模塊05立體幾何與空間向量

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.（2024?安徽合肥?三模）設(shè)。,分,7是三個不同平面，且￡|"|7=/，￡八7=租，則夕〃乃是/〃機(jī)的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用面面平行的性質(zhì)定理，及它們之間的推出關(guān)系，即可以作出判斷.

【詳解】由于a〃力，an/=/，￡n7=根，由平面平行的性質(zhì)定理可得：l//m,

所以a〃〃是/〃機(jī)的充分條件；

但當(dāng)/〃加，=根，并不能推出a〃刀，也有可能d夕相交，

所以a〃力是/〃機(jī)的不必要條件；

故選:A.

2.（24-25高三上?重慶?期末）如圖，在正四棱錐尸-ABCD中，E為棱R4的中點(diǎn)，^DA=a,DC=b,DP=c,

則用2,5忑表示爐為（）

P

B.--a+-b+c

2222

C.--a-b+—cD.--a-b+c

222

【答案】C

【分析】由圖及空間向量加減法可得答案.

【詳解】由圖可得：BE=BA+AE=-DC+^AP=-DC+^^DP-DAj

故選：c

3.（24-25高三上?天津北辰?期末）已知d尸是空間中的兩個不同的平面，I,"八〃是三條不同的直線.下列

命題正確的是（）

A.若u%/_1_/_!_/，貝！|/_LaB.若mua,nuLn,則c_L/?

C.若I//m,mua,貝（!///aD.I//m,m//n,l±a,則〃_L（z

【答案】D

【分析】對于A：根據(jù)線面垂直的判定定理分析判斷；對于B：根據(jù)面面垂直的判定定理分析判斷；對于C：

根據(jù)線面平面的判定定理分析判斷；對于D：根據(jù)平行關(guān)系可知"/〃，再結(jié)合線面垂直的性質(zhì)分析判斷.

【詳解】對于選項A：根據(jù)線面垂直的判定定理可知：需保證相，"相交，故A錯誤；

對于選項B：根據(jù)面面垂直的判定定理可知：需推出線面垂直，現(xiàn)有條件不能得出，故B錯誤；

對于選項C：根據(jù)線面平面的判定定理可知：需保證/aa,故C錯誤；

對于選項D：若I/lm,mlIn,則"/"，

且/_La,所以〃_La,故D正確；

故選：D.

4.（24-25高三上?湖北武漢?期中）如圖，四邊形ABC。的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形AZC'D.已知

A?=4,CD'=2,則下列說法正確的是（）

C.四邊形ABC。的周長為4+20+26

D.四邊形A3CD的面積為6夜

【答案】D

【分析】利用斜二測畫法將圖形還原計算幾何圖形的面積與周長以及相關(guān).

【詳解】如圖可知AB=4,A'D'=y/2,AD=2j2,

四邊形ABCD的周長為6+20+2A/3,四邊形ABCD的面積為gx（4+2）x2夜=6后.

故選:D.

5.（24-25高三上?天津紅橋?期末）球面上有三點(diǎn)A,3,C,若AB=6,BC=8,AC=10,且球心到VABC所在

平面的距離，等于球的半徑的一半，則該球的球面面積為（）

400兀

A.-------B.300兀C.1200兀D.160071

3

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，求出VABC的外接圓半徑，再利用球面的截面小圓性質(zhì)求出球的半徑，可求表面

積.

【詳解】令VABC外接圓的半徑為小球的半徑為R,

由"=6,3C=8,AC=10,AB2+BC2=36+64=100=AC?,

所以VABC為直角三角形，則2廠=10,即r=5,

因為球心到VABC所在平面的距離，等于球的半徑的一半，

所以尺2-52=&氏］,解得氏=,，所以球的表面積為4口2=警.

故選：A.

LILUULlUttlLlLllUUULU

6.（24-25高三上?四川成都?期中）已知正方體的棱長為2,DE=xDA+yDC+zDDt

且x+y+z=l,則詼的最小值是（）

A.迪B.也

c.-D.-

3333

【答案】B

UU1UUUUUUULUUUL

【分析】由DE=xZM+yOC+z￡>〃且x+y+z=l,得到2,E,A,C四點(diǎn)共面，即點(diǎn)E在平面〃AC上,

從而|屁|的最小值為點(diǎn)。到平面AAC的距離求解.

