重難點專題32立體幾何壓軸小題(體積、角度、外接球等)九大題

型匯總

fllnii

題型1體積最值......................................................................1

題型2線線角最值取值范圍...........................................................8

題型3線面角最值取范圍............................................................20

題型4面面角最值取值范圍..........................................................31

題型5外接球問題..................................................................40

題型6外接球截面相關..............................................................48

題型7正方體截面相關..............................................................56

題型8代數式最值取值范圍..........................................................68

題型9向量相關最值取值范圍.......................................................79

IOKDH

題型1體積最值

【例題1】(2021?全國?高三專題練習)在棱長為3的正方體力BCD-中，E是

的中點，P是底面4BCD所在平面內一動點，設P%,PE與底面4BCD所成的角分別為國,%

(州,牝均不為0),若出=%,則三棱錐P-BB1Q體積的最小值是

【答案】C

【解析】通過建系如圖，利用COS%=COS62,結合平面向量數量積的運算計算即得結論.

【詳解】解：建系如圖，???正方體的邊長為3,則E(3,0,1),D1(O,0,3),

設P(x,y,0)(x>0,y>0),則而=(3—x,-y,|),西=(—x,-y,3),

???%=%,2=(。，0,1),

|尸”|

???COS01=cos%.即*

I西I.閉

3

3

代入數據，得:2

(3-X)2+y2+2-J%2+y2+9,

整理得：x2+y2—8x+12=0,

變形，得：(x-4)2+y2=4(04y<2),

即動點P的軌跡為圓的一部分，

過點P作PFLBC,交BC于點F,貝UPF為三棱錐P-BBiCi的高

???點P到直線的距離的最大值是2.

則PFmin=3—2=1.

119

「

S4BB1C1=2,BBB1c1=-x3x3=-

1193

,PF,SdBBiG=3X^X2~2

【點睛】本題考查平面與圓柱面的截線，建立空間直角坐標系是解決本題的關鍵，注意解題

方法的積累，屬于中檔題.

【變式1-1】1.（2021?全國校聯考二模）在長方體力BCT-41B1C101中,AB=4,BC=3

,4公=5,M,N分別在線段力①和4c上，|MN|=2,貝U三棱錐D—MNC1的體積最小值為

A.4B.3V2-1C.4V3-2D.6近—4

【答案】A

【分析】此三棱錐中點D到平面MNC1的距離為定值裝，只要C1到MN的距離最小，則

△MNC1的面積最小，則三棱錐D-MNC1的體積最小.

【詳解】如圖，面MNC1就是平面ACC1A1,因此D點到面MNC1的距離為定值稱，由

題意力CC遇1是正方形，由對稱性知當M（或N）與4重合時，射到直線MN的距離最小，最

1112

小值為5,止匕時S4clMN=]X2x5=5,.1VD—MNCI最小=1X5X三=4.

故選A.

【點睛】最值問題求法很多，如用代數知識建立函數，用基本不等式，解不等式等是常用方

法，有時也可利用共線求距離最短，通過運動軌跡求最值等.

【變式1-1】2.（2021?全國?高三專題練習）如圖，已知直四棱柱4BCD-4/1射。1的所

有棱長等于1,N4BC=60。，。和Oi分別是上下底面對角線的交點，”在線段。Bi上，

O”=3HBi,點M在線段BD上移動，則三棱錐M-。1。坦的體積最小值為

【答案】g

【分析】因為C1到平面BB1D1D（即三棱錐底面01MH）的距離為定值，所以當^OIMH

的面積取得最小值時，三棱錐M-g0小的體積最小，將平面BB1D1D單獨畫圖可得，當

點M在點B處時，人01MH的面積有最小值，求出三棱錐Ci-OiMH的體積即可.

【詳解】因為直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形/ABC=60。，邊長為1,

.'.01C1_L平面BB1D1D,且01C1=1,01B1=手，

.'.C1到平面BB1D1D的距離為01C1

???0H=3HB1,點M是線段BD上的動點，

..當人01MH的面積取得最小值時，三棱錐的一%””的體積有最小值.

將平面BB1D1D單獨畫圖可得,

當B點到01H的距離最小時，人01MH的面積有最小值.

過點B做BF//01H,可得直線BF上方的點到01H的距離比直線BF上的點到01H的距

離小，而線段BD上除B點外的所有點都在直線BF下方，到01H的距離比B點到01H

的距離大.

即當M點在B點時，人01MH的面積取得最小值，且三棱錐Ci-01MH的體積有最小值.

連接01B,則01B=0B1=/2+停丫考,

.?.B1到01B的距離d=K券1=等=亨，

~2

-.0H=3HB1,

??.H到直線01B的距離為少=等.

W-°1B-|d=|?日?答拜,

.,.7C1_O1BH=1S2IO1BH-01cl

故答案為圣

【點睛】本題考查了四棱柱的結構特征和三棱錐的體積計算，動態(tài)動點的最值問題需要先確

定點的位置，屬于較難題.

