專題26相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型

梅涅勞斯（Menelaus，公元98年左右），是希臘數(shù)學家兼天文學家，梅涅勞斯定理是平面幾何

中的一個重要定理。

塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利數(shù)學家兼水利工程師．他在1678年發(fā)表了一個著名的定理，

后世以他的名字來命名，叫做塞瓦定理。

使用梅涅勞斯和塞瓦定理可以進行直線形中線段長度比例的計算，其逆定理還可以用來進行三點共線、

三線共點等問題的判定方法，是平面幾何學以及射影幾何學中的一項基本定理，具有重要的作用．

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.梅涅勞斯（定理）模型及其逆定理..................................................................................................1

模型2.塞瓦（定理）模型..............................................................................................................................4

...................................................................................................................................................8

模型1.梅涅勞斯（定理）模型及其逆定理

梅涅勞斯（定理）模型：如圖1，如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，

AFBDCE

那么1。其中：這條直線叫△ABC的梅氏線，△ABC叫梅氏三角形。

FBDCEA

注意：梅涅勞斯（定理）特征是三點共線；我們用梅涅勞斯（定理）解決的大部分問題，也可添加輔助線

后用平行線分線段成比例和相似來解決。

1）梅涅勞斯（定理）模型：如圖1，如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、

AFBDCE

E點，那么1。其中：這條直線叫△ABC的梅氏線，△ABC叫梅氏三角形。

FBDCEA

圖1圖2

證明：證明：如圖2，過點A作AGBC，交DF的延長線于點G，易證：AGF∽BDF，AGE∽CDE，

AFAGCECDAFBDCEAGBDCD

∴，；1．

FBBDEAAGFBDCEABDDCAG

2）梅涅勞斯定理的逆定理模型：如圖1，若F、D、E分別是△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線的三

AFBDCE

點，如果1，則F、D、E三點共線．

FBDCEA

AFBDCP

證明：先假設(shè)F、D、E三點不共線，直線DF與AC交于P，由梅涅勞斯定理的定理得1。

FBDCPA

AFBDCECPCECPCECPCE

∵1，∴，∴，∴。

FBDCEAPAEAPACPEACEACAC

∴CP=CE；即P與E重合，∴D、E、F三點共線。

例1．（23-24九年級上·福建泉州·階段練習）如圖，已知，AD是VABC的中線，E是AD的中點，則

AF:FC．

例2.（23-24八年級下·廣東潮州·期中）VABC中，D為BC中點，E為AD中點，直線BE交AC于F，求證：

AC3AF．

例3.如圖，在△ABC中，D為BC的中點，AE:EF:FD4:3:1．求AG:GH:AB．

例4.（24-25重慶九年級?？计谥校┤鐖D，等邊ABC的邊長為2，F(xiàn)為AB中點，延長BC至D，使CD＝

BC，連接FD交AC于E，則四邊形BCEF的面積△為．

例5.如圖，CD、BE、AF分別為△ABC（△ABC不是等邊三角形）的三個外角平分線，分別交AB、AC、

BC于D、E、F．證明：D、E、F三點共線．

例6．（24-25·廣東·九年級校聯(lián)考期中）梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學家，他首先證明了梅涅勞斯定

理，定理的內(nèi)容是：如圖1，如果一條直線與ABC的三邊AB,BC,CA或它們的延長線交于F、D、E三點，

AFBDCE

那么一定有1．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識證明該定理的部分過程：

FBDCEA

AFAGCECD

證明：如圖2，過點A作AGBC，交DF的延長線于點G，則有，，

FBBDEAAG

AFBDCEAGBDCD

∴AGF∽BDF，AGE∽CDE，1．

FBDCEABDDCAG

請用上述定理的證明方法解決以下問題：

BXCZAY

（1）如圖3，ABC三邊CB,AB,AC的延長線分別交直線l于X,Y,Z三點，證明：1．

XCZAYB

請用上述定理的證明方法或結(jié)論解決以下問題：（2）如圖4，等邊ABC的邊長為3，點D為BC的中點，

點F在AB上，且BF2AF,CF與AD交于點E，試求AE的長．（3）如圖5，ABC的面積為4，F(xiàn)為AB中

點，延長BC至D，使CDBC，連接FD交AC于E，求四邊形BCEF的面積．

模型2.塞瓦（定理）模型

塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在ABC內(nèi)任取一點O，延長AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，

