熱點01集合與復(fù)數(shù)

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測

集合：集合：

2022年，第1題，考察集合的交集和補集該內(nèi)容為天津卷的必考內(nèi)容，多借助不等式的解集、

2023年，第1題，考察集合的交集集合的定義域和值域考直集合的交、

2024年，第1題，考察集合的并集并、補運算，關(guān)鍵要抓住集合元素的屬性，特別是分

復(fù)數(shù)：清點集和數(shù)集，考直難度較低；

2022年，第10題（填空題第1題），考察復(fù)數(shù)的四復(fù)數(shù)：

則運算本節(jié)內(nèi)容是天津卷的必考內(nèi)容，一般考有復(fù)數(shù)的概念

2023年，第10題（填空題第1題），考察復(fù)數(shù)的四及幾何意義以及復(fù)數(shù)的四則運算

則運算

2024年，第10題（填空題第1題），考察復(fù)數(shù)的乘

法運算

熱點題型解讀

題型1元素與集合的關(guān)系

題型2子集（真子集）個數(shù)問題

題型3集合與集合關(guān)系判斷集合與復(fù)數(shù)—題型8復(fù)數(shù)的模問題

題型4根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)題型9共數(shù)

題型5集合的并交補運算題型10復(fù)數(shù)的四則運算

題型1元素與集合的關(guān)系

（1）集合的元素必須滿足確定性，互異性，無序性，特別是需要代入答案檢查是否滿足互異性。

（2）根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)問題時，先利用確定性解出字母所有可能值，再代入答案檢查元素是

否滿足互異性，要注意分類討論思想的應(yīng)用.

1.（2024?廣東?模擬預(yù)測）若根e{l,3,4,〃/},則根可能取值的集合為（）

A.{0,1,4}B.{0,3,4}C.{-1,0,3,4}D.{0,1,3,4}

【答案】B

【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

【分析】根據(jù)給定條件，利用元素與集合的關(guān)系列式計算并驗證即得.

【詳解】由{1,3,4,〃/},得//1,則"2W1,

由e{1,3,4,〃/},得〃z=3,此時“=9,符合題意；

或租=4,此時加2=16,符合題意；或m=??,則%=0,此時療=0,符合題意，

所以利可能取值的集合為{0,3,4}.

故選：B

2.（2023?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）已知A=,x'Nv。],若2eA,則根的取值范圍是（）

[\mx-\J

A.——<m<—B.——<m<—C.m<——或機>!D.m<——或〃z2一

22222222

【答案】A

【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、解不含參數(shù)的一元二次不等式、分式不等式

【分析】將尤=2代入竺〔VO,然后轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解可得.

mx-l

【詳解】因為2eA,所以*等價于［，相：1）?加一1），。，

2加一112根一1W0

解得一J"根<3.

故選：A

3.（24-25高一上?安徽,階段練習）已知集合4={串痛-3>0,加€叫，若1"且3eA,則實數(shù)機的取值

范圍是（）

J_3J_3

A.B.C.D.

2,22,2

【答案】A

【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

【分析】根據(jù)集合中的元素特征得出不等式組可解得結(jié)果.

2m-3<0,

【詳解】由1FA且3eA,得

6m-3>0,

解得1;<y,3

22

故選：A.

4.（2024?上海寶山?二模）已知集合&={2,卜+1|,。+3},且leA,則實數(shù)。的值為.

【答案】0

【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

【分析】根據(jù)給定條件，利用元素與集合的關(guān)系，結(jié)合集合元素的性質(zhì)求解即得.

【詳解】由集合A={2,|a+l|,a+3},且leA,得|。+1|=1或a+3=1,解得a=0或。=一2,

當a=0時，A={2,1,3},符合題意，

當”=-2時，,+1|=1且。+3=1,與集合元素的互異性矛盾，

所以實數(shù)。的值為0.

故答案為：0

題型2子集（真子集）個數(shù)問題

%

如果集合A中含有〃個元素，則有

（1）A的子集的個數(shù)有2"個.（2）A的非空子集的個數(shù)有2"-1個.

（3）A的真子集的個數(shù)有2"-1個（4）A的非空真子集的個數(shù)有2"-2個.

1.（2024?天津和平?一模）已知集合4={尤eN|-24尤<2},3={xeZ|國<2},集合C=AB,則集合C的

子集個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)、交集的概念及運算

【分析】根據(jù)集合的交集運算求得集合C,然后可解.

【詳解】因為A={0』},B={T0,l},

所以C=AB={0,l},

所以集合C的子集個數(shù)為22=4.

