重難點(diǎn)專題02函數(shù)值域與最值十四大題型匯總

題型1幕函數(shù)值域問(wèn)題...............................................................1

題型2指數(shù)函數(shù)值域問(wèn)題.............................................................3

?類型1值域相關(guān)問(wèn)題.........................................................3

?類型3由函數(shù)奇偶性求解析式................................................5

題型3對(duì)數(shù)函數(shù)值域問(wèn)題.............................................................5

?類型1值域相關(guān)問(wèn)題.........................................................5

?類型2定義域與值域?yàn)镽問(wèn)題................................................6

?類型3新定義相關(guān)問(wèn)題.......................................................7

題型4分式型函數(shù)值域問(wèn)題...........................................................7

題型5對(duì)鉤與雙刀函數(shù)值域問(wèn)題......................................................9

題型6分段函數(shù)值域問(wèn)題............................................................10

題型1絕對(duì)值函數(shù)值域問(wèn)題..........................................................11

題型8高斯函數(shù)值域問(wèn)題............................................................12

題型9“倍縮”函數(shù)值域問(wèn)題........................................................14

題型10”類周期函數(shù)”值域問(wèn)題.....................................................15

題型11抽象函數(shù)值域問(wèn)題...........................................................17

題型12復(fù)合函數(shù)值域問(wèn)題...........................................................17

題型13三角函數(shù)值域問(wèn)題...........................................................18

題型14函數(shù)中的兩邊逼近思想......................................................19

SKDII

題型1幕函數(shù)值域問(wèn)題

f.豐?、、、

幕函數(shù)主要考察一元二次函數(shù)

二次函數(shù)在進(jìn)行討論的時(shí)候要首先考慮二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況，然后根據(jù)題意，去討論開

口或者討論A

【例題1】(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))對(duì)于函數(shù)f(x)=+如其中2＞。，若/(x)的定義

域與值域相同，則非零實(shí)數(shù)a的值為

【變式1-1】1.(2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考)若函數(shù)f(x)=x2—6x-16的定義域?yàn)椋?,利,

值域?yàn)椋邸?5,—16］,則m的取值范圍為

【變式1-1】2.(2017春?貴州貴陽(yáng)?高三階段練習(xí))若函婁妤O)=VaN+bx+c(a,b,c€

R)的定義域和值域分別為集合4瓦且集合｛(“7)|%64>68｝表示的平面區(qū)域是邊長(zhǎng)為1

的正方形，則6+c的最大值為

【變式1-1】3.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))定義在R上的奇函數(shù)/(%),當(dāng)心0時(shí)，

/(久)=一/+2久.另一個(gè)函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)椋踑,b］,值域?yàn)椋哿?，其中aRb,a,

b芋0.在x€［a,b］上,g(x)=/(久).求a,b.

【變式1-114.b,CGR,二次函數(shù)/(*)=/+6%+C在(0,1)上與左軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

求。2+(1+6)c的取值范圍.

【變式1-1】5.侈選)(2023?山西朔州懷仁市第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=ax3

+(l-a)x,則()

A.函婁好(久)為奇函數(shù)

B.當(dāng)/(￡)=1時(shí)，。=-域1

C.若函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為［0,1)

D.若函數(shù)f(x)在區(qū)間［—1,1］上的值域?yàn)椋邸?,1］,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為|—，4］

【變式1-1】6.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))定義：區(qū)間跖應(yīng)］的長(zhǎng)度為冷一孫已知函數(shù)

丫=/+1的定義域?yàn)椋?。用，值域?yàn)椋?,2］,記區(qū)間口0的最大長(zhǎng)度為小，最小長(zhǎng)度為九則函數(shù)

。(久)=ex-mx+ri的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.0D.3

【變式1-1］7.(2023春?上海楊浦?高三復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí))已知八幻=%3-3%,函

數(shù)y=/(*)的定義域?yàn)榭诰?a,beZ),y=/(x)的值域?yàn)椋踑,句的子集，則這樣的函數(shù)的個(gè)數(shù)為

A.1B.2C.3D.無(wú)數(shù)個(gè)

題型2指數(shù)函數(shù)值域問(wèn)題

?類型1值域相關(guān)問(wèn)題

【例題2-1】（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若2/+1<則函數(shù)y=2,的值域是（）

A.[MW.[Q]

c.（-8,gD.[2,+oo）

【變式2-1]1.（多選）（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）函數(shù)/'（%）=22-2，+1+2的定義域?yàn)?/p>

M,值域?yàn)閇1,2],下列結(jié)論中一定成立的結(jié)論的序號(hào)是（）

A.MG（-00,1]B.M2[-2,1]C,1D.0GM

【變式2-1】2.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）使函數(shù)f（x）=|e「a|的值域?yàn)閇0,+8）的一個(gè)a的

值為.