AFBDCE

如圖3，則1?！?/p>

FBDCEA

注意：塞瓦（定理）的特征是三線共點，我們用塞瓦（定理）解決的大部分問題，也可添加輔助線后用平

行線分線段成比例和相似來解決。

塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在ABC內(nèi)任取一點O，延長AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，

AFBDCE

如圖3，則1?！?/p>

FBDCEA

CBDOAE

塞瓦（定理）證明：法1：可利用梅涅勞斯定理證明：在ADC中，割線BOE∴1①

BDOAEC

BCDOAF△BDCEAF

在ABD中，割線COF，∴1②，由②÷①：即得：1。

CDOAFBDCEAFB

△BDSABDSBODBDSSSCESAFS

法2：∵；∴ABDBODAOB①；同理：BOC②；AOC③；

DCSACDSCODDCSACDSCODSAOCEASAOBFBSBOC

AFBDCESSS

由①×②×③得：AOCAOBBOC1。

FBDCEASBOCSAOCSAOB

BDCEAF

塞瓦定理的逆定理：如果有三點F、D、E分別在ABC的三．邊．AB、BC、CA上，且滿足1，

DCEAFB

△

那么AD、BE、CF三線交于一點。

塞瓦定理的逆定理證明：設(shè)AD、BE交于點O，聯(lián)結(jié)CO并延長交AB于F'；

AF'BDCEAF'AFABAB

根據(jù)塞瓦定理：1?！?，∴，

F'BDCEAF'BFBF'BFB

∴F'BFB，∴F'與F重合，即證。

注意：利用塞瓦定理的逆定理可判定三線共點，如證明三角形三條中線交于一點；三角形三條角平分線必

交于一點；三角形三條高線交于一點等。

例1.如圖，設(shè)M為ABC內(nèi)的一點，BM與AC交于點E，CM與AB交于點F，若AM通過BC的中點，

求證：EF//BC?！?/p>

例2.如圖，在銳角ABC中，AD是BC邊上的高線，H是線段AD內(nèi)任一點，BH和CH的延長線分別交

AC、AB于E、F，求△證：∠EDH=∠FDH。

例3.如圖，四邊形ABCD的對邊AB和CD，AD、BC分別相交于L、K，對角線AC與BD交于點M，

KFKG

直線KL與BD，AC分別交于F、G，求證：.

LFLG

例4.已知：ABC內(nèi)角平分線AD、BE、CF與對邊分別交于點D、E、F。

求證：三角形三條內(nèi)角平分線交于一點。（用塞瓦定理的逆定理證明）

例5．（2022·山西晉中·統(tǒng)考一模）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：

塞瓦定理：塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》，是意大利數(shù)學家塞瓦的重大發(fā)現(xiàn)．塞瓦是意大利偉大

的水利工程師，數(shù)學家．

定理內(nèi)容：如圖1，塞瓦定理是指在ABC內(nèi)任取一點O，延長AO，BO，CO分別交對邊于D，E，F(xiàn)，則

BDCEAF

1．

DCEABF

數(shù)學意義：使用塞瓦定理可以進行直線形中線段長度比例的計算，其逆定理還可以用來進行三點共線、三

線共點等問題的判定方法，是平面幾何學以及射影幾何學中的一項基本定理，具有重要的作用．

任務(wù)解決：(1)如圖2，當點D，E分別為邊BC，AC的中點時，求證：點F為AB的中點；(2)若ABC為等

邊三角形（圖3），AB12，AE4，點D是BC邊的中點，求BF的長，并直接寫出BOF的面積．

AF1

1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）如圖，AD是VABC的中線，點E在AC上，BE交AD于點F，若，