故選：D

x-1

（高一上?天津濱海新?階段練習）已知集合4=〈彳|<0,jfeZ>,2={x|0<x<5,尤eN},貝5|滿

2.24-251^3

足條件A=C=3的集合C的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)、分式不等式

【分析】化簡集合，將題目等價轉(zhuǎn)換為求已知集合的子集個數(shù)即可求解.

【詳解】集合A=H|f|vO,xez1={x|lWx<3,xeZ}={l,2},

8={x10<x<5,xeN}={1,2,3,4},

而題目等價于求{3,4}的子集的個數(shù)，故所求為2?=4.

故選：D.

3.（2024?貴州遵義?模擬預(yù)測）已知集合4={0,1,2},3={1,2,3},若集合C={zeN*|z=醐,xeA且ye8},

則C的子集的個數(shù)為（）

A.8B.16C.32D.64

【答案】C

【知識點】描述法表示集合、列舉法表示集合、判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)

【分析】首先求集合C中的元素，再根據(jù)集合的元素個數(shù)，代入公式，即可求解.

【詳解】由條件可知，肛=0xl=0x2=0x3=0,孫=1x1=1,lx2=2xl=2,1x3=3,2x2=4，2*3=6,

所以集合C={L2,3,4,6},集合C的子集的個數(shù)為2$=32個.

故選：C

4.（2024?寧夏?模擬預(yù)測）集合“|三|〈0?€2，的真子集個數(shù)是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)、分式不等式

【分析】利用分式不等式，化簡完集合，根據(jù)真子集定義即可求得結(jié)果.

【詳解】由題意得1x|\!v0,xez1=W-l<xV2,xeZ}={0,L2},

所以該集合的真子集個數(shù)為23-1=7.

故選：c

5.（24-25高一上?天津?階段練習）已知集合A=，—eNxeZ，，則滿足0M=A的集合M個數(shù)為—

【答案】63

【知識點】描述法表示集合、判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)、子集的概念、常用數(shù)集或數(shù)集關(guān)系應(yīng)用

【分析】利用常用數(shù)集的定義化簡集合A,再由條件得到集合M為集合A的真子集，從而得解.

12

【詳解】因為「jeN,xeZ,

x+3

所以x+3的取值為1,2,3,4,6,12,即x的取值為-2,T,0,1,3,9,

所以4=1為??^€2卜{-2,-1,0,1,3,9},有6個元素，

又0McA,即集合M為集合A的真子集,

所以集合M個數(shù)為26-1=63.

故答案為：63.

題型3集合與集合關(guān)系判斷

返

（1）列舉法，通過列舉兩個集合的部分元素找到規(guī)律；

i（2）共同特征法，通過通分等技巧找到兩個集合共同特征，分析規(guī)律判斷兩個集合的關(guān)系。

II

ii

1.（24-25高三上?天津?階段練習）已知集合4={尤|尤2一彳-2<0},2=詞_1<彳<3},貝|（）

A.ABB.BAC.A=BD.Af|B=0

【答案】A

【知識點】判斷兩個集合的包含關(guān)系、解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合4結(jié)合集合之間的關(guān)系即可求解.

【詳解】由題意知，A={x|-l<x<2},

又3={乂-1<%<3},所以AB.

故選：A

2.（24-25高三上?天津東麗?階段練習）已知集合4={小2-*-2<0},B={x|-l<x<l},則（）

A.ABB.3AC.A=BD.AQB=0

【答案】B

【知識點】判斷兩個集合的包含關(guān)系、解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】化簡集合4={小2-工_2<0},即可判斷.

【詳解】解：因為A={X/-x-2<0}={尤|（x-2）（x+l）<0}={x|-l<x<2},

3={%卜1<》<1},所以BA.

故選：B.

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知集合4={-1,0,1},3=國—”》<1},則（）

A.A=BB.AB=0C.BAD.AB

【答案】D

【知識點】判斷兩個集合的包含關(guān)系

【分析】利用元素與集合，集合間的基本關(guān)系判定選項即可.

【詳解】因為集合4={-1,0,1},8=3-1<%41},4中元素都屬于8,

且42瓦.14是8的真子集.

故選：D.

4.（2024?湖北?模擬預(yù)測）已知集合加=，尤卜=W+；,〃ez1,N=，彳卜=￡+g則下列表述正確的

是（）

A.MCN=0B.MN=RC.M=ND.N=M

【答案】C

【知識點】判斷兩個集合的包含關(guān)系

【分析】集合”表示正奇數(shù)除以4,集合N表示整數(shù)除以4,據(jù)此可以判斷兩個集合的關(guān)系.

