2M

(2)fMnm+f(x)min=2M

18./(x)是定義在R上的函數(shù)，++；為奇函數(shù)，貝i]/(2023)+/(-2022)=()

A.-1B.C.5D.1

22

2

19.設(shè)“%)=三1+。為奇函數(shù),若g(x)=/(x)+sinx+a在(冽>0)的最大值為3,則

g(%)在Xc[-孤m\(m>0)的最小值為.

20.函數(shù)/(幻=上斗」在[-2020,2020]上的最大值和最小值分別為跖m，則知+機(jī)=.

x+1

21.已知函數(shù)加+/+CX—2023,且"10)=6,貝廳(—10)=

2

【鞏固練習(xí)1】設(shè)〃尤)=/二二+。為奇函數(shù)，若g(尤)=〃x)+sinx+a在(機(jī)>0)的最大值

為3,則g(x)在xe[T?,m]O>0)的最小值為.

【鞏固練習(xí)2】(2024?高三.安徽?期中)函數(shù)=，-6,sin(x-3)+x+a(xe[0,6])的最大值為M,

最小值為機(jī)，若A/+機(jī)=8,則。=.

【鞏固練習(xí)3】已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足Vx,yeR,〃x+y)=/(x)+/(y)-2024,若函數(shù)

g(x)=x%；：一，+”尤)的最大值和最小值分別為",山，則〃+機(jī)=

【鞏固練習(xí)4】已知函數(shù)/(幻=(2加一4]+3)(六一廣工)一2%+1在[0,2]上的最大值為“，最小值為

m,貝!]〃+加=

【鞏固練習(xí)5】已矢口函數(shù)/(尤)=1082(41+2/+也目+^=^+3,%€[-6,6],若〃月的最大值為M,

最小值為加，貝+.

【題型9]由對(duì)稱性求交點(diǎn)坐標(biāo)的和

核心?技巧

一、若/(X)與g(x)關(guān)于x=a對(duì)稱，且它們有根個(gè)交點(diǎn)，則所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和

二、若/(x)與g(x)關(guān)于(。/)對(duì)稱，且它們有m個(gè)交點(diǎn)，則所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和。加，縱坐標(biāo)之和

為bm

22.定義在R上的函數(shù)滿足/'(4r)=—"x)"(2x+l)為偶函數(shù)，/(1)=2,函數(shù)g(x)(xeR)

滿足g(x)=g(2-尤)，若y=/(x)與y=g(x)恰有2023個(gè)交點(diǎn)，從左至右依次為

(玉,乂),(々，%)，…，(無(wú)2023，%023)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.“X)為奇函數(shù)B.2為y=/(x)的一個(gè)周期

C.%012=2D.X]4-+*,'+尤2023=2023

2024?湖北七市州?3月統(tǒng)考

23.(多選)我們知道，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)

y=f(x)為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)尸(。,6)成中心對(duì)

4

稱圖形的充要條件是函數(shù)，=/(x+a)-6為奇函數(shù).己知函數(shù)/(x)=k^,則下列結(jié)論正確的

2+2

有()

A.函數(shù)/⑴的值域?yàn)?0,2]

B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(U)成中心對(duì)稱圖形

C.函數(shù)Ax)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱

D.若函數(shù)g(尤)滿足y=g(x+l)-l為奇函數(shù)，且其圖象與函數(shù)/⑶的圖象有2024個(gè)交點(diǎn)，記為

2024

A(4%)(，=1,2,…,2024),則E(x,+yJ=4048

1=1

2024?重慶一中?2月月考

24.已知定義在R上的函數(shù)/(%),/(4-2)是奇函數(shù)，2(九一1)是偶函數(shù)，當(dāng)上,/(%)=辦2+法,

/⑴=2,=則下列說(shuō)法中正確的有()

A.函數(shù)/(x)的最小正周期為4

B.函數(shù)/⑴關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱

C.”2023)+/(2025)=0

D.函數(shù)8(彳)=?；?'，1有8個(gè)不同零點(diǎn)

【鞏固練習(xí)1］已知是定義在R上的奇函數(shù)，且/(%)在［0,2］上單調(diào)遞減，〃x+2)為偶函數(shù),

若/(%)=〃，在［0,12］上恰好有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根占,無(wú)2，三,匕，則占+9+三+匕=.

