立體幾何中的動(dòng)態(tài)、軌跡問(wèn)題【六大題型】

?題型歸納

【題型1動(dòng)點(diǎn)保持平行的動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題】.......................................................2

【題型2動(dòng)點(diǎn)保持垂直的動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題】.......................................................2

【題型3距離(長(zhǎng)度)有關(guān)的動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題】...................................................4

【題型4角度有關(guān)的動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題】............................................................4

【題型5翻折有關(guān)的動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題】............................................................5

【題型6軌跡所圍圖形的周長(zhǎng)、面積問(wèn)題】......................................................6

?命題規(guī)律

1、立體幾何中的動(dòng)態(tài)、軌跡問(wèn)題

“動(dòng)態(tài)、軌跡”問(wèn)題是高考立體幾何問(wèn)題最具創(chuàng)新意識(shí)的題型，是高考中的重點(diǎn)、難度問(wèn)題，它滲透

了一些“動(dòng)態(tài)”的點(diǎn)、線、面等元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力，題型更新穎.同時(shí)，由于“動(dòng)態(tài)”

的存在，也使立體幾何題更趨多元化，將立體幾何問(wèn)題與平面幾何中的解三角形問(wèn)題、多邊形面積問(wèn)題以

及解析幾何問(wèn)題之間建立橋梁，使得它們之間靈活轉(zhuǎn)化.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1立體幾何中的動(dòng)態(tài)、軌跡問(wèn)題的解題策略】

1.動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷方法

動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷一般根據(jù)線面平行、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷

出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

2.立體幾何中的軌跡問(wèn)題的常見(jiàn)解法

(1)定義法：根據(jù)圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而求解軌跡問(wèn)題.

(2)交軌法：若動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件是兩動(dòng)曲線(曲線方程中含有參數(shù))的交點(diǎn)，此時(shí)，要首先分析兩動(dòng)曲

線的變化，依賴于哪一個(gè)變量?設(shè)出這個(gè)變量為3求出兩動(dòng)曲線的方程，然后由這兩動(dòng)曲線方程著力消去

參數(shù)/，化簡(jiǎn)整理即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法我們稱為交軌法.

(3)幾何法：從幾何視角人手，結(jié)合立體幾何中的線面平行、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，找到動(dòng)

點(diǎn)的軌跡，再進(jìn)行求解.

（4）坐標(biāo)法：坐標(biāo)法就是通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，將立體幾何中的軌跡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題，進(jìn)

行求解.

（5）向量法：不通過(guò)建系，而是利用空間向量的運(yùn)算、空間向量基本定理等來(lái)研究立體幾何中的軌跡問(wèn)

題，進(jìn)行求解.

?舉一反三

【題型1動(dòng)點(diǎn)保持平行的動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題】

【例1】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體4BCD—&8道1。1中，￡為棱8c的中點(diǎn)，F(xiàn)

為底面/BCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界）.若DF〃平面&EC1，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為（）

A.V3B.V5C.2V2D.V2

【變式1-1］（2024?北京昌平?二模）已知棱長(zhǎng)為1的正方體4BCD—M是BBi的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在

正方體內(nèi)部或表面上，且MP〃平面ABm,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所形成區(qū)域的面積是（）

A.B.V2C.1D.2

【變式1-2］（2024?江西贛州?二模）在棱長(zhǎng)為4的正方體48CD—中，點(diǎn)P滿足嬴=4而，E,F

分別為棱BC,CD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在正方體ABCD—的表面上運(yùn)動(dòng)，滿足〃面則點(diǎn)Q的軌跡

所構(gòu)成的周長(zhǎng)為（）

A.哼B.2V37C.甯D.喈

【變式1-3］（2024?山東棗莊?二模）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—&B1C1D1中，M是的中點(diǎn),

點(diǎn)尸是側(cè)面CDDiCi上的動(dòng)點(diǎn)，且.MP〃平面481C,則線段〃尸長(zhǎng)度的取值范圍為（）

A.悸，聞B.[1,瑪

c-悸，1]D.[V2,|]

【題型2動(dòng)點(diǎn)保持垂直的動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題】

【例2】（2024?山東濰坊?一模）如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體2BCD-公當(dāng)?shù)谋刂?，點(diǎn)P為截面4道窗上

的動(dòng)點(diǎn)，若。P121C,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度是（）

A.乎B.V2C.|D.1

【變式2-1]（2024?海南省直轄縣級(jí)單位?模擬預(yù)測(cè)）已知四棱柱4BC。一2/停1。1的底面ABCD為正方形,

側(cè)棱與底面垂直，點(diǎn)P是側(cè)棱。小上的點(diǎn)，且DP=2PD1,AA1=3,AB=1.若點(diǎn)Q在側(cè)面BCC/i（包括其邊界）

上運(yùn)動(dòng)，且總保持AQIBP,則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為（）

AD

BiG

A.V3B.V2C.嬰D.