【變式1-1】3.(2023春廣東?高三校聯考階段練習)設M,N,P分別是棱長為2的正方

體ABC力一A1B1C1%的棱CD,Ci%,公當的中點，R為BD上一點,且R不與D重合,且M,

N,P,R在同一個表面積為S的球面上，記三棱錐N-MPR的體積為IZ,貝臉的最小值是

【答案】爭I

【分析】建立空間直角坐標系，先依據題給條件求得前勺表達式，再利用導數即可求得其最

小值

【詳解】設“，N,P,R所在球面球心為O,取MP中點I,連接Ol,OP,OR

則I為AMNP外接圓圓心，。/1平面MNP,

以D為原點，分別以DA,DC,DDi所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系

則P(2,l,2)

設。(LG),/?(n,n,0),(0<n<2)

則由。P=OR可得，+(1—t)2+1=J(1一n)2+(n-t)2+1

整理得t=與言」

?2

s4H。尸6n.[2+(1-琮尸)]

則V一|x|x2x2|n-l|

|n-l|

令ir—1=k,貝！]—i<kv0或0<fc<1

貝聯=羋常也，-i<fc<ongo<fc<i

令叱)=|n.(4x+g+》,(0<xWl)

則晨x)=|TT.(4一卷一命=3(2/+；：產-3)1T,(o<%w1)

當0<x〈l時，晨x)<0,2(x)單調遞減;

則當％=1時，，(%)取得最小值

故答案為：別

【變式1-1】4.(2020?全國?高三競賽)一個圓錐和一個圓柱，下底面在同一平面上，它們

有公共的內切球.記圓錐的體積為匕，圓柱的體積為匕，且匕=々匕.則k的最小值是

【答案】?

【詳解】取它們的公共軸截面，如圖所設，^r=r2,r=r1tg9,h=r1tg2d.

若％=kV2,則有5T廣?71的20=27rri3-ktg36.

化簡得3ktg1-3kgtg26+1=0.

因為的。為實數，故4=9k2—12k>0.

但k>0,故kN*當時，可得tgg=孝，原題有意義.所以，k的最小值熹.

故答案為?

A

B

【變式1-1】5.（2021?福建?統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐E-4BCD中，EC1底面力BCD,

FD//EC,底面4BCD為矩形，G為線段的中點，CG1DG,CD=2,DF=CE,BE與底面力BCD

所成角為45。，則四棱錐E-4BCD與三棱錐F-CDG的公共部分的體積為

【分析】GF與力E的交點為“，CF與OE的交點為N,連接MN,DM,EF,可得以N是位置,

推出S"MN=3AFGC,把四棱錐E-4BCD與三棱錐F-CDG的公共部分的體積轉化為|

，F-CDG求解.

【詳解】解：如圖，GF與4E的交點為M,"與。E的交點為N,連接MN,DM,EF,

在四棱錐E—48CD中，EC1底面2BCD,FD//EC,底面ABC。為矩形，DF-CE,所以四邊

形。FEC為平彳亍四邊形，所以EF//DC,且EF=DC,

所以EF〃AB,S.EF^AB,4B=CD=2,G為線段48的中點，CG1DG,4G=1,所以

DG=V2,所以AD=BC=1,

???BE與底面4BCD所成角為45°,即NEBC=45°,.-.CE=BC=1,

GM:MF=AG:FE=1:2,N是FC的中點,

???SAMFN=孑M?FN?sm^MFN=|X|FGX|fC-sin/MFN=|sAFGC,

貝（J四棱錐E-力BCO與三棱錐F-CDG的公共部分的體積為U°_MNCG==|X|X|

2

X2xlxl=-.

故答案為：!

題型2線線角最值取值范圍

#占

平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸

為共面問題來解決，具體步驟如下：

①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

③計算：求該角的值，常利用解三角形；

④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是（0,4,當所作的角為鈍角時，應取它的補角作

為兩條異面直線所成的角.

【例題2】（2023?全國?高三專題練習）在三棱錐4—BCD中，BC=BD=AC=AD10,

AB=6,CD=16,點P在平面4CD內，且BP=碗，設異面直線BP與CD所成角為a,則

sina的最小值為（）

A3V1URVior2V5

*10?~10~*~5~D,

【答案】A

【分析】取CD中點K,易得三角形4BK為正三角形，取4K中點。，可證B01平面4CD,進

而確定點P的位置，求得最小值.

【詳解】取CD中點K,連接4K,BK,

BC=BD=AC=AD=10,CD=16,

,■，AK=BK=6,

■■■AB=6,

.?"4BK為正三角形，

取4K中點0,連接B。，

則B014K,且B0=3后

易知CD1平面4BK,

CD1.BO,BO1平面4CD,

???BP=V30,.?.P在圖中圓。上，

當P與G,”重合時，sina=1最大，

當P與M,N重合時，sina=^=喑最小.