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)〃x)(xeR)滿足：〃x+l)是偶函數(shù)，若函數(shù)y=,-2x-3|與函數(shù)y=

圖象的交點(diǎn)為(4，乙)，(々,叫)，L,,則橫坐標(biāo)之和%+%+…+/=()

A.0B.mC.2mD.4m

【鞏固練習(xí)3】(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,若g(x)=l-42尤-1)為奇函數(shù)，

且直線(2〃?+l)x+(l-〃)丁+3機(jī)=0與/(x)的圖象恰有5個(gè)公共點(diǎn)(知無(wú))，(巧，/)，(不，%)，

5

(%,%)，(%,%)，則2(%-%)=-

【鞏固練習(xí)4】定義在R上的函數(shù)〃x)滿足〃-x)+/(x)=0,〃r)=/(x+2)；且當(dāng)尤時(shí)，

/(x)=x3-x2+^.則方程4，(x)—x+2=。所有的根之和為()

A.6B.12C.14D.10

【鞏固練習(xí)5】已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足/'(元)=/(2-幻，當(dāng)xe［0,l］時(shí)，/(x)=x.函數(shù)

g(x)=e+T(_l<x<3),則/(x)與g(x)的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為()

A.3B.4C.5D.6

【鞏固練習(xí)6】定義在R上的函數(shù)〃力滿足/■(-*)+/(尤)=0J(x)=f(2-x)；且當(dāng)xe［0,l］時(shí)，

32

f(x)=x-x+x.則方程7〃尤)一%+2=0所有的根之和為()

A.14B.12C.10D.8

【題型10］由解析式看出對(duì)稱性

2024?湖南師大附中月考(四)

核電?技巧

一、具有中心對(duì)稱的函數(shù)往往需要先移項(xiàng)，再脫掉“尸

二、具有軸對(duì)稱的函數(shù)脫掉“尸后注意加絕對(duì)值符號(hào)

25.函數(shù)/("=向+23［口+2023間在區(qū)間［-3,5］上所有零點(diǎn)的和等于()

A.2B.4C.6D.8

2024?福建泉州?質(zhì)量監(jiān)測(cè)(三)

26.已知函數(shù)/(同=必［1一￡^),g(x)滿足g(l+3x)+g(3-3x)=0,G(x)=/(x-2)-g(x),若

G(x)恰有2〃+l(〃eN*)個(gè)零點(diǎn)，則這2“+1個(gè)零點(diǎn)之和為()

A.2nB.2〃+1C.4〃D.4n+2

2024?四川瀘州?二模

27.定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足/(x+2)=/(x-2),當(dāng)xe［-2,2］時(shí)，函數(shù)〃x)=4—必，設(shè)函數(shù)

g(x)=e+2(_2<x<6),則方程-g(x)=0的所有實(shí)數(shù)根之和為()

A.5B.6C.7D.8

2024?廣州市鐵一中?一模

28.已知函數(shù)〃尤)=sin(2M+—二，則直線、=尤-2與“X)的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為

x—2

()

A.0B.8C.12D.16

【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)/(尤)=依3+法-2,若"2023)=10,貝4/(—2023)=.

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)/(x)=f-2x+a(ei+eT+i)有唯一零點(diǎn)，貝心=

【鞏固練習(xí)3】（2024?安徽阜陽(yáng)?期末）若函數(shù)〃同=機(jī)?—b）+加11（尤+77石）+1（m,〃為常數(shù)）

在［1,3］上有最大值7,則函數(shù)〃x）在［-3,-1］上（）

A.有最小值-5B.有最大值5C.有最大值6D.有最小值-7

/(—2020)+/(-2019)+---+/(-1)+/(0)+/(I)+……/(2020)=

【鞏固練習(xí)5】若函數(shù)/（X）=Y^-X2+2X,且一,b=于一,c=于一，貝卜）

e"■+Ie-/Z/

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【題型11】由對(duì)稱性解函數(shù)不等式

核心?技巧u

一、具有中心對(duì)稱的函數(shù)往往需要先移項(xiàng)，再脫掉“尸

二、具有軸對(duì)稱的函數(shù)脫掉“尸后注意加絕對(duì)值符號(hào)

29.已知定義在A上的函數(shù)逃?在［0,+8）上單調(diào)遞增，且函數(shù)40—1為奇函數(shù)，則93±+4）+近1

一?＜2的解集為.

30.已知函數(shù)y=/（%-1）的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱，且對(duì)y=/（x）,xeR,當(dāng)石,42e（—oo,0］時(shí),

‘二~八，＜0成立，若/（2奴）勺'（2/+1）對(duì)任意的xeR恒成立，則。的可取值為（）

A.--^2D.V2

【鞏固練習(xí)1］已知函數(shù)y=〃3x+l）為偶函數(shù),且在［0,+8）上為增函數(shù)，若/（x）＜/（2x+l）,則x

的范圍是.

