幾何證明(10大題型)(50道壓軸題專練)

壓軸題型一線段垂直平分線的性質(zhì)與判定

1.如圖，在△4BC中，ABAC>90°,的垂直平分線分別交45,BC于點E,F,NC的垂直平分線分

別交/C,BC于點N,直線EF,ACV交于點尸.

(1)求證：點P在線段2C的垂直平分線上;

(2)已知ZFAN=56°,求ZFPN的度數(shù).

(1)A8〃CD,AE平分NDAB.

①如圖1,若4B=CD,ZB=90°,則乙4DE=；

②如圖2,若ABwCD,求證：DE平分N4DC；

(2)48和C。不平行時，AEVDE,求證：AB+CD>AD.

3.【閱讀理解】

(1)如圖1,在△4BC中，AB=3,AC=5,。是8C的中點，求5C邊上的中線40的取值范圍.小芳在

組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法(也叫“倍長中線法”)：延長40到￡,使DE=AD,再證明

“△ADC4EDB”.探究得出40的取值范圍是.

【靈活運用】

(2)如圖2,△N2C中，z5=90°,AB=2,AC=1,4D是△ABC的中線，CELBC,AE=6,且

ZADE=90°,求CE的長.

【拓展延伸】

(3)如圖3,在△ABC中，平分/8/C,且期交3c于點D,3C的中點為G,過點G作GE平行于

AD,交4B于點E,交C4的延長線于點凡若4B=10,AC=6,求8E的長.

圖1圖2圖3

4.【閱讀理解】

(1)如圖1,在A/3C中，AB=3,AC=4,。是3c的中點，求3c邊上的中線4。的取值范圍.小明在

組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長力。到E,使。E=4D,再證明“A/DCGAEDB”.探究得

出2。的取值范圍是;

【靈活運用】

(2)如圖2,中，/B=90。,AB=\,AD是的中線，CE工BC,CE=2,且//DE=90。,

求/E的長.

【拓展延伸】

(3)如圖3,在A/BC中，AD平分NA4C,且2D交8C于點。，8C的中點為G,過點G作GE平行于

AD,交力B于點E,交C4的延長線于點尸.若48=5cm,AC=3cm,求.BE.

5.【定義學(xué)習(xí)】我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形.

【定義理解】（1）如圖1,△/BC中，/3W2C,點尸在NC邊上，請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)作線段2尸,

使A/BP與ACBP是偏等積三角形（要求保留作圖痕跡，不寫作法）；

【綜合應(yīng)用】（2）四邊形是一片綠色花園，LACB、△DCE是等腰直角三角形，

ZACB=ZDCE=90°(0°<NBCE<90°)；

①如圖2,判斷A/CA與是否偏等積三角形，并說明理由;

②如圖3,已知8E=100m,的面積為3000m，計劃修建一條經(jīng)過點C的筆直的小路CF,F在BE

邊上，尸。的延長線經(jīng)過3中點G.若小路每米造價400元，請計算修建小路CF的總造價.

C

圖3

壓軸題型二角平分線的性質(zhì)與判定

6.已知：如圖，。為△48。外角44cp平分線上一點，且1X4=05,于點M

(1)若NC=6,DM=2,求A/CD的面積;

⑵求證：AC=BM+CM.

7.如圖，在△0/3和A。。中，0A=0B,OC^OD,0A>0C,ZAOB=ZCOD=40°,連接/C,BD

交于點M,連接0M.

⑴證明：AC=BD；

⑵求44MB的度數(shù)；

(3)問是否平分/BMC?并說明理由.

8.如圖，射線AB平分/MAN,過點3作8CL8/交/N于點C；動點E、。同時從A點出發(fā),

其中動點E以2cm/s的速度沿射線4/V方向運動，動點。以lcm/s的速度在射線上運動；已知/C=6cm,

設(shè)動點。，E的運動時間為：s.

⑴N4CB的度數(shù)為；

⑵若SA^B：SABEC=2：3,試求動點。、E的運動時間，的值；

(3)試問當動點。、E在運動過程中，存在某個時間乙使得△4DB四△CE8,直接寫出t的值.

9.在△4BC中，AB=5,AC=3.若點。在/3/C的平分線所在的直線上.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當點。在ZX/BC的外部時，過點、D作DEJ.4B于E,作。尸1/C交NC的延長線于尸，且

BE=CF.

①求證：點。在8c的垂直平分線上；

②BE=；

(2)如圖2,當點。在線段BC上時，若NC=90。，BE平分NABC,交4c于點E,交AD與點、F,過點尸

作尸GLAE,交8c于點G.