FD4

AE

則為（）

AC

1111

A．B．C．D．

891011

2．（23-24上·上海閔行·九年級?？计谥校┤鐖D，D、E、F內(nèi)分正ABC的三邊AB、BC、AC均為1:2兩

部分，AD、BE、CF相交成的PQR的面積是ABC的面積的（）

1111

A．B．C．D．

10987

3．（24-25九年級上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）如圖，VABC中，D,E是BC邊上的點，且BD:DE:EC3:2:1，P是

AC邊上的點，且AP:PC2:1，BP分別交AD,AE于M,N，則BM:MN:NP等于（）

A．3:2:1B．5:3:1C．25:12:5D．51:24:10

4．（2024廣東?？家荒＃┤鐖D，AB為O的直徑，C為O上一點，O的切線BD交AC的延長線于點D，

E為BD的中點，CE交AB的延長線于點F．若AC4，OBBF，則BD的長為．

5．（24-25·江蘇·九年級期中）如圖，ABC的面積為10，D、E分別是AC，AB上的點，且ADCD,

AE:BE=2:1．連接BD,CE交于點F,連接AF并延長交BC于點H．則四邊形BEFH的面積為．

6.（24-25·成都·九年級?？计谥校┤鐖D，△ABC中，D、E分別是BC、CA上的點，且BD：DC=m：1，CE：

S

EA=n：1，AD與BE交于F，求ABF的值。

SABC

BPCQAR

7．如圖：P，Q，R分別是ABC的BC，CA，AB邊上的點．若AP，BQ，CR相交于一點M，求證：1．

PCQARB

△

8.如圖，在ABC中，F(xiàn)、E分別在邊AB、AC上，且FE//BC,設(shè)BE與CF交于點G，求證：AG通過

BC的中點△M.

A

FE

G

B

MC

9.已知：銳角ABC三邊上的高線AD、BE、CF與對邊分別交于點D、E、F。求證：三角形三條高

線交于一點。（用塞瓦定理的逆定理證明）

10．（24-25九年級上·甘肅蘭州·期中）請閱讀下列材料，完成任務(wù)．

梅涅勞斯（Menelaus）是公元1世紀時的希臘數(shù)學家兼天文學家，著有幾何學和三角學方面的許多書籍．梅

涅勞斯發(fā)現(xiàn)，若一條直線與三角形的三邊或其延長線相交（交點不能是三角形的頂點），可以得到六條線段，

三條不連續(xù)線段的乘積等于剩下三條線段的乘積．該定理被稱為梅涅勞斯定理，簡稱梅氏定理．

如圖1，直線l交線段AB于點F，交線段AC于點E，交BC延長線于點D，可截得六條線段

FA、FB、EA、EC、DC、DB，則這六條線段滿足FABDCEFBDCAE，下面是該定理的一部分證明

FAPD

過程：證明：如圖2，過點A作AP∥FD，交BC延長線于點P，則有（依據(jù)），…

FBBD

(1)上述過程中的“依據(jù)”指的是；(2)請將該定理的證明過程補充完整．

11．（2023上·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）梅涅勞斯定理

梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖（1），如果一

AFBDCE

條直線與ABC的三邊AB，BC，CA或它們的延長線交于F、D、E三點，那么一定有1．

FBDCEA

下面是利用相似三角形的有關(guān)知識證明該定理的部分過程：

AFAG

證明：如圖（2），過點A作AG//BC，交DF的延長線于點G，則有．

FBBD

任務(wù)：（1）請你將上述材料中的剩余的證明過程補充完整；

（2）如圖（3），在ABC中，ABAC13，BC10，點D為BC的中點，點F在AB上，且BF2AF，

CF與AD交于點E，則AE________．

12．（2024·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．

塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程師，數(shù)學家，塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》