【詳解】由題意得，DE=xDA+yDC+（l-x-y）DD^,

DE—DDX=無（D4-￡）￡）J+y（DC—DDtj,即2E=xDxA+y℃,

由共面向量定理得，2,E,A,C四點(diǎn)共面，即點(diǎn)E在平面AAC上,

則\DE\的最小值為點(diǎn)D到平面D.AC的距離.

以。為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則。(0,0,0),a(2,0,0),c(0,2,0),A(0,0,2),

AC=(—2,2,0),ADt=(—2,0,2),DA=(2,0,0)>

設(shè)平面QAC的法向量為元=（x.y,z）,

—2,x+2y=0/、

則3+2；=。,取XU』),

以臼_2_2j

。到平面AAC的距離d=

同一丁w

即口目的最小值為,

故選：B

7.（24-25高三上?黑龍江?期末）已知三棱錐尸-QMN的四個頂點(diǎn)滿足：PQ,分別是圓柱的上，下

底面的兩條直徑，且該三棱錐體積的最大值為6,則圓柱。。的體積為（）

A.2兀B.6兀C.9兀D.12K

【答案】c

【分析】先應(yīng)用M，N到平面POQ的距離相等d,再應(yīng)用三棱錐體積公式計算結(jié)合不等關(guān)系計算圓柱體積即

可.

【詳解】設(shè)圓柱。。的底面圓半徑為,，圓柱的高為工

設(shè)點(diǎn)〃到平面POQ的距離為』，因為。是"N的中點(diǎn)，所以N到平面尸。。的距離也為d,

[2d]22

V+Vx2dxS22

故/.刎=M-POQN-POQ=^^poQ^-x~^rxh=-drh<-rh^6^>rh=9,

所以圓柱。i。的體積為7ir2/z=9n.

8.(24-25高二下?福建南平?期末)如圖，正方體ABCD-ABCQ中，AN=NA^,T^M=MDX,孽=4麻,

當(dāng)直線。。與平面MNE所成的角最大時，2=()

【答案】C

【分析】利用坐標(biāo)法，利用線面角的向量求法，三角函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)即得.

【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體ABC。-ABC2的棱長為1.

則〃3,0,“，2vko,1\C（O,1,O）,4（1,1,1）,D（0,0,0）,A（0,0,1）.

所以*=4鴕=（一凡0,_4），E（l-2,1,1-2）,W==

設(shè)平面M7VE的法向量為戊=（x,y,z）,

—?11

fh'MN=—x—z=0

e22

則—fl、

m?ME=\--A\x+y-Az=0

令x=l,則y=24—；,z=1,可得沆=11,22—5,1）.

又西=（0,0,1）,設(shè)直線與平面腦VE所成的角為。，則

sina=|cosm,DD1

1Ji1

從而當(dāng)2=:時，sina取到最大值，又aw0,-,故人=:時直線。2與平面肱VE所成的角最大.

4L2J4

故選：C

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.（24-25高三上?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?期末）已知直線加，?,平面a,夕，則下列說法正確的是（）

A.若，"〃〃，〃ua,則7%〃aB.若m〃/3,mua,a{\/3—n,則相〃“

C.若a〃尸，mVa,m//n,則"，分D.若aJ■尸，mVa,n工B,則〃z〃“

【答案】BC

【分析】由線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可得A錯誤，B正確；由線面垂直的的性質(zhì)可得C正確，D錯

誤；

【詳解】選項A中，加可能在a內(nèi)，也可能與a平行，故A錯誤；

選項B中，因為機(jī)〃耳，機(jī)ua,aC|￡=",所以〃?〃〃，故B正確；

選項C中，因為e〃?，m±a,所以m_L￡,又m"n,所以故C正確；

選項D中，因為cJ■尸，/"_!_（/,所以加_!_〃，故D錯誤.

故選：BC.

10.（24-25高三上?河北廊坊?期末）如圖所示，棱長為2的正方體A2CD-A瓦GR中，點(diǎn)E是棱CQ的中點(diǎn),

則下列結(jié)論中正確的是（）

aG

45i

A.點(diǎn)見到平面BDE的距離是A到平面BDE的距離的2倍

冗

B.若點(diǎn)Me平面例8,且GM與題所成角是了,則點(diǎn)”的軌跡是雙曲線的一支

C.三棱錐4-BDE的外接球的表面積為11兀

D.若Me線段BE,則的最小值是2卡+義詈

【答案】ACD

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷A；利用坐標(biāo)法，列出關(guān)于異面直線所成角的余弦

值的式子，即可判斷B；利用坐標(biāo)法，求三棱錐A-2。石的外接球的球心坐標(biāo)和半徑，即可判斷C；利用坐

標(biāo)法，表示兩點(diǎn)間的距離，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，即可求最值.