【詳解】“=彳卜=智,“€2〉表示是的含義是正奇數(shù)除以4,

N="卜=等,表示的含義是整數(shù)除以4,

所以M=

故選：C.

5.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）在下列選項中，能正確表示集合&={-3,0,3}和8={幻/+3》=0}的關(guān)系的

是（）

A.A=BB.A^BC.AcBD.AfB=0

【答案】B

【知識點】判斷兩個集合的包含關(guān)系

【分析】先求出集合8,然后利用兩個集合之間的關(guān)系進行判斷即可.

【詳解】由8={]f+3尤=。},可得3={—3,0},又4={-3,0,3},所以A^B

故選：B

題型4根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)

|—

（1）AC\B=A<^A（^B；

（2）A\jB=B^AczB

（）注意分類討論的思想，若優(yōu)先考慮

I3AABnAoAuB4=0

I（4）常采用數(shù)形結(jié)合的思想，借助數(shù)軸解答

1.（2024?湖北?一模）已知集合4={-1,0,1,2},8={無|卜-"?|?2},若A5=3,則加的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（-1,1）C.[0,1]D.[-1,1]

【答案】C

【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、并集的概念及運算、根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)

【分析】由A8=8,得到再由集合之間的包含關(guān)系列不等式組求解即可；

【詳解】由歸一時42解得加一24x4m+2,

因為AB=B,所以4=3,

/加一2?—1

所以〃?+2＞2，解得04〃"1，即，"的取值范圍是r[°』，

故選：C.

2.（2024河南新鄉(xiāng)?模擬預(yù)測）設(shè)集合4=1k229},3=32尤＜力，若3=4,貝匹的取值范圍是（）

A.（—oo,-6]B.（一°0,—2]C.[3,+co）D.[6,+oo）

【答案】A

【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】解不等式可得集合A,再由子集的運算求出結(jié)果即可；

【詳解]由題可知人=（一應(yīng)一3][3,+8）,8=1一%￡|,

由31可得葭V-3,

所以aW—6.

故選：A.

3.（2024?陜西銅川三模）已知集合4={.4間,8={x|-2＜尤＜3},若則實數(shù)加的取值范圍為（）

A.（-oo,-2）B.（-oo,-2]

C.（3,+oo）D.[3,4w）

【答案】D

【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)

【分析】根據(jù)3=A,結(jié)合圖象列不等式即可求解.

【詳解】因為3屋4,

所以A,

所以由數(shù)軸得相23.

即優(yōu)的取值范圍為[3,E）.

故選：D.

-23rnx

4.（2024?江蘇宿遷?三模）已知集合4={引0＜無＜"?},3={尤卜2-3尤+2＞。},若今BqA,則實數(shù)加的取值

范圍為（）

A.（-℃,2]B.（1,2]C.[2,+Q0）D.（2,+8）

【答案】D

【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、補集的概念及運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】解不等式可得集合B,再由補集和子集的運算可得實數(shù)m的取值范圍.

【詳角單】因為f一3%+2>0=>%>2或x<l,

所以5={小>2,或％<1},

所以43=屐|1微2},

又且4={犬[0<%<相},

所以機>2,

所以實數(shù)機的取值范圍為（2,+8）,

故選：D.

5.（2024?河北邯鄲?模擬預(yù)測）已知集合4=卜產(chǎn)+2尤-/0|,2=卜辰=0},若5=A,則實數(shù)a的取值

范圍是.

【答案】（-也3]

【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用

【分析】由對數(shù)運算可得3={1},再由元素與集合的關(guān)系代入解不等式可得結(jié)果.

【詳解】易知B={1},因為814,所以IwA,

所以1+2-心0,即aW3.

可得實數(shù)a的取值范圍是（-*3].

故答案為：（3,3]

題型5集合的并交補運算

（1）列舉法

（2）數(shù)軸法

（3）圖法

1.（2024?天津河西?模擬預(yù)測）已知集合A={M尤=3左一l#eN},3={x|-4d+4x+15>0},則AB=（）

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,2}

【答案】D

【知識點】交集的概念及運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】解一元二次不等式得到B,再由集合交集運算即可求解.

【詳解】因為A={x|x=3左一l,ZeN},當左=-1,0,1,2,時，3"1=-4,-1,2,5

所以AB={-1,2}

故選：D

2.（2024?天津南開二模）已知全集。={-2,-1,0」,2},集合4={-2,0},3={0,2},則必（4口3）=（

A.{1}B.{-1,1}C.{-1,1,2}D.{-1,0,1）

【答案】B

【知識點】交并補混合運算

【分析】借助集合的并集與補集的定義計算即可得.

