長郡中學2025屆高三月考試卷(四)得分本試卷共8頁。時量120分鐘。滿分150分。1.設集合A={x|-1<x≤4},B={x|x2>4},則AN(CRB)=A.{x|-1≤x<2}p”,則Q是P的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.已知G是△ABC的重心，過點G作一條直線與邊AB,AC分別交于點4.若,則cos4α=AA6.在棱長為4的正方體ABCD-A?B?C?D?中，E,F,G分別是棱BC,BB?,DD?的中點，過FG作平面α,使得A?E//α,則點A到平面α的距離是AA中的最大數(shù)，若a>0,b>0,則中的最大數(shù)，若a>0,b>0,則A.√2Q,連接BQ交AP于點M,,則橢圓C的離心率為AA二、選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項選錯的得0分.)9.已知函數(shù)f(x)=x3-x+1,則D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線數(shù)學試題(長郡版)第2頁(共8頁10.已知復數(shù)z?,z?在復平面內(nèi)對應的點均在以原點為圓心的單位圓上，,則C.z一貶為純虛數(shù)D.z3+z3+2=011.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x+2)是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)=(2-x)f(x),且g(x)在[2,+0]上單調(diào)遞增，則下列命題為真命題的是A.f(-x+2)=-f(x+2)B.g(x)在[-0,2]上單調(diào)遞減題號123456789得分答案(a+b)(sinA-sinB).則A=13.第十五屆中國國際航空航天博覽會在2024年11月12日至17日在廣數(shù)，例如：[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知函數(shù)四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(2)設數(shù)的前n項和為S,若S,+λ<0恒成立，求λ的取值范圍.數(shù)學試題(長郡版)第4頁(共8頁)2,AD//CB,∠CPD=∠ABC=90°,平面PCD⊥平面ABCD.(2)已知點Q在棱PA上，若CQ與平面PDC所成角的正弦值為,求平面PCD與平面CDQ夾角的余弦值.17.(15分)已知橢圓E:+=1(a>b>0)與拋物線y2=4x有相同的△MF?F?的面積的最大值為√3,過點F?做斜率之和為3的兩條直線AB,CD的中點分別為P,Q.個(1)求f(x)的導函數(shù)f'(x)的極值；范圍；(3)對任意k∈R,直線y=kx+b與曲線y=f(x)有且僅有一個公共點，求b的取值范圍.數(shù)學試題(長郡版)第7頁(共8頁)空有限子集A和B,定義和集A+B={a+b|a∈A,b∈B}.記符號|A|表示集合A中的元素個數(shù).當|A|≥2時，設a?,a?,…,a|A|是集合A=1,2,…,|A|-1}.(1)已知集合A={1,3,5},B={1,2,6},求A+B,|A+B|的值.(2)已知集合A={1,3,5},B={1,2,6},C={1,2,6,x},若A+B=A數(shù)學試題(長郡版)第8頁(共8頁)長郡中學2025屆高三月考試卷(四)數(shù)學參考答案題號123456789BABCDDCD一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.)1.B【解析】由題意可得CRB={x|x2≤4}={x|-2≤x≤2},∴A∩CCRB)={x|-1<x≤2}.2.A【解析】因為數(shù)列{a}為等差數(shù)列，當a=1時，顯然任意的s,t,p∈N",均滿足2a,=a,+ap,但不一定滿足2t=s+p,由數(shù)列{a}是等差數(shù)列，設該數(shù)列的公差為d,=2a?+(2t-2)d=2[a?+(t-1因此，Q是P的充分不必要條件.當且僅當當且僅當·所以數(shù)列{a}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以a=2”,所1,所以λ的最小值為設平面α的一個法向量為n=(a,b,c),∵A?E//a,GFCa,∴EA?⊥n,GF⊥n,即n=(2,-2,-3)為平面α的一個法向量，數(shù)學參考答案(長郡版)-1∴點A到平面α的距離由a>0,b>0,分兩種情況討論：至少有一個大于等于2,所以的最小值為2;可得a,至少有一個大于等于2,所以的最小值為2;可得b,至少有一個大于等于2,所以的最小值為2.綜上，可得的最小值為2.則將①②代入③則,二、選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.),令f(x)<0所以，函數(shù)f(x)上有一個零點，綜上所述，函數(shù)f(x)有一個零點，故B錯誤；令h(x)=x3-x,該函數(shù)的定義域為R,h(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-h(x),則h(x)是奇函數(shù)，(0,0)是h(x)的對稱中心，將h(x)的圖象向上移動一個單位得到f(x)的圖象，所以點(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心，故C正確；當切點為(1,1)時，切線方程為y=2x-1,當切點為(-1,1)時，切線方程為y=2x+3,故D錯誤.