①NDFG=；

4

②若2C=4,EC=~,求GC的長度；

(3)如圖3,過點/的直線/〃8C,若/C=90。，BC=4,點。到"BC三邊所在直線的距離相等，則點。

到直線/的距離是

10.在△4BC中，BD平分~NABC,CE平分2/C8,應(yīng))與CE交于點。.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若44=80。，直接寫出/3OC的大小為

(2)如圖2,若44=60。,求證：BC=BE+CD；

(3)如圖3,若44=90。,08:00=5:3,則OE:OC=

壓軸題型三直角三角形全等的判定

11.如圖，DE/AB于E,DF工AC于F,BD=CD,BE=CF.

(1)求證：3平分NA4C；

⑵直接寫出血+/C與4E之間的等量關(guān)系.

12.如圖，在△4BC中，BE平分NABC,CE平分N4CD.

CC

圖1圖2

(1)如圖1,若4=46。，求/E的度數(shù)；

(2)如圖2,過點E作EWL3C,EN工BA,垂足分別為M,N,若AN=2,CM=4,求2C的長.

13.如圖，CD是//CE的平分線.。尸垂直平分于點P,DFJ.AC于點、F,DE上BC于點、E.

⑴求證：AF=BE；

(2)若3c=6cm,^C=10cm,貝!jC￡=_.

14.如圖，在銳角三角形48C中，AB<AC,4D是角平分線，DM,ON分別是A/CD的高，點

E在DC上，S.DE=DB,動點尸在邊/C上(不包括兩端點)，連接EE,FD.

備用圖

【問題感知】

(1)填空：DMDN(填“>”，"=”或“<”)；

【探究發(fā)現(xiàn)】

(2)若=小杰經(jīng)過探究，得到結(jié)論：ZAFD=ZEFD.請你幫小杰證明此結(jié)論；

【類比探究】

(3)若//防+/3=180。，請判斷上述結(jié)論是否成立.若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；

【拓展提升】

(4)已知AB=5,BM=\，=3,若點E關(guān)于。尸的對稱點E落在邊NC上，連接，請直接寫出

的面積.

15.已知：如圖，在△/8C中，點/在邊2C的垂直平分線上，直線/經(jīng)過點N,BD、CE分別垂直于直線

I,垂足分別為點。、E,且BD=AE.

(1)求證：AABDmACAE.

(2)取邊8C的中點F，連接EF,求證：EF平分NDEC.

壓軸題型四含30度角的直角三角形

16.如圖，在△4BC中，AB=AC,。為C/延長線上一點，且。E_L3c于點E,交4B于點尸.

(1)求證：尸是等腰三角形；

(2)連接CF,若ND=30。，ZCFE=60°,DF=8,求E尸的長.

17.在△4BC中，AD平分NBAC交BC于D.

⑴如圖1,/MW的兩邊分別與48、/C相交于M、N兩點，過。作。F//C于尸，DM=DN,證明:

AM+AN=2AF；

(2)如圖2,若NC=90°,ABAC=60°,AC=9,NMDN=120°,ND//AB,求四邊形/MON的周長.

18.如圖，在△4BC中，AB=6cm,BC=7cm,/48C=30。，點P從A點出發(fā)，以1cm/s的速度向5點

移動，點。從3點出發(fā)，以2cm/s的速度向C點移動，當一個點到達終點時，另一個點也隨即停止運動.如

果尸、。兩點同時出發(fā).

(1)/尸=cm,BP=cm,BQ=cm(用含/的代數(shù)式表示);

(2)經(jīng)過幾秒后APBQ的面積等于4cm2；

(3)四邊形APQC的面積能否等于5.5cm2,請說明理由.

19.在等邊ZVLBC的ZC、8C邊上各取一點尸、Q,40、8尸相交于點。

（1）若4800=60。，求證NP=C°；

⑵在（1）的條件下，當NC2P=45。，2。=2時，求△48C的邊長;

（3）連接尸。，若“尸=；ZC,AQ=BP,求沁的值.

3、“BC

20.在△4BC中=點P在平面內(nèi)，連接力尸并將線段4尸繞點/順時針方向旋轉(zhuǎn)與—A4c相等的角

度，得到線段/。，連接3。

【發(fā)現(xiàn)問題】（1）如圖1,如果點P是8C邊上任意一點，則線段20和線段PC的數(shù)量關(guān)系是；

【探究猜想】（2）如圖2,如果點P為平面內(nèi)任意一點，前面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證

明；若不成立，請說明理由.請僅以圖2所示的位置關(guān)系加以證明（或說明）；

【拓展應(yīng)用】（3）如圖3,在“灰？中，AC=3,ZACB=90°,ZABC=30°,尸是線段3c上的任意一點

連接北，將線段的繞點N順時針方向旋轉(zhuǎn)60。，得到線段N0,連接C。，請直接寫出線段C。長度的最小

值.