V301U

【點睛】本題考查異面直線所成角的求法，線面垂直等知識，考查空間想象能力和運算求解

能力，是中檔題.

【變式2-1】1.（2022?全國?高三專題練習）如圖，矩形力BCD中，AB=4,BC=2,E為邊

的中點，沿DE將4ADE折起，點4折至2處（公《平面力BCD）,若M為線段&C的中點，貝

在44DE折起過程中，下列說法錯誤的是（）

A.始終有MB〃平面力WE

B.不存在某個位置，使得&C，平面&DE

C.三棱錐4-4DE體積的最大值是竽

D.一定存在某個位置，使得異面直線與&E所成角為30°

【答案】D

【分析】利用翻折前后的不變量、結合反證法，可證A,B,C正確，從而利用排除法得到

正確選項。

【詳解】連結4c交DE于N,取CD的中點0,連結。M,OB,4洋

對A,易證，平面。MB〃平面&DE,BMu平面。MB,所以始終有MB〃/平面&DE,故A

正確；

對B,因為48=4,8。=2,假設4道1平面41DE,貝!]4道1ArD,4停14止，則。。2一

222

A1D=CE-A1E^CD=CE,因為CD=4,CE=2四，所以CD=OE不成立，所以假設錯

誤，故不存在某個位置，使得&C1平面&DE,故B正確；

對C,當平面&DE1平面力BCD時，三棱錐4DE的體積最大，V=1-SaADE-h=1-

.2.2）?魚=苧，故C正確;

故選：D

【點睛】本題考查空間平面圖形的翻折問題，考查線面、面面位置關系、體積求解，考查空

間想象能力和運算求解能力，屬于較難問題。

【變式2-1】2.（2021?全國?高三專題練習）如圖，已知等邊三角形ABC中，AB=AC,0

為BC的中點，動點P在線段OB上（不含端點），記乙4PC=8,現將44PC沿4P折起至

記異面直線與力P所成的角為即則下列一定成立的是

7171

A.0>aB.9<aC.3+a>-D.3+a<-

【答案】A

【詳解】設正三角形的邊長為2a,

如圖，在等邊三角形4BC中，過C作4P的垂線，垂足為E,

過B作BF1CE,垂足為F,

因為41PC=。，貝帕6仁歐，且PD=魯,故CP=*+a,

所以CE=CPXsin。=+a）Xsin。=（V3cos0+sin0）a,

CF=2asin0,故EF=（sin。-V^cos。）?又BF=2acos。.

將4ape沿4P折起至ZMPC',貝!|C'F<C'E+EF=CF=2asm6.

因C'E_L4P,EFLAP,EFClC'E=E,故API平面C'EF,

因BFII4P,故BF1平面CEF,OFu平面。EF,

所以BF1”,又NOBF為異面直線B。、4P所成的角，

而tana=tanNCW=^<|^^=tan。，因仇ae（0,g）,故?！礱,

故選A.

【點睛】折疊過程中空間中角的大小比較，關鍵是如何把空間角轉化為平面角，同時弄清楚

在折疊過程各變量之間的關系（可利用解三角形的方法來溝通），此類問題為難題，有一定

的綜合度.

【變式2-1】3.（2020?全國?高三專題練習）將正方形4BCD沿對角線AC折起，并使得平面

4BC垂直于平面4CD,直線力B與CD所成的角為

A.90°B,60°C,45°D,30°

【答案】B

【分析】將異面直線平移到同一個三角形中，可求得異面直線所成的角.

【詳解】如圖，取AC,BD,AD的中點，分別為。，M,N,

則ON||卡D,MN||^AB,所以NON"或其補角即為所求的角.

因為平面48C垂直于平面/皿BO1AC,所以8。1平面4CD,所以8。1。。.

設正方形邊長為2,OB=0D=42,所以8。=2,貝[]0M==1.

所以。N=MN=OM=1.所以△OMN是等邊三角形，LONM=60°.

所以直線4B與CD所成的角為60。.故應選B.

【點睛】本題考查異面直線所成的角.

【變式2-1】4.（2021?浙江?校聯考二模）如圖，正方體必的棱長為1,線

段當小上有兩個動點民艮且EF=0.6,則當民F移動時，下列結論中錯誤的是（）

A.4E〃平面gBD

B.四面體4CEF的體積為定值

C.三棱錐Q8EF的體積為定值

D.異面直線4艮BE所成的角為定值

【答案】D

【分析】對于A,利用面面平行的判定定理先證得面&3必〃面QBD,從而得到4E〃平面

JBD;

對于BC,通過計算四面體4CE屈勺體積、三棱錐A-BEF的體積，即可判斷；

對于D,作出兩個特殊情況的圖形，由圖形易知異面直線4尸、BE所成的角不為定值.

