必修四測(cè)試題數(shù)學(xué)及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共20分）

1.下列各數(shù)中，有理數(shù)是（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$\frac{3}{4}$

D.$-\sqrt{3}$

2.已知$a=-1$，則$|a|$的值為（）

A.1

B.-1

C.0

D.無(wú)法確定

3.若$a^2=4$，則$a$的值為（）

A.2

B.-2

C.2或-2

D.無(wú)法確定

4.下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）

A.$y=x^3+2x+1$

B.$y=x^2+2x+1$

C.$y=x^2+2x+3$

D.$y=x^2+2x+1$

5.已知一次函數(shù)$y=kx+b$的圖象過(guò)點(diǎn)$(1,2)$，則$y$隨$x$的增大而減小的條件是（）

A.$k>0$

B.$k<0$

C.$b>0$

D.$b<0$

二、填空題（每題5分，共20分）

6.若$|x-2|=3$，則$x$的值為______。

7.已知$y=2x-1$，當(dāng)$x=3$時(shí)，$y$的值為______。

8.若$-3a>9$，則$a$的取值范圍是______。

9.下列函數(shù)中，是反比例函數(shù)的是______。

10.若$a^2=25$，則$|a|$的值為______。

三、解答題（每題10分，共30分）

11.（1）求函數(shù)$y=x^2-2x+1$的頂點(diǎn)坐標(biāo)。

（2）若函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的圖象開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,-3)$，求函數(shù)的解析式。

12.（1）已知一次函數(shù)$y=kx+b$的圖象與$y$軸交于點(diǎn)$(0,2)$，且過(guò)點(diǎn)$(3,1)$，求函數(shù)的解析式。

（2）若函數(shù)$y=kx+b$的圖象與$y$軸交于點(diǎn)$(0,-4)$，且過(guò)點(diǎn)$(2,6)$，求函數(shù)的解析式。

13.（1）已知函數(shù)$y=2x^2-3x+1$，求該函數(shù)的對(duì)稱軸。

（2）若函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的圖象開口向下，且對(duì)稱軸為$x=-1$，求函數(shù)的解析式。

四、解答題（每題10分，共30分）

14.（1）已知一元二次方程$x^2-5x+6=0$，求該方程的解。

（2）若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的判別式$\Delta=b^2-4ac=0$，求該方程的解。

15.（1）已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=3n-2$，求該數(shù)列的前5項(xiàng)。

（2）已知數(shù)列$\{b_n\}$的通項(xiàng)公式為$b_n=2n+1$，求該數(shù)列的前5項(xiàng)。

16.（1）已知函數(shù)$y=x^2-4x+4$，求該函數(shù)的零點(diǎn)。

（2）若函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的零點(diǎn)為$x=1$和$x=3$，求函數(shù)的解析式。

五、證明題（每題10分，共20分）

17.證明：若$a^2+b^2=1$，則$a\sinb+b\cosa=0$。

18.證明：若$\sin^2x+\cos^2x=1$，則$\tanx=\frac{\sinx}{\cosx}$。

六、綜合題（每題10分，共20分）

19.已知函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的圖象開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(2,-3)$，且過(guò)點(diǎn)$(0,1)$，求函數(shù)的解析式。

20.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=\frac{1}{n(n+1)}$，求該數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n$。

試卷答案如下：

一、選擇題（每題5分，共20分）

1.C

解析思路：$\sqrt{2}$和$\pi$是無(wú)理數(shù)，而$\frac{3}{4}$是有理數(shù)，$-\sqrt{3}$也是無(wú)理數(shù)。

2.A

解析思路：$|a|$表示$a$的絕對(duì)值，所以無(wú)論$a$是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，$|a|$總是非負(fù)的，而$a=-1$時(shí)，$|a|=1$。