【變式2-1】3.（多選）（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）對(duì)任意實(shí)數(shù)a>1,函數(shù)y=（a—l尸一+1

的圖象必過(guò)定點(diǎn)4（小刀），/（x）=g）,的定義域?yàn)閇0,2],g（x）=/（2x）+/（%）,則下列結(jié)論

正確的是（）

A.m=1,n=2B.g（x）的定義域?yàn)閇0,1]

C.g（x）的值域?yàn)閇2,6]D.g（x）的值域?yàn)閇2,20]

【變式2-1】4.（2020?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)/0）=白，（a〉。且a力1）,[河表示

不超過(guò)實(shí)數(shù)m的最大整數(shù)，則函數(shù)If(久)—4+『(-%)+4的值域是()

A.(0,1,2}B.{—1,o}C.{-1,0,1}D.[0,1}

?類型2定義域與值域?yàn)閇ma,河型

邪&重點(diǎn)

對(duì)于單調(diào)函數(shù)定義域值域都已知可轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)相交問(wèn)題

【例題2-2】(2023秋?山東濟(jì)南?高三濟(jì)南市歷城第二中學(xué)校考開學(xué)考試)給出定義：如果

函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)閇a,句，值域也是[a,b],那么稱函數(shù)f(x)為"保域函數(shù)".下列

函數(shù)中是“保域函數(shù)"的有(填上所有正確答案的序號(hào)).

①/'(%)=y[2x,x6[0,2]；

②/'(%)=%?+%—1,xe[—1,1];

③/(0=432一|S,%6[-1,1]；

④/'(%)=寧Inx+1,xG[l,e2].

【變式2-2】1.(2020春?江蘇南京?高三南京市第二十九中學(xué)?？奸_學(xué)考試)若函數(shù)'=謨

(a>1)的定義域和值域均為[犯初,則a的范圍是

【變式2-2】2.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))若函數(shù)f(x)=ax(a>0且分1)在定義域[m,n]

上的值域是[序，方<m<ri),則a的取值范圍是.

【變式2-2】3.(2023春?上海楊浦?高三復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí))已知/。)=爐—3%,函

數(shù)y=f(%)的定義域?yàn)閇a,0(a力GZ),y=/(久)的值域?yàn)閇a,句的子集，則這樣的函數(shù)的個(gè)數(shù)為

()

A.1B.2C.3D.無(wú)數(shù)個(gè)

【變式2-2】4.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))對(duì)于區(qū)間[a,6](a<b),若函數(shù)y=/(x)同時(shí)滿

足：①f(x)在［a力］上是單調(diào)函數(shù)；②函數(shù)y=f(x),久e［a,b］的值域是口口，則稱區(qū)間［a力］為

函婁好0)的“保值"區(qū)間.若函數(shù)外久)=必+機(jī)(小40)存在"保值"區(qū)間，則實(shí)數(shù)小的取值

范圍為

?類型3由函數(shù)奇偶性求解析式

【例題2-3】(2023?四川綿陽(yáng)?綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？既?已知f(x),g(x)分別為定

義域?yàn)镽的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且/(%)+9(幻=6。若關(guān)于X的不等式2〃>)—%2(幻20在

(0,ln3)上恒成立，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A,序+8)B.［0,+8)C.(一8,8D.(o,y］

【變式2-3］(2022春?海南?高三海南中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)八X)和

奇函數(shù)9(%)滿足：f(x)+g(久)=2。若存在實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于x的不等式

Of(x)—a)(g(x)—a)W0在區(qū)間［1,2］上恒成立，則正整數(shù)n的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