【詳解】對于A選項，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC,?！魉谥本€分別為x、丁、z軸建立如下圖所示

的空間直角坐標(biāo)系，

則4（2,0,0）、3（2,2,0）、￡＞（0,0,0）,￡（0,2,1）,耳（2,2,2）,

設(shè)平面的法向量為沅=（/,%2）,DB=（2,2,0）,DE=（0,2,1）,

則一，取玉=1,則用=（1,一1,2）,DB,=（2,2,2）,

m-DE=2yx+zx=Q

\DB.-m4O./A

所以，點(diǎn)用到平面瓦汨的距離為4=^^=吃=會坦，

\fn\V63

IDA-mlo/

點(diǎn)A到平面5D￡的距離為人=匚"=2=小，所以，4=24，故A正確;

\m\V63

對于B選項，設(shè)點(diǎn)”(x,y,0),AB=(0,2,0),QM=(x,y-2,-2),

若GM與筋所成角是9,

E麗.|2(y一2)

則卜os￡M,A@=V2

2x^x2+(y-2)2+42

整理為（y-2『-Y=4,為雙曲線方程,

所以點(diǎn)聞的軌跡是雙曲線，故B錯誤;

對于C選項，A（2,0,2）、*2,2,0）、￡>（0,0,0）、￡（0,2,1）,

設(shè)三棱錐A-3口￡的外接球的球心坐標(biāo)為（a,6,c）,半徑為R,

（a-2）2+Z?2+（c-2）2=7?2

則（：一空一2）+廠=*,方程組中前2個式子和后2個式子相減,

a+b+c=R

/+僅一2y+（c-l）2"

得;"<c，得b=c=，再回代方程組得O=g1=丁,

|4b+2c-5=0664

所以三棱錐A-BDE的外接球的表面積為4成2=11兀，故C正確;

,EC1可設(shè)點(diǎn)M[x,2,/(2-x)],即0<x<2,

對于D選項,由——=-,

BC2

2

\DM\+\AM\=Ax2+^+(x-2)*+4+M-|

啟7+5+序一5x+9=J；[一I)+g+J*-2了+4

7

上式的意義可以理解為平面直角坐標(biāo)系中，

動點(diǎn)（不。）到定點(diǎn)半］和口，羋］的距離和的近倍,

顯然，動點(diǎn)（x,0）到定點(diǎn)j|,孚］和半］的距離和的最小值是兩定點(diǎn)（|,半］和2,-半］間的距離,

距離為口15+2回

所以IW+MI的最小值是爭：J15+2回=2,3+竽,故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是坐標(biāo)法的使用，不僅可以表示角，距離，還可以求解軌跡方程，球心

坐標(biāo)等問題.

11.（24-25高三上?貴州貴陽?開學(xué)考試）如圖，在長方體ABCr>-A4G2中，AB=AD=2,A4=1,點(diǎn)”為

線段8,2上動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)點(diǎn)M為44中點(diǎn)時，平面88Q。

B.當(dāng)點(diǎn)M為中點(diǎn)時，直線與直線3C所成角的余弦值為正

3

C.當(dāng)點(diǎn)M在線段42上運(yùn)動時，三棱錐C1-BAM的體積是定值

D.點(diǎn)“到直線BG距離的最小值為亞

3

【答案】ACD

【分析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷A；利用空間向量求出向

量夾角余弦判斷B；利用三棱錐體積公式判斷C；利用空間向量求出點(diǎn)到直線的距離最小值判斷D.

【詳解】在長方體A8CD-ABCIR中，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

z.

則0(0,0,0),BQ,2,0),C(0,2,0),Q(0,2,1),R(0,0,1),B,(2,2,1),設(shè)J,1),0W2,

對于A,t=l,M(l,l,l),羽=(-1,1,0),函=(0,0,1),麗=(2,2,0),

MQD^=0,MQDB^0,即的_L_L,

而DRnDB=D,DD[,DBu平面BB]RD,因此QM，平面BBQO,A正確;

,/_,_,,DMBC|-2|百

對于B,W=(1,1,1),BC=(-2,0,0),卜。s(DM町=.西阿=左+§,B錯誤；

對于C,由選項A知，點(diǎn)C］到平面8BQD的距離為拉，而的面積=后,

因此三棱錐G-8QM的體積|是定值，C正確；

對于D,Bq=(-2,0,l),QW=(r,r-2,0),則點(diǎn)M到直線BQ的距離d=^QMf-11歌，3

,…一巾：=信_4+4=檄_/+1呼,當(dāng)且僅當(dāng)/=1時取等號，D正確.

