專題20空間向量與立體幾何（八大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01空間向量的線性運(yùn)算

?題型02空間向量的數(shù)量積

?題型03空間向量的基本定理

?題型04空間向量的坐標(biāo)表示

?題型05利用空間向量判斷位置關(guān)系

?題型06利用空間向量求角度

?題型07利用空間向量求距離

?題型08空間向量與立體幾何解答題

?題型01空間向量的線性運(yùn)算

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在空間四邊形/BCD中，E,尸分別是2C,CD的中點(diǎn)，則

1--->-1---*---->-

-BC+-BD+FA=（）

22

A.BAB.AFC.ABD.EF

2.（23-24高二下?江蘇常州?期中）如圖，在正三棱柱/8C-4月J中，AB=AAl=l,尸為Bg的中點(diǎn)，則

AC「BP=()

53i

A.-B.1C.-D.v

422

3.（23-24高二下?江蘇宿遷?期中）下列命題正確的是（）

A.若4民是空間任意四點(diǎn)，則有方+無(wú)+元+方=0

B.若表示向量Z3的有向線段所在的直線為異面直線，則向量d石一定不共面

c.若，石共線，則表示向量］與B的有向線段所在直線平行

D.對(duì)空間任意一點(diǎn)。與不共線的三點(diǎn)A、B、C,若麗=xE+y赤+z3（其中X、八zeR）,

則P、A、B、C四點(diǎn)共面

4.（23-24高一下?安徽合肥?期末）如圖，三棱柱N8C-4耳G中，&F分別為AB/G中點(diǎn)，過(guò)尸作三

棱柱的截面交片。于初，且麗=2近，則4的值為（）

CID.1

?題型02空間向量的數(shù)量積

5.（23-24高二下?湖北?期末）空間向量3=（1,0,1）在3=（0,1,1）上的投影向量為（）

A.B.C.°。;D.

6.（23-24高二下?福建龍巖?期中）如圖，在斜三棱柱/8C-4耳￡中，AC=BC=CCi=4,

ABCCX=AACCX=y,ZACB=^,則可(赤+0)=()

A.48B.32C.32+8后D.32-8收

7.（23-24高二下?福建漳州?期末）正方體48。-44GA的棱長(zhǎng)為1,AW是正方體外接球的直徑，尸為

正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則兩?兩的取值范圍是（）

1"I「11「3I「3一

A.--,0B.0,-C.-JD.1,-

8.（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）已知圓錐MO的底面半徑為石，高為1,其中O為底面圓心，是底面圓的一

條直徑，若點(diǎn)尸在圓錐的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，則用.麗的最小值為（）

93

A.—B.—C.—2D.—1

42

?題型03空間向量的基本定理

_____.------1—?.1—?—?3—?

9.（24-25高二上?上海?課后作業(yè)）如圖，在1四m面體048C中，BM=-BC,MN=-NO,AP=-AN,若

224

OQ=AOB,且尸。II平面4BC,則實(shí)數(shù)X=（）

10.（22-23高二上?江西南昌?期末）已知點(diǎn)。在“8C確定的平面內(nèi)，。是平面4BC外任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)

^^DO=xOA+2yOB-3OC,則￡+/的最小值為（）

47

A.-B.—C.1D.2

55

11.（23-24高二下?江蘇淮安?階段練習(xí)）以等腰直角三角形斜邊2C上高2。為折痕，把△43。和A/CD折

成120。的二面角.若/8=2,DP=xDA+yDB+（\-x-y）~DC,則網(wǎng)斗最小值為（）

「廂

A亞RV6nV6

2356

?題型04空間向量的坐標(biāo)表示

12.（2023?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知空間向量a=（1,2,0）［=（0,-1,1）,3=（2,3,〃?），若工薪共面，則實(shí)數(shù)加=

（）

A.1B.2C.3D.4

13.（23-24高二下?福建莆田?期末）在三棱錐P-4BC中，PA,PB,PC兩兩垂直，^.PA=PB=PC=2.

若“為該三棱錐外接球上的一點(diǎn)，則麗.比的最大值為（）

A.2B.4C.2+2百D.4+26

14.（23-24高二下?福建?期中）在棱長(zhǎng)為2的正方體N8C。-4片GA中，若點(diǎn)尸是棱上一點(diǎn)（含頂點(diǎn)），則

滿足德?西=-1的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)為（）

A.8B.12C.18D.24

?題型05利用空間向量判斷位置關(guān)系

15.（23-24高二下?甘肅?期中）已知平面a外的直線/的方向向量為3=（1,0,2）,平面a的一個(gè)法向量為

?=(6,1,-3),則()

A./與a斜交B./laC.IllaD.v//n

16.（23-24高三下?湖南衡陽(yáng)?階段練習(xí)）空間四邊形/BCD中區(qū)RG,〃分別為的點(diǎn)（不含

端點(diǎn)）.四邊形斯G8為平面四邊形且其法向量為/下列論述錯(cuò)誤項(xiàng)為（）

A.BD.n=0,則AD〃平面EFG

B.礪=成，則/C//平面￡尸G

C.W-HG=0,EF//HG，則四邊形EFGH為矩形.