壓軸題型五斜邊的中線定理

21.如圖，已知銳角△/BC中，CD、BE分別是邊AB、/C上的高，M、N分別是線段Z)E、8c的中點.

(1)求證：MN1DE；

(2)連接DN、EN,猜想//與NONE之間的關(guān)系，并說明理由.

22.已知：如圖，NABC=NADC=90°,E、尸分別是NC、的中點.

⑴求證：EFLBD；

⑵若/氏4。=30。，AC=S,求3。的長.

23.如圖，在△4BC中，CF1.4B于F,BELAC于E,M為2c的中點.

A

⑴若所=4,8C=10,求△硒/的周長；

⑵若ZABC=50°,ZACB=60°,求ZMFE的度數(shù).

24.在RtZ\48C中，ZACB=90°,M是邊研的中點，CHLAB于點H,CD平分NACB.

(1)求證：CD平分4MCH；

(2)過點新作4B的垂線交CD的延長線于點E,

①求證：CM=EM；

②△NEN是什么三角形？證明你的猜想.

25.(1)如圖1,△48。中，BD,CE分別是/C,上的高，M,N分別是BC,DE的中點，求證:

MNIDE.

拓展:

(2)如圖2,△ABC中，NBAC=90°,4B=/C,點E是上的點，EDL3C于點。，點M是CE的中

點，探索四與的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系.

(3)如圖3,將(2)中的△5DE繞點3逆時針轉(zhuǎn)小于45。的角，(2)中的結(jié)論是否還成立？成立，請說明

理由.

壓軸題型六用勾股定理解三角形

26.如圖，在長方形4BCD中，48=9,40=4,E為CD邊上一點，DE=6.

(1)求8E的長：

(2)點尸從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著邊胡向終點/運動，連接PE.設(shè)點尸運動的時間為f秒,

則當f為何值時，APBE為等腰三角形？

27.如圖，ZUBC中，ZACB=90°,AB=10cm,SC=6cm,若點P從點A出發(fā)，以每秒4cm的速度沿折

線運動，設(shè)運動時間為/秒(f>0).

⑴若點尸在4c上，且滿足A3c尸的周長為14cm,求此時/的值;

(2)若點P在2氏4c的平分線上，求此時f的值；

(3)在運動過程中，直接寫出當t為何值時，ABCP為等腰三角形.

⑵如圖2,。為△4BC外的一點,連接CD,BD5.CD=CB,ZABD=ZBCD,過點C作C￡_L/C交AB的

延長線于點￡,求證：BD+2AB=42AC-

29.如圖，在長方形48。中，A8=CD=4,點四?是邊BC上一點且瓦W=3,點尸是邊4D或。C上一點.

(2)如圖②，若點尸與點。重合且乙4〃尸=90。，求心的長；

(3)如圖③，如果4)=4,為等腰三角形，求ANMP的面積.

30.已知如圖，點。是△ABC外一點，ZACB=a,AC=BC.

(1)如圖(1),若CD=CE,NDCE=a,求證：/ADC=/BEC；

(2)如圖(2),若a=90。，ZZ)=45°,CE1CD,AE//BD,求證：AE=BD；

(3)如圖(3),若c=90。，ZADC=15°,AD=2^3,BD=2,則CD=

壓軸題型七勾股定理與折疊問題

31.長方形中，AB=5,BC=4,將長方形折疊，使得點8落在線段。上，求線段8E的長.

32.如圖1,在RtZUBC中，ZACB=90°,AC=8,2。=15.點P從點2出發(fā)沿3c方向以每秒2個單

位長度的速度向右運動，當點尸與點C重合時，停止運動.設(shè)點P的運動時間為f秒，連接/尸.

圖1

(1)當1=4.5秒時，求4P的長.

(2)如圖2,將沿直線NP折疊，使得點C的對應(yīng)點M恰好落在邊48上，求此時t的值.

33.如圖，在△4BC中，點H為邊上的一點，AH=15,CH=8,AC=\1,BH=6.

⑴試說明CH，48；

(2)求2。的長；

(3)直線48上是否存在一點E,使ABCE為等腰三角形.若存在，請直接寫出此時線段族的長度；若不存

在，請說明理由；

(4)如圖1,動點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿射線43方向運動，設(shè)運動時間為t秒?>0).現(xiàn)把"CH

沿著直線CP翻折，請直接寫出當t為何值時，點4翻折后的對應(yīng)點恰好落在直線/C上.