題型3對(duì)數(shù)函數(shù)值域問(wèn)題

【例題3-1】(2023秋云南?高三云南師大附中?？茧A段練習(xí))定義域?yàn)镽的函數(shù)/(久)滿足:

當(dāng)XC［0,1)時(shí)，y(x)=2%-x,且對(duì)任意的實(shí)數(shù)X,均有/'(%)+/(%+1)=1,記a=log23,

貝療(a)+/(2a)+/(3a)=()

【變式3-1J1.(2021秋湖南益陽(yáng)?高三益陽(yáng)市箴言中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)函數(shù)f(x)=|logM|

(a>0且aH1)的定義域?yàn)閨m,n|(m<n),值域?yàn)閇0,1],若"機(jī)的最小值為則實(shí)數(shù)a的

值是

2

【變式3-1]2.(2019秋?陜西榆林?高三校考階段練習(xí))已知y=log2(x-2x+17)的值域

為[叫+8),當(dāng)正數(shù)a,6滿足7焉+焉1=小時(shí)，則7a+4b的最小值為()

AJ1C.^±^D.2

4B.4

【變式3-1】3.(2019秋?江蘇鹽城?高三?？茧A段練習(xí))已知fQ)=ln式定義域?yàn)镈,對(duì)于

任意%1,x2GD,當(dāng)曲一冷|=2時(shí),則-f(%2)l的最小值是?

【變式3-1】4.(2023?高三課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)f(x)=loga沿的定義域?yàn)镽S),值域?yàn)?/p>

(logaaQS-l),log(la(a-1)],且函數(shù)f(x)為[%￡)上的嚴(yán)格減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

?類型2定義域與值域?yàn)镽問(wèn)題

【例題3-2】(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=log3%筌的定義域?yàn)镽,值域

為[0,2],求m,n的值.

【變式3-2】1.(2019?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)人久)=lg[g2—3爪+2)/

+2(m—1)%+5],mER.

(1)若函數(shù)"久)的定義域?yàn)镽求實(shí)數(shù)爪的取值范圍；

(2)若函數(shù)f(%)的值域?yàn)镽求實(shí)數(shù)爪的取值范圍.

【變式3-2】2.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))若函豺(久)=log?,/+(2k—i)x+1的值域

為R,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

2

【變式3-2]3.(2020?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)y=loga(ax+x+a)的定義域是R時(shí),

a的取值范圍為集合M;它的值域是R時(shí)，a的取值范圍為集合N,則下列的表達(dá)式中正確

的是（）

A.MaNB.MUN=RC.MDN=0D.M=N

?類型3新定義相關(guān)問(wèn)題

【例題3-3］（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?,若存在［。力］=/,使得

/（%）在區(qū)間［a,句上的值域?yàn)椋踜a,kb］（k6N*）,則稱/（久）為九倍函數(shù)”.已知函數(shù)f（%）=log3

3-何為"3倍函數(shù)"，則實(shí)數(shù)小的取值范圍為（）

A.（0,竽）B.（—竽,0）C.（竽,+8）D.（―8,竽）

【變式3-3】1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）函數(shù)/（%）的定義域?yàn)镺,若滿足：⑴/（久）在D

內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；（2）存在怪打，使得/⑶在?、巧系闹涤?yàn)椋鄯赣茫敲淳头Q函數(shù)f（x）

為"夢(mèng)想函數(shù)若函數(shù)/（久）=1。8式&，+。（。>0,。41）是“夢(mèng)想函數(shù)"，則的勺取值范圍

是.

【變式3-3】2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）函數(shù)f（x）定義域?yàn)?，若滿足①f（x）在。內(nèi)是單

調(diào)函數(shù)；②存在［。力］=。使/'CO在［a,句上的值域?yàn)閖na,7ib］（neN+ln>1）,那么就稱y=/（%）

為"域岫函數(shù)",若函婁好（久）=1幅⑷+t），（a>0,a豐1）是"域2倍函數(shù)",則珀勺取值范圍

為

題型4分式型函數(shù)值域問(wèn)題

WW>/VWWWS/WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWVWWWWWWWWWWS/WWW*/WWWWWVWWWWWWVWW'

即一也t點(diǎn)

分式型函數(shù)值域問(wèn)題：

1.分離常數(shù)，通過(guò)"左加右減上加下減"可求得分式函數(shù)的對(duì)稱中心.

