專題02相交線平行線壓軸題（七大題型）

目錄：

題型1：M型（含鋸齒）

題型2：筆尖型

題型3：“雞翅”型

題型4：“骨折”型

題型5：情景探究類

題型6：動態(tài)問題

題型7：三角板問題

題型1：M型（含鋸齒）

圖1圖2

⑴若EE=60°,則甌=_;

（2）請?zhí)剿髋c曲之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由;

⑶如圖2,已知￡尸平分勖￡一，尸G平分0￡戶￡>,反向延長尸6交￡尸于點(diǎn)尸，求SP的度數(shù).

2.如圖1,AB//CD,E是4B,CD之間的一點(diǎn).

圖1圖2圖3

⑴判定的E，回CDE與S4E。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）如圖2,若SB/E,團(tuán)CDE的角平分線交于點(diǎn)尸，直接寫出EATO與西之間的數(shù)量關(guān)系；

⑶將圖2中的射線DC沿DE翻折交于點(diǎn)G得圖3,若a4GD的余角等于2站的補(bǔ)角，求勖/萬的大小.

3.已知直線“〃2，點(diǎn)4C分別在乙，4上，點(diǎn)8在直線乙，4之間，且N3CN<N54〃W90。.

①②備用圖

(1)如圖①，求證：ZABC=ZBAM+ZBCN.

閱讀并將下列推理過程補(bǔ)齊完整：

過點(diǎn)3作BG〃NC,因為〃4，

所以AM//()

所以=NCBG=NBCN()

所以ZABC=ZABG+NCBG=NBAM+NBCN.

(2)如圖②，點(diǎn)D,E在直線乙上，S.ZDBC=ZBAM,BE平分/ABC.

求證：ZDEB=ZDBE；

(3)在(2)的條件下，如果NCBE的平分線3尸與直線乙平行，試確定加M與N3CN之間的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由.

題型2：筆尖型

4.AB回CD,點(diǎn)尸為直線48,CD所確定的平面內(nèi)的一點(diǎn).

(1)如圖1,寫出0APC、酎、回。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)如圖2,寫出酎PC、陰、回C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)如圖3,點(diǎn)￡在射線A4上，過點(diǎn)￡作WBPC,作0P￡G=aP￡R點(diǎn)G在直線CD上，作勖EG的平分

線EH交PC于點(diǎn)、H,若EL4PC=30。，回%8=140。，求回PE"的度數(shù).

5.如圖，已知ABEICZ).

ABAB

(1)如圖1所示，01+02=

(2)如圖2所示，01+02+03=；并寫出求解過程.

(3)如圖3所示，01+02+03+04=

(4)如圖4所示，試探究團(tuán)1+回2+回3+回4+回+即=

6.問題情境：如圖1,已知ABEICZ),ZAPC=108°.求Zft48+NPCD的度數(shù).

圖1

圖2圖3圖4

經(jīng)過思考,小敏的思路是:如圖2,過尸作PE^IAB,根據(jù)平行線有關(guān)性質(zhì)，可得ZPAB+ZPCD=360°-ZAPC=252°.

問題遷移：如圖3,ADSBC,點(diǎn)尸在射線(W上運(yùn)動，ZADP=Za,ZBCP=N/3.

⑴當(dāng)點(diǎn)尸在“、8兩點(diǎn)之間運(yùn)動時，/CPD、/a、〃之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

(2)如果點(diǎn)P在/、8兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時(點(diǎn)P與點(diǎn)N、B、。三點(diǎn)不重合)，請你直接寫出NCP。、乙a、N/3

之間的數(shù)量關(guān)系.

⑶問題拓展：如圖4,MA^NA,,,4-用-4-…-旦1-4是一條折線段，依據(jù)此圖所含信息，把你所發(fā)現(xiàn)

的結(jié)論，用簡潔的數(shù)學(xué)式子表達(dá)為一

題型3：“雞翅”型

7.已知，AE//BD,ZA^ZD.

(1)如圖1,求證：AB//CD-,

(2)如圖2,作一區(qū)4￡的平分線交CD于點(diǎn)/，點(diǎn)G為A3上一點(diǎn)，連接尸G,若NCPG的平分線交線段AG

于點(diǎn)H,連接AC,若ZACE=ABAC+NBGM,過點(diǎn)//作交FG的延長線于點(diǎn)M,且

3ZE-5ZAFH=18°,求N￡AF+NGMH的度數(shù).

圖3

（1）如圖L點(diǎn)8在兩條平行線外，則-A與NC之間的數(shù)量關(guān)系為；

（2）點(diǎn)5在兩條平行線之間，過點(diǎn)B作于點(diǎn)D.

①如圖2,說明NABO=/C成立的理由；

②如圖3,BF平分/DBC交DM于點(diǎn)、F,BE平分/ABD交DM于點(diǎn)、E.若

ZFCB+ZNCF=180°,NBFC=3/DBE,求NEBC的度數(shù).

