第七章圖形的變化

重難點18幾何壓軸突破五尺規(guī)作圖在壓軸題中的應用

（11種題型匯總+專題訓練）

【題型匯總】

與尺規(guī)作圖有關的補充證明過程問題

與尺規(guī)作圖有關的計算/證明類問題

幾何壓軸突破五尺規(guī)作圖在壓軸題中的應用

尺規(guī)作圖與實際問辰

■［與尺規(guī)作圖有關的新考法問■

與尺規(guī)作圖有關的壓軸題

【考情分析】初中階段要求掌握五種基本的尺規(guī)作圖，經(jīng)?？疾榈氖墙瞧椒志€和線段垂直平分線的尺規(guī)作

圖，考查角度很多，可能是按要求進行尺規(guī)作圖，或者己知尺規(guī)作圖過程，說明所得結論的理由，又或者

設計方案解決問題，無論哪種考查，理解尺規(guī)作圖的基本原理就能解決問題.

【命題預測】在中考數(shù)學中，尺規(guī)作圖可能以選擇題、填空題或作圖題的形式出現(xiàn).如果出現(xiàn)在選擇題壓軸

題中，通常會結合其他數(shù)學知識點進行綜合考查，如幾何計算、方程思維、構造方程的幾何等量關系聯(lián)想

等.因此，考生需要熟練掌握尺規(guī)作圖的基本方法和原理，并能夠靈活運用它們來解決實際問題.

【解題方法】尺規(guī)作圖的解題思路主要包括以下幾個步驟：

1.理解題目要求：首先，你需要清楚理解題目要求你做什么.這可能涉及到繪制特定的圖形，如等邊三角形、

正方形或圓，或者可能涉及到構造特定的線段或角度.

2.分析己知條件：接下來，你需要分析題目給出的已知條件.這可能包括特定的線段長度、角度大小或其他

幾何信息.這些信息將是你進行作圖的基礎.

3.確定作圖步驟：基于題目要求和已知條件，你需要確定作圖的步驟.這可能涉及到使用直尺和圓規(guī)來繪制

線段、作角、作垂線等.

4.執(zhí)行作圖步驟：在確定了作圖步驟后，你需要按照步驟來執(zhí)行.在執(zhí)行過程中，你需要保持精確，確保每

一步都符合題目要求和幾何原理.

5.檢查答案：最后，你需要檢查你的答案.這可能涉及到驗證你的作圖是否滿足題目要求，或者驗證你的作

圖是否符合幾何原理.

題型01五種基本尺規(guī)作圖

1.（2022?廣西貴港?中考真題）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：

如圖，已知線段相，n.求作AABC,使乙4=90°,AB==加

m,

,〃，

【答案】見解析

【分析】作直線/及/上一點A;過點A作/的垂線；在/上截取=作BC=n；即可得到△48C.

【詳解】解：如圖所示：△4BC為所求.

注：（1）作直線/及/上一點A；

（2）過點4作/的垂線；

（3）在/上截取4B=m；

（4）作BC=n.

【點睛】本題考查作圖——復雜作圖，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型.

2.（2024.山東青島.中考真題）已知：如圖，四邊形4BCD,E為。C邊上一點.

求作：四邊形內一點尸，使EPIIBC,且點P至！MB,4。的距離相等.

【答案】見解析

【分析】本題考查作圖-復雜作圖，角平分線的性質，解題的關鍵是掌握作角平分線和作一個角等于已知角

的尺規(guī)作圖方法.作AD4B的平分線4M,以E為頂點，ED為一邊作乙DEN=EN交4”于P,點P即為

所求.

【詳解】解：作NZMB的平分線AM,以E為頂點，ED為一邊作NOEN="，EN交4M于尸，如圖，點尸即

為所求.

3.(2024.廣東.中考真題)如圖，在ANBC中，ZC=90°.

(1)實踐與操作：用尺規(guī)作圖法作N力的平分線4。交BC于點。；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)

(2)應用與證明：在(1)的條件下，以點。為圓心，DC長為半徑作OD.求證：4B與。。相切.

【答案】(1)見解析

(2)證明見解析

【分析】本題考查了尺規(guī)作角平分線，角平分線的性質定理，切線的判定等知識.熟練上述知識是解題的

關鍵.

(1)利用尺規(guī)作角平分線的方法解答即可；

(2)如圖2,作DE14B于E,由角平分線的性質定理可得DE=DC,由DE是半徑，DELAB,可證4B與。D

相切.

【詳解】(1)解：如圖1,4。即為所作；

(2)證明：如圖2,作DE14B于E,

D

A1EH

圖2

：4。是“4。的平分線，DCLAC,DELAB,

：.DE=DC,

；DE是半徑，DELAB,

.MB與OD相切.

4.(2024.內蒙古赤峰?中考真題)如圖，在AaBC中，。是48中點.

(1)求作：4c的垂直平分線/(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)若/交2C于點E,連接OE并延長至點F,使EF=2DE,連接BE,CF.補全圖形，并證明四邊形BCFE是

平行四邊形.