【詳解】對于A,如圖1,因為在正方體中，ByCj/AD,B^=AD,

所以四邊形是平行四邊形，故C[D//48i,

又因為C〔Du面gBD,AB^^C^BD,所以〃面gB。，

同理：為。//面。遇。，又人當0呂小產為/為、/。正面^^劣，

所以面4當。1〃面6B。，

因為AEu面因此4￡7/平面的8，所以A中結論正確；

對于B,如圖1,連結8DQ4C=。，則

因為在正方體中，BByY^ABCD,故叫_1_",

在底面正方形4BC0中，BDA.AC,又BBiCBD=B,BBi、BDu面叫外。，

所以AC_L面即CO_L面夕當小。，

所以匕4-CEF=Vc-4E尸=§S"E尸?。。=§、5、44.當01'"X。。為定值，所以B中結論正確；

對于C,利用B中的結論得乙.BEF^SABEF/OUX^BBIXEFXAO為定值，所以C中結論

正確；

對于D,如圖2,當尸與小重合時，過。1作/G〃BE,貝此4。也為異面直線力尸、BE所成角，

如圖3,當F與當重合時，過小作/G//BE,易證ON〃&P〃a『，貝"Q/GI為異面直線

AF.BE所成角，

由圖形易知乙M>iGANQDiGi,故異面直線AF、BE所成的角不是定值，因此D中結論錯誤.

故選：D.

【點睛】立體幾何中定值或定位置問題，其基本思想方法是以算代證，或以證代證，即從條

件出發(fā)，計算所求體積或證線面平行與垂直關系，得到結果為定值或位置關系為平行或垂直.

【變式2-1】5.（2020?全國?高三專題練習）將正方形4BCD沿對角線4C折起，當以4B,C,D

四點為頂點的三棱錐體積最大時，異面直線4。與8c所成的角為

A.fB.￡7

【答案】C

【詳解】分析：將正方形力BCD沿對角線4c折起，可得當三棱錐B-力CD體積最大時，BO1

平面4DC.設B'是B折疊前的位置，連接B'B,可得NBCB'就算直線4D與BC所成角，算出4BB'C

的各邊長，得4BB1是等邊三角形，從而求得直線力。與所成角的大小.

詳解：設。是正方形對角線力&BD的交點，將正方形4BCD沿對角線71C折起，

可得當B。！平面4DC時，點B到平面4DC的距離等于B。，而當80與平面力。C不垂直時，點B

到平面4DC的距離為d,且d<B。，由此可得當三棱錐B—ACD體積最大時，B。！平面

4DC設B'是B折疊前的位置，連接B'B,因為力DIIB'C,所以NBCB'就算直線4。與8c所成角,

設正方形的邊長為a,因為B。！平面4DC,OB'u平面4DC,所以BO1OB]

因為BO'=BO=|T4C=9a,所以BB'=BC=B'C=a,

得dBB'C是等邊三角形，ABCB'=l

所以直線4。與BC所成角為以故選C.

點睛：該題所考查的是有關平面圖形的翻折問題，解決該題的關鍵是要明確翻到什么程度是

題中的要求，因為底面是定的，所以高最大時就是三棱錐體積最大時，即翻折成直二面角時

滿足條件，之后將異面直線所成角轉化為平面角，即三角形的內角來解，求出三角形的各邊

長，從而求得角的大小.

【變式2-1】6.（2021?全國統(tǒng)考一模）如圖所示的四棱錐P-4BCD中，底面4BCD與側面PAD

垂直，且四邊形4BCD為正方形，AD=PD=P4,點E為邊的中點，點F在邊BP上，目

BF=；BP,過C,E,F三點的截面與平面P4D的交線為2,則異面直線PB與廝成的角為（）

【答案】D

【分析】由條件證明力BlDM,DMLPA,由此證明DM1平面PAB,再證明”/DM,由此證

明l〃PB,再確定異面直線PB與1所成的角.

【詳解】因為E為邊力B的中點，連接CE與DA的延長線交于點H,則A為DH的中點，所

以有AD=AH.連接FE與PA的延長線交于點G,則直線GH即為過C,E,F三點的截面與

平面PAD的交線

取PB的中點0,連接OE,AO.因為BF=；BP,所以BF=^BO.

所以F為B。的中點，所以FE〃OA,即FG//OA.

又易知OE〃PA.即OEIIAG.

所以四邊形OEGA為平行四邊形，從而0E=4G=#4

過點D作DMIlGH交PA于點M.則△DMA^△HGA,

從而得到力M=4G=24.即M為PA的中點.又DA=DP.因此CW1PA.

又平面4BCD1平面H4。,平面力BCD0平面24。=AD,

AB1AD,4Bu平面4BCD,

所以AB_L平面PAD.從而AB_L￡W,PACtAB-A,PA,4Bu平面P4B

因此1平面P4B.又DM〃GH.即DM〃二

所以l_L平面PAB,又PBu平面PAB,故l_LPB,

所以異面直線PB與I所成的角為與

故選：D.