圖①圖②圖③

⑴求證：ZB+ZC-ZA=18O°：

（2）如圖②，AQ,8。分別為ND4C、N￡BC的平分線所在直線，試探究NC與NAQ8的數(shù)量關(guān)系;

(3)如圖③，在(2)的前提下，且有AC〃QB,直線AQ、BC交于點(diǎn)尸，QP1PB,直接寫出

NDAC：ZACB：/CBE=.

題型4：“骨折”型

10.為更好地理清平行線與相關(guān)角的關(guān)系，小明爸爸為他準(zhǔn)備了四根細(xì)直木條A3、BC,CD、DE,做成

折線ABCDE,如圖1,且在折點(diǎn)2、C、。處均可自由轉(zhuǎn)出.

圖3

(1)如圖2,小明將折線調(diào)節(jié)成々=50。,"=75。,"=25。，判別AB是否平行于EO,并說明理由；

(2)如圖3,若NC=/D=25。,調(diào)整線段A3、BC使得AB//CD,求出此時23的度數(shù)，要求畫出圖形，

并寫出計算過程.

(3)若NC=85o,/D=25o,AB//￡>E,求出此時的度數(shù)，要求畫出圖形，直接寫出度數(shù)，不要求計算

過程.

11.己知，AB^CD.點(diǎn)/在42上，點(diǎn)雙在。。上.

(1)如圖1中，配ME、回￡、的VD的數(shù)量關(guān)系為：—；(不需要證明)

如圖2中，勖兒田、團(tuán)尸、0FND的數(shù)量關(guān)系為：—；(不需要證明)

(2)如圖3中，NE平分明VD,M3平分且2回￡+跖=180。，求的度數(shù)；

(3)如圖4中，05ME=6O。，EF平分包MEN,NP平分屈ND,且EQI3NP,貝崛匠E。的大小是否發(fā)生變化,

若變化，請說明理由，若不變化，求出0FE0的度數(shù).

12.如圖1,MWP0,點(diǎn)C、8分別在直線MN、P。上，點(diǎn)/在直線MN、P。之間.

(1)求證：^CAB^SMCA+^PBA；

(2)如圖2,CD^AB,點(diǎn)E在尸。上，^ECN=^\CAB,求證：^MCA=^DCE-,

(3)如圖3,8/平分EL48P,CG平分EL4CN,4R3CG.若EIC/8=60。，求EUFS的度數(shù).

圖1圖2圖3

題型5：情景探究類

13.綜合與實踐

背景閱讀：在同一平面內(nèi)，兩條不重合的直線的位置關(guān)系有相交、平行，若兩條不重合的直線只有一個公

共點(diǎn)，我們就說這兩條直線相交，若兩條直線不相交，我們就說這兩條直線互相平行兩條直線的位置關(guān)系

的性質(zhì)和判定是幾何的重要知識，是初中階段幾何合情推理的基礎(chǔ).

已知：/M0CN,點(diǎn)3為平面內(nèi)一點(diǎn)，N805C于3.

問題解決：(1)如圖1,直接寫出的和回C之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,過點(diǎn)3作ADa4M于點(diǎn)。，求證：a4Ao=呢；

(3)如圖3,在(2)間的條件下，點(diǎn)￡、/在。/上，連接BE、BF、CF,8/平分SDBC,平分0A8,

14.問題情境：

(1)如圖1,AB//CD,ZPAB=ns°,ZPCD=119°.求/APC度數(shù).小穎同學(xué)的解題思路是：如圖2,

過點(diǎn)尸作PE//AB,請你接著完成解答.

問題遷移：

(2)如圖3,仞/ABC,點(diǎn)尸在射線加上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)尸在A、8兩點(diǎn)之間運(yùn)動時，ZADP=Aa,

/PCE=".試判斷/CPD、乙a、"之間有何數(shù)量關(guān)系？(提示：過點(diǎn)尸作PF//AD),請說明理由;

(3)在(2)的條件下，如果點(diǎn)尸在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時(點(diǎn)P與點(diǎn)A、8、。三點(diǎn)不重合)，請你猜想NCPD、

乙a、4之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

BB

備用圖

15.幾何模型在解題中有著重要作用，例如美味的"豬蹄模型

CNDcND

圖③圖④圖⑤

⑴導(dǎo)入：如圖①,已知如果NA=26。，NC=34。，那么ZAEC=

(2)發(fā)現(xiàn)：如圖②，己知A3〃CD,請判斷NAEC與NA,NC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

⑶運(yùn)用：(i)如圖③，已知AB〃CD,ZAEC=88°,點(diǎn)M、N分別在A3、CD上，MN//AE,如果/C=

28°,那么4CVD=

(ii)如圖④，己知AB〃CD,點(diǎn)V、N分別在A3、C。上，ME、NE分別平分N4MF和NCNF.如

果/E=116°,那么ZF=_°；

(iii)如圖⑤，已知AB〃CD,點(diǎn)M、N分別在A3、C。上，MF、NG分別平分和/CVE,且

EG//MF.如果4ffiN=a,那么NEGN=_.(用含。的代數(shù)式表示)

題型6：動態(tài)問題

16.如圖，已知4施CD,P是直線45,CD間的一點(diǎn)，尸7唱CD于點(diǎn)RPE交AB于點(diǎn)、E,即吐=120。.

(1)求S4EP的度數(shù)；

(2)射線PN從尸尸出發(fā)，以每秒30。的速度繞尸點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)PN垂直N8時，立刻按原速返

回至P尸后停止運(yùn)動；射線而江從E4出發(fā)，以每秒15。的速度繞E點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至E2后停止運(yùn)動,

若射線PN,射線EM同時開始運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為，秒.

①當(dāng)IWEP=15。時，求EEPN的度數(shù);

②當(dāng)EMSPN時，直接寫出，的值.

圖1備用圖

17.如圖1,直線DE上有一點(diǎn)。，過點(diǎn)。在直線。E上方作射線OC,將一直角三角板498的直角頂點(diǎn)放

在。處，ZAOB=9Q°,ZOAB=30°,一條直角邊Q4在射線0。上，另一邊OB在直線DE上方，將直角三

角板繞著點(diǎn)。按每秒10。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為/秒，且Z4OC=40。.

圖1圖2

(1)若射線OC的位置保持不變，則當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間—秒時，邊所在直線與OC平行；

(2)如圖2,在旋轉(zhuǎn)的過程中，若射線OC的位置保持不變，是否存在某個時刻，使得射線(M,OC與。。中

的某一條射線是另兩條射線所成夾角的平分線？若存在，求出所有滿足題意的r的取值，若不存在，請說明

理由;

18.如圖1,由線段A氏AM,CM,組成的圖形像英文字母稱為形54MCD".

圖2圖3

(1)如圖1,M形B4MCD中，若AB〃CD,/A+NC=50。，則=

(2)如圖2,連接M形區(qū)4MCD中反。兩點(diǎn)，ZB+ZD=150°,ZAMC=a,試探求-A與NC的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由；

(3)如圖3,在(2)的條件下，且AC的延長線與8。的延長線有交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)加在線段的延長線上從

左向右移動的過程中，直接寫出一A與NC所有可能的數(shù)量關(guān)系.

19.已知，如圖：射線PE分別與直線AB、CD相交于￡\尸兩點(diǎn)，/尸ED的角平分線與直線A3相交于點(diǎn)

M,射線交CD于點(diǎn)N,設(shè)/PFM=a。，ZEMF=y?0>(?-35)2=0.

(1)?=,B=;直線AB與CD的位置關(guān)系是；

(2)如圖，若點(diǎn)G是射線上任意一點(diǎn)，且ZMGH="NF,試找出NFWN與NGE由之間存在一個什

么確定的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

(3)若將圖中的射線繞著端點(diǎn)尸逆時針方向旋轉(zhuǎn)(如圖)分別與A3、8相交于點(diǎn)和點(diǎn)乂時，作

/尸〃內(nèi)的角平分線”均與射線方河相交于點(diǎn)。，問在旋轉(zhuǎn)的過程中上貴的值變不變？若不變，請求出

其值；若變化，請說明理由.

圖1

題型7：三角板問題

20.如圖1,把一塊含30。的直角三角板/2C的3c邊放置于長方形直尺。斯G的斯邊上.

(2)現(xiàn)把三角板繞8點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)〃。.如圖2,當(dāng)0<〃<90,且點(diǎn)C恰好落在。G邊上時,

①請直接寫出N2=。(結(jié)果用含"的代數(shù)式表示)

②若N1與Z2恰好有一個角是另一個角的|■倍，求〃的值

（3）若把三角板繞3點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)"。.當(dāng)0<〃<360時，是否會存在三角板某一邊所在的直線與直尺（有

四條邊）某一邊所在的直線垂直？如果存在，請直接寫出所有"的值和對應(yīng)的那兩條垂線；如果不存在，

請說明理由.

⑴如圖1,若回。3。=35。，則°；

（2汝口圖1,若EICB。：西8￡=2：7,求的度數(shù)；

⑶如圖2,若回。2D=a,射線射線2N分別是加2￡和團(tuán)C2E的平分線，試判斷當(dāng)回C3D的度數(shù)改變時,

0MBN的度數(shù)是否隨之改變.若改變，請說明理由；若不改變，求它的度數(shù)；

（4）如圖1,若保持三角板/2C不動，繞直角頂點(diǎn)8順時針轉(zhuǎn)動三角板DBE,當(dāng)團(tuán)C2D的度數(shù)為時，

BE^AC.

22.將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起（其中，ZA=60°,ZD=3Q°,

ZE=ZB=45°）.

圖1圖2

⑴若NDCE=35°,則ZACB=；

（2）如圖1,ZACE=N；若點(diǎn)E在AC的上方，設(shè)44&5=a（90。<尸<180。），則NDCE=

（用含尸的式子表示）；

⑶當(dāng)NACE<180。且點(diǎn)￡在直線AC的上方時，將三角尺AC