2.特殊的，形如偽反表對(duì)稱可以證明J

3.注意"水平漸近線和豎直漸近線"

4.分式型函數(shù)值域的方法：分離常數(shù)法，換元法，判別式法

【例題4】（2023秋?河南洛陽(yáng)?高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)/㈤=三，

下列結(jié)論正確的是（）

A./（X）在（0,6）上單調(diào)遞減B./（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（3,6）對(duì)稱

C.曲線y=/（x）與久軸相切D./（%）的值域?yàn)椋ㄒ?,0］u［12,+8）

【變式4-1】1.（多選）（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=1-黑的定義域是［則

（a,beZ）,值域?yàn)椋?,1］,則滿足條件的整數(shù)對(duì)（a力）可以是（）

A.（-2,0）B.（-1,1）

C.（0,2）D.（-1,2）

【變式4-1】2.（多選）（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/■（J=^（a€R）,則下列

說(shuō)法正確的是（）

A./⑴的定義域?yàn)椋ā?,—2）U（—2,+8）

B./（X）在［—1,0］上的值域?yàn)椋?-a,l］

C.若/（x）在（—8,—2）上單調(diào)遞減，貝必＜1

D.若a＞l,則/（幻在定義域上單調(diào)遞增

【變式4-1】3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）定義區(qū)間出處］長(zhǎng)度久2—/（孫＞小）為，已知

函數(shù)f（切=3鬻eR,a*0）的定義域與值域都是［以用，則區(qū)間［科用取最大長(zhǎng)度時(shí)a

的值為

【變式4-1】4.（2023秋湖南長(zhǎng)沙?高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)xeR,用印表示不超過(guò)X的最大

整數(shù)，貝的=閉稱取整函數(shù)，例如：［―3.7］=-4,［2.3］=2.已知/（%）=罪,則函的=［/（切

的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（―B.{—：,1}C.（—1,0）D.{-1.0）

【變式4-1】5.（2020?全國(guó)?高三對(duì)口高考）已知函數(shù)g（%）="爰罟的值域是{yll<y<9}z

求函數(shù)/（%）=求函+8%+b的定義域和值域.

【變式4-1】6.已知當(dāng)肌為非零實(shí)數(shù)，f（x）=1^3eR,且葭2）=2,f⑶=3若當(dāng)x片一?時(shí),

對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,均有f（f（x））=x,則⑼值域中取不到的唯一的實(shí)數(shù)是.

【變式4-1】7.（多選）（2023?廣東深圳?紅嶺中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=券,

則（）

A.函數(shù)f（x）是增函數(shù)

B.曲線y=f（x）關(guān)于［J）對(duì)稱

C.函數(shù)/（比）的值域?yàn)椋?,9

D.曲線y=/（久）有且僅有兩條斜率為割切線

題型5對(duì)鉤與雙刀函數(shù)值域問(wèn)題

【例題5】（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（久）=?+2具有以下性質(zhì)：如果常數(shù)

k>0,那么函數(shù)/（x）在區(qū)間（0,4）上單調(diào)遞減，在區(qū)間［、尻+8）上單調(diào)遞增，若函數(shù)

y=x+?Q21）的值域?yàn)椋踑,+8）,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【變式5-1】1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（久）=三^龍〉1）,則函數(shù)的值域

是

【變式5-1］2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）對(duì)于定義在R上的奇函數(shù)y=/（%）,當(dāng)%>0時(shí),

/。）=2、+一，則該函數(shù)的值域?yàn)?/p>

【變式5-1]3.（2023秋?湖北?高三孝感高中校聯(lián)考開學(xué)考試）下列函婁好1（久）=sin2%+a

1111

-/2（x）=x+-/3（x）=e%+//式刀）=Inx+蔡中，函數(shù)值域與函數(shù)/'（x）=y+后的值域完

全相同的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式5-1】4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函婁好（J=/富_1王e[0,1],則該函數(shù)

的值域?yàn)?/p>

【變式5-1]5.函數(shù)長(zhǎng)幻=的值域?yàn)椋ǎ?/p>

Z+-L

A,[5,+8）B.[4,+8）（-（5,+oo）口.（4,+8）

題型6分段函數(shù)值域問(wèn)題

A.惇,1)B.降1)