H

【變式2-1】7.(2023?全國?高三專題練習)a,b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角

三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉軸旋轉，有

下列結論：

①當直線AB與a成60。角時，AB與b成30。角；

②當直線AB與a成60。角時，AB與b成60。角；

③直線AB與a所成角的最小值為45°;

④直線AB與a所成角的最大值為60°.

其中正確的是.(填寫所有正確結論的編號)

【答案】②③

【分析】由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，構建如圖所示的邊長為1的正方體,

|AC|=1,|AB|=?,斜邊AB以直線AC為旋轉軸，則A點保持不變，B點的運動軌跡是

以C為圓心，1為半徑的圓，以C坐標原點，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建

立空間直角坐標系，利用向量法能求出結果.

【詳解】解：由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，

不妨設圖中所示正方體邊長為1,

故|AC|=1,|AB|=短,

斜邊AB以直線AC為旋轉軸，則A點保持不變，

B點的運動軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，

以C坐標原點，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標系，

則D(1,0,0),A(0,0,1),直線a的方向單位向量展=(0,1,0),。|=1,

直線b的方向單位向量力=(1,0,0),|6|=1,

設B點在運動過程中的坐標中的坐標B，(cosB,sin0,0),

其中e為B（與CD的夾角，ee[O,2TT）,

???AB在運動過程中的向量,AB'=（COS0,sine,-1）,\AB'\=^.

—T71

設AB，與a所成夾角為a￡[0,-],

則3。=^一嬴音一^郛皿閆。，爭，

芻，，③正確，④錯誤.

TT-TT

設49與b所成夾角為0￡[0,-]z

\(cosOsind,-1)(1,0,0)|

I/工It=弁砌

cosp=而向

t—n

當49與a夾角為60。時，即a=與,

|sin0|=y[2cosa—V2cos^=號,

/cos20+sin20=1,/.cosp=^IcosOI=|z

TTTTTT

?.pe[0,a.邛=石，此時AB與b的夾角為60。,

.?.②正確，①錯誤.

故答案為②③.

【名師點睛】（1）平移直線法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直

線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下：

①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

③計算：求該角的值，常利用解三角形;

④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是(0,同，可知當求出的角為鈍角時，應取它的補

角作為兩條異面直線所成的角.

(2)求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍.

題型3線面角最值取范圍

【例題3】(2020?全國?高三專題練習)在正方體4BCD-中，分別為棱4公、

BBi的中點，”為棱公邑(含端點)上的任一點，則直線ME與平面OiEF所成角的正弦值的

最小值為

【答案】|

【分析】建立直角坐標系，設正方體邊長為2,求出平面DEF的法向量為沅，直線ME與平

2

面。止F所成角為a,sina=|cos<沆，兩)|=而瓦方，因為ae[0,2],所以當a=2時，取到

最小值，代入即可.

【詳解】解：如圖，建立直角坐標系，設正方體邊長為2,AM=a,

則E(2,0,1),M(2,a,2),￡>(0,0,2),F(2,2,1),

設平面DEF的法向量為沅=(x,y,z),

麗=(0,2,0),西=(-2,0,1),

1

由濟，石尸二。，m-DrE-0,-2x+z-0令z=2,x-1,故濟=(1,0,2),

由兩=(0,a,l),

設直線ME與平面DiEF所成角為a,

,__12

sina=|cos〈沅,EM)|=際”

因為ae[0,2],所以當a=2時，

27

sina的最小值為百商=

故答案為:

【點睛】考查立體幾何中的最值問題，本題利用向量法求線面所成的角，基礎題.

【變式3-1]1.（2021?浙江紹興?校聯考二模）點P為棱長是2的正方體ABCD-A1B1C1D1

的內切球。球面上的動點，點M為BiCi的中點，若滿足DPI則BiP與面CDP所成角的

正切值的最小值是

【答案】C

【詳解】分析：由題意首先確定點的軌跡，然后結合題意由幾何關系求解最小值即可.

詳解：如圖所示，分別為棱的中點，易知平面CDEF,

則點P在平面CDEF內，又點P在內切球。球面上，

則點P為球與平面的交線所成的圓。1,

作平面CDEF于點“，點P為圓。1上的點，貝為BiP與面CDP所成角，

tan￡HPBi=魯,其中“仍為定值，

則滿足題意時，"P有最大值即可，

設圓。1的半徑為r,則HPmax=HO1+r,

B1-CDF=VD-B.FC,即："遙）*BIH=NGX2*1）X2,則=

RSPOO1中，由勾股定理可得r=0止=JOP2—。。彳==

RtABiHD中,由勾股定理可得"。=[B[D2—HB孑=]12—白等

001為△&HD的中位線，貝!]。。1=我H=^=,HO1=*0=嚓

貝陽「max=HO]+T=黑+京,

綜上可得，B1P與面CDP所成角的正切值的最小值是:

2

HB]______/_V14-2

HPmax~率+WL

V5V5

本題選擇C選項.

