PAGE1-第1講空間幾何體的三視圖、表面積及體積A級(jí)基礎(chǔ)通關(guān)一、選擇題1．(2024·華師附中檢測(cè))《九章算術(shù)》是我國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著，它有如下問(wèn)題：“今有圓堡瑽(cōnɡ)，周四丈八尺，高一丈一尺．問(wèn)積幾何？”意思是“今有圓柱體形的土筑小城堡，底面周長(zhǎng)為4丈8尺，高1丈1尺．問(wèn)它的體積是多少？”(注：1丈＝10尺，取π＝3)()A．704立方尺 B．2112立方尺C．2115立方尺 D．2118立方尺解析：設(shè)圓柱體底面半徑為r，高為h，周長(zhǎng)為C.因?yàn)镃＝2πr，所以r＝eq\f(C,2π)，因此V＝πr2h＝π·eq\f(C2,4π2)·h＝eq\f(C2h,4π)＝eq\f(482×11,12)＝2112(立方尺)．答案：B2．(2024·北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．4解析：由三視圖得到空間幾何體，如圖所示，則PA⊥平面ABCD，平面ABCD為直角梯形，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，所以PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC.又BC⊥AB，AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.在△PCD中，PD＝2eq\r(2)，PC＝3，CD＝eq\r(5)，所以△PCD為銳角三角形．所以側(cè)面中的直角三角形為△PAB，△PAD，△PBC，共3個(gè)．答案：C3．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A．8＋3π B．8＋4πC．8＋5π D．8＋6π解析：由題圖可知，幾何體為半圓柱挖去半球體，幾何體的表面積為2×eq\f(π,2)×4＋π＋2×4－π＋eq\f(4π,2)＝8＋6π.答案：D4．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直棱柱稱(chēng)為“塹堵”．已知“塹堵”的正視圖和俯視圖如圖所示，則該“塹堵”的側(cè)視圖的面積為()A．18eq\r(6) B．18eq\r(3) C．18eq\r(2) D.eq\f(27\r(2),2)解析：在俯視圖Rt△ABC中，作AH⊥BC交于點(diǎn)H.由三視圖的意義，則BH＝6，HC＝3，依據(jù)射影定理，AH2＝BH·HC，所以AH＝3eq\r(2).易知該“塹堵”的側(cè)視圖是矩形，長(zhǎng)為6，寬為AH＝3eq\r(2)，故側(cè)視圖的面積S＝6×3eq\r(2)＝18eq\r(2).答案：C5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖暅在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了體積計(jì)算的原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”(“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高)，意思是兩個(gè)同高的幾何體，如在等高處截面的面積恒相等，則它們的體積相等．已知某不規(guī)則幾何體與如圖所示的三視圖所表示的幾何體滿(mǎn)意“冪勢(shì)既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為()A．12－π B．8－πC．12－eq\f(π,2) D．12－2π解析：依題意，不規(guī)則幾何體的體積等同于一長(zhǎng)方體去掉半圓柱(底面半徑為1，高為2)后的體積．所以V＝3×2×2－eq\f(1,2)π×12×2＝12－π.答案：A6．(2024·全國(guó)卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A．π B.eq\f(3π,4) C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,4)解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1，由圓柱兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形．所以r＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2).所以圓柱的體積為V＝πr2h＝eq\f(3,4)π×1＝eq\f(3π,4).故選B.答案：B二、填空題7．(2024·江蘇卷)如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120，E為CC1的中點(diǎn)，則三棱錐EBCD的體積是________．解析：設(shè)長(zhǎng)方體中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，則abc＝120，所以VE-BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)ab×eq\f(1,2)c＝eq\f(1,12)abc＝10.答案：108．(2024·浙江卷改編)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)為_(kāi)_______．解析：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何體的體積V＝eq\f(1,2)×(1＋2)×2×2＝6.答案：69．(2024·北京卷改編)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．解析：依據(jù)三視圖可得該四棱錐的直觀圖(四棱錐P-ABCD)如圖所示，將該四棱錐放入棱長(zhǎng)為2的正方體中．由圖可知該四棱錐的最長(zhǎng)棱為PD，PD＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)10．(2024·惠州調(diào)研)已知一張矩形白紙ABCD，AB＝10，AD＝10eq\r(2)，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，現(xiàn)分別將△ABE，△CDF沿BE，DF折起，使A，C重合于點(diǎn)P，則三棱錐PDEF的外接球的表面積為_(kāi)_______．解析：三棱錐P-DEF中，PD2＋PF2＝CD2＋CF2＝DF2，所以∠DPF＝90°，且DF2＝102＋(5eq\r(2))2＝150.又∠DEF＝90°，所以DF的中點(diǎn)為三棱錐P-DEF的外接球的球心，則2R＝DF，故球的表面積S＝4πR2＝150π.答案：150πB級(jí)實(shí)力提升11．(2024·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3) B．18eq\r(3) C．24eq\r(3) D．54eq\r(3)解析：由等邊△ABC的面積為9eq\r(3)可得eq\f(\r(3),4)AB2＝9eq\r(3)，所以AB＝6，所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r＝eq\f(\r(3),3)AB＝2eq\r(3).設(shè)球的半徑為R，球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d，則d＝eq\r(R2－r2)＝eq\r(16－12)＝2.所以三棱錐D-ABC高的最大值為2＋4＝6，所以三棱錐D-ABC體積的最大值為eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).故選B.答案：B12．我國(guó)齊梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一條原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在全部等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體．如圖，將底面直徑都為2b，高皆為a的橢半球體和已被挖去了圓錐體的圓柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且與平面β隨意距離d處的平面截這兩個(gè)幾何體，可橫截得到S圓及S環(huán)兩截面．可以證明S圓＝S環(huán)總成立．據(jù)此，半短軸長(zhǎng)為1，半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3的橢球體的體積是________．解析：因?yàn)镾圓＝S環(huán)總成立，則半橢球體的體積為πb2a－eq\f(1,3)πb2a＝eq\f(2,3)πb2a.所以橢球體的體積V＝eq\f(4,3)πb2a.因?yàn)闄E球體半短軸長(zhǎng)為1，半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3即b＝1，a＝3.故橢球體的體積V＝eq\f(4,3)πb2a＝4π.答案：4π13．在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬．如圖，若四棱錐PABCD為陽(yáng)馬，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，設(shè)該陽(yáng)馬的外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，則R＝________，內(nèi)切球的體積V＝________．解析：在四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且底面為矩形，將該“陽(yáng)馬”補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則(2R)2＝AB2＋AD2＋AP2＝16＋16＋9＝41.因此R＝eq\f(\r(41),2).依題意Rt△PAB≌Rt△PAD，則內(nèi)切球O在側(cè)面PAD內(nèi)的正視圖是△PAD的內(nèi)切圓，且該內(nèi)切圓與△PAB的內(nèi)切圓全等．故內(nèi)切球的半徑r＝eq\f(1,2)(3＋4－5)＝1，則V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π.答案：eq\f(\r(41),2)eq\f(4,3)π14．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)已知三棱錐S-ABC的全部頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為_(kāi)_______．解析：如圖，連接OA，OB.由SA＝AC，SB＝BC，SC為球O的直徑，知OA⊥SC，OB⊥SC.由