C.（1,V2]D.（1,V2）

【變式6-1】1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)y=/（x）由關(guān)系式久|x|+y|y|=l確定,

函婀%）=后筆襄3則（）

A.g（x）為增函數(shù)B.g（x）為奇函數(shù)

C.g（x）值域?yàn)閇-1,+8）D.函數(shù)y=/（-刀）—g（x）沒(méi)有正零點(diǎn)

【變式6-1】2.（2023?北京?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f（x）={/，嗯'+1,:北給出下列

四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)八比）的值域是8②Va>l,方程f（x）=a恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根；③mx（）eR+,

0

使得f（一久0）-f（Xo）=；④若實(shí)數(shù)<x2<x3<x4l且/■01）=/（X2）=/（%3）=f（久4）?則

4

Q1+X2)(x3-%4)的最大值為4e-卷其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

【變式6-1]3.(2023春?江西鷹潭?高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)sgn(久)=

(—1,%〈0

\。,％=0,關(guān)于函數(shù)/(%)=Sgn(x-TT)sinx有如下四個(gè)命題：

(l,x>0

①久久)在昌n]上單調(diào)遞減；②f(lg2)=—/(嗚)；

③/(*)的值域?yàn)閇―1,1]；④/(X)的圖象關(guān)于直線X=TT對(duì)稱.

其中所有真命題的序號(hào)是

【變式6-1】4.(2023?北京?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)=,/(%)的值域

是，設(shè)9(%)=/(x)-雙刀-1),若g(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為.

題型7絕對(duì)值函數(shù)值域問(wèn)題

【例題7】(2022秋?上海普陀?高一曹楊二中?？茧A段練習(xí))設(shè)。<a<b,若函數(shù)y=

|log2%—1],久e[a,0的值域?yàn)閇0,1],貝M+b的取值范圍是

【變式7-1]1.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù),0)=|2，-1|的定義域和值域都是

[a,b],貝[]a+6=.

【變式7-1]2.(2022秋?上海嘉定?高三?？计谥?已知/Xx)=|(%-a)-(x-3a)|,若函

數(shù)y=f(x),xG[0,1]的值域?yàn)閇0/(1)],則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【變式7-1】3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（|x|+l）

=2/（因—1）.若當(dāng)％“0,1）時(shí)，/（%）=1-|2%-1|,則/⑶在區(qū)間（—1,3）上的值域

為,g（x）=f（x）-永在區(qū)間（一1，3）內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為

【變式7-1】4.（2020秋河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=-暴3+?，且函數(shù)

gQ）=|f（x）—川―1有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，若旗k）=lg（9k2—360）,則h（k）的值域?yàn)椋ǎ?/p>

19

A.（一叫3）B.（-y,0）

C.（0,+8）D.（一嚙

【變式7-1】5.（2023?北京?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（%）={/1,:空給出下列四

個(gè)結(jié)論：①函數(shù)"久）的值域是R；②Va>l,方程f（x）=a恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根；③

使得/（一久0）-/（孫）=0；④若實(shí)數(shù)<X2<X3<X4,且/'（久I）=/'（久2）=f（%3）=/（久4）?則

4

（Xi+x2）（x3-應(yīng)）的最大值為4e-9其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

題型8高斯函數(shù)值域問(wèn)題

錯(cuò)誤的是（）

A.f(x)是R上的增函數(shù)B./(久)是奇函數(shù)

C.9(久)是非奇非偶函數(shù)D.g(x)的值域是{-1,0,1}

【變式8-1】1.(2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考)給定集合4={ai,a2，a3"?an}(neN,nN2),定

義七+磯1<i<j<n,i,jeN*)中所有不同值的個(gè)數(shù)為集合A兩個(gè)元素的容量,用心⑷表示.