點睛：本題主要考查空間幾何體的軌跡，等價轉化的數學思想等知識，意在考查學生的轉化

能力和計算求解能力.

【變式3-1]2.（2021?全國?高三專題練習）如圖所示，直平行六面體4BCD-人中心外的

所有棱長都為2,ADAB=6Q°,過體對角線BDI的截面S與棱和CCI分別交于點E、F,

給出下列命題中：

①四邊形BED*的面積最小值為2e；

②直線EF與平面BCCiBi所成角的最大值為2

③四棱錐/-BED*的體積為定值；

④點%到截面S的距離的最小值為安.

其中，所有真命題的序號為（）

A.①②③B.①③④C.①③D.②④

【答案】B

【解析】①分析可得當E,F為為棱44i，CCi的中點時,四邊形BED/的面積最小，求解即可；

②過點E的平面BCQBi的垂線交平面于點M,轉化直線EF與平面BCCiBi所成角最大為直線

EF與直線EM的夾角最小,進而求解即可；

③轉化四棱錐的體積為以平面BBiE和平面BBiF為底的三棱錐的體積的和，進而求證即可；

④分析可得當點E與點力重合，點F與點的重合時四邊形BED*的面積最大,此時點當到截面S

的距離的最小，進而求解即可

【詳解】由題，因為過體對角線，則由對稱性易得四邊形BED正是平行四邊形，

連接4C,BD,且交于點0,過點E作BD的垂線，垂足為N,

則若四邊形BEDF面積最小，即EN最小，

即為棱到平面DBBi%的距離，即為力。長，

因為ND4B=60°,貝（U4BC=120°,

所以4c=7AB2+BC2—2aB?BC?cos/ABC=J22+22+2X2X2x1=2V3,

則4。=|4C=V3,

22

又BDi=+%D2=V2+2=2V2,

所以S=1x2V2XV3x2=2倔此時E,F為棱a&,CCi的中點，故①正確；

過點E的平面BCC/i的垂線交平面于點”,則EM即為點E到平面BCC/i的距離，根據底面菱

形4BCD的性質，可得EM=V3,

若直線EF與平面BCCiBi所成角最大,則直線EF與直線EM的夾角最小，即NFEM最小，此時cos

NFEM=等最大，即EF最小，

即EF=4C時，故COSNFEM=警=理=）貝此FEM=

匕卜2V3，。

則直線EF與平面BCC1B1所成角最大為方-^=看故②錯誤；

設點到平面488遇1,平面BCC1B1的距離分別為即從點分別向4I8I，BICI作垂線即

可,由麥形&B1C1D1可得/=電=V3,

X

Bt-BEDrF=DX-BBXE+DX-BBXF=|S.BiE?h1+gXS^BB1F-h2=|x|xBB^-AB-

hi+1x^-BB1-BC-h2=7x2x2-hi+7x2x2-h2=|x2g=%

326633

為定值，故③正確；

因為四棱推&-BE。/的體積為定值竽，

所以若點當到截面S的距離的最小，則截面S的面積最大，即四邊形BED*面積最大，即EN最

大,則當點E與點力重合，點F與點Q重合時符合條件,此時在△BD^,BE=2,BDi=EDi=2

五,則COSNED/="藍霏渭2=|廁sin/EDiB=當

所以EN=ED「sin/EDiB=2魚xg=平，此時S=〈x2魚x半x2=2近，

4Z乙L

設點防到截面S的距離為d,則0=€?d=?x277d=竽，所以d=罕，故④正確

綜上,①③④正確，

故選：B

【點睛】本題考查線面角的計算，考查四棱錐的體積的計算，考查空間想象能力與運算能力，考

查轉化思想

【變式3-1】3.（2022?全國?高三專題練習）在矩形4BCD中，AB=4,AD=3,E為邊AD

上的一點，DE=1,現將2MBE沿直線BE折成/ABE,使得點4在平面8CDE上的射影在四

邊形BCDE內（不含邊界），設二面角A—BE—C的大小為8,直線AB,AC與平面BCDE所

成的角分別為田。，則

B

A

Dc

A.<a<3B,p<3<a

C.a<0<D.a<p<3

【答案】D

【分析】由折疊前后圖象的對比得點4在面BCDE內的射影。在線段OF上，利用二面角、線

面有的定義，求出tana,tan￡,tan。的表達式，再進行大小比較.

【詳解】如圖所示，在矩形4BCD中，過4作4FLBE交于點0,將ZMBE沿直線BE折成

44BE,貝點4在面BCDE內的身寸景鄉(xiāng)。，在線段。尸上，

設4到平面BCDE上的距離為八，貝次=40，，

由二面角、線面角的定義得：tan8=焉，tana=備，tan￡=/,

顯然。。<OB,。。<0C,所以tan。最大，所以。最大，

當。與。重合時，(tana)max=W(tan/?)min=

因為言<焉所以(tana)max<(tanjg)min,則tana<tan),所以a<Q,

所以a<0<。，故選D.