D.BDAC=0,EF=HG,則四邊形EFG”為矩形.

17.（23-24高二下?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）正方體/BCD-/4C1。的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M在線段CG上，動(dòng)點(diǎn)尸

在平面4片6。1上，且工尸上平面兒分口，線段8P長(zhǎng)度的取值范圍是（）

18.（2024?寧夏吳忠?模擬預(yù)測(cè)）在正方體/8CD-44CQ1中，點(diǎn)尸為線段8,上的動(dòng)點(diǎn)，直線冽為平面4。尸

與平面4C尸的交線，現(xiàn)有如下說(shuō)法

①不存在點(diǎn)P,使得84〃平面4。尸

②存在點(diǎn)尸，使得用平面4OP

③當(dāng)點(diǎn)尸不是8A的中點(diǎn)時(shí)，都有機(jī)〃平面

④當(dāng)點(diǎn)尸不是2"的中點(diǎn)時(shí)，都有機(jī)_L平面

其中正確的說(shuō)法有（）

A.①③B.③④C.②③D.①④

?題型06利用空間向量求角度

TT

19.（23-24高二下?福建廈門?期末）在四面體N8CZ）中，BC1BD,ZABC=ZABD=~,BA=BD=2,

BC=3,則/。與8c所成角的余弦值為（）

A.yB.立C.—D.逅

2323

20.（2024?陜西?模擬預(yù)測(cè)）在平行六面體44GA中，已知/2=/。=/4=1,

ZA.AB=ZA.AD=ABAD=60°,則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（）

A.直線4c與AD所成的角為90。

B.線段4c的長(zhǎng)度為a

C.直線4c與所成的角為90。

D.直線4c與平面N8CD所成角的正弦值為"

3

21.（23-24高二下?江蘇徐州?期中）如圖，四邊形力5。。,/8=5。=。4=4,5。=。。=2收，現(xiàn)將

TVTT

沿AD折起，當(dāng)二面角/-AD-C的大小在匕，二］時(shí)，直線和CD所成角為貝的最大值為（）

A2V2-V6?V2「2V2+V6「46

168168

?題型07利用空間向量求距離

22.（23-24高一下?黑龍江齊齊哈爾?期末）平行六面體中，

AAl=AD=AB=1,ZA.AD=AAXAB=ABAD=60°,點(diǎn)〃為耳口的中點(diǎn)，則點(diǎn)。到直線MC的距離為.

23.（23-24高二下?安徽?期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體/BCD-44G。中，E,尸分別為正方形48CD和正方

形82G的中心，則點(diǎn)A到平面A{EF的距離為.

24.（23-24高二下?江蘇淮安?階段練習(xí)）將邊長(zhǎng)為2的正方形/3CD沿對(duì)角線NC折疊使得△NCD垂直于底

面/8C,則異面直線4D與3c的距離為.

25.（24-25高二上?上海?單元測(cè)試）如圖，在直三棱柱/8C-44G中，ZABC=90°,BC=2,CCX=4,

點(diǎn)。為CG的中點(diǎn)，則8Q與平面N5D的位置是.

26.（19-20高二?全國(guó)?課后作業(yè)）正方體/8CD-4SCQ/的棱長(zhǎng)為4,M,N,E,尸分別為小。，AB，

CD，3/G的中點(diǎn)，則平面AMN與平面EFBD的距離為.

?題型08空間向量與立體幾何解答題

27.（24-25高三上?湖南?開(kāi)學(xué)考試）如圖，在直三棱柱/3C-4用G中，。是側(cè)棱CG的中點(diǎn),

ZACB=nO°,AAl=s5AC=43BC.

（1）證明：平面4AG，平面A.BD.

（2）求銳二面角B-A.D-用的余弦值.

28.（23-24高二下?上海?期末）如圖，在四棱錐尸-/BCD中，底面N3CD為正方形，PO,底面N3CQ,M

為線段尸C的中點(diǎn)，PD=AD=\,N為線段8C上的動(dòng)點(diǎn).

⑴證明：MDLPN；

（2）當(dāng)N為線段2C的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)A到面ACV。的距離.

29.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，￡。，平面/8口）,/3〃。（74/。為等邊三角形,

DC=2/3=2,C2=C￡,點(diǎn)尸為棱BE上的動(dòng)點(diǎn).

（1）證明：。。，平面8?！?；

（2）當(dāng)二面角尸-4C-8的大小為45。時(shí)，求線段。尸的長(zhǎng)度.