①右4=[0,1,2,3),則L(4)=

②定義函數(shù)/(久)=[x?團(tuán)]其中因表示不超過(guò)X的最大整數(shù)，如[1.5]=1,[—1.3]=—2,當(dāng)

xG[n,n+l)(n>3,nGN)H^,函數(shù)/'(x)的值域?yàn)锳,若L(4)=2013,則n=；

【變式8-1】2.(2023春?四川綿陽(yáng)?高三綿陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知xeR,符號(hào)團(tuán)表示

不超過(guò)x的最大整數(shù)，若函婁好(久)=4(“>0),則給出以下四個(gè)結(jié)論：

①函數(shù);■(%)的值域?yàn)閇0,1]；

②函數(shù)f(x)的圖象是一條連續(xù)的曲線；

③函數(shù)/■(%)是(0,+8)上的減函數(shù)；

④方程f(x)=a有且僅有3個(gè)根時(shí)，

其中正確的序號(hào)為

【變式8-1】3.(2022秋?江西贛州?高三贛州市贛縣第三中學(xué)校考開學(xué)考試)定義函數(shù)

/(%)=[%[%]],其中岡表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如口.3]=1,卜1.5]=-2,[2]=2,當(dāng)xe[0,n)

1111

時(shí)，/(X)的值域?yàn)锳n,記集合An中元素的個(gè)數(shù)為廝，則*r+=+}r+…+嬴豐消勺

值為

【變式8-1】4.(多選)(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)

奠基者之一，享有"數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其

名字命名的“高斯函數(shù)"為：設(shè)xeR,用團(tuán)表示不超過(guò)屈勺最大整數(shù)，貝的=因稱為高斯函

數(shù)，[-3.5]=-4,[2.1]=2.下列命題是真命題的是()

A.BxeR,x>[x]+1

B.Vx,yeR,[x]+[y]<[x+y]

C.函數(shù)y=［x］(xeR)的值域?yàn)椋?,1)

D.若mteR,使得凹=1,］4］=2,［盧1=3,…，［嚴(yán)］=〃—2同時(shí)成立，則正整數(shù)九的最

大值是5

題型9“倍縮”函數(shù)值域問(wèn)題

【例題9】(2023春?浙江寧波?高三寧波市北侖中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)f(x)=V7不T+m,

若存在區(qū)間［a,句(b>a2—1),使得函數(shù)f(x)在［a,句上的值域?yàn)椋?a,20,則實(shí)數(shù)小的取值范

圍是()

171

A.m>——oBZ.0<m<-

17

C.m<—2D.——o<m<—2

【變式9-1］1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))對(duì)于函數(shù)y=/(%),若存在區(qū)間［a,6］,當(dāng)xG［a,b］

時(shí)，/(%)的值域?yàn)椋踜a,kb］,則稱y=/(嗎為k倍值函數(shù).若/'O)=e，是k倍值函數(shù)，貝收的取值

范圍為()

A.(0,3B.(l,e)C.(e,+8)D.(1,+c?)

【變式9-1】2.(多選)(2023?云南昆明?昆明市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))函數(shù)/(%)的定義域

為。，若存在閉區(qū)間口句CD,使得函數(shù);'(X)同時(shí)滿足①/0)在［a,6］上是單調(diào)函數(shù)；②f(x)

在［a,句上的值域?yàn)?a,kb］(k>0),則稱區(qū)間［a,與為/'(X)的2倍值區(qū)間”.下列函數(shù)存在"3

倍值區(qū)間”的有()

A./(x)=InxB./(x)=|(x>0)

C./(%)=%2(x>0)D./(%)=/i(0<%<1)

【變式9-1】3.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(%)=Hn%+2,若存在區(qū)間口句￡

[1,e],使/。)在口句口中6)上的值域?yàn)閇k(a+l),k(6+l)L則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

【變式9-1]4,(2022秋?江蘇宿遷?高三?？奸_學(xué)考試)已知二次函數(shù)/。)=〃2

+bx^a豐0),滿足/(久+1)為偶函數(shù)，目方程/(久)=%有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若存在區(qū)間[皿河

使得/'(x)的值域?yàn)閇3m,3n|,則m+n=.

【變式9-1】5.(2022秋?重慶北倍?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知OW/nVn,若函數(shù)/(久)在

X&[??1網(wǎng)上的值域是他小,/01|,則稱/'(X)是第k類函數(shù).

⑴若f(嗎=1-/是第k類函數(shù)，求如勺取值范圍；

(2)若f(久)=4x-/是第2類函數(shù)，求私n的值.