34.如圖，將長方形紙片28。沿對角線NC折疊，使點5落到點夕位置，29與CD交于點E.

(1)試說明：AAED2ACEB'；

(2)若48=8,40=4,求的面積；

(3)在(2)的條件下，若點尸為線段/C上任一點，PGL/E于于//.求尸G+P”的值.

35.如圖，已知矩形4BCD,48=4,BC=5,點尸是射線3c上的動點，連接NP,△40P是由A/AP沿北

翻折所得到的圖形.

圖1

(1)當點。落在邊4)上時

(2)當直線尸。經(jīng)過點。時，求AP的長;

(3)如圖2,點M是DC的中點，連接兒/尸、MQ.

①M。的最小值為二

②當APMQ是以尸M為腰的等腰三角形時，請直接寫出AP的長.

壓軸題型八勾股定理的應(yīng)用

36.“中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70千米/小時，如圖,

一輛小汽車在一條城市街道上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面對車速檢測儀正前方30米C處，過了2

秒后，小汽車行駛到B處，測得小汽車與車速檢測儀間距離為50米，

(1)求BC的長；

(2)這輛小汽車超速了嗎？

小汽車小汽車

By--?C

觀測點

37.臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它在以臺風(fēng)中心為圓心，一定長度為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)形成極端氣候，有極強

的破壞力.如圖，監(jiān)測中心監(jiān)測到一臺風(fēng)中心沿監(jiān)測點B與監(jiān)測點A所在的直線由東向西移動，已知點C

為一海港，且點C與A,B兩點的距離分別為300km、400km,且/ACB=90。，過點C作CEJ_AB于點

E,以臺風(fēng)中心為圓心，半徑為260km的圓形區(qū)域內(nèi)為受影響區(qū)域.

（1）求監(jiān)測點A與監(jiān)測點B之間的距離；

（2）請判斷海港C是否會受此次臺風(fēng)的影響，并說明理由；

（3）若臺風(fēng)的速度為25km/h,則臺風(fēng)影響該海港多長時間？

38.新冠疫情期間，為了提高人民群眾防疫意識，很多地方的宣講車開起來了，大喇叭響起來了，宣傳橫

幅掛起來了，電子屏亮起來了，電視、廣播、微信、短信齊上陣，防疫標語、宣傳金句頻出，這傳遞著打

贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的堅定決心.某鎮(zhèn)政府采用了宣講車進行宣傳動員.如圖，宣講車尸在筆直公路的兩個

站點/、8來回宣傳，點C是一個村莊，村莊C到48兩站點的距離分別為600m、800m,且

AB=1000m.宣講車周圍500m以內(nèi)能聽到廣播宣傳.

⑴求Z/C2的度數(shù).

(2)宣講車P宣傳時，村莊C是否能聽到？請說明理由.

(3)如果能聽到，已知宣講車尸的速度是100米/分鐘，那么宣講車P沿48方向行駛中，村莊C一共能聽到

多少分鐘的宣傳？

39.《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊，問

水深、葭長各幾何.大意是：如圖，水池底面的寬AB=1丈，蘆葦。。生長在48的中點。處，高出水面的

部分8=1尺.將蘆葦向池岸牽引，尖端達到岸邊時恰好與水面平齊，即OC=OE,求水池的深度和蘆葦

的長度(1丈等于10尺).

(1)求水池的深度OD；

(2)中國古代數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注解時，更進一步給出了這類問題的一般解法.他的解法用現(xiàn)

代符號語言可以表示為：若已知水池寬工8=2“，蘆葦高出水面的部分CD=77(〃<a),則水池的深度OD

(OD=b)可以通過公式b=巴二。計算得到.請證明劉徽解法的正確性.

40.(1)【閱讀理解】勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的

最重要的工具之一，它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應(yīng)用廣泛而使人著迷.下面四幅圖中,

不能證明勾股定理的是「

(2)【實踐操作】如圖1,在數(shù)軸上找出表示2的點A,過點A作直線/垂直于。在/上取點5,使

/3=1,以原點。為圓心，長為半徑作弧，則弧與數(shù)軸負半軸的交點C表示的數(shù)是」

(3)【延伸應(yīng)用】如圖2,有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出

2尺，斜放就恰好等于門的對角線(BD),已知門寬6尺，求竹竿長.