30.（2024?吉林?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，半圓柱0a與四棱錐/-8CDE拼接而成的組合體中，/是半圓弧3C

上（不含瓦C）的動(dòng)點(diǎn)，尸G為圓柱的一條母線，點(diǎn)A在半圓柱下底面所在平面內(nèi),

OB=200,=2,AB=AC=2近.

⑴求證：CG工BF；

⑵若DF//平面ABE,求平面FOD與平面GOD夾角的余弦值;

（3）求點(diǎn)G到直線0D距離的最大值.

一、單選題

1.（2024?遼寧沈陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知直三棱柱/8C-4耳。中，ZABC=120°,AB=CC,=2,BC=\,則異

面直線/片與3G所成角的余弦值為（）

AV3RV15「屈「拒

2543

2.（2024?浙江嘉興?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)x,yeR,a=（l,l,l）,5=（l,y,z）,c=（x,-4,2）,且〃〃1，貝1］忻+可=

（）

A.2&B.0C.3D.3也

3.（2024?山西?三模）正方體/BCD-44GA的棱長(zhǎng)為2,瓦尸分別為2瓦的中點(diǎn)，。為底面/BCD的

中心，則三棱錐。-E尸C的體積是（）

A.叵B.-C.-D.近

6642

4.（2024?青海?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐P/3C中，ZAPB=90°,ZCPA=ZCPB=60°,

PA=PB=PC=1,點(diǎn)。，E,尸滿足麗=麗，PE=2EA＞然=同，則直線C￡1與。9所成的角為

（）

5.（2024?山東日照?二模）已知棱長(zhǎng)為1的正方體以正方體中心為球心的球。與正方體

的各條棱相切，若點(diǎn)尸在球。的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，則莎?麗的最大值為（）

A.2

JT

6.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）已知菱形/8C。，ZDAB=~,將△D4C沿對(duì)角線/C折起，使以4民心。

四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大，則異面直線N8與所成角的余弦值為（）

A.-B.立C.-D.@

5244

7.（2024?河南?三模）在四面體43。中，△BCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，。是內(nèi)一點(diǎn)，四面體

/BCD的體積為26，則對(duì)Vx,yeR,|o/-xO2-yOq的最小值是（）

/7

A.2屈B.—?C.V6D.6

3

8.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體/3CD-4片GA中，已知M,N,尸分別是棱

CR,AAt,8c的中點(diǎn)，。為平面尸腦V上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線。片的夾角為30。，則點(diǎn)。的軌跡長(zhǎng)

兀C.271D.371

2

二、多選題

9.（2024?河北承德?二模）如圖，在正四棱柱/BCD-44GA中，/%=2/8=2,￡是棱/耳的中點(diǎn)，尸為

線段8。上的點(diǎn)（異于端點(diǎn)），且ED=PD,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.五是平面切。的一個(gè)法向量

B.JP=^BD{

c.點(diǎn)尸到平面及9的距離為亞

18

D.二面角尸-EC-。的正弦值為之叵

14

10.（2024?山東濱州?二模）圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，B為E尸的中點(diǎn)，〃為BC的中點(diǎn).若分別

沿48,3c把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使E、尸兩點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為尸，則在四面體P-/3C

中，下列結(jié)論正確的是（）

A.PBLAC

B.〃到直線尸/的距離為退

C.三棱錐尸-48C外接球的半徑為叵

3

D.直線上4與8C所成角的余弦值為竽

n.（2024?江西宜春?三模）如圖，正方體/BCD-44GA的棱長(zhǎng)為2,設(shè)尸是棱CG的中點(diǎn)，。是線段CF

上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），〃是正方形3CG耳內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且4朋7/平面。/尸，則下列結(jié)論正確的是

A.存在滿足條件的點(diǎn)使

B.當(dāng)點(diǎn)。在線段G尸上移動(dòng)時(shí)，必存在點(diǎn)"，使4M_L80

C.三棱錐C「A\PM的體積存在最大值和最小值

D.直線4M與平面BCG4所成角的余弦值的取值范圍是g,J

12.（2024?山東濟(jì)南?一模）在三棱柱48C-/￡G中，AM=2MBA{N=mAxCx,且3N〃平面4cM,

則m的值為.

13.（2024?河南?一模）三棱錐P-n3C中，尸8=2,NPAB=N4BC=30。,PB_LAB,ACVAB,點(diǎn)、M,N

分別在線段/尸，8c上運(yùn)動(dòng).若二面角尸—N8-C的大小為60。，則的最小值為.

14.（2024?山東青島?一模）已知球。的表面積為12兀，正四面體N8CD的頂點(diǎn)8,C,。均在球。的表面

上，球心。為△8CO的外心，棱N8與球面交于點(diǎn)尸.若/e平面4,Be平面％，Ce平面De平

面%,%〃生+1（，=1,2,3）且生與%+4=1,2,3）之間的距離為同一定值，棱/C,40分別與%交于點(diǎn)0,R,

則"的周長(zhǎng)為.

四、解答題

15.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直