【詳解】由&={-2,0},B={0,2},則A3=3={0,2,-2},

又。={-2,-1,0,1,2},則令（4B）={-1,1}.

故選：B.

3.（2024?天津濱海新?三模）已知集合。={1,2,3,4,5,6},A={1,3,4,6},B={4,5},則A?B）=（）

A.{3,6}B.{1,3,6}C.{3,4,6}D.{1,3,4,6）

【答案】B

【知識點】交并補混合運算

【分析】根據(jù)集合補集和交集的運算法則即可計算求解.

【詳解】U={1,2,3,4,5,6},3={4,5},

”={1,2,3,6},

又4={1,3,4,6},

A@3）={1,3,6}.

故選：B.

4.（2024?天津和平?二模）設(shè)集合U={xeN|xV7},S={0,2,4,5},T={3,5,7},則.

【答案】{0,2,4}

【知識點】交并補混合運算

【分析】根據(jù)集合的交運算以及補集定義即可求解.

【詳解】{尤eN|x<7}={0,l,2,3,4,5,6,7},必7={01,2,4.6},

故Sc&T）={024},

故答案為：{0,2,4}

5.（2024?天津?三模）已知全集。=口€^|x<7},集合A={1,2,3,6},集合3={xeZ|兇<5},則

（a4）-8=,ALB=.

【答案】{4}{^,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,6)

【知識點】列舉法表示集合、交并補混合運算

【分析】根據(jù)題意，分別求得。={1,2,3,4,5,6,7}和3={T,—3,—2,—1,0和2,3,4},結(jié)合集合運算法則，即可

求解.

【詳解】由全集U={xeN*|xW7}={l,2,3,4,5,6,7},

集合A={1,2,3,6},集合3={xeZ|W<5}={Y,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},

可得毛A={4,5,7},則(^A)C3={4},AB={-4,-3-2,-1,0,1,2,3,4,6).

故答案為：{4}；{<一3,-2,-1,0,1,2,3,4,6}.

題型6圖

9

?

通過畫圖分析各個集合的特征，通過計算求得各個集合

1.（2024?海南?模擬預(yù)測）如圖，己知全集"=氏集合4=崗（2尤-3）-（x+l）W0},8={尤|x>。},則圖中

B.

3

C.{x|xK0或%>/}D.{x\x<0^x>—

【答案】B

【知識點】并集的概念及運算、補集的概念及運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式、利用Venn圖求集合

【分析】解不等式化簡集合4再結(jié)合韋恩圖求出陰影部分表示的集合.

【詳解】依題意，集合A={x|-lWx4]},而3={x|x>0},則AB={x\x>-\],

由韋恩圖知，圖中陰影部分表示的集合為屯（AB）=[x\x<-1}.

故選：B

2.（2024?新疆烏魯木齊?三模）已知集合。={123,4,5},A={1,2,3},8={2,3,4},則圖中陰影部分表示

的集合為（）

【答案】A

【知識點】交集的概念及運算、補集的概念及運算、利用Venn圖求集合

【分析】表示出陰影為?（43）,在直接計算即可.

【詳解】圖中陰影部分為6（AB）,因為A={1,2,3},B={2,3,4},

所以AcB={2,3},以4B）={1}.

故選：A.

3.（2024?廣西柳州?三模）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有90%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)

生喜歡足球,80%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（）

A.70%B.60%C.50%D.40%

【答案】C

【知識點】利用Venn圖求集合

【分析】根據(jù)韋恩圖中集合的關(guān)系運算即可.

4.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）二十大報告中提出加強青少年體育工作，促進群眾體育和競技體育全面

發(fā)展，加快建設(shè)體育強國的要求.某校體育課開設(shè)"足球"、"籃球"兩門選修課程，假設(shè)某班每位學(xué)生最少選

修一門課程，其中有33位學(xué)生選修了"足球"課程，有26位學(xué)生選修了"籃球"課程，有10位學(xué)生同時選修了

這兩門課程，則該班學(xué)生的人數(shù)為（）

A.39B.49C.59D.69

【答案】B

【知識點】容斥原理的應(yīng)用

【分析】設(shè)選修"足球”課程的學(xué)生構(gòu)成的集合為A,選修"籃球〃課程的學(xué)生構(gòu)成的集合為作出韋恩圖,

可得出該班學(xué)生人數(shù).

【詳解】設(shè)選修"足球"課程的學(xué)生構(gòu)成的集合為A,選修"籃球"課程的學(xué)生構(gòu)成的集合為8,

如下圖所示：

故選：B.