故選：ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(24-25高二上?江蘇徐州?期中)已知空間四邊形A8CD的每條邊和對角線的長都等于1,點(diǎn)E,尸分別

是8C,的中點(diǎn)，則赤.斯的值為.

【答案】-1/-0.5

【分析】BC，BD，麗兩兩成60°角，模都為1，以這三個向量為基底，進(jìn)行向量數(shù)量積運(yùn)算.

【詳解】

A

根據(jù)題意A2CD為正四面體,

~BC,而，麗兩兩成60。角，^A-^C=BABD=BCBD=^,

由旗=麗-麗=!就-麗，

2

CF=BF-BC=-BA+-BD-BC,

22

所以通.在=（；沅一而麗+g麗一

1111111111

=—X-----1-----X-----------------------------X------1-----=--------

4242222222,

故答案為：-萬

13.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知甲、乙兩個圓臺上下底面的半徑均為4和4，母線長分別為2a弓）和

3（4-G），則兩個圓臺的體積之比￡=-

【答案】近

4

【分析】利用圓臺的體積公式，得到粵=*=，|廠，=乎,求解答案即可.

彩Q272（/;-/;）4

【詳解】由已知結(jié)合圓臺的體積公式即可求解.

因為甲、乙兩個圓臺上下底面的半徑均為弓和外,母線長分別為2（“-幻和3儲-幻，

則兩個圓臺的體積之比含===".

七匕2枝（八-琦4

故答案為：叵

4

14.（2025?上海?模擬預(yù)測）已知尸是一個圓錐的頂點(diǎn)，心是母線，PA=2,該圓錐的底面半徑是1.B、C

分別在圓錐的底面上，則異面直線E4與BC所成角的最小值為.

【答案】y

【分析】過A作AD〃3c交底面圓錐于。點(diǎn)，則/R4。為異面直線與3C所成角，結(jié)合余弦定理與余弦

函數(shù)的性質(zhì)即可得/皿>的取值范圍，從而得所求最值.

【詳解】

如圖，過A作AD/ABC交底面圓錐于。點(diǎn)，連接PO,

因為尸A=尸￡>,A￡>//3C,則/R4。為異面直線PA與8c所成角,

\PA^+\AD2-\PD^_22+|AZ)|2-22_\AD\

所以cosNPAO=

2\PA\-AD\-4\AD\一丁

X0<|AD|<2,所以0<學(xué)4（，即OvcosNPAOvg,

因為/PAOe［。,］）函數(shù)y=cos0在上單調(diào)遞減，所以gvZPArx］,

故異面直線Bl與BC所成角的最小值為g.

故答案為：—.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（23-24高二上?湖北武漢?階段練習(xí)）如圖，在三棱錐尸-ABC中，AB±BC,AB=2,BC=2也，

PB=PC=?8尸,4尸,3<?的中點(diǎn)分別為。,瓦。，AD=石。O,點(diǎn)尸在AC上，BFLAO.

（1）證明：EF//平面ADO；

（2）證明：平面AZ）O_L平面BEF；

【答案】（1）證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)設(shè)通=2正(0<彳<1),得到麗=(1-㈤而+彳旋，再由。為2C的中點(diǎn)，得到而南-麗，

結(jié)合而?:W=0,列出方程求得彳=；,得到尸為AC的中點(diǎn)，進(jìn)而證得所〃尸C,得到EF/ADO,結(jié)合線

面平行的判定定理，即可求解.

(2)根據(jù)題意，^^AO-+DO2=AD2,得到AO_LOD,進(jìn)而得到AOJ_EF,結(jié)合AO_L3產(chǎn)，利用線面

垂直的判定定理，證得AO_L平面班F,即可證得平面ADO_L平面5EF.

【詳解】(1)證明：設(shè)通=2/(0<2<1),則而一麗=〃豆心一麗)，

所以而=(1-2)而+X而，

____.1_________.____k____1________.

因為。為BC的中點(diǎn)，則的=一而，所以而=的一麗=一前一麗，

22

又因為ABJLBC,則須?反^0，

因為AB=2,3C=2&,BF_LAO,

1122

貝ij麗Z3=[(l—㈤麗+X%|_(而_麗)=_x與C-(1-2)BA

22

=42-4(1-2)=82-4=0,解得彳=；,所以歹為AC的中點(diǎn)，

又因為E為以的中點(diǎn)，所以EF//PC,

因為D。分別為尸氏尸C的中點(diǎn)，所以O(shè)O//PC,所以所/ADO,

又因為平面AD。，DOu平面ADO,所以EF//平面ADO.