因由題意可得a2+b2=1①,c2+d=1②,即a+c=1,且b+d=0,與①②聯(lián)立可得數(shù)學參考答案(長郡版)-2對故D正確.11.ABC【解析】對于A,因為f(x+2)是奇函數(shù)，所以f(-x+2)=-f(x+2),對于B,因為g(2+x)=[2-(2+x)]f(2+x)=-xf(2+x)=xf(2-x)=g(2-x),所以g(x)的圖象關于直線x=2對稱，因為g(x)在[2,+∞]上單調(diào)遞增，所以g(x)在(-0,2]上單調(diào)遞減，故B正確；對于C,因為a<4-b<2,所以g(2)<g(4-b)<g(a),因為g(x)的圖象關于直線x=2對稱，所以g(4-b)=g(b),所以g(2)<g(b)<g(a),故C正確；對于D,因為g(a)>g(a+2),且a<a+2,g(x)的圖象關于直線x=2對稱，所,解得a<1,故D錯誤.三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.)由正弦定理，得(c-b)c=(a+b)(a-b),整理可得c2+b2-a2=bc,13【解析】(1)設第1位顧客抽中“殲-35A”為事件A,第2位顧客抽中“殲-20S”為事件B,則4,故所以在第2位顧客抽到“殲-20S”模型的條件下，第1位顧客抽到“殲-35A”模型的概率為14.{-1,0,1}【解析】,由x∈R,則有yx2+(3y-1)x+4y=0,當y=0時，有x=0;當y≠0時，則有△=(3y-1)2-16y2=-7y2-6y+1=-(7y-1)(y+1)≥0,解得-綜上可得則故y=[f(x)]的值域是{-1,0,1}.四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)即(a-a+1+2)2=0,又a?=2,所以{a}是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，則a=2n.………………6分因為n∈N*,所以,所以S,<1,又S,+a<0恒成立，即-λ>S。恒成立，∴-λ≥1,即A≤-11316.【解析】(1)法一：分別取CD,AB的中點O,E,連接OE由AD//CB,∠ABC=90°,則ABCD為直角梯形，且OE為中位線，且OE⊥AB,數(shù)學參考答案(長郡版)-3所以AB⊥平面POE,所以PA=√11+1=2√3,故AD2=PA2+PD2,由∠CPD=90°,則PD⊥PC,而PCNPA=P,所以CD2+AC=AD°,即AC⊥CD,又CDNPO=O,所以AC⊥平面PCD,又PDIPC,PCNAC=C,(2)由(1)可構建如圖所示的空間直角坐標系O-xyz,則CD=(2,-2,0),PD=(1,-1,-√2),QQ=(a+1,3λ-1,√2-√2a),若m=(x,y,z)是平面PCD的一個法向量，由題意整理得4-8λ=0,故,則,……………11分若n=(a,b,c)是平面CDQ的一個法向量，所以平面PCD與平面CDQ夾角的余弦值為又M位于上頂點時，有最大面積，所1,解得b=√3,…………3分所以E的標準方程……………………5分(2)設直線AB的方程為y=k?(x+1),直線CD的方程為y=k?(x+1),點A(x?,y?),點B(x?,y2).得(3+4ki)x2+8k{x+4k2-12=0,數(shù)學參考答案(長郡版)-4所以所以直線PQ的方程為所以直線PQ恒過定點18.【解析】(1)因為函數(shù)f(x)=Inx+e21,所以f(x)的定義域為(0,+～),令f(x)=m(x),則,注意到m'(x)為增函數(shù)，且m'(1)=0,所以當x∈(0,1)時，m'(x所以當x=1時，f(x)有極小值,無極大值.………5分(2)由題意可知Inx+e1≥kx-1對任意x∈(1,+○)恒成立，即對任意x∈[1,+○]恒成立，,則因為h'(x)在區(qū)間(1,+一)上單調(diào)遞增，所以h'(x)≥h'(1)=0,則h(x)在區(qū)間[1,+○]上單調(diào)遞增，所以h(x)≥h(1)=0,則g'(x)≥0,所以g(x)在區(qū)間[1,+○]上單調(diào)遞增，所以g(x)≥g(1)=2,(3)由題意可知Inx+e-1=kx+b有唯一解，設p(x)=Inx+e21-kx-b,x∈(0,+∞),x+e?1=kx+b有唯一解，所設因為k∈R,所以q(x)為單調(diào)函數(shù)，則)恒成立，所以r'(x)在區(qū)間(0,+○)上單調(diào)遞增，恒成立，則單調(diào)遞增，綜上，結合集合中元素的互異性，A+B={2,3,4,5,6,7,9,11},|A+B|=83分(2)由(1)知A+B={2,3,4,5,6,7,9,11},且1+x,3+x,5+x∈A+B,且x≠1,x≠2,x≠6,得x=4,所以C={1,2,4,6},6分數(shù)學參考答案(長郡版)-5(3)(i)先證充分性.因為|G(A,B)|=1,所以G(A)=G(B),且|G(A)|=|G(B)|=1.從而可以設A={a,a+d,a+2d},B={b,b+d,b+2d},其中d>0,此時A+B中的元素為a+b+id(i=0,1,2,3,4),再證必要性.設A={a,a2,as},B={b?,b?,b?},其中a?<a?<a?,b?<b?<b?.注意到和集A+B中的最小元素為a?+b?,最大元素為a?+b?,所以中間三個元素可以是a?+b?<a?+b?<a?+bs,也可以是a2+b?<a?+b?<a?+b?,它們是對應相等的，所以有a?+b?=a?+b?,a?+b?=a?+b?,a?+b?=a?+b?,即a?-a?=a?-az=b?-b?=b?-b?.故|G(A,B)|=1,得證.………………12分(ii)①若|G(A,B)|=1,其中d>0,此時A+B中的元素為a+b+id(i=0,1,…,2m-2),|A+B|