題型10“類周期函數(shù)”值域問(wèn)題

.王?、、、<

"似周期函數(shù)"或者"類周期函數(shù)"，俗稱放大鏡函數(shù)，要注意以下幾點(diǎn)辨析：

1.是從左往右放大，還是從右往左放大.

2.放大(縮小)時(shí)，要注意是否函數(shù)值有0.

3.放大(縮小)時(shí)，是否發(fā)生了上下平移.

【例題10】(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))定義在R上的函數(shù)/'(%),當(dāng)xe[-1,1]時(shí)，/(%)=/

+x,且對(duì)任意x,滿足f(x+3)=2/(%),則“X)在區(qū)間[5,7]上的值域是

【變式10-1]1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=I2)A>f2，其

中aeR,給出以下關(guān)于函婁好(久)的結(jié)論:

①/(3=2②當(dāng)Xe[0,8]時(shí)，函數(shù)八嗎值域?yàn)閇0,8]③當(dāng)keQ,l]時(shí)方程/(X)=質(zhì)恰有四個(gè)實(shí)

根④當(dāng)X6[0,8]時(shí)，若f(x)W29+a恒成立，貝—VL其中正確的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【變式10-1】2.(多選)(2023春?遼寧朝陽(yáng)?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)已知函數(shù)/")=

(8—811—%L04x<2,

11/(X-2),%>2,則下列說(shuō)法正確的是()

A.嗎)=1

B.當(dāng)丁€[2,6]時(shí),函婁好(%)值域?yàn)閇0,4]

C.當(dāng)時(shí)，方程/(%)=依恰有6個(gè)實(shí)根

D.若f(久)22-久+a(aeR)恒成立，貝[|aW—1.

【變式10-1】3.(多選)(2022秋福建廈門?高三廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中)已知函婁好⑴

的定義域?yàn)閇0,+8),且滿/(乃={]。：：(二’：)黑比,2)當(dāng)久“時(shí)，/(》)="(久—2),人為

非零常數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.當(dāng)2=-1時(shí)，/'(log280)

B.當(dāng)>>0時(shí),f(x)在[10,11)單調(diào)遞增

C.當(dāng)4<—1時(shí)，/(%)在[0,4n](neN*)的值域?yàn)镼"T,2I]

D.當(dāng)4>0時(shí)，且時(shí)，若將函數(shù)以乂尸癥1與/⑴的圖象在[0,2n](neN*)的m個(gè)交點(diǎn)

記為(%,%)。=1,2,3,...m),則Z,[xt+yt)=n2+An-1

【變式10-1】4.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,滿足

f(x-2)=2久琦,且當(dāng)xe(0,2]時(shí)，f(久)=x(2-久).若對(duì)任意xe[a,+oo),都有/'(x)<|成

立，則a的取值范圍是()

A.+B.[|,+oo)

C.(—00,—|]D.(—8,—1]

【變式10-1】5.(2022秋?廣東深圳?高三北師大南山附屬學(xué)校?？茧A段練習(xí))設(shè)函婁好(%)

的定義域?yàn)镽,滿足/0-2)=2/(久)，且當(dāng)xe[—2,0)時(shí),/(%)=-2x(%+2).若對(duì)任意

Q__

%e[m,+00),都有f(x)<則機(jī)的取值范圍是

題型11抽象函數(shù)值域問(wèn)題

【例題11】(2023福建泉州?泉州五中?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/⑺的定義域?yàn)镽,值域?yàn)?/p>

(0,+oo),且f(%-y)f(x+y)==2,函數(shù)g(x)=f(%)+f(-x)的最小值為2,

則W：/9=()

A.12B.24C.42D.126

【變式11-1]1.(2023?全國(guó)模擬預(yù)測(cè))已知函婁好(x)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)?0,+8),若

「2023

/(%+1)/(%-1)=4,函數(shù)〃>一2)為偶函數(shù),7(2024)=1,則〉f(n)=()

Jn=l

A.4050B.4553C.4556D.4559

【變式11-1】2.(2022秋?陜西咸陽(yáng)?高三武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)定義在R

上的函數(shù)f。)滿足f(0)=1,且對(duì)任意的X、ye/?,都有2f(xy+l)=/(x)"(y)—f(y)

-2x+6,則函數(shù)9(久)=x-77面的值域?yàn)?)