5.（24-25高一上?遼寧?階段練習）己知南雅中學(xué)高一班有55名學(xué)生，在秋季運動會上，有17名學(xué)生參加

了田賽項目，有22名學(xué)生參加了徑賽項目，田賽和徑賽都參加的有9名同學(xué)，則該班學(xué)生中田賽和徑賽都

沒有參加的人數(shù)為

【答案】25

【知識點】容斥原理的應(yīng)用

【分析】根據(jù)題意畫出Venn圖，再進行求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，畫出Venn圖如下：

所以該班學(xué)生中田賽和徑賽都沒有參加的人數(shù)為55-（8+9+13）=25.

故答案為：25.

題型7集合新定義問題

—

（1）封閉運算

（2）完美集

（3）群，域，環(huán)等

彳一石.濟嵩三？面,并孽署底§.兔父「笳第藁苔方薦茬二國兩兩示菱一（通不蔚南爰藁為圣藁前「麻藥

不交）的非空真子集4,g,4（%eN*）,且Au&ULuA=u,那么稱子集族｛A,4，?,A｝構(gòu)成集合u的

一個人劃分.已知集合/={xeN|Y_6x+5<0},則集合/的所有劃分的個數(shù)為（）

A.3B.4C.14D.16

【答案】B

【知識點】集合新定義

【分析】解二次不等式得到集合/，由子集族的定義對集合/進行劃分，即可得到所有劃分的個數(shù).

【詳解】依題意，/={xeN|d-6x+5<0}={xeN[l<x<5}={2,3,4},

I的2劃分為{{2,3},{4}},{{2,4},{3}},{{3,4},{2}}，共3個，

/的3劃分為{{2},{3},{4}},共1個，

故集合/的所有劃分的個數(shù)為4.

故選：B.

2.（2024?上海靜安?二模）如果一個非空集合G上定義了一個運算*,滿足如下性質(zhì)，則稱G關(guān)于運算*構(gòu)

成一個群.

（1）封閉性，即對于任意的”,6eG,有。*6eG；

（2）結(jié)合律，即對于任意的a,6,ceG,有（<v*b）*c=a*（6*c）；

（3）對于任意的a,6eG,方程x*a=6與a*y=6在G中都有解.

例如，整數(shù)集Z關(guān)于整數(shù)的加法（+）構(gòu)成群，因為任意兩個整數(shù)的和還是整數(shù)，且滿足加法結(jié)合律，對

于任意的析Z,方程x+a=6與>=6都有整數(shù)解；而實數(shù)集R關(guān)于實數(shù)的乘法（x）不構(gòu)成群，因

為方程Oxy=1沒有實數(shù)解.

以下關(guān)于"群"的真命題有（）

①自然數(shù)集N關(guān)于自然數(shù)的加法（+）構(gòu)成群；

②有理數(shù)集Q關(guān)于有理數(shù)的乘法（X）構(gòu)成群；

③平面向量集關(guān)于向量的數(shù)量積「）構(gòu)成群；

④復(fù)數(shù)集C關(guān)于復(fù)數(shù)的加法（+）構(gòu)成群.

A.0個；B.1個；C.2個；D.3個.

【答案】B

【知識點】集合新定義

【分析】根據(jù)群的定義需滿足的三個條件逐一判斷即可.

【詳解】對于①，x+3=2,在自然數(shù)集中無解，錯誤；

對于②，Oxy=l,在有理數(shù)集中無解，錯誤；

對于③，是一個數(shù)量，不屬于平面向量集，錯誤；

對于④，因為任意兩個復(fù)數(shù)的和還是復(fù)數(shù)，且滿足加法結(jié)合律，

且對任意的a/eC,方程x+a=6與a+y=6有復(fù)數(shù)解，正確.

故選：B

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，用新定義解題.解題方法是根據(jù)新定義的

3個條件進行驗證，注意實數(shù)或復(fù)數(shù)運算的運算律與新定義中運算的聯(lián)系可以很快得出結(jié)論.

3.(2024?黑龍江齊齊哈爾?一模)

A={zwC|z=a+6i,awN,beN,|z|=l},_B={zwC|z=x+yi,x€Z,ywZ,國若定義

A?>jB={zeqz=Z]+z2，ZiwA,z?eB},則A十3中的元素有個.

【答案】14

【知識點】由復(fù)數(shù)模求參數(shù)、利用集合中元素的性質(zhì)求集合元素個數(shù)、集合新定義

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的運算公式，結(jié)合題中定義進行求解即可.

【詳解】因為A={i,l},2={-l,0,l,—l+i,i,l+i,-l-i,-i,l-i},

所以A十B={-l+i,i,l+i,-l+2i,2i,l+2i,-l,0,l,2,2+i,-i,l-i,2-i},

A十3共14個元素.