【鞏固練習(xí)2】(2023?重慶八中)已知y=/(x+l)為偶函數(shù)，若對(duì)任意a,6e［l,+co),(a*6),總有

4作)+妙⑷<^(a)+"(b)成立，則不等式/(2“</(4)的解集為()

A.(-1,2)B.(-2,2)

【題型12］由解析式看出對(duì)稱中心再解函數(shù)不等式

核心?技巧

具有中心對(duì)稱的函數(shù)往往需要先移項(xiàng)，再脫掉“尸

31.已知函數(shù)/(x):sin(x-1)+e--e』—x+1在R上單調(diào)遞增，則滿足/(%)+/(3—2%)<0的％的取

值范圍是()

A.(-oo,3)B.(3,+oo)C.(一8,1)D.(l,+oo)

32.已矢口函數(shù)/(x)=^^—2024*—2024x+4,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若/(〃一6)+“〃)>8,

2024

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

33.已知函數(shù)/'("=丁+11!(771+無(wú))，若不等式/?(2，-4*)+/(巾2"-3)<0對(duì)任意xeR均成立，

則機(jī)的取值范圍為.

【鞏固練習(xí)1】(2024?山東?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)”x)=e2，T-eE+sinEx-j+l,則不等式

/(2x+l)+/(2r)N2的解集為.

【鞏固練習(xí)2］已知函數(shù)=4-e=2x+4,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若/(〃-6)+/(°2)>8,

e

則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

A.(2,+8)B.(-3,2)

C.(-8,-3)D.(-oo,-3)U(2,+co)

【題型13］由解析式看出對(duì)稱軸再解函數(shù)不等式

核心?技巧

具有軸對(duì)稱的函數(shù)脫掉“產(chǎn)后注意加絕對(duì)值符號(hào)

34.已知函數(shù)/⑺=3+0+電此則不等式/（x+l）＞〃2x-l）的解集為（）

A.（0,2）B.陷嗚，2）

C（03）D.［。3嗚,3］

35.（2024.山東青島.三模）已知函數(shù)-2x）.（ei+ei）,則滿足不等式〃2x）＜44）的x

取值范圍為（）

A.（—,2）B.（-1,2）C.（2,+8）D.（1,2）

【鞏固練習(xí)1】已知定義在回上的函數(shù)目（助在（-8,2］上單調(diào)遞增，若函數(shù)回（0+2）為偶函數(shù)，且回（3）=0,

則不等式甌（助〉。的解集為（）

A.（o,3）B.（-8,。）U（2,3）

C.（-OO,o）UG，+°°）D.（0,1）UG，+°°）

【鞏固練習(xí)2］已知函數(shù)/（k=/+2*+2-工，若不等式/。―依）＜/（2+尤對(duì)任意xeR恒成

立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

O_2

【鞏固練習(xí)3】設(shè)函數(shù)/（x）=ei+/+土r=，若/（依）2/（必+4）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

1+x

是.

【題型14］配湊后得出新函數(shù)的對(duì)稱性

核心?技巧'

通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題

36.（多選）定義在R上的函數(shù)/（尤）滿足f（3-尤）-f（3+x）=4x,函數(shù)/（2x+l）的圖象關(guān)于（0,2）對(duì)

稱，則（）

A.8是f（x）的一個(gè)周期B.〃2)=4

C.Ax）的圖象關(guān)于（1,2）對(duì)稱D./(2025)=-4046

【題型15】已知一個(gè)對(duì)稱軸（中心）和周期

*1>?技巧/

已知一個(gè)對(duì)稱軸軸（中心）和周期的問(wèn)題不能直接套用sin,cos的函數(shù)來(lái)得出另一個(gè)對(duì)稱中心（軸）

2024?重慶?康德卷模擬調(diào)研卷（四）

37.已知/（尤）是周期為3的函數(shù)，且VxeR都有〃3x）+/（4—3x）=4,則“2024）=（）

A.-4B.-2C.2D.4

2024?廣東?百日沖刺聯(lián)（一模）

38.已知函數(shù)無(wú)⑺的定義域?yàn)镽,且滿足/z（x+l）+/7（x-l）=2,/z（2-x）是偶函數(shù)，.2）=0,若〃eZ,

103

則Zh⑺=（）

n=-103

A.202B.204C.206D.208

2024?江蘇徐州?一模

39.若定義在R上的函數(shù)滿足〃x+2）+/（x）=〃4）,〃2x+l）是奇函數(shù)，=1則（）

1711171

A.5）=FB.-R=0

k=\//k=lZ

1711717117

c.Zw--）=-D.Sw--）=4

%=1乙乙k=l乙2

2024-長(zhǎng)沙市第一中?適應(yīng)性演練（一）

40.（多選）已知定義在R上的函數(shù)/（x）滿足/（x+2）+/（x）=/（2026）,且/（尤+1）-1是奇函數(shù).則

（）

A./(1)+/(3)=2B./(2023)+“2025)=/(2024)

2024

C.7(2023)是/(2022)與/(2024)的等差中項(xiàng)D.￡/(i)=2024

Z=1

【鞏固練習(xí)1】函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,且〃x+2)=—〃x+l)-“X),/(x)=f(2-x),

7(365)=-1,則/(I)+”2)+”3)+…+/(2023)=.

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,且滿足〃x)