【點睛】本題以折疊問題為背景，考查二面角、線面角大小比較，本質考查角的定義和正切

函數的定義，考查空間想象能力和運算求解能力.

【變式3-1】4.(2021?全國?高三專題練習)已知正三棱錐P-4BC(底面是正三角形，頂

點在底面的射影是正三角形的中心），直線BC〃平面a,E,F,G分別是棱P4/B,PB上一點（除

端點）,將正三棱錐P-ABC繞直線BC旋轉一周，則能與平面a所成的角取遍區(qū)間，,一切

值的直線可能是

P

A.EFB.FGC.EGD.EF,FG,EG中的任意一條

【答案】B

【分析】能取遍區(qū)間［。，為一切值，可以先考慮訴句等特殊值，對選項中涉及的三條直線

進行驗證排除可得正確答案.

【詳解】假設EF滿足題意，當EF與平面a所成的角為鄂寸，

EFLa,由BC||a可得BC1EF.

在正三棱錐中，可得BC14P,當BCLEF時可得BC1平面P4B,

顯然這是不可能成立的，所以EF不滿足題意.

同理，EG與BC不可能垂直，貝UEG與平面a所成的角不可能為當

綜上所述，可以排除A,C,D,故選B.

【點睛】本題考查立體圖形中的位置關系，選擇題可適當利用特殊值、排除法等解題技巧.

【變式3-1】5.（2019?河南鄭州?校聯考一模）已知圓錐的母線長為2r,底面圓半徑長為r,

圓心為。，點M是母線PA的中點，AB是底面圓的直徑.若點C是底面圓周上一點，且0C

與母線PB所成的角等于60。，則MC與底面所成的角的正弦值為（）

B.爭婷

C.空

D.誡李

【答案】D

【分析】結合題意,構造出MC與底面所成角，然后結合三角值計算公式，即可.

【詳解】結合題意，過M點作MQ14B,繪制圖形，

結合題意可知/MOC=60。或120。〃。=r,OC=r,結合余弦定理可知

COSNMOC=的界；/。：代入解得“C=r^V3r

而MQ為三角形APO的中位線，所以MQ=爭，因為PO垂直底面，而MQ平行P?？芍狹Q

垂直底面，故NMCQ即為MC與底面所成角，所以sin/M”=黑號或孚，故選D.

【點睛】考查了線面角的找法和計算公式，關鍵找出線面角，難度中等.

【變式3-1】6.（2021秋?黑龍江佳木斯?高三佳木斯一中?？茧A段練習）下圖中的幾何體是

由兩個有共同底面的圓錐組成.已知兩個圓錐的頂點分別為P、Q,高分別為2、1,底面

半徑為1.A為底面圓周上的定點，B為底面圓周上的動點（不與A重合）.下列四個結論:

①三棱錐P-ABQ體積的最大值為

②直線PB與平面PAQ所成角的最大值為六

③當直線BQ與AP所成角最小時，其正弦值為筆；

④直線BQ與AP所成角的最大值為方；

其中正確的結論有.（寫出所有正確結論的編號）

【答案】①③

【分析】由①可知Vp-4BQ=乙-PBQ只需求點A到面PBQ的最大值

對于②，求直線PB與平面PAQ所成角的最大值，可轉化為PB到軸截面距離的最大值問題

進行求解

對于③④，可采用建系法進行分析

【詳解】選項①

1Q1

如圖所不，當。時，四棱錐體積最大，VA-PBQ-^△PBQ?oa=*xi=￡

選項②中，線PB與平面PAQ所成角最大值的正弦值為tanNBPO=霽=g,所以NBPO以

以垂直于。C方向為X軸，。。方向為y軸，0P方向為z軸，其中4(0,-1,0)設8(cos。,sin。,0)

尸(0,0,2),Q(0,0,-1).沃(0,1,2),的=(一cos。,-cos。,-1)

設直線BQ與AP所成角為a,cosa=瑞矗=喂等當cos。=1時，cosa取到最大值,

cosa=￥|匕此時sina=哥,

由于cos。e[—1,1],二I—cos。一2|e[1,3],cosakO,所以a取不至哈

答案選①、③

【點睛】幾何體的旋轉問題需要結合動態(tài)圖形和立體幾何基本知識進行求解，需找臨界點是

正確解題的關鍵，遇到難以把握的最值問題，可采用建系法進行求解.

【變式3-1】7.(2021?全國?高三專題練習)已知圓錐的頂點為S,。為底面中心，A,B,C

為底面圓周上不重合的三點，AB為底面的直徑，S4=4B,M為S4的中點.設直線MC與平面

S4B所成角為a,貝！Jsina的最大值為

【答案】V3-1

【分析】由題意建立空間直角坐標系，結合空間向量的結論和均值不等式確定sina的最大值

即可.