【變式2-2]（2024?廣西玉林?三模）在正四棱柱2BCD—4道停1。1中，AB=1,AAr=4,E為。小中點(diǎn),

P為正四棱柱表面上一點(diǎn)，且C1P1&E,則點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)為（）

A.V5+V2B.2V2+V2C.2V5+V2D.V13+V2

【變式2-3]（2024?廣西南寧?一模）在邊長(zhǎng)為4的菱形4BCD中，^ABC=120°.將菱形沿對(duì)角線4c折疊

成大小為30。的二面角夕一2C—D.若點(diǎn)E為方C的中點(diǎn),F為三棱錐方一2CD表面上的動(dòng)點(diǎn)，且總滿足AC1EF,

則點(diǎn)尸軌跡的長(zhǎng)度為（）

B'

A4+逐一魚D4+V6+V2

BC.4+V6—y/2D.4+V6+V2^

■2-2-

【題型3距離（長(zhǎng)度）有關(guān)的動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題】

【例3】(2024?四川南充二模)三棱錐4—BCD中，AB=AC=AD=4,BC=CD=DB=6,P為△BCD

內(nèi)部及邊界上的動(dòng)點(diǎn)，AP=2V2,則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為（）

A.TTB.2TTC.3TTD.4TT

【變式3-1］（2024?廣東梅州?一模）如圖，正四棱柱A8C。一4/母1。1中，力必=24B=2,點(diǎn)P是面AB/

公上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到點(diǎn)%的距離是點(diǎn)P到直線4B的距離的2倍，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）的一部分

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

【變式3-2］（23-24高三上?江西撫州?階段練習(xí)）設(shè)/、2是半徑為魚的球體。表面上的兩定點(diǎn)，且

^AOB=f,球體。表面上動(dòng)點(diǎn)〃滿足MA=則點(diǎn)〃的軌跡長(zhǎng)度為（）

A.好B,吟CL.迷IIit

【變式3-3］（2023?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）已知正方體4BCD—4/1的。1的棱長(zhǎng)為2Mp是正方形BBiCiC（含

邊界）內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到平面的距離等于竽，貝12P兩點(diǎn)間距離的最大值為（）

A.2V3B.3C.3V2D.2V6

【題型4角度有關(guān)的動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題】

【例4】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）己知正四棱錐P—ABC。的體積為警，底面4BCD的四個(gè)頂點(diǎn)在經(jīng)過(guò)球心的

截面圓上，頂點(diǎn)P在球。的球面上，點(diǎn)E為底面力BCD上一動(dòng)點(diǎn)，PE與PO所成角為也則點(diǎn)E的軌跡長(zhǎng)度為

()

CV6K

A.V2nB.4V3KnD.-2-顯--不n

c?—3

【變式4-1］（2024?海南?？?一模）如圖，點(diǎn)尸是棱長(zhǎng)為2的正方體ZBCD—Zi/CiDi表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

直線AP與平面A8C0所成的角為45。，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（）

C.2V3D.+IT

【變式4-2］（23-24高一上?浙江紹興?期末）己知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD-&B1C1D1表面上的動(dòng)點(diǎn),

若直線4P與平面4BCD所成的角大小為%則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（）

A.3V2B.2V2+nC.￥（4+TT）D.2V2+1

【變式4-3］（2024?江西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正三棱臺(tái)ABC—的上、下底面邊長(zhǎng)分別為4和6,

側(cè)棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)尸在側(cè)面BCC/i內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包含邊界），且/尸與平面BCCiBi所成角的正切值為6，則所有

滿足條件的動(dòng)點(diǎn)P形成的軌跡長(zhǎng)度為（）

4112n

A.B.駕C.亨D.

【題型5翻折有關(guān)的動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題】

【例5】（23-24高三上?云南昆明?階段練習(xí)）如圖，已知在△ABC中，AB=1,BC=3,AB1BC,。是BC邊

上一點(diǎn)，且BD=1,將△ABD沿4D進(jìn)行翻折，使得點(diǎn)B與點(diǎn)P重合，若點(diǎn)P在平面2DC上的射影在△4DC內(nèi)

部及邊界上，則在翻折過(guò)程中，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（）

AV2V2cV2nV2

A-五nBD-丁C-UD-丁

【變式5-1］（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在長(zhǎng)方形N8CD中，AB=2,BC=4,E為BC的中點(diǎn)，將aBAE

沿/E向上翻折到△PAE的位置，連接尸C,PD,在翻折的過(guò)程中，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.四棱錐P—4ECD體積的最大值為2四

B.PD的中點(diǎn)廠的軌跡長(zhǎng)度為亨

C.EP,CD與平面P4D所成的角相等

D.三棱錐P-4ED外接球的表面積有最小值1611

【變式5-2］（23-24高二上?四川內(nèi)江?期中）如圖，已知菱形力BCD中，AB=2,ABAD=120°,E為邊BC

的中點(diǎn)，將△48E沿4E翻折成△回亞（點(diǎn)/位于平面48CD上方），連接/C和8以，F(xiàn)為當(dāng)。的中點(diǎn)，則

在翻折過(guò)程中，點(diǎn)F的軌跡的長(zhǎng)度為.