【答案】(1)見解析

⑵見解析

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，中位線的性質，平行四邊形的判定.

(1)利用尺規(guī)作圖作出線段4c的垂直平分線/即可；

(2)由。，K分別為AB,4C的中點，根據(jù)中位線的性質，得到DEIIBC,DE=”C,結合EF=2OE,得

到EF=BC,即可證明結論成立.

【詳解】(1)解：直線/如圖所示，

4

D.

BC

由（1）作圖知，E為力C的中點,

,:D,E分別為4B,"的中點,

：.DE\\BC,DE=^BC,

-1

.：EF=2DE,BP：DE=-EF,

:.EF=BC,

,：EF\\BC,

四邊形BCFE是平行四邊形.

5.（2024?陜西中考真題）如圖，已知直線/和/外一點A,請用尺規(guī)作圖法，求作一個等腰直角△4BC,使

得頂點B和頂點C都在直線/上.（作出符合題意的一個等腰直角三角形即可，保留作圖痕跡，不寫作法）

A

【答案】見解析

【分析】本題考查了等腰直角三角形的定義，尺規(guī)作圖.過點A作2811,垂足為8,再在直線/上截取點

C,使BC=4B,連接力C,則AABC是所求作的等腰直角三角形.

【詳解】解：等腰直角△ABC如圖所示：

6.（2024?海南?中考真題）如圖，在目4BCD中，48=8,以點。為圓心作弧，交于點M、N,分別以點

M.N為圓心，大于:MN為半徑作弧，兩弧交于點尸，作直線DF交48于點￡,若乙BCE=cDCE,DE=4,

則四邊形BCDE的周長是（）

A.22B.21C.20D.18

【答案】A

【分析】本題考查了平行四邊形的性質，解直角三角形，尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定和性質，勾股定理.利

用勾股定理求得CE的長，再證明BE=BC,作BG1CE于點G,求得CG=EG=2遙，利用tan""=

tanZ5CE,求得BG=遮，再利用勾股定理求得BE==5,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：V^ABCD,AB=8,

ACD=48=8,

由作圖知。E_L4B,

???固4BCO,

：.AB\\CDf

：.DE1CD,

?.?DE=4,

.*.C￡,=V42+82=4V5,

*：AB\\CDf

:?乙DCE=乙BEC,

■:乙BCE=乙DCE,

,?zBCE=乙BEC,

：.BE=BC,

作BG1CE于點G,

則CG=EG=1CE=2V^,

VZ.DCE=乙BCE,

/.tanzDCE=tanZ^CE,

?DEBGnrt4BG

??—,W|J——產(chǎn),

CDCG82V5

：.BG=V5,

I22

：.BE=BC=J（V5）+（2V5）=5,

???四邊形BCDE的周長是4+8+5+5=22,

故選:A.

7.（2024.湖北?中考真題）如圖，是半圓。的直徑，C為半圓。上一點，以點2為圓心，適當長為半徑

畫弧，交于點M,交BC于點N,分別以點M,N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在Z4BC的內

部相交于點。，畫射線BD,連接47.若NCAB=50。，則NCBD的度數(shù)是（）

三

AWOB

A.30°B.25°C.20°D.15°

【答案】C

【分析】本題主要考查尺規(guī)作圖，圓周角定理，熟練掌握角平分線的作圖步驟以及圓周角定理是解答本題

的關鍵.由圓周角定理得到N4CB=90。，由直角三角形的性質得到乙4BC=40。，根據(jù)角平分線的定義即可

求得答案.

【詳解】解：:AB是半圓。的直徑，

^ACB=90°,

4CAB=50°,

???4ABC=90°-50°=40°,

由題意得，BD為乙4BC的平分線，

???4皿=〃吹=泊吹=2。。.

故選：C.

8.（2024.山東泰安.中考真題）如圖，Rt△力BC中，N4BC=90。，分別以頂點A,C為圓心，大于|aC的長

為半徑畫弧，兩弧分別相交于點M和點N,作直線MN分別與BC,AC交于點E和點F；以點A為圓心，任意

長為半徑畫弧，分別交力B,AC于點H和點G,再分別以點H,點G為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧

交于點P,作射線2P,若射線力P恰好經(jīng)過點E,則下列四個結論：

①NC=30°；②2P垂直平分線段BF；③CE=2BE；@S^=ls^.

BEF6ABC

其中，正確結論的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】本題主要考查作圖-復雜作圖、角平分線的性質、線段的垂直平分線的性質等知識，讀懂圖象信息,

靈活運用所學知識解決問題是解題的關鍵.

由作圖可知MN垂直平分線段2C、4E平分NB4C,進而證明“=4瓦4c=N82E=30。可判定①；再說明

AB=4F可得2P垂直平分線段可判定②；根據(jù)直角三角形的性質可得AC=2AB,AE=2BE可判定③,

根據(jù)三角形的面積公式即可判定④.