圖1圖2

壓軸題型九求最短路徑問題

41.如圖是放在地面上的一個無蓋的長方體形盒子，長、寬、高分別為4cm,4cm，6cm,一只螞蟻想從

盒底的點A沿盒的側(cè)面爬到盒頂?shù)狞c8,你能幫螞蟻設(shè)計一條最短的線路嗎？螞蟻要爬行的最短行程是多

少？

42.如圖1,/村和3村在一條大河。的同側(cè)，它們到河岸的距離ZC、5。分別為1千米和4千米，又知

道CA的長為4千米.

現(xiàn)要在河岸上建一水廠向兩村輸送自來水.有兩種方案備選

方案1：水廠建在C點，修自來水管道到/村，再到8村（即/C+/3）.（如圖2）

方案2：作/點關(guān)于直線CZ）的對稱點H,連接48交CD于M點，水廠建在M點處，分別向兩村修管道4%

和W.（BPAM+BM）（如圖3）

從節(jié)約建設(shè)資金方面考慮，將選擇管道總長度較短的方案進行施工，請利用已有條件分別進行計算，判斷

哪種方案更合適.

43.如圖①，已知圓柱底面的周長為12,圓柱的高為8,在圓柱的側(cè)面上，過點A,C嵌有一圈長度最短

的金屬絲.

(1)現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿剪開，所得的圓柱側(cè)面展開圖(圖③)是

(2)求該長度最短的金屬絲的長;

(3)如圖②，若將金屬絲從點3繞四圈到達點A,則所需金屬絲的最短長度為根，則/的值為.

44.綜合與實踐

問題情境：

“轉(zhuǎn)化”是一種重要的數(shù)學(xué)思想，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是轉(zhuǎn)化思想的一個重要方面.例如，如圖1,一

個正方體的棱長為1,有一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著正方體的表面爬行到點G.沿怎樣的路線爬行路程最

短？要解決這個問題，我們可以把正方體展開(如圖2,圖3,圖4),把空間兩個面上的兩點A,G之間的

最短路徑問題轉(zhuǎn)化為同一個面上兩點之間的距離問題.根據(jù)“兩點之間，線段最短”，可知螞蟻沿線段4G爬

行的路程最短，利用勾股定理易證最短路程為近.

HGc

圖5圖6

(1)如圖5,一個長方體盒子，它的長、寬、高分別為8cm、8cm,12cm,一只螞蟻想從盒底的點A沿盒的

表面爬到盒頂?shù)狞cG,你能幫螞蟻設(shè)計一條最短的路線嗎？螞蟻要爬行的最短路程是多少？

(2)如圖6,長方體的長為15cm,寬為10cm,高為20cm,點3在棱CD上，CB=5cm.一只螞蟻要沿長方

體的表面從點A爬到點3,需要爬行的最短路程是多少？

45.一只螞蟻在立方體的表面積爬行.

(1)如圖1,當螞蟻從正方體的一個頂點/沿表面爬行到頂點8,怎樣爬行路線最短？說出你的理由.

(2)如圖1,如果螞蟻要從邊長為1cm的正方體的頂點/沿最短路線爬行到頂點C,那么爬行的最短距離d的

長度應(yīng)是下面選項中的

(A)1cm(B)2cm(C)3cm(D)1cm<d<3cm

這樣的最短路徑有一條.

(3)如果將正方體換成長40=3cm,寬=3cm,高48=1cm的長方體(如圖2所示)，螞蟻仍需從頂點/

沿表面爬行到頂點￡的位置，請你說明這只螞蟻沿怎樣路線爬行距離最短？為什么？(可通過畫圖來說明)

壓軸題型十兩點的距離公式

46.如圖，在一條筆直的馬路跖同側(cè)有A,2兩個小區(qū)，A小區(qū)到馬路的垂直距離/C為10千米，3小區(qū)

到馬路的垂直距離班為2千米，CD的長度為15千米.

A

B

p——□-----------------——F

匕CDr

(1)求A,5小區(qū)之間的距離；

(2)現(xiàn)要在線段CA上修建一個車站E,使得車站￡到A,5兩小區(qū)的距離相等，此時車站E應(yīng)修建在離點C

多遠處？

47.【問題背景】

著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為。，較小的直角邊長都為6,斜邊長都

17

為c,大正方形的面積可以表示為也可以表示為4*］仍+由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果

直角三角形兩條直角邊長為。，b,斜邊長為c,則/+/=c2.

圖①

【探索求證】

（1）圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，RM/DE與RSEBC按如圖所示位置放置，連接

CD,其中//=/5=/DEC=90。，請你利用圖②推導(dǎo)勾股定理；

【問題解決】

（2）如圖③，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水點4B,其中=