3.C

解析思路：$a^2=4$有兩個(gè)解，$a=2$或$a=-2$。

4.B

解析思路：二次函數(shù)的一般形式是$y=ax^2+bx+c$，其中$a\neq0$。選項(xiàng)B符合這個(gè)條件。

5.B

解析思路：一次函數(shù)$y=kx+b$的斜率$k$決定了函數(shù)的增減性，當(dāng)$k>0$時(shí)，$y$隨$x$增大而增大；當(dāng)$k<0$時(shí)，$y$隨$x$增大而減小。

二、填空題（每題5分，共20分）

6.5或-1

解析思路：$|x-2|=3$有兩個(gè)解，$x-2=3$或$x-2=-3$，所以$x=5$或$x=-1$。

7.5

解析思路：將$x=3$代入$y=2x-1$，得到$y=2(3)-1=5$。

8.$a<-3$

解析思路：$-3a>9$等價(jià)于$a<-3$。

9.$y=\frac{1}{x}$

解析思路：反比例函數(shù)的一般形式是$y=\frac{k}{x}$，其中$k\neq0$。選項(xiàng)中的函數(shù)符合這個(gè)條件。

10.5

解析思路：$|a|$表示$a$的絕對(duì)值，所以$|a|$的值等于$a$的絕對(duì)值。

三、解答題（每題10分，共30分）

11.（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,0)$。

解析思路：二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，代入$a=1,b=-2,c=1$得到頂點(diǎn)坐標(biāo)。

（2）解析式為$y=2x^2-3x-7$。

解析思路：開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,-3)$，代入頂點(diǎn)坐標(biāo)得到$y=a(x-1)^2-3$，再代入點(diǎn)$(0,-3)$解得$a=2$。

12.（1）解析式為$y=x+2$。

解析思路：通過(guò)點(diǎn)$(0,2)$得到$b=2$，再通過(guò)點(diǎn)$(3,1)$解得$k=-1$，所以$y=-x+2$。

（2）解析式為$y=3x-4$。

解析思路：通過(guò)點(diǎn)$(0,-4)$得到$b=-4$，再通過(guò)點(diǎn)$(2,6)$解得$k=3$，所以$y=3x-4$。

13.（1）對(duì)稱軸為$x=1$。

解析思路：二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的對(duì)稱軸為$x=-\frac{2a}$，代入$a=2,b=-3$得到對(duì)稱軸。

（2）解析式為$y=-2x^2-2x-1$。

解析思路：開口向下，對(duì)稱軸為$x=-1$，代入對(duì)稱軸得到$y=a(x+1)^2+c$，再代入點(diǎn)$(0,0)$解得$a=-2$和$c=-1$。

四、解答題（每題10分，共30分）

14.（1）解為$x=2$或$x=3$。

解析思路：通過(guò)因式分解或配方法求解方程$x^2-5x+6=0$。

（2）解為$x=0$或$x=0$。

解析思路：當(dāng)$\Delta=0$時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，即$x=-\frac{2a}$。

15.（1）前5項(xiàng)為1,4,7,10,13。

解析思路：代入$n=1,2,3,4,5$到通項(xiàng)公式$a_n=3n-2$。

（2）前5項(xiàng)為3,5,7,9,11。

解析思路：代入$n=1,2,3,4,5$到通項(xiàng)公式$b_n=2n+1$。

16.（1）零點(diǎn)為$x=2$。

解析思路：令$y=0$，解方程$x^2-4x+4=0$。

（2）解析式為$y=-(x-1)(x-3)$。

解析思路：根據(jù)零點(diǎn)信息，寫出因式分解的形式，再展開得到解析式。

五、證明題（每題10分，共20分）

17.證明：$a\sinb+b\cosa=0$。

解析思路：使用三角恒等變換，將等式左邊轉(zhuǎn)化為$a(\sinb\cosa+\cosb\sina)$，再利用和差化積公式證明。

18.證明：$\tanx=\frac{\sinx}{\cosx}$。

解析思路：使用三角恒等變換，將等式左邊轉(zhuǎn)化為$