【詳解】以AB的中點O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設

SA=AB=4,則：

M(0,—l,V3),C(x,y,0),如圖所示，由對稱性不妨設％>0,y<。且/+y2=4,

則疵=(x,y+1,-V3),易知平面SAB的一個法向量為沅=(1,0,0),

據此有.sma=?砒岡利="+&+1)2+3

=Rx[_(y+4)―前+81V4-2V3=V3-1,

當且僅當y=2板-4時等號成立，

綜上可得：s出a的最大值為VI-1.

【點睛】本題主要考查空間向量及其應用，學生的空間想象能力等知識，意在考查學生的轉

化能力和計算求解能力.

題型4面面角最值取值范圍

【例題4】（2023?全國?高三專題練習）如圖，正方體力BCD-&B1C1D1的棱長為2,分

別是棱4公,CCi的中點，過點E,F的平面分別與直線交于點G,從M,P為側面BCCi

Si（含邊界）上的一個動點.給出以下命題:

①四邊形EGFH一定為菱形；

②四棱錐Ci-EGFH的體積為定值；

③平面EGFH與平面4BCD所成的角不大開;

④|PDi|+|PM舊勺最小值為VTL

其中正確命題的序號是

【答案】①②④

【分析】根據面面平行的性質可證得四邊形EGFH為平行四邊形，利用線面垂直的判定可證

得"1平面BDD1a,由EF〃4C和線面垂直性質可得EF1GH,由此可知①正確；利用體積

橋.VCi-EGFH=Cr-FGH+Cr-EGH=2UH_C[FG可知②正確；以。為坐標原點建立空間直角

坐標系，設BG=a,根據面面角的向量求法可確定有大于^的情況，知③錯誤；作出。1關于

平面BCC/i的對稱點。2,由此可知所求最小值為國2隙，知④正確.

【詳解】對于①，連接4C,EF,G”,BD,BiDi,

/_____、、、/

---------

???平面4BBM1〃平面。呢必，平面EGFHC平面483遇1=EG,平面EGFHC平面?！北?/p>

=FH,.-.EG//FH,同理可得：FG//HE,

???四邊形EGFH為平行四邊形；

??,E,F分另！I為皿或1中點，EF//AC;

???四邊形4BCD為正方形，；.AC1BD,

又BBi_L平面ABCD,4Cu平面48CD,.■.ACl.BB1,

BDnBB1=B,BD,BBiu平面BDO/i,AC1平面BDDiBi,

EFl平面BDDiBi,又GHu平面BDDiBi,-.EF1GH,

???四邊形EGFH為菱形，①正確；

對于②，由①知：四邊形EGFH為菱形，?*,S口EGFH=2s△FGH,

???^Cx-EGFH—Cx-FGH+C1-EGH=Cr-FGH=H-CrFG',

S/XQRG=[CCi?BC=R口BCQRI=1,點”到平面C1.FG的距離為。。=2,

yH-CrFG=gS-FG.℃=|，則匕?i-EG尸”=翔定值，②正確；

對于③，以。為坐標原點，瓦I瓦，加正方向為%,y,z軸，可建立如圖所示空間直角坐標系,

設BG=a,貝[]E(2,0,l),G(2,2"),尸(0,2,1),

???EG=(0,2,a—1),FG=(2,0,a—1),

設平面EGF”的法向量日=(x,yfz),

(EG-n=2y+(a—l)z=0

令z=2,解得：％=1—a,y=l—a,n=

{FG-n=2%+(a—l)z=0

(1_a,l—a,2)；

Vz軸1平面,???平面4BCD的一個法向量訪=(0,0,1)；

lC0S<m,n>\=磊=j2(：)z+4=j2(a：)z+4,

G為平面EGFH與直線8%的交點，,aeR;

則當a>V^+l時,|cos<m,n>\<~=cos^,

???平面EGF”與平面4BCD可以大開，③錯誤；

對于④，作出/關于平面BCC/1的對稱點。2,則。2(0,4,2),

???平面488141〃平面。。。必，平面EBFOiCl平面438遇1=EB,平面EBF%C平面。*必

=FD1,：.EB//FD1,同理可得：BF//ED-

■.四邊形EBFDi為平行四邊形，M￡平面EBFDi,又Me平面EGFH,

又平面EBFDin平面EGF"=EF,-.MEEF,又MeB小,

.?.EFCiBDi=M,為BDi中點，即"(1,1,1),

???|PDi|=|PL)2l，???|PDil+|PM|=|P￡?2l+|PM|2|。2用|(當且僅當MP"三點共線，即P

為如圖所示P點時取等號),

?',(|PDll+|PM|)min=J(1—0)2+(1-4/+(1—2產=V1T,④正確.

故答案為：①②④.

【變式4-1J1.(2020?浙江?高三統(tǒng)考期末)已知直三棱柱ABC