故答案為：14

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是理解題中定義.

4.(23-24高二下?浙江溫州?期中)若X是一個集合，T是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：

①X屬于T,空集。屬于T;②T中任意多個元素的并集屬于T;③T中任意多個元素的交集屬于T,則

稱T是集合X上的一個拓撲.已知函數(shù)f(x)=H刈，其中國表示不大于x的最大整數(shù)，當x撼0,汨,“N*時,

函數(shù)f(x)值域為集合4,則集合&上的含有4個元素的拓撲T的個數(shù)為.

【答案】9

【知識點】組合數(shù)的計算、集合新定義

【分析】根據(jù)集合X上的拓撲的集合T的定義，判斷〃的值，利用元素與集合的關(guān)系判斷滿足題意的集合為

上的含有4個元素的拓撲T的個數(shù).

【詳解】因為函數(shù)/。)=國刈，其中團表示不大于x的最大整數(shù)，當x撼0,磯〃N*時，函數(shù)值域為

集合，

所以〃=2,故0<xW2,

①當0cx<1時,則[x]=0,二/[比可=0,

②當x=l時，區(qū)=1顯然=

③當1cx<2時，[x]=l,==

④當尤=2時，〃2)=4,

.?.4={0,1,4},

■「T中含有4個元素，其中兩個元素。和

Aw0

Aw4

設(shè)其它兩個元素為AB,貝ijBw0,

Bw4

A^B

由對稱性，不妨設(shè)14網(wǎng)〈忸歸2,其中|A|,同表示集合A中元素的個數(shù)，

fAnBeT....、

1.DT，又網(wǎng)<怛|,,4門3=0或A,

[A<jBeT1111

若AB=0,則A3只能等于4,（若AB=B,則AgB,則AB=A=0,矛盾）,

A=1

則必有《nc，

??（AB）的個數(shù)04的個數(shù)=3種.叫，4嚴[屋0,4嚴1=嬴；

若Ac3=AoA=3,此時滿足AB=B,

AwB且IV閾且怛區(qū)2,

...B的選擇共有C；=3種，則A的個數(shù)有C；=2種,

（A8）的個數(shù)=2x3=6種.

這6種是fA小={0}康fA小={l/l『胃fA={0°}'}，卜={4}}=也］A={4}

［B={O,4}，［B={1,4}，［B={1,4}

綜上可知T的個數(shù)為9個.

故答案為：9.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于理解集合新定義，得到若A8=0時，（A3）的個數(shù)oA的個數(shù)=3

種；若=A=時，（A,B）的個數(shù)=2x3=6種.

5.（24-25高一上?北京,期中）給定數(shù)集若對于任意。、beM,有a+6?M,且a-beM,則稱集

合M為閉集合，則下列所有正確命題的序號是.

①集合加=｛-2,-1,0,1,2｝是閉集合；

②正整數(shù)集不是閉集合；

③集合M=?=3太左wZ｝是閉集合；

④若集合4、4為閉集合，則A□為為閉集合.

【答案】②③

【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系、集合新定義

【分析】對于①，令。=-2,b=-l,即可判斷；對于②，兩個正整數(shù)的差可能是負整數(shù)，即可判斷；對

于③，任取4,,則4=3/，n2=3k2,k,,,結(jié)合新定義即可判斷；對于④，令

A={”"=3左,左eZ},4=?=2左，左eZ},結(jié)合新定義即可判斷.

【詳解】對于①，因為—2eAf,—leM,但是一2+（-1）=一3/加，

所以河={-2,-1,0,1,2}不是閉集合，故①錯誤；

對于②，對于正整數(shù)集N*,因為leN*,2eN*,

但是l-2=-l￡N*,所以正整數(shù)集不是閉集合，故②正確；

對于③，任取巧，,則4=3勺，叼=3%,%，k2eZ,

則k]+k[￡Z,k]—k]￡Z,k?—左]GZ,

y

所以“+%=3（匕+左2）eAf,4—%=3（匕—左2）eAf,n2+nl=3（＜k2-kl）&M,

所以M={巾=3匕左eZ}是閉集合,故③正確;

對于④，由③可得司={小=3左,丘2}是閉集合，&={*=2k#eZ}是閉集合，

所以A={〃|〃=3左或〃=2左,％wZ},則有2,3€不出，

但2+3=5e44,則4口兒不是閉集合，故④錯誤.

故答案為：②③.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決集合知識和新定義的問題，在解答過程當中應(yīng)充分體會新定義問題概念的確定

性，與集合子集個數(shù)、子集構(gòu)成的規(guī)律.

題型8復(fù)數(shù)的模問題

1----------------------------------------------------------------------------------------------1

|00與百

向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z=。4/eH）的模，記為|21或|。+加

公式：|z|=|a+W=,其中

：復(fù)數(shù)模的幾何意義：復(fù)數(shù)z=a+應(yīng)在復(fù)平面上對應(yīng)的點Z（a,3到原點的距離；

1特別的，6=0時，復(fù)數(shù)z=a+4?是一個實數(shù)，它的模就等于|。|（。的絕對值）.\

1.（2024,天津?一模）若復(fù)數(shù)z滿足z（l-i）=1+?|,貝”=（）

A.1-iB.1+iC.2-2iD.2+2i

【答案】B

【知識點】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的除法運算

【分析】由復(fù)數(shù)的除法運算法則以及復(fù)數(shù)的模的概念即可得到結(jié)果.

【詳解】z(l-i)=卜后卜加與=2,

故選：B.

2.(2024?浙江?二模)若復(fù)數(shù)z滿足：z+2z=3-2i,貝|目為()

A.2B.aC.-JsD.5

【答案】C

【知識點】復(fù)數(shù)的相等、求復(fù)數(shù)的模、共朝復(fù)數(shù)的概念及計算

【分析】利用共軌復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)相等的充要條件求出z,進而求出忖.

【詳解】設(shè)z=a+6i,(a,beR),則z=a-歷,

所以z+2彳=3a—bi=3—2i,即a=1,6=2,

所以|Z|=J/+62=小.

故選：C.

3.(2024?吉林長春?模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)z=(l+2i)(i-1),則|z|=()

A.710B.y/5C.yj3D.72

【答案】A

【知識點】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算和幾何意義計算即可求解.

【詳解】z=(l+2i)(i-l)=-3-i,

所以忖=&_3尸+(_1)2=屈.

故選：A

4.(2024?吉林?三模)已知復(fù)數(shù)z=(l+2i)(i—l),則忖=()

A.V10B.6C.6D.72

【答案】A

【知識點】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法、加減法運算及復(fù)數(shù)的模即可求解.

【詳解】z=(l+2i)(i-l)=-3-i,則|z|=J(-3y+『=而,

故選：A

5.(2024?浙江?一模)已知復(fù)數(shù)z=l-i(其中i是虛數(shù)單位)，貝1)產(chǎn)+目()

A.2B.1C.72D.V10

【答案】C

【知識點】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)加減法的代數(shù)運算、復(fù)數(shù)的乘方、共朝復(fù)數(shù)的概念及計算

【分析】利用共軌復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的四則運算化簡復(fù)數(shù)Z2+W，利用復(fù)數(shù)的模長公式求解即可.

【詳解】因為z=l—i,貝Ijz2+$=(l—i)2+l+i=—2i+l+i=l—i,

所以產(chǎn)+三=#+(_1『=拒.

故選：C.

題型9共輾復(fù)數(shù)

一般地，當兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共輾復(fù)數(shù)；虛部不等于。的兩

個共軌復(fù)數(shù)也叫共輾虛數(shù).

(2)表示方法

表示方法：復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)用I表示，即如果z=a+萬，則口”取

1-i

1.(2024?天津和平,二模)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)2貝Uz的共輾復(fù)數(shù)三=()

1.

—1

2

【答案】C

【知識點】共軌復(fù)數(shù)的概念及計算、復(fù)數(shù)的除法運算

【分析】先利用復(fù)數(shù)的四則運算求出z,再結(jié)合共軌復(fù)數(shù)的定義求解.

所以Z的共軌復(fù)數(shù)7=占.

2

故選：C.

2.(2024?廣東韶關(guān)?一模)若復(fù)數(shù)z滿足zi=l+i,則z-5=()

A.1B.41C.2D.4

【答案】C

【知識點】共輾復(fù)數(shù)的概念及計算、復(fù)數(shù)的除法運算

【分析】方法1：根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算求出z,然后共軌復(fù)數(shù)概念結(jié)合乘法運算可得；方法2：利用復(fù)數(shù)模的

性質(zhì)求出忖，然后由性質(zhì)z3=|z『可得.

【詳解】法1：因為力=l+i,所以z=￥=l-i,N=l+i,所以z-2=(l+i)(l—i)=2.

法2：因為zi=l+i,所以同=|l+i|,即同=應(yīng),ZN=|Z|2=2.

故選：C.

3.(2024?四川德陽?一模)已知復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=T，則彳=()

11.11.

A.----1B.—+—1C.l-iD

2222

【答案】B

【知識點】共輾復(fù)數(shù)的概念及計算、復(fù)數(shù)的除法運算、求復(fù)數(shù)的模

【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則和共朝復(fù)數(shù)的概念得到答案.

故選：B

7

4.(2024?山東威海,一模)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足;一=i，則z-5=()

1+z

A.—B.—C.yD.2

422

【答案】C

【知識點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算、復(fù)數(shù)的除法運算、共朝復(fù)數(shù)的概念及計算

【分析】由題可得2=上，計算后可得z與彳，即可得答案.

1-1

Z/\、ii(l+i)11

【詳解】由17ri，可得2=(1+2》-=(1-山=2===(1)(』)=一5+尹

貝=則z?五=，+，=，.

227442

故選：C

5.(2024?陜西商洛?一模)若復(fù)數(shù)z=(2+i)(l-i),則乞=()

A.]-iB.1+iC.3-iD.3+i

【答案】D

【知識點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算、共朝復(fù)數(shù)的概念及計算

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算化簡，即可根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的定義求解.

【詳解】因為z=(2+i)(l-i)=2-2i+i-i2=3-i,所以彳=3+i.

故選：D

題型10復(fù)數(shù)的四則運算

(1)復(fù)數(shù)的乘法法則

我們規(guī)定，復(fù)數(shù)乘法法則如下：設(shè)4=〃+4，Z2=c+成是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的乘積為

z1Z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i,

即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

(2)復(fù)數(shù)的除法法則

_a+尻_(a+bi)(c—di)_(ac+bd)+(be-ad)iac+bdbe-ad.

(a+bi)~(c+di)———z~c2+d2+c2+d21

c+di(c+di)(c-di)c2+d"

(c+di^O)

由此可見，兩個復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0),所得的商是一個確定的復(fù)數(shù).

1.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)z滿足(2+i)z=2-4i,則z=()

A.-2iB.2iC.-2D.2

【答案】A

【知識點】復(fù)數(shù)的除法運算

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡即可.

/、2-4i(2-4i)(2-i)4-2i-8i+4i2

【詳解】因為(2+i)z=2-4i,所以z=三—=c=-----------=-21.

''2+1(2+i)(2-i)5

故選：A

1-i

2.(2024?天津北辰?三模)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z=二下的虛部為________.

3+41

7

【答案】--

【知識點】求復(fù)數(shù)的實部與虛部、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算、復(fù)數(shù)的除法運算

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算可得z=結(jié)合復(fù)數(shù)的有關(guān)概念即可求解.

Cz_l-i_(l-iX3-4i)_17.

【詳斛】3+4i(3+4i)(3-旬2525

7

所以復(fù)數(shù)Z的虛部為一五.

7

故答案為：-石

3.(2024?天津南開?二模)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)%11-92i=________.

1—21

【答案】3+4i

【知識點】復(fù)數(shù)的除法運算

【分析】由復(fù)數(shù)除法法則直接計算即可.

【詳解】由題m(l1-21)(l±2i)=15±20i=3+4i

(l-2i)(l+2i)5

故答案為：3+4i.

4.（2024,天津河北?二模）i是虛數(shù)單位,化間-—7的結(jié)果為

1-1

【答案】i

【知識點】復(fù)數(shù)的除法運算

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算求解.

l+i_(li)2_2i

【詳解】解:-------------+--------------]

1-i(l-i)(l+i)2

故答案為：i

5.（23-24高一下?天津河北?期末）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)苧"=_____.

3-41

【答案】—l+2i

【知識點】復(fù)數(shù)的除法運算、根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算結(jié)果求復(fù)數(shù)的特征

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算即可.

「圣秋】5+10i（5+10i）（3+4i）5（l+2i）（3+4i）（l+2i）（3+4i）一5+10i=

【詳解】3-4i一（3-旬（3+旬一9-16i2-5"5--

故答案為：-l+2i

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（建議用時：60分鐘）

一、單選題

1.（2024?甘肅平?jīng)?模擬預(yù)測）已知集合A={X|X2—2X—3>0},B={1,2,3,4},則AB=（）

A.{1,2}B.{1,2,3}C.{3,4}D.{4}

【答案】D

【知識點】交集的概念及運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】先解不等式求出集合4再根據(jù)交集運算求出

【詳解】由/_2彳-3>0,解得x>3或x<-l.

所以4={x|x>3或無<-1},

又3={1,2,3,4},所以Ac3={4}.

故選：D.

2.（2024?重慶?模擬預(yù)測）已知集合人=卜|3<》<6},3={刈若A3=A，則。的取值范圍是（）

A.aN—2B.a2