A.[1,+8)B.[—1,+8)

C.[0,4-00)D.|一1,+8)

題型12復(fù)合函數(shù)值域問(wèn)題

【例題12】(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知=則函數(shù)尸(x)=

/(/(%))-2f(x)的值域?yàn)?/p>

【變式12-1】1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)久支)是(0,+8)上的單調(diào)函數(shù)，且

/(/(x)-x-|Og2%)=5,則/比)在[1,8]上的值域?yàn)?)

A.[2,10]B.[3,10]C.[2,13]D.[3,13]

【變式12-1】2.(2022秋?福建福州?高三福州三中?？茧A段練習(xí))定義在R上的函數(shù)f(x)

的值域?yàn)?0,(),且$也[/(久)]=(：05[7(2"—1)].若/(2)=1,則()

A./(1)=IB./(log23)=1C./(7)=7-1D./(127)=3-1

【變式12-1】3.(2022秋?天津和平?高三耀華中學(xué)?？茧A段練習(xí))(2022秋?上海浦東新?高

三上海南匯中學(xué)校考期中)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x),滿足[f(久)]3-(WK—久2人久)+久2

=0對(duì)任意的實(shí)數(shù)%都成立，且值域?yàn)閇0,4設(shè)函數(shù)。0)=昌一訓(xùn)一|%—1|(m<l),若對(duì)任

意的打6(—2,)存在%2>%使得9(K2)=/(肛)成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

題型13三角函數(shù)值域問(wèn)題

【例題13](2022秋?福建福州?高三校聯(lián)考期中)函數(shù)/⑶=cos(x-3-sin3x的值域

是.

【變式13-1]1.(多選)(2022?江蘇常州統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f⑺=|sinx|cosx,xe

R,貝U()

A.函數(shù)/(久)的值域?yàn)閇—技|

B.函婁好(久)是一個(gè)偶函數(shù)，也是一個(gè)周期函數(shù)

C.直線"與是函數(shù)"幻的一條對(duì)稱軸

D.方程f(x)=10g4X有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根

【變式13-1】2.(2022?四川瀘州統(tǒng)考一模)已知函數(shù)f(x)=sin乳任取t€R,記函數(shù)”支)

在[t,t+1]上的最大值為Mt,最小值為nit,設(shè)h(t)=—?jiǎng)t函數(shù)h(t)的值域?yàn)?)

A.[1—容1]B.『一等1+陰

C.[1—爭(zhēng)閭D.惇,1+%

【變式13-1】3.(2023?北京海淀?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/0)=

一acos久(1+cos2%),0<x<^

—acosx+cos2x,^<x<n'

(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(%)的值域?yàn)椋?/p>

(2)若久久)=a恰有2個(gè)解，貝M的取值范圍為

【變式13-1]4.(2023秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考開學(xué)考試)已知函婁好(久)=4sin(3久+6+1

(3>0,\<p\<=),滿足對(duì)V久eR/(xi)<f(x)<f(%2)恒成立的Z-劃的最小值為),且對(duì)

任意x均有f悟+%)=嚏-，恒成立.則下列結(jié)論正確的有

①函數(shù)y=/(久)的圖像關(guān)于點(diǎn)(―黑)對(duì)稱：

②函數(shù)y=/(久)在區(qū)間仁制上單調(diào)遞減；

③函數(shù)y=((%)在(0,。上的值域?yàn)?1—2V3,5)

@y=f(X)表達(dá)式可改寫為/'(久)=4cos(2x-%)+1：

⑤若x1,x2為函數(shù)y=/(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則出一久2l為與的整數(shù)倍.

【變式13-1]5.(多選)(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)%(x)=sinnx+cosn久，

O6N*),則下列說(shuō)法正確的是()

A.九(久)在區(qū)間[冶用上單調(diào)遞增

B.f4(%)的最小正周期為毛

C.%⑺的值域?yàn)?-爭(zhēng)乎)

D.九。)的圖象可以由函數(shù)g(x)=3in4式的圖象，先向左平移段個(gè)單位，再向上平移泠單

位得到

題型14函數(shù)中的兩邊逼近思想

4

【例題14】(2021春?湖州期末)若存在正實(shí)數(shù)x,y使得不等式In比—尤2+121叩+例—In

4成立，則x+y=()

A.乎B.V2