一書，塞瓦定理是指如圖1，在ABC內(nèi)任取一點O，延長AO，BO，CO分別交對邊于D，F(xiàn)，E，則

BDCEAF

1．下面是該定理△的部分證明過程：

DCEAFB

如圖2，過點A作BC的平行線分別交BE，CF的延長線于點M，N．則∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．

AFANANAO

∴△NAF∽△CBF．∴①．同理可得NOA∽△COD．∴②．

BFBCDCDO

△

任務(wù)一：(1)請分別寫出與MOA，MEA相似的三角形；(2)寫出由（1）得到的比例線段；

△△

任務(wù)二：結(jié)合①②和（2），完成該定理的證明；任務(wù)三：如圖3，ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，

CD⊥AB，垂足為D，點E為DC的中點，連接AE并延長，交BC于△點F，連接BE并延長，交AC于點G．小

明同學自學了上面定理之后解決了如圖3所示的問題，并且他用所學知識已經(jīng)求出了BF與FC的比是25：

16，請你直接寫出ECG與EAG面積的比．

△△

13．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·?？家荒＃┤鐖D1，在ABC中，D是AC邊上的一點，過點D的直線分別與AB、BC

的延長線交于點M、N．

AM1CN

問題引入：若點D是AC的中點，，求的值；如圖2，可以過點C作CP//AB，交MN于點P；

BM3BN

如圖3，也可以過點A作AQ//MN，交BN延長線于點Q．

AMBNDC

探索研究：（1）如圖4，若點D為AC上任意一點，求證：1．

BMCNDA

AF1BD2APAE

拓展應(yīng)用：（2）如圖5，P是ABC內(nèi)任意一點，,，則_______，____．

BF2CD3DPEC

14．（2023·江蘇鹽城·二模）【回歸課本】我們曾學習過一個基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的

對應(yīng)線段成比例．

【初步體驗】（1）如圖1，在VABC中，點D在AB上，DE∥BC．若AD1，AE2，DB1.5，則EC，

AE

；（2）已知，如圖1，在VABC中，且DE∥BC．求證：△ADE∽△ABC．

AC

證明：過點E作AB的平行線交BC于點F．………………

請依據(jù)相似三角形的定義（如果兩個三角形各角分別相等，且各邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似）

和上面的基本事實，補充上面的證明過程；

【深入探究】（3）如圖2，如果一條直線與VABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于D、F、E點，那

AEBDCF

是否為定值？若是；若不是，請說明理由；

ECDAFB

（4）如圖3，在VABC中，D為BC的中點，AE:EF:FD4:3:1，則AG:GH:AB．

15．（23-24九年級上·山西運城·期中）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．

梅涅勞斯（Menelaus）是公元1世紀時的希臘數(shù)學家兼天文學家，著有幾何學和三角學方面的許多書籍．梅

涅勞斯發(fā)現(xiàn)，若一條直線與三角形的三邊或其延長線相交（交點不能是三角形的頂點），可以得到六條線段，

三條不連續(xù)線段的乘積等于剩下三條線段的乘積．該定理被稱為梅涅勞斯定理，簡稱梅氏定理．

如圖1，直線l交線段AB于點F，交線段AC于點E，交BC延長線于點D，可截得六條線段FA、FB、EA、

EC、DC、DB，則這六條線段滿足FABDCEFBCDAE．

下面是該定理的一部分證明過程：

證明：如圖2，過點A作AP∥FD，交BC延長線于點P

FAPD

則有（依據(jù)），…

FBBD

(1)上述過程中的依據(jù)指的是________；(2)請將該定理的證明過程補充完整．

AE

(3)在圖1中，若點F是AB的中點，BC2CD，則的值為________；

EC

FA

(4)在圖1中，若FEmED，BCnCD，則的值為________．

FB

16．（24-25九年級上·江西景德鎮(zhèn)·期中）馬超同學在學完相似三角形的性質(zhì)后對截任意三角形邊的線段展開

了如下探究：如圖①，VABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，連接BE、CD、線段BE、CD交于

點