【詳解】解：由作圖可知MN垂直平分線段4C,

：.EA=EC,

Z-EAC=Z-C,

由作圖可知4E平分乙84C,

：.^BAE=/.CAE,

■:乙ABC=90°,

AzC=Z.CAE=2LBAE=30°,故①正確,

：.AC=2AB,

*：AF=FC,

：.AB=AF,

?,?ZP垂直平分線段BF,故②正確，

*：AE=2BE,EA=EC,

：.EC=2BE,故③正確，

BEF=3S^BCF，

9：AF=FC,

.i

??BFC=2SfBC，

:,SABEF=~^SRABC，故④正確?

o

故選：D.

題型03根據(jù)題目中的作圖痕跡判斷正誤

9.（2024?吉林長春?中考真題）如圖，在AABC中，。是邊力B的中點.按下列要求作圖:

①以點B為圓心、適當長為半徑畫弧，交線段8。于點D,交BC于點E；

②以點。為圓心、BD長為半徑畫弧，交線段04于點F；

③以點F為圓心、DE長為半徑畫弧，交前一條弧于點G,點G與點C在直線A8同側；

④作直線0G,交4C于點M.下列結論不一定成立的是（）

A.4AoM=4BB.ZOMC+ZC=180°

C.AM=CMD.OM=-A2B

【答案】D

【分析】本題主要考查了作一個角等于已知角，平行線的性質和判定，平行線分線段成比例定理，解題的

關鍵是熟練掌握相關的性質，先根據(jù)作圖得出乙40M=4B,根據(jù)平行線的判定得出。MIIBC,根據(jù)平行線的

性質得出NOMC+ZC=180。，根據(jù)平行線分線段成比例得出空=嚕=1,即可得出4M=CM.

CMOB

【詳解】解:A.根據(jù)作圖可知：=一定成立，故A不符合題意；

B.:乙40M=NB,

：.0M\\BC,

.?.N0MC+4C=180。一定成立，故B不符合題意;

C.?.,。是邊48的中點，

：.A0=B0,

VOM\\BC,

,AMAOy

??==1,

CMOB

=CM一定成立，故C不符合題意;

D.。時=148不一定成立，故D符合題意.

10.（2022?遼寧營口?中考真題）如圖，在AABC中，AB^AC,ZA=36°,由圖中的尺規(guī)作圖得到的射線與AC

交于點。，則以下推斷錯誤的是（）

A.BD=BCB.AD=BDC.^ADB=108°D.CD=-AD

2

【答案】D

【分析】根據(jù)作圖過程可得出）平分NABC,然后根據(jù)等腰三角形的性質即可解決問題.

【詳解】解：ZA=36°,

AZABC^ZACB=-（180°-36°）=72°,

2

根據(jù)作圖過程可知：2D平分/ABC,

1

/ABD=NDBC,NABC=36°,

2

AZB￡?C=180o-36o-72o=72°,ZADB=ZDBC+ZACB=36°+72°=108°,故選項C成立；

,/NBDC=NACB=72。,

：.BD=BC,故選項A成立；

,/ZABD=ZA=36°,

：.AD=BD,故選項B成立；

沒有條件能證明CO=，￡>,故選項D不成立；

故選：D.

【點睛】本題考查了作圖-基本作圖，等腰三角形的判定和性質，解決本題的關鍵是掌握基本作圖方法.

11.（2024?山東煙臺?中考真題）某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下,

【答案】D

【分析】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，中垂線的性質

和判定，根據(jù)作圖痕跡，逐一進行判斷即可.

【詳解】解:第一個圖為尺規(guī)作角平分線的方法，OP為乙4OB的平分線；

第二個圖，由作圖可知：OC=OD,OA=OB,

：.AC=BD,

'：LAOD=乙BOC,

??△A.OD=ABOC,

：./LOAD=乙OBC,

*：AC=BD,4BPD=4APC,

：.△BPD=LAPC,

：.AP=BP,

VOA=OB,OP=OP,

：.△AOP三ABOP,

：.Z-AOP=乙BOP,

.??。。為乙4。3的平分線；

第三個圖，由作圖可知乙4cp=乙4。8,。。=CP,

：.CP||BO,乙COP=ACPO,

:.乙CPO=/.BOP

:.乙COP=4BOP,

...OP為N40B的平分線；

第四個圖，由作圖可知：OPJLCD,OC=0D,

.??。。為/4。3的平分線；

故選D.

12.（2024.四川成都?中考真題）如圖，在回4BCD中，按以下步驟作圖：①以點8為圓心，以適當長為半徑

作弧，分別交BA,BC于點M,N；②分別以M,N為圓心，以大于［MN的長為半徑作弧，兩弧在/2BC內交

于點。；③作射線BO,交4。于點E,交CD延長線于點F.若CD=3,DE=2,下列結論錯誤的是（）

R/7q

C.DE=DFD.—

EF3

【答案】D

【分析】本題考查角平分線的尺規(guī)作圖、平行四邊形的性質、等腰三角形的判定以及相似性質與判定的綜

合.先由作圖得到為乙4BC的角平分，利用平行線證明乙4EB=/.ABE,從而得到4E=AB=CD=3,再

利用平行四邊形的性質得到BC=4。=4E+ED=3+2=5,再證明△4EB。5尸，分別求出笠=?,

EF2

DF=2,則各選項可以判定.

【詳解】解：由作圖可知，為乙4BC的角平分，

工乙ABE=LCBE,故A正確；

???四邊形為平行四邊形，

：.AD=BC,AB=CD,AD||BC,

9：AD||BC

：./-AEB=乙CBE,

J.Z.AEB=^ABEf

??AE=AB=CD=3,

：.BC=AD=AE+ED=3+2=5.故B正確；

9CAB=CD,

：.^ABE=ZF,

*：Z-AEB=乙DEF,

△AEBDEF,

.BE_AB_AE

"?EF-DF-ED，

.BE_3_3

??E尸—OF-2'

/.ff=f,DF=2,故D錯誤；

EF2

"：DE=2,

：.DE=DF,故C正確，

故選：D.

13.（2023?山東濟南?中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC,ABAC=36°,以點C為圓心，以BC為半徑

作弧交4c于點0,再分別以B,D為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點P,作射線CP交2B于

點E,連接DE.以下結論不亞酶的是（）

A

Q￡￡_遍-1DS“EC_遮+1

AC2S&BEC2

【答案】c

【分析】由題意得，BC=DC,CE平分N4CB,根據(jù)三角形內角和及角平分線判斷A即可；由角平分線求

出入4CE=36。=N4得到4E=CE,根據(jù)三角形內角和求出4BEC=72。=4B,得到CE=BC,即可判斷

B；證明△ABCsACBE,得到竺=些，設48=l,BC=x,貝=求出無，即可判斷C；過點E

BCBE

作EGLBC于G,后“，力。于“，由角平分線的性質定理推出EG=EH,即可根據(jù)三角形面積公式判斷D.

【詳解】解：由題意得，BC=DC,CE平分4力C8,

?.,在AABC中，AB=AC,^BAC=36°,

J.Z.ABC=/.ACB=72°

,/CE平分乙4BC,

：.Z.BCE=36°,故A正確;

?「CE平分乙4BC,乙4cB=72。

：.^ACE=36°=

：.AE=CE,

\9Z.ABC=72°,Z.BCE=36°,

:.乙BEC=72°=乙B,

：.CE=BC,

：.BC=AE9故B正確；

VzX二乙BCE,乙ABC=乙CBE,

△ABC~&CBE,

.AB_BC

*9BC~BE'

設48=1,8。=%,貝=

..?1一=x,

X1-x

/.X2=1—X,

解得X=亨

-1V3-

2

譚=竽,故c錯誤;

過點E作EG1BC于G,EH1ZC于H,

A

VCE^^Z.ACB,EG1BC,EH1AC,

：.EG=EH

?S"EC_2ACEHAC_V5+1

??—故D正確;

S^BEC-BCEGBC~2

故選：c.

【點睛】此題考查了等腰三角形等邊對等角，相似三角形的判定和性質，角平分線的作圖及性質，解一元

二次方程，熟練掌握各知識點是解題的關鍵.

14.（2023?福建?中考真題）閱讀以下作圖步驟：

①在。4和OB上分別截取OC,。。，使OC=OD；

②分別以&。為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在乙4。8內交于點M；

③作射線。M,連接CM,DM,如圖所示.

根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結論是（）

A.zl=Z21.CM=DMB.zl=Z31.CM=DM

C.Z1=N2且。。=DMD.42=43且。。=DM

【答案】A

【分析】由作圖過程可得：OD=OC,CM=DM,再結合DM=DM可得ACOMmADOAHSSS）,由全等三角

形的性質可得N1=42即可解答.

【詳解】解：由作圖過程可得：0D=OC,CM=DM,

'：DM=DM,

：.△COMmADOM(SSS).

.".Zl=42.

；.A選項符合題意；

不能確定。C=CM,則=N3不一定成立，故B選項不符合題意；

不能確定。。=DM,故C選項不符合題意，

O0ICM不一定成立，貝叱2=43不一定成立，故D選項不符合題意.

故選A.

【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質等知識點，理解尺規(guī)作圖過程是

解答本題的關鍵.

題型04格點作圖題

15.(2024?吉林長春.中考真題)圖①、圖②、圖③均是3x3的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1,

每個小正方形的頂點稱為格點.點A、B均在格點上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求

作四邊形48CD,使其是軸對稱圖形且點C、。均在格點上.

圖①圖②圖③

(1)在圖①中，四邊形48CD面積為2；

(2)在圖②中，四邊形ABC。面積為3；

(3)在圖③中，四邊形4BCD面積為4.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】本題考查網(wǎng)格作圖、設計圖案、軸對稱的性質、平移的性質等知識點，根據(jù)軸對稱的性質、平移

的性質作圖是解題的關鍵.

(1)根據(jù)軸對稱的性質、平移的性質作出面積為2四邊形4BCD即可.

(2)根據(jù)軸對稱的性質、平移的性質作出面積為3四邊形力BCD即可.

(3)根據(jù)軸對稱的性質、平移的性質作出面積為4四邊形即可.

【詳解】(1)解：如圖①：四邊形4BCD即為所求；

：c

圖①(不唯一).

(2)解：如圖②：四邊形ABCD即為所求;

圖2

（不唯一）.

（3）解：如圖③：四邊形ABCD即為所求;

圖③（不唯一）.

16.（2023?黑龍江哈爾濱?中考真題）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，線段A8和線段

⑴在方格紙中畫出AABE,且AB=BE,乙4BE為鈍角（點E在小正方形的頂點上）；

（2）在方格紙中將線段CD向下平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度后得到線段MN（點C的對應點是點

M，點D的對應點是點N）,連接EN,請直接寫出線段EN的長.

【答案】（1）畫圖見解析

（2）畫圖見解析，EN

【分析】（1）找到IX3的格點的E,使得BE=AB,且乙4BE>90。，連接ZE,BE,則AABE即為所求；

（2）根據(jù)平移畫出MN,連接EN,勾股定理即可求解.

【詳解】（1）解：如圖所示，AABE即為所求；

(2)解：如圖所示，MN,EN即為所求;

EN=Vl2+I2=V2.

【點睛】本題考查了平移作圖，勾股定理與網(wǎng)格，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.

17.(2023?廣東深圳?中考真題)如圖，在單位長度為1的網(wǎng)格中，點O,A,B均在格點上，。4=3,4B=2,

以。為圓心，。2為半徑畫圓，請按下列步驟完成作圖，并回答問題：

①過點A作切線AC,且AC=4(點C在A的上方);

②連接OC,交。。于點。；

③連接B。，與47交于點E.

(1)求證：BD為。。的切線；

(2)求AE的長度.

【答案】(1)畫圖見解析，證明見解析

⑵4E=|

【分析】（1）根據(jù)題意作圖，首先根據(jù)勾股定理得到OC=，。彳+4；2=5,然后證明出AZOC三△OOB（SAS）,

得到NOAC=Z.ODB=90°,即可證明出8。為。。的切線；

（2）首先根據(jù)全等三角形的性質得到BD=4C=4,然后證明出ABAEsABD。，利用相似三角形的性質

求解即可.

【詳解】（1）如圖所示，

「AC是O。的切線,

J.OALAC,

VOA=3,AC=4,

：.OC=y/OA2+AC2=5,

VOA=3,AB=2,

：.0B=0A+AB=5,

：.OB=OC,

又：OD=OA=3,^AOC=乙DOB,

：.△AOCSADOB(SAS),

：.^OAC=4ODB=90°,

：.OD1BD,

?.,點。在o。上，

.?.BD為。。的切線；

(2),:ZAQC三ADOB,

：.BD=AC=4,

■:乙ABE=LDBO,乙BAE=KBDO,

△BAEBDO,

.?.竺=”即竺一,

ODBD34

，解得46=卓

【點睛】此題考查了格點作圖，圓切線的性質和判定，全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判

定等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點.

18.(2021?湖北荊州?中考真題)如圖，在5x5的正方形網(wǎng)格圖形中小正方形的邊長都為1,線段ED與4D的

端點都在網(wǎng)格小正方形的頂點(稱為格點)上.請在網(wǎng)格圖形中畫圖：

(1)以線段4。為一邊畫正方形4BCD,再以線段DE為斜邊畫等腰直角三角形DEF,其中頂點F在正方形48CD

外；

(2)在(1)中所畫圖形基礎上，以點B為其中一個頂點畫一個新正方形，使新正方形的面積為正方形48CD和

△OEF面積之和，其它頂點也在格點上.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了等腰三角形的性質、正方形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是了解如何根據(jù)題

意構造直角三角形并利用勾股定理.

(1)根據(jù)正方形的性質、等腰直角三角形的性質和網(wǎng)格的特點畫出圖形即可；

(2)先計算出新正方形的面積，從而得出邊長，根據(jù)勾股定理和網(wǎng)格的特點畫出圖形即可.

【詳解】(1)解：如圖所示：

(2)解：?..新正方形的面積為正方形力BCD和ADEF面積之和，其它頂點也在格點上.

,新正方形的面積為：9+1=10,

新正方形的邊長為：V10,

如圖：正方形KBGF的邊長為：V32+I2=V10,

正方形KBGF即為所求.

題型05利用無刻度直尺作圖

19.(2023?浙江紹興?中考真題)如圖是6X7的網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1,半圓力CB上的點4B,C,0

均落在格點上.請按下列要求完成作圖：要求一：僅用無刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：

保留作圖痕跡.

⑴在圖中作出弧BC的中點D.

(2)連結4C,作出NE4C的角平分線.

(3)在4B上作出點P,使得4P=AC.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】(1)連8c與網(wǎng)格線交于一格點G,以。為端點，作射線OG與圓弧交于點￡),

(2)作射線4D,則4。即是ZB4C的角平分線,

(3)連結BD并延長，交4c的延長線于點與BC交于點R連結EF并延長交4B于點P,貝IMP=4C.

本題考查了無刻度直尺作圖，垂徑定理，圓周角定理，角平分線的性質定理，解題的關鍵是：熟練掌握無

刻度直尺作圖，與相關定理的結合.

【詳解】(1)解：由格點可知G為BC中點，根據(jù)垂徑定理可得，點。為弧BC的中點，點。即為所求，

(2)解：?.,點。為弧BC的中點，

根據(jù)圓周角定理，可得NC4O=NB4D,4。即為所求,

(3)解：..FB為。。直徑,

J./-ADB=AADE=90°,Z.BCE=90°,

VZ.CAD=4BAD,AD=AD,

：.△AED三△ABD(ASA),

：.ED=BD,/.AED=/.ABD,

...a。是BE的垂直平分線,

：.FE=FB,

:.乙FEB=乙FBE,

：.△EPBSABCF(ASA),

."EPB=乙BCE=90°,

AAACF三△4PF(AAS),

：.APAC,作圖如下:

20.(2024?湖北武漢?中考真題)如圖是由小正方形組成的3X4網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點.4ABe

三個頂點都是格點.僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個畫圖任務，每個任務的畫線不得超過三條.

⑴在圖(1)中，畫射線4。交BC于點。，使AD平分△ABC的面積；

(2)在(1)的基礎上，在射線4。上畫點E,使=

(3)在圖(2)中，先畫點R使點A繞點P順時針旋轉90。到點C,再畫射線2F交于點G；

(4)在(3)的基礎上，將線段AB繞點G旋轉180。，畫對應線段MN(點A與點M對應，點8與點N對應).

【答案】(1)作圖見解析

(2)作圖見解析

(3)作圖見解析

(4)作圖見解析

【分析】本題考查了網(wǎng)格作圖.熟練掌握全等三角形性質，平行四邊形性質，等腰三角形性質，等腰直角

三角形性質，是解題的關鍵.

(1)作矩形HB/C,對角線交BC于點。，做射線AD,即可；

(2)作。P||BC,射線4R1OP于點Q,連接CQ交4。于點E,即可；

(3)在4c下方取點用使AF=CF=4，AACF是等腰直角三角形，連接CF,AF,4F交BC于點G,即

可；

(4)作。PIIBC,交4G于點作ST||4G,交BC于點N,連接MN,即可.

【詳解】(1)如圖，作線段出，使四邊形HB/C是矩形，HI交BC于點、D,做射線AD,點。即為所求作；

(2)如圖，作。P||BC,作4R1OP于點。，連接CQ交4D于點E,點E即為作求作;

//

（3）如圖，在AC下方取點R使4尸=。尸=花，連接CF,連接并延長4尸，4尸交BC于點G,點RG即為

交射線2G于點作SCI4G,交BC于點N,連接MN,線段MN即為所求作.

21.（2023?湖北?中考真題）已知正六邊形2BCDEF,請僅用無刻度的直尺完成下列作圖（保留作圖痕跡，不

寫作法，用虛線表示作圖過程，實線表示作圖結果）.

（1）在圖1中作出以BE為對角線的一個菱形BMEN；

（2）在圖2中作出以8E為邊的一個菱形BEPQ.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質對角線互相垂直平分即可作出圖形.

（2）根據(jù)菱形的性質四條邊平行且相等即可作出圖形.

【詳解】（1）解：如圖，菱形BMEN即為所求（點M,N可以對調位置）:

N

（2）解：如圖，菱形BEPQ即為所求.

???BEPQ是菱形，且要求BE為邊,

.?.①當8E為上底邊的時候，作BEIIPQ,且BE=PQ=BQ=EP,BQ向右下偏移，如圖所示,

②當BE為上底邊的時候，作BEIIPQ,且BE=PQ=8Q=EP,BQ向左下偏移如圖所示,

③當BE為下底邊的時候，作BEIIPQ,且BE=PQ=BQ=EP,8Q向左上偏移如圖所示,

④當BE為下底邊的時候，作BEIIPQ,且BE=PQ=BQ=EP,BQ向右上偏移如圖所示,

圖2.3

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖，復雜作圖是結合了幾何圖形的性質和基本作圖的方法，涉及到的知識

點有菱形的性質和判定，解題的關鍵在于熟悉菱形的幾何性質和正六邊形的幾何性質，將復雜作圖拆解成

基本作圖.

題型06與尺規(guī)作圖有關的閱讀理解類問題

22.（2024?江蘇鎮(zhèn)江.中考真題）主題學習：僅用一把無刻度的直尺作圖

【閱讀理解】

任務：如圖1,點E分別在AABC的邊4B、AC上，DE||BC,僅用一把無刻度的直尺作。E、BC的中點.

AA

圖1圖2

操作：如圖2,連接BE、CO交于點尸，連接”交DE于點延長4尸交BC于點N,貝ljV、N分別為DE、的

中點.

理由：由。EII8C可得AADMsAABN及AAEMsAZCN,所以吆=%，型=%.所以，吧=吧.同理，

BNANCNANEMCN

由4DMP“△CNP及AEMP“△BNP,可得"=所以”=—.所以吧=—,貝|BN=CN,

CNNPBNNPEMBNCNBN

DM=EM,即A/、N分別為DE、BC的中點.

【實踐操作】

請僅用一把無刻度的直尺完成下列作圖，要求：不寫作法，保留作圖痕跡.

（1）如圖3,411%，點E、/在直線％上.

圖3

①作線段EF的中點；

②在①中作圖的基礎上，在直線6上位于點尸的右側作一點P，使得PF=EF；

（2）小明發(fā)現(xiàn)，如果重復上面的過程，就可以作出長度是已知線段長度的3倍、4倍、..4倍（左為正整數(shù)）

的線段.如圖4,Zi||12,已知點R、P2在4上，他利用上述方法作出了P2P3=P3&=PiP2.點小尸在直

線"上，請在圖4中作出線段EF的三等分點；

,

圖4

【探索發(fā)現(xiàn)】

請僅用一把無刻度的直尺完成作圖，要求：不寫作法，保留作圖痕跡.

（3）如圖5,DE是△ABC的中位線.請在線段EC上作出一點。，使得QE=：CE（要求用兩種方法）.

A

【答案】(1)①見解析，②見解析；

(2)見解析；

(3)見解析

【分析】實踐操作(1)①根據(jù)［閱讀理解］部分的作法：在人上方任取一點4得到AAEF,力E與交人于點B,

AF交4于點C,連接CE,BF交于點0,作射線4。交人，%分別于N，M,點M即為所求點；

②作射線FN交4E于點G,作射線GC交%于點P，點P即為所求；

(2)根據(jù)上述作法，有兩種作法；

［探索發(fā)現(xiàn)］如作法一，根據(jù)相似可知，連接CO,BE交于點。，則。。:。。=1:2,即點。是的三等分點之

一，由此可以得出過點。作BC的平行線；同理可得點M是CP的三等分點之一，則?！眧|BC,即點Q為所求作

點.

【詳解】解：［實踐操作］

(1)①如圖，

點M即為所求作的點;

②如圖,

A

(2)如圖,

作法二、

［探索發(fā)現(xiàn)］(3)如圖,

作法一、

作法二、

A

作法五、

點Q即為所求的點.

【點睛】本題主要相似三角形的性質與判定，復雜的幾何作圖，考查類比的數(shù)學思想，理解［閱讀理解］部分

中M,N為中點是解題關鍵.

23.（2024?甘肅蘭州?中考真題）觀察發(fā)現(xiàn)：勞動人民在生產(chǎn)生活中創(chuàng)造了很多取材簡單又便于操作的方法，

正如木匠劉師傅的“木條畫直角法”,如圖1,他用木條能快速畫出一個以點A為頂點的直角，具體作法如下：

①本條的兩端分別記為點M,N,先將木條的端點M與點A重合，任意擺放木條后，另一個端點N的位置

記為點8,連接AB；

②木條的端點N固定在點8處，將木條繞點8順時針旋轉一定的角度，端點M的落點記為點C（點A,B,

C不在同一條直線上）；

③連接CB并延長，將木條沿點C到點8的方向平移，使得端點/與點8重合，端點N在CB延長線上的落

點記為點D；

④用另一根足夠長的木條畫線，連接4。，AC,則畫出的ND4c是直角.

操作體驗：（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”中的信息重現(xiàn)劉師傅的畫法，如圖2,BA=BC,請畫出以點A為頂點的直

角，記作ND"；

推理論證：（2）如圖1,小亮嘗試揭示此操作的數(shù)學原理，請你補全括號里的證明依據(jù)：

證明：AB=BC=BD,

.?.AABC^L4BD是等腰三角形.

^BCA=/.BAC,^BDA=ABAD.（依據(jù)1）

???Z.BCA+Z.BDA=Z.BAC+/.BAD=^DAC.

^DAC+/.BCA+乙BDA=180°,（依據(jù)2）

???2NZMC=180°,

???2LDAC=90°.

依據(jù)1：;依據(jù)2：；

拓展探究：（3）小亮進一步研究發(fā)現(xiàn)，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時學習的尺規(guī)作圖的方法

可以減少誤差.如圖3,點。在直線/上，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖3中作出一個以。為頂點的直角，

記作NPOQ,使得直角邊。P（或。Q）在直線/上.（保留作圖痕跡，不寫作法）

圖2圖3

【答案】（1）見詳解，（2）等邊對等角（等腰三角形的性質）；三角形內角和定理；（3）見詳解

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質、三角形內角和定理以及尺規(guī)作圖的作垂線,

（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”延長CB至點D且DB=CB,連接即可知以點A為頂點的AEMC為直角;

（2）根據(jù)作圖可知利用了等邊對等角，以及三角形內角和定理；

（3）根據(jù)過定點作已知直線的垂線的方法作圖即可.

【詳解】解：［操作體驗］（1）

圖2

［推理論證］（2）依據(jù)1：等邊對等角（等腰三角形的性質）；依據(jù)2：三角形內角和定理;

故答案為：等邊對等角（等腰三角形的性質）；三角形內角和定理；

［拓展探究］（3）

24.（2024?甘肅臨夏?中考真題）根據(jù)背景素材，探索解決問題.

平面直角坐標系中畫一個邊長為2的正六邊形ABCDEF

六等分圓原理，也稱為圓周六等分問題，是一個古老而經(jīng)典的幾何問題，旨

背景

在解決如何使用直尺和圓規(guī)將一個圓分成六等份的問題.這個問題由歐幾里

素材

得在其名著《幾何原本》中詳細闡述.軀

已知

點C與坐標原點。重合，點0在久軸的正半軸上且坐標為(2,0)

條件

①分別以點C,。為圓心，CD長為半徑作弧，兩弧交于點P；

操作②以點P為圓心，PC長為半徑作圓；

步驟③以CD的長為半徑，在OP上順次截取05=疑=融=4§；

---------?-----?

0(C)Dx

④順次連接DE,EF,FA,AB,BC,得至U正六邊形4BCDEF.

問題解決

任務

根據(jù)以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖中完成這道作圖題(保留作圖痕跡，不寫作法)

任務

將正六邊形48CDEF繞點。順時針旋轉60。，直接寫出此時點E所在位置的坐標：_____.

【答案】任務一：見解析；任務二：(4,0)

【分析】本題考查尺規(guī)作圖，弧、弦、圓心角的關系，旋轉的性質.利用數(shù)形結合的思想是解題關鍵.

任務一：根據(jù)操作步驟作出OP,再根據(jù)弧、弦、圓心角的關系，分別作出DE=EF=4F=4B=CD,即

得出=肝=FX=筋，最后順次連接即可；

任務二：由旋轉的性質可知。夕=。。=2,即得出。O=DE，+OD=4,即此時點E所在位置的坐標為(4,0).

【詳解】解：任務一：如圖，正六邊形4BCDEF即為所作；

任務二：如圖,

：.0E'=DE'+。。=4,

.?.E'(4,0).

故答案為：（4,0）.

25.（2023?甘肅蘭州?中考真題）綜合與實踐

問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個已知角.”即:

作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在。4和08上分別取

點C和。，使得。C=OD,連接CD,以CD為邊作等邊三角形CDE,貝UOE就是乙4OB的平分線.

圖2

請寫出OE平分N40B的依據(jù)：；

類比遷移：

（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE=DE即可.他查閱資料：我

國古代已經(jīng)用角尺平分任意角.做法如下：如圖3,在的邊。4OB上分別取。M=ON,移動角尺，

使角尺兩邊相同刻度分別與點N重合，則過角尺頂點C的射線OC是乙4OB的平分線，請說明此做法的

理由；

拓展實踐：

（3）小明將研究應用于實踐.如圖4,校園的兩條小路4B和4C,匯聚形成了一個岔路口A,現(xiàn)在學校要在

兩條小路之間安裝一盞路燈E,使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離

和休息椅。到岔路口A的距離相等.試問路燈應該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對應的

示意圖5中作出路燈E的位置.(保留作圖痕跡，不寫作法)

A

【答案】(1)SSS：(2)證明見解析；(3)作圖見解析；

【分析】(1)先證明△OCE三△ODE(SSS),可得乙40E=NB0E,從而可得答案；

(2)先證明△0cM=AOCN(SSS),可得乙40C=乙BOC,可得。C是乙408的角平分線;

(3)先作N84C的角平分線，再在角平分線上截取4E=4。即可.

【詳解】解：(l)；0C=。。，CE=DE,DE=DE,

OCESAODE(SSS),

?，-Z-AOE=乙BOE,

；.0E是UOB的角平分線;

故答案為：SSS

(2)-：0M=ON,CM=CN,0C=0C,

???△OCM三4OCN(SSS),

-,-Z.AOC=Z.B0C,

；.0C是“OB的角平分線；

(3)如圖，點E即為所求作的點;

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，角平分線的定義與角平分線的性質，作已知角的角平分

線，理解題意，熟練的作角的平分線是解本題的關鍵.

26.（2023?浙江金華?中考真題）如圖，為制作角度尺，將長為10,寬為4的矩形。力8c分割成4X10的小正

方形網(wǎng)格.在該矩形邊上取點P,來表示NPO力的度數(shù).閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：

&P「八，B

n7/Trrrrrn

/1一

///-

//1

01

OA（答題卷用）

作法（如圖）結論

NPQ=45。，點

①在C8上取點心，使CP】=4.

表示45。.

②以。為圓心，8為半徑作弧，與BC交于點4P2。4=30。，點

C弋3P1B0

/\

「2表示30°.//

P2-//—1---

_—

//

\二

③分別以0,。2為圓心，大于。22長度一半的

C

長為半徑作弧，相交于點E,F,連結EF與BC

相交于點

④以P2為圓心，OP2的長為半徑作弧，與射

線CB交于點D,連結OD交AB于點

（1）分別求點「3，24表示的度數(shù).

（2）用直尺和圓規(guī)在該矩形的邊上作點P5,使該點表示37.5。（保留作圖痕跡，不寫作法）.

【答案】⑴點P3表示60。點”表示15。

（