(2)證明：因為2。分別為PC的中點(diǎn)，所以oo=_lpc=Y5,

22

所以庖。=國理=典，

22

因為/A3C=90。,A3=2,BO^-BC=y/2,

2

所以AO=JA^+BO2=14+2=?，所以4。2+。。2=4。2，所以AO_LQD,

因為砂〃DO,則AOJ_EF,

又因為尸，BFcEF=F,且BEE尸u平面3EF,

所以AO_L平面3EF,

因為AOu平面ADO,所以平面ADO_L平面BEF.

16.(24-25高三上?江蘇南通?階段練習(xí))如圖，在VABC中，點(diǎn)。在邊8C上，且CL>=2BD,E為邊AB的

中點(diǎn).s是平面ABC外的一點(diǎn)，且有(豆+豆)?交=(而+2衣).豆=0.

⑴證明：SC±SD；

(2)已知DE=1,SD=y[6,SE=3,直線BC與平面SDE所成角的正弦值為迪.

3

(i)求VSDE的面積；

(ii)求三棱錐S-ABC的體積.

【答案】⑴證明見解析；

⑵⑴好；(ii)2715.

2

【分析】(1)由空間向量的運(yùn)算可得SELSC,ED^SC,再由線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可證明;

(2)(i)由余弦定理求8S/SEO,根據(jù)同角的平方關(guān)系求出sin/SED,再由三角形面積公式即可求解；

(ii)由⑴得NSDC即為BC與平面SEE)所成角，根據(jù)匕“EC=L-SDE及匕一°EC=；匕一ABC即可求解.

【詳解】(1)因為E為邊AB的中點(diǎn)，所以弱+初=2克.

X(&4+SB),SC=0,gp2SE.SC=O,即SELSC.

ED=AD-AE=AB+BD--AB=-AB+-BC

223

1--1―-1—.1—.1—.

=-AB+-AC——AB=-AB+-AC,

23363

所以6麗=9+2萬e.

又因為(麗+2彩)?寬=0,所以6麗?豆=0，即EZUSC.

因為SEn￡O=E，SE,EDu平面SED,

所以SC_L平面SED.

因為SDu平面5ED,所以SC_LS_D.

(2)(i)由余弦定理可得cosNSED='+即-SD1+9-62

2ESED2x1x3-3

=好,

所以sin/S￡D=

所以S^SDE=—xlx3x^y-=^-

（ii）由（1）可知，SC_L平面SED,

所以NSDC即為BC與平面SE￡>所成角.

因為sin/SDC=^^,所以cosNSOC==-,tanZSDC=272.

3O3J3

所以啜=20，得SC=20SO=2應(yīng)x#=4g.

設(shè)S到平面A5C的距離為d,點(diǎn)A到直線BC的距離為"

則匕-OEC=；S4DEC.d=gxgxgBC；/rd

=~X^X-BC'fl,d=~S/\ABC,el=~VS-ABC-

因為匕-OEC=VjSDE=；義豐義4百=2,，

又匕"c=:匕皿，所以%BC=3匕-皿=3x妾=2A.

17.（24-25高三上?天津北辰?期末）如圖，在四棱柱ABCO-AB|G2中，AA，平面ABC。AB//CD,鉆，AD,

其中43=你=AD=2,r>C=l,E是AA的中點(diǎn).

⑴求證：￡>￡7/平面ABC；

（2）求平面\BC與平面BCG夾角的余弦值;

⑶求點(diǎn)C到平面A2C的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑵0

嗚

【分析】（1）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證得DE〃平面48C；

（2）求出平面BCG的法向量，結(jié)合（1）中的信息，利用面面角的向量求法計算可得結(jié)果;

（3）利用空間中點(diǎn)到平面距離公式計算即可得解.

平面ABCD,ASu平面ABC。，A￡>u平面ABC。,

AA±AB,AA_LA。,又AB_LAD,

二以A為原點(diǎn)，分別以詬，可，通的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得

A(0,0,0),8(0,0,2),￡>(2,0,0),C(2,0,l),￡(0,1,0),A(0,2,0),G(2,2,l),

.?-48=(0,-2,2),4C=(2,-2,1),

設(shè)平面ABC的一個法向量為力=（占,M，Z］）,

n-AB=-2y.+2z,=0

則_,不妨設(shè)%=1,得Z|=2,%=2,

n-A。=2再一2yl+z1=0

所以平面ABC的一個法向量為為=（1,2,2）,

?.-DE=(-2,1.0),有詼.萬=0，故詼_L萬.