【變式5-3］（22-23高二上?廣東廣州?期末）已知矩形4BCD中4B=3,AD=瓜現(xiàn)將△4CD沿對(duì)角線AC

向上翻折（如圖所示）,若在翻折過(guò)程中，點(diǎn)。到點(diǎn)3的距離在屋，苧］內(nèi)變化時(shí)，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)

度等于

【題型6軌跡所圍圖形的周長(zhǎng)、面積問(wèn)題】

【例6】（23-24高三上?廣西貴港?階段練習(xí)）正三棱柱ABC—的底面邊長(zhǎng)是4,側(cè)棱長(zhǎng)是6,M,N

分別為BBi，CCi的中點(diǎn)，若點(diǎn)尸是三棱柱內(nèi)（含棱柱的表面）的動(dòng)點(diǎn)，河尸||平面4B1N,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡

面積為（）

A.5V3B.5C.V39D.V26

【變式6-1］（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐（底面為正方形，且頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心

的棱錐為正四棱錐）尸一/BCD的底面正方形邊長(zhǎng)為2,其內(nèi)切球。的表面積為與動(dòng)點(diǎn)。在正方形/BCD

內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且滿足OQ=OP,則動(dòng)點(diǎn)。形成軌跡的周長(zhǎng)為（）

2n?3-n八4冗?5n

A.五B.-C.-D.-

【變式6-2］（23-24高二下?浙江?開學(xué)考試）在正四面體4BCD中，P,Q分別是棱的中點(diǎn)，E,F分別是

直線AB,CD上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足|PE|+|QF|=a,M是EF的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡圍成的區(qū)域的面積是（）

A.9B.fC.亭D.嚶

【變式6-3］（2024?四川?一模）如圖，正方體4BCD—41B1C1%的棱長(zhǎng)為3,點(diǎn)E在棱BC上，且滿足

BE=2EC,動(dòng)點(diǎn)M在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，且MEIBDi，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的周長(zhǎng)為（）

A.6V2B.4V3C.4V2D.3V3

?過(guò)關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2024?陜西銅川?模擬預(yù)測(cè)）在正四棱臺(tái)2BCD—4/修1%中，AB=2A1B1=4V3,AAi=V10,P是

四邊形ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且力止=4,則動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為（）

A.B.C.D.2V2n

2.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體力BCD—A/iCiDi中，己知M,N,P分別是棱的

A4i，8C的中點(diǎn)，Q為平面PMN上的動(dòng)點(diǎn)，且直線QB1與直線的夾角為30。，則點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為

3.（2024?江西?二模）已知正方體4BCD—4B1C1D1的棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)M滿足gM=3而，若在正方形力$1的

久內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P滿足BP〃平面AM外,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為（）

A.4B.V17C.5D.4V2

4.（2024?四川成都?三模）在棱長(zhǎng)為5的正方體ABC。-41&C1D1中，Q是中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的內(nèi)

切球的球面上運(yùn)動(dòng)，且CP14Q,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（）

A.VSTTB.2V5nC.孚D.5n

4

5.（2024?北京延慶一模）已知在正方體4BCD—&B1C1D1中，AB=1,P是正方形4BCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，

PA2PC1，則滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成的圖形的面積等于（）

11IT7T

A?94C16D.g

6.（2024?上海徐匯?二模）三棱錐P—ABC各頂點(diǎn)均在半徑為2魚的球。的表面上，AB=AC=2&4BAC=

90。，二面角P—BC—a的大小為45。，則對(duì)以下兩個(gè)命題，判斷正確的是（）

①三棱錐。-4BC的體積為*②點(diǎn)P形成的軌跡長(zhǎng)度為2鬧.

A.①②都是真命題

B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題

D.①②都是假命題

7.（2024?四川成都?三模）六氟化硫，化學(xué)式為SF6,在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體,

有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是

正三角形，可以看作是將兩個(gè)棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖所示，正八面體

E—4BCD—F的棱長(zhǎng)為a,下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（）

①異面直線4E與BF所成的角為45°；

②此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為3百；

③若點(diǎn)P為棱EB上的動(dòng)點(diǎn)，則AP+CP的最小值為2ga；

④若點(diǎn)。為四邊形4BCD的中心，點(diǎn)Q為此八面體表面上動(dