熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專(zhuān)題02基本不等式求最值

o------------題型歸納?定方向------------*>

目錄

題型01配湊法..........................................................................................1

題型02常數(shù)代換法......................................................................................3

題型03變形后常數(shù)代換法...............................................................................6

題型04消元法..........................................................................................8

題型05齊次化求最值..................................................................................10

題型06雙換元法.......................................................................................11

題型07與其他知識(shí)點(diǎn)交匯..............................................................................13

-----------題型探析,明規(guī)律-----------?>

題型01配湊法

【解題規(guī)律?提分快招】

「［正（正數(shù)）卜若不正，用其相反數(shù)，改變不等

、號(hào)的方向，

禾IJ用基本不（在不電等1拆：裂項(xiàng)、拆項(xiàng)

等式求最值-q定（定值））-京金噂-并：分組、并項(xiàng)

的條件坪、開(kāi)二配J〔配：配式、配系數(shù),

L（等（等號(hào)成立）H若不能取等號(hào)，改用單調(diào)性）

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

,4

1.（2024局三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）若x>2,則函數(shù)丁=尤+—^的最小值為（）

x-2

A.4B.6C.2A/5+2D.275-2

【答案】B

【分析】利用基本不等式可得最值.

【詳解】因?yàn)閤>2,

444

所以y=xH--------=(x—2)H--------1-2>2J(x-2)---------1-2=6.

x2x2VJC2

4

當(dāng)且僅當(dāng)》-2=-即x=4時(shí)取等號(hào)，

x-2

即最小值為6,

故選：B.

2.(24-25高三上?四川?階段練習(xí))已知命題p:VxeR,e'+eTN2,命題qHxe(0,10),Of)>5,則

()

A.命題夕與夕均為真命題

B.命題?與「鄉(xiāng)均為真命題

c.命題r7與9均為真命題

D.命題r7與均為真命題

【答案】B

【分析】利用指數(shù)函數(shù)值域及基本不等式判斷夕，利用基本不等式求出最大值判斷鄉(xiāng)即可得解.

【詳解】VxeR,e，>0,eT>0,則e'+尸2277丁7=2，當(dāng)且僅當(dāng)尤=0時(shí)取等號(hào)，?為真命題；

_____________yI1A_y

當(dāng)xe(0,10)時(shí)，”(lO-x)」.Xj當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)取等號(hào)，4為假命題，「4為真命題,

所以命題。與「4均為真命題，B正確.

故選：B

Y2+3

3.(24-25高三上?山東濟(jì)南?階段練習(xí))已知xeR,則/。的最小值為()

&+2

B.JiC.2D.逑

A.1

2

【答案】D

【分析】換元，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出最小值.

1

【詳解】令Nx+2=t>42>貝！I：I=7x2+2+.1t+\>

Vx2+2J/+2t

而函數(shù)y=在［啦,+00)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)/=0，即x=o時(shí)，上取得最小值逑.

&+22

故選：D

4.(23-24高三上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí))已知x>l,y>0,x+y=2,則(尤-1)j的最大值是()

1B-TC.?

A-4D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可得xT>0,y>0,(x-l)+y=l,利用基本不等式求最值.

【詳解】因?yàn)閤>l,y>0,x+y=2,貝！|x-l>0,(x-l)+y=l,

可得(x-l)j」0—1+刃=：,當(dāng)且僅當(dāng)x-l=y,即x=；時(shí)，等號(hào)成立，

所以(1”的最大值是:.

故選:A.

41

5.(24-25高三上?天津紅橋?期中)已知?！?〉0,則4Q+^—-+-一的最小值為()

2a+b2a-b

A.2B.272C.6D.4V2

【答案】C

41

【分析】將目標(biāo)式化為(2〃+b)++(2Q-利用基本不等式求和的最小值，注意等號(hào)成立條

2a+b2a-b

件.

【詳解】由a>b>0,貝!)2。一6>0、2(2+6>0,

4141

所以3/(2Q+6)+--------+(2a—b)+--------

2a-b2a+b2a-b

=6,

_3

[2a+b=2a~4….

當(dāng)且僅當(dāng)。人1,即:時(shí)取等號(hào),

\2a-b=l71

ib=—

[2

41

所以4Q+―+^的最小值為6.

2a+b2a-b

故選：C

題型02常數(shù)代換法

【解題規(guī)律?提分快招】

利用常數(shù)工義機(jī)=1代換法，可以代通過(guò)“分子分母相約和相乘”，相約去或者構(gòu)造出“倒數(shù)”關(guān)系。多稱(chēng)之為

m

“1”的代換

(1)條件和結(jié)論有“分子分母”特征；

(2)可以乘積出現(xiàn)對(duì)構(gòu)型，再用均值不等式。注意取等條件

結(jié)構(gòu)形式：

,ab

（1）加x+=，求一+一

xy

ab

（2）一+—=，求加x+砂

xy

X麗訶練j

一、單選題

32

1.（2024?湖北黃岡?一模）若加〉0,〃〉0,且3加+2〃-1=0,則一+―的最小值為（）

mn

A.20B.12C.16D.25

【答案】D

【分析】由乘“1”法即可求解.

【詳解】由條件可知：3m+2n=1,

所以』+2=（3%+2"）上+2=13+絲+%213+2、隹X細(xì)=25,

mnymnJmn\mn

當(dāng)且僅當(dāng)竺=%，即比="=:取得等號(hào)，

mn5

所以±3+±2的最小值為25,

mn

故選：D

2.（24-25高三上?陜西西安?期末）已知正數(shù)滿(mǎn)足2a+b=2",貝lJa+26的最小值為（）

59

A.-B.-C.5D.9

22

【答案】B

【分析】利用“1”的代換結(jié)合基本不等式可求最小值.

12

【詳解】由2a+6=2ab,得一+7=2,

ab

貝“心中冷…上好+子+.9

2

3

當(dāng)且僅當(dāng)。=6=；時(shí)，等號(hào)成立.

故選：B

3.（24-25高三上?重慶?期中）已知”為正實(shí)數(shù)，且x+y=l,則等的最小值為（）

A.7B.9C.10D.12

【答案】B

【分析】根據(jù)基本不等式“1”的巧用即可得最值.

【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)》,歹滿(mǎn)足x+V=l,

貝！|葉生」+工（"3=5+”+\+2/S=9,

xyyxxyxy\xy

當(dāng)且僅當(dāng)位=±即x=],y=:時(shí)，等號(hào)成立.

xy33

故選：B.

4.（24-25高三上?江西鷹潭?期中）已知。>0/>0,且ab-46+1=0,則工+96的最小值是（）

a

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，得。+<=4,再利用基本不等式“1”的妙用求最值

b

【詳解】因?yàn)槿?46+1=0,所以a+：=4,

b

所以1+96=+=；110+4+9仍],

a八b）4（ab）

又Q>0,b>0,所以〃b〉0,所以,+9〃b〉2jL.9ab=6,

abvab

當(dāng)且僅當(dāng)々=9",即a=1,6==時(shí)等號(hào)成立，

ab3

所以：+魴2；（10+6）=4,；+96的最小值是4.

故選：B.

1414

5.（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x,歹滿(mǎn)足x+—+歹+—=1。，則一+一的最大值為（）

xyxy

A.5B.2

【答案】C

14

【分析】根據(jù)x+—+歹+—=10,

xy

14

【詳解】解：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)X,y滿(mǎn)足"”+丁。

因?yàn)椤?竺“匕匕=4,

xyxy

1；4xio

當(dāng)且僅當(dāng)上=—,即X==：或x=3/=6時(shí)，等號(hào)成立,

xy33

所以+-10^+^+9<0,解得

14

所以一+一的最大值為9,

xy

故選：C

題型03變形后常數(shù)代換法

【解題規(guī)律?提分快招】

1、積與和型，如果滿(mǎn)足有和有積無(wú)常數(shù)，則可以轉(zhuǎn)化為常數(shù)代換型。

形如幾a+〃b=lab,可以通過(guò)同除成，化為2+K=/構(gòu)造“1”的代換求解

ba

2、形如a+6=f,求__^+工型，則可以湊配（°+加）+伍）=/+加，再利用“1”的代換來(lái)求解。

a+mb

其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來(lái)進(jìn)行變換湊配。

3、對(duì)于分?jǐn)?shù)型求最值，如果復(fù)合a+b=t,求---+J—型，則可以湊配（a+m）+（b+n）=t+m+n,再利

a+mb+n

用“1”的代換來(lái)求解。

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

41

1.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)。>08>1,若。+6=2,則一+廣二的最小值為（）

a0-1

A.6B.9C.372D.18

【答案】B

【分析】由乘“1”法即可求解.

【詳解】'：a>Q,b>\,且。+6=2,

b-l>0且a+（6—1）=1,

4e-1)+°>5+2Hl)°一9

ab-1Vab-1

當(dāng)且僅當(dāng)中即“［且亡時(shí)取等號(hào)，故》占的最小值為9.

故選：B.

119

2.⑵-25高三上?重慶?階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)“滿(mǎn)足。則二匚口的最小值為（）

A.20B.25C.30D.35

【答案】B

【分析】由乘“1”法即可求解.

【詳解】因?yàn)?。所以一x＞。,

所以1+^-=&+，=(4尤+1—4可(汽+上］

xl-4x4xl-4x'\4xl-4xj

=13+止”①213+2、悝三工二25,

4xl-4xV4xl-4x

當(dāng)且僅當(dāng)40-4x）=&即x=［取等號(hào),

4xl-4x10

故最小值為25,

故選：B

3.（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）已知x＞l,y＞。，且占+，］，則以+＞的最小值為（）

A.13B.1"產(chǎn)C.14D.9+V65

【答案】A

利用基本不等式即可求.

4(1)

y

5

X——

解得2時(shí)等號(hào)成立,故4x+＞的最小值為13.

J=3

4.（24-25高三上?陜西渭南?階段練習(xí)）己知正數(shù)x,了滿(mǎn)足一二+」i=l,則x+J的最小值為（）

x+1x+2y

35

A.1B.-C.-D.2

24

【答案】B

【分析】由題意可知2（x+y）+l=（x+l）+（x+2y）,進(jìn)而利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.

【詳解】因?yàn)?＞0,歹〉0,所以x+l＞0,x+2歹＞0.

1入x+2yx+l--x+2yx+l_4

[(x+l)+(x+2j)]-L+=2+------+--------->2+2

x+1x+2yx+lx+2yx+lx+2y

x=1

+2yx+1

當(dāng)且僅當(dāng),即1時(shí)等號(hào)成立.

尸5

3

2（x+y）+l=（x+l）+（x+2y）24,即x+

3

故x+y的最小值為

故選：B.

5.（24-25高三上?江蘇徐州?開(kāi)學(xué)考試）已知且三+二7=1,則2a+6的最小值為（

a+ba-b

A.12B.8A/3C.16D.876

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可知24+b=；?（4+6）+?1a-6）,根據(jù)乘1法結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.

31

【詳解】因?yàn)椤?gt;b>0,貝！]a+b>0,Q-b>0,且2a+6=5(0+，+,(a-b),

((621013("h13(a+6)

貝！j2a+b=■|Q+6)+gQ_b)?

a+ba-ba+ba-b

3(a-b)3(a+b)

>10+2,=16,

a+ba-b

當(dāng)且僅當(dāng)棗心=史士"，即a=8,6=0時(shí)，等號(hào)成立,

a+ba-b

所以2a+b的最小值為16.

故選：C.

題型04消元法

【解題規(guī)律?提分快招】

當(dāng)廝萊屈宣前代面式再而跡:在較至肝「通布塞塞莉甬巨而薪酒丟部芬賤后丁滲后和福藪喊書(shū)而

常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.

彳麗加臻i

一、單選題

1.（24-25高三上?福建龍巖?期中）已知正數(shù)a,6滿(mǎn)足（。-1）（6-2）=2,則處的最小值為（）

A.4B.6C.272D.8

【答案】D

【分析】由(。-1)(6-2)=2解出0,代入ab,進(jìn)行適當(dāng)變形，應(yīng)用基本不等式求最小值即可.

【詳解】解：因?yàn)檎龜?shù)"，6滿(mǎn)足("1)(6-2)=2,

2b

+1=—>0,所以i>。，

b23-2+2)2(6-2)2+4(Z)2)+4

所以ab=

b-2~b^2-b^2

4+4>2^-2)x-^-+4=8,

22k

4

當(dāng)且僅當(dāng)b-2=1三，即b=4時(shí)等號(hào)成立，所以油的最小值為8?

b-2

故選：D

2.(24-25高三上?四川廣安?階段練習(xí))已知正實(shí)數(shù)x,＞滿(mǎn)足'+'=1,則4中-3x的最小值為(

)

xy

A.9B.10C.11D.12

【答案】A

【分析】由題設(shè)可得4xy-3x=4(y-1)+—二+5,再應(yīng)用基本不等式求最小值，注意取值條件.

^-1

【詳解】由，+工=1,可得了=-＞0,故y＞i,

xyy-1

貝(]旬-3x=3^.[4(y_l)+l]=4(y_l)+」一+5Z2j4(y_l).'+5=9,

y-1y-1\y-1

3

當(dāng)且僅當(dāng)x=3,歹=1時(shí)取等號(hào)，故目標(biāo)式的最小值為9.

故選：A

3.(24-25高三上?山東棗莊?期中)己知。，匕為正實(shí)數(shù)且a+6=3,則^+號(hào)的最小值為()

ab

A.4B.276C.2A/2+1D.2V2+2

【答案】D

【分析】根據(jù)“+6=3可得b=3-a,將2+2化簡(jiǎn)再利用基本不等式中“1”的應(yīng)用即可得出結(jié)果.

ab

【詳解】由a+b=3可得6=3—。＞0,可得0＜。＜3,

所以2+。=3-a36-1」3+獨(dú)3b+”6a+6-1

—+-

ababab3V7ab3ab

-1=；(9+6收)-1=3+2拒-1=2忘+2

>-i9+2

3

當(dāng)且僅當(dāng)日岑時(shí)，即。=3（痣-1）,6=6-3后時(shí)，等號(hào)成立;

又0VaV3可知符合題意.

故選：D

題型05齊次化求最值

【解題規(guī)律?提分快招】

一克次花商冠垂;一

一般情況下，分式分子分母含有一,/，孫等，滿(mǎn)足齊次型，則可以通過(guò)分子分母同除法，構(gòu)造單變量型

來(lái)轉(zhuǎn)化計(jì)算求解

彳典砒加綠i

一、單選題

.丫2—2y4

1.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)〃x）=2—（x>2）在x=a處取最小值，則。=（）

A.1+75B.2C.4D.6

【答案】C

【分析】由基本不等式即可求解.

【詳解】由題意，x-2>0,而

X2-2x+4(X-2)2+2(X-2)+444

x-2+——+2>2j(x-2)x——+2=6,

x-2x—2x-2Vx-2

4

當(dāng)且僅當(dāng)x-2=―-即x=4時(shí)，等號(hào)成立，所以a=4.

x-2

故選：C

2.（23-24高三上?河南漠河?期末）設(shè)正實(shí)數(shù)x、八z滿(mǎn)足X?-孫+/-z=0,則又的最大值為（）

Z

A.4B.2C.3D.1

【答案】D

xy_1

【分析】由已知條件可得出丁二XV利用基本不等式可求得型的最大值.

?1z

yx

2

【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)X、丁、Z滿(mǎn)足尤2-xy+y-z=0,貝（］2=12+,2―孫，

xy_xy1<1

22

所以，zx+y-j(y21±y_1

y%仃1

當(dāng)且僅當(dāng)臺(tái)沙>o/>°）時(shí)'即當(dāng)X、時(shí)，等號(hào)成立,

故￡的最大值為i.

Z

故選：D.

二、填空題

3.（24-25高三上?河南?階段練習(xí)）已知a>6>0,則三當(dāng)?shù)淖钚≈禐開(kāi)____.

ab-b

【答案】20+2

式+1

【分析】將土巨■變形為正一，換元，令”,構(gòu)造均值不等式1）+二+2求解即可.

ab-b2q_]bv7t-\

~b

a2

2.72-7-+1

【詳解】=-一，令:=>1）,所以-1>0,

ab-b2g_]b'7

~b~

貝^^+萬(wàn)二包=（一l）2+2/="_l）2+2（_l）+2=J_+2N2j（f_]）-2+2=2^+2,

ab-b2t-\t-1t-1'7t-1V7t-\

當(dāng)且僅當(dāng)"1=六，即仁血+1，/血+1時(shí)取等號(hào).

所以的最小值為2亞+2.

ab-b

故答案為：2行+2.

題型06雙換元法

【解題規(guī)律?提分快招】

一站巢豕荏一（戢著落諦廠(chǎng)可西1式芬廨「項(xiàng)荷以通過(guò)對(duì)芬薛后畫(huà)式雙賽羌菜轉(zhuǎn)而茶而

1.特征：條件式子復(fù)雜，一般有一次和二次（因式分解展開(kāi)就是一次和二次），可能就符合因式分解原理

2.最常見(jiàn)的因式分解：a+b+ab+\=（a+1）（6+1）

彳詢(xún)通練i

一、單選題

1.（24-25高三上?江蘇鹽城?期中）若實(shí)數(shù)x,了滿(mǎn)足/+9產(chǎn)=1,貝什+3y的最小值為（）

A.1B.-1C.V2D.-V2

【答案】D

【分析】利用三角換元有x+3昨cosS+sin”拒sin（6+；）,即可求其最小值.

【詳解】由題設(shè)，X=cos3^=sin.ae[0,2K),

所以x+3y=cos<9+sine=J^sin(e+；),顯然x+3y的最小值為一行,

當(dāng)且僅當(dāng)e+：==ne="，即工=-正，時(shí)取最小值.

42426

故選：D

2.(2024?湖北?一模)已知實(shí)數(shù)x，>滿(mǎn)足3尤2+3a+/=3,則2x+y最大值為()

A.2B.3C.百D.72

【答案】A

【分析】解法(D采用三角換元，令x+1=cose,]=Esine,再結(jié)合余弦函數(shù)的值域求解即可；解法

(2)采用基本不等式求解即可；

【詳解】解法(D：由3x2+3xy+/=3n3(x+][+；/=3,

令x+弓=cos。,'=V^sin。，BPx=cos0—V3sin0>y=2^/3sin0,

2x+y=2cos0<2,即2x+y最大值為2；

解法(2)：(2x+y)2=4x2+4xy+y2=3+x2+xy=3+x(x+y)<3+^—^^—,

當(dāng)且僅當(dāng)x=x+yf即y=0,d=l時(shí)取等號(hào),

(2x+y)2<4,:.-2<2x+y<2,即2x+y最大值為2,

故選：A.

二、填空題

21

3.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))己知正實(shí)數(shù)X/滿(mǎn)足x+'W2且x-y>0,則+——的最小值為

x+jyx—y

【答案】■

x+3y=m%小皿”心一生44,/_.44m+nm+n、巾

【分析】構(gòu)造，將代數(shù)式換兀為方獷由加+""，Z得FI到tl茄+丁可^+干，再用

基本不等式得到最小值.

x+3y=m2x+2y=m+n<4

【詳解】設(shè),則

x-y=nm>0,n>0

上+?+，/+43+3/+2L+遞

x+3yx-ymn2m4n2m4n42m4n4

當(dāng)且僅當(dāng)會(huì)號(hào)且…=4,即"七=4向4」1-4行時(shí)等號(hào)成立.

故答案為：3+20

4.（23-24高三上?浙江杭州?期中）已知實(shí)數(shù)X、丁滿(mǎn)足x（x+y）=2+2/,貝ij7x?-/的最小值為.

12后+20

【答案】

3

【分析】依題意可得（x+2y）（x-y）=2,令x+2y=w,X-y=n,貝！］加〃=2,即可用含加、”的式子表示工、

九再代入7尤2-必，利用基本不等式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)x,了滿(mǎn)足x(x+y)=2+2/,

化為(x+2y)(x-y)=2,

令x+2y=，"，x-y=n,貝)|〃z"=2.

m+2nm—n

聯(lián)立可得》=y=------

33

2

貝(I7_-2-22=r7(加x+^2〃yX(_m—_n)=§[2.加2+3/6+2_0J

當(dāng)且僅當(dāng)2加=?，即/=30,1=述時(shí)取等號(hào).

m3

故答案為：12亞+20

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是用含加、〃的式子表示X、7,再利用基本不等式求出最小值.

艙----------題型通關(guān)?沖高考-----------*>

題型07與其他知識(shí)點(diǎn)交匯

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.（24-25高二上?山東荷澤?階段練習(xí)）已知43,C三點(diǎn)不共線(xiàn)，點(diǎn)。不在平面/8C內(nèi)，

W=^OA+xVB+yOC（x,y>0）,若4民。,。四點(diǎn)共面，則孫的最大值為（）

A.—B.—C.1D.2

816

【答案】B

【分析】由四點(diǎn)共面，可知x+y+；=l,然后利用基本不等式求解成的最大值即可.

【詳解】因?yàn)?民。,。四點(diǎn)共面，所以x+y+==l,貝!|x+y=J,又x>0/>0,

2N

所以.當(dāng)且僅當(dāng)無(wú)=y=:時(shí)取等號(hào).

\2）164

故選：B

22

2.（24-25高三上?青海?期中）已知雙曲線(xiàn)C：會(huì)-式云=1（4>0,0<6<1）的一條漸近線(xiàn)方程為

V2x-^=0,則4+：的最小值為（）

ab

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】由雙曲線(xiàn)方程及漸近線(xiàn)方程可得/+b=l,再根據(jù)“1”的代換結(jié)合基本不等式即可求解.

2—26

【詳解】由題可知=2,貝11/+6=1,

2

故F與22+2.n=4,

a1

aba"

2

當(dāng)且僅當(dāng)土=交，6=:時(shí)，等號(hào)成立.

ba22

故選：B.

二、多選題

3.（24-25高三上?江蘇常州?開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)P是△/BC的中線(xiàn)2。上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）且

AP=xAB+yAC,則下列說(shuō)法正確的是（）

L12

A.x+2y=lB.2x+y=lC.2x+4y>2^2D.一+一的最小值是9

xy

【答案】ACD

【分析】設(shè)麗=疝5（0。<1）,利用向量線(xiàn)性運(yùn)算表示出力=（1-4方+1就，即可得至I）無(wú)+2了=1,

判斷選項(xiàng)AB,然后利用基本不等式求最值，即可判斷選項(xiàng)CD.

【詳解】由題知，設(shè)麗=4而（0<彳<1）,

貝！17?=75+旃=75+2赤

^^3AP=xAB+yAC,

1—A=X

所以，2,則x+2y=l,且x>0/>0,A正確，B不正確;

—=y

2,+4〉=2x+22y>2也2y=2V2，

當(dāng)且僅當(dāng)工=2歹=；時(shí)，等號(hào)成立，C正確;

「

又一1+―2=

xy

=1+4+殳+至25+2“=9,

xy

當(dāng)且僅當(dāng)殳=在，即尤=y=:時(shí)，等號(hào)成立，D正確.

Xy3

三、填空題

S+9

4.（24-25高三上?海南省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí)）己知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為'="2+",當(dāng)」一取最小

an

值時(shí)，〃=.

【答案】3

【分析】根據(jù)Sn求得%=2”,代入結(jié)合基本不等式分析最值即可.

【詳解】因?yàn)镾"="2+",

2

當(dāng)“22時(shí)，an=Sn=?+?-（?-1）■=2〃,

又當(dāng)〃=1時(shí)，%=E=2,滿(mǎn)足%=2〃，故a0=2〃；

則gj+,+97

an2n2

9

當(dāng)且僅當(dāng)〃==,即〃=3時(shí)，等號(hào)成立，

n

S+9

所以當(dāng)〃=3時(shí)，」一取得最小值.

an

故答案為：3.

5.（2024?河南新鄉(xiāng)?一模）在ZUBC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,4c,嗎二^=不一，ZUBC的面積

S1IL4-S1IWD+C

S=VL貝Ua+46的最小值為,此時(shí)△4BC的周長(zhǎng)為.

【答案】85+713/713+5

7T

【分析】根據(jù)正余弦定理邊角互化可得c=§,進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式可得好=4,即可根據(jù)基本不等式

求解最值，利用余弦定理可得c=JF,即可求得答案.

22

【詳解】由sm：sin,=a和正弦定理可得弋=『=c=a-abn『+廿一f=ab,

SIIL4-SIIIDb+ca—bb+c

a2+b2-c2￡

故cosC=

lab2

?.-CG（0,7r）,.'.C=1,

S=；a6sinC=若="=4,故。+46印2j4a6=8,

當(dāng)且僅當(dāng)。=46=4,即4=4,6=1時(shí)取等號(hào)，

c2=a~+b2—ab=\6+\—A=\3y故。=^/15\

此時(shí)周長(zhǎng)為q+6+c=5+g,

故答案為：8,5+V13

6.（2024海南省直轄縣級(jí)單位?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=2024,-2024,若。＞0,6＞0且

7a

-1）+/僅-1）=〃0）,貝I］三+*的最小值為_(kāi)_______.

。+2P+1

【答案】平+1

【分析】判斷給定函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，利用函數(shù)性質(zhì)求出。力的關(guān)系，再借助基本不等式“1”的妙用求

解即得.

【詳解】由/（》）=2024'-2024、定義域?yàn)镽,/（0）=0,

則/（-x）=2024T-2024'=-〃x）,

所以函數(shù)”X）為奇函數(shù)，

因?yàn)楹瘮?shù)＞=2024',y=-2024T在R上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/（x）在R上單調(diào)遞增，

由〃"1）+/伍-1）=〃0）=0,則〃=-=

所以a—1=1—6,即a+b=2,貝?。?。+2）+（6+1）=5,

又〃〉0,b>Q,貝!]a+2>2,b+l>l,

2129+%3（0+2）15

所以

6Z+25Q+2b+1

12（6+1）3（a+2）+5=偵+1,

>—2,

5a+2b+\5

當(dāng)且僅當(dāng)上?=￥3即”5癡"，X-八時(shí)等號(hào)成立,

所以上7+3的最小值為羋+L

a+2b+15

故答案為：平+1.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用基本不等式最值的方法與技巧：

（1）在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”、“拼”、“湊”等技巧，使用其滿(mǎn)足基本不等式的“一正”、“二

定”、“三相等”的條件；

（2）利用基本不等式求最值時(shí)，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，有時(shí)可乘以一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù)，以及

“1”的代換等應(yīng)用技巧.

*>----------題型通關(guān)?沖高考-----------*>

一、單選題

23

1.（24-25高三上?廣西南寧?階段練習(xí)）若正實(shí)數(shù)x,?且x+2y=l,則一+一的最小值為（）

y%

A.2B.3+2后C.5+276D.7+4百

【答案】D

【分析】借助“1”的代換，利用基本不等式求最值可得.

【詳解】若正實(shí)數(shù)x,y,且x+2k1,

m2312。2x6歹

貝J—+—=|—+-|（x+2y）=4+3+—+—

2x6yx=2A/3—3..

當(dāng)且僅當(dāng)一二」，即廠(chǎng)時(shí)等號(hào)成立.

>x[y=2-y/3

23

故一+一的最小值為7+4JL

yx

故選：D.

2.（24-25高三上?廣東揭陽(yáng)?階段練習(xí)）函數(shù)y=log“x+ai+2（a>0且"1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)化6）,若

91

m+n=b-kS.m>0,n>0,貝1!一+—的最小值為（）

mn

95

A.9B.8C.-D.-

22

【答案】B

【分析】先由函數(shù)過(guò)定點(diǎn)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，再利用常值代換法，借助于基本不等式即可求得.

【詳解】由7=1。8/+?！?2的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（左,6）,可得左=1,b=3,貝|加+”=2；

因2+_L=_L（2+J_）（加+〃）=工（10+%+二”工（10+2,年）=8,

mn2mn2mn2\mn

當(dāng)且僅當(dāng)加=3”時(shí)等號(hào)成立,

m+n=231

由可解得加=],〃=/，

m=3n

故當(dāng)機(jī)=：3,"=1:時(shí)，02+1上的最小值為8.

22mn

故選：B.

14+力

3.（24-25高三上?天津?階段練習(xí)）己知正數(shù)”?，"滿(mǎn)足"?+〃=1,則一