又?.?DEa平面4BC,所以。E//平面4BC.

(2)由(1)可知覺=(2,0,—1),晅=(2,2,-1),

設(shè)平面BCG的一個法向量為應(yīng)=（%，%，z?）,

m-BC=2X-z2=0

則<2不妨設(shè)％=1，得Z2=2,%=。，

in-BC1=2X2+2y2-z2=0

所以平面8CG的一個法向量為加=(1,0,2),

十口..m-nlxl+2x0+2x215

十是cos<m,n)=-------=,=一^/=——,

\m\-\n\Vl2+22+22-Vl2+223

所以，平面ABC與平面BCG的夾角余弦值為好.

3

(3)由南1=(2,2,—1),平面ABC的一個法向量為為=(1,2,2),

設(shè)點(diǎn)G到平面A0的距離為d,貝Ud=%n=〔2*2X2+(T)X2|=4；

同Vl2+22+223

所以，點(diǎn)C1到平面ABC的距離為

18.(24-25高三上?天津紅橋?期末)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABC。為矩形，AF,平面ABC。所〃

AB,其中AD=2,A3=A/=2EF=1,尸是棱。尸的中點(diǎn).

(1)求證：所〃平面APC；

⑵求直線與平面APC夾角的正弦值；

⑶求點(diǎn)E到平面APC的距離；

【答案】(1)證明見解析

⑵■

(3)1

【分析】(1)連接交AC于點(diǎn)0,連接OP,則由三角形的中位線定理可得B/〃PO,然后利用線面平

行的判定定理可證得結(jié)論；

(2)由已知可證得AF_LAB,且AF_LAD,AB_LAD,所以以A為原點(diǎn)，AB,A。,A尸所在直線為％V，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式即可求解；

(3)利用空間向量中的距離公式可求點(diǎn)E到平面APC的距離.

【詳解】(1)連接交AC于點(diǎn)。，連接OP,

因為P,。分別為。尸,。3的中點(diǎn)，所以防〃尸O,

又POu平面APC,8/0平面4尸(7,

則BF//平面APC-,

(2)直線Ab_L平面48。。,43匚平面筋8,

所以AFLAB,且AF，AD,AB，AD,

則以A為原點(diǎn)，4昆/田,4尸所在直線為％'/軸，建立空間直角坐標(biāo)系;

8(1,0,0),0(0,2,0),0,11,C0,2,0),尸(0,0』)，

所以Q=[o,iq),K=(l,2,O),

設(shè)平面APC的法向量為n=(x,y,z),

n-AP=0y+—z=0

由＜—.，得-2

n-AC=0

%+2y=0

令x=2,得3=(2,—1,2),且麗=(0,-2,1),

所以卜os(赤?可=?竺J,

1'71\DF\\n\15

直線DF與平面APC夾角的正弦值為逑；

15

(3)因為由=13,

且平面APC的法向量為方=(2,-1,2),

\EA-n\

則點(diǎn)E到平面APC的距離d=L——?=1.

1?1

19.(24-25高三上?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?期末)如圖，在四棱錐P-ABCD中，BC//AD,ABLAD,AB=BC=1,

△P4D是邊長為2的等邊三角形，且平面平面ABCD,點(diǎn)E是棱尸。上的一點(diǎn).

E

⑴若PE=ED,求證：CE7/平面上鉆；

(2)若平面EAC與平面PBC的夾角的余弦值為?,求PE的值；

4

(3)求點(diǎn)B到直線CE的距離的最小值.

【答案】(1)證明見解析

⑵2

3

⑶,

【分析】(1)取E4的中點(diǎn)E可得CE//BF,再由線面平行的判定定理可得答案；

(2)取AD的中點(diǎn)0,由面面垂直、線面垂直的性質(zhì)定理得尸O_LOC,PO±OD,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直

UU1LIUU1

線OC,OD,。尸分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PE=2PD，求出平面E4C、平面尸BC的法

向量，由二面角的向量求法求出4可得答案；

(3)設(shè)兩=〃而，"目0』，求出點(diǎn)8到直線CE的距離J1——4——，分〃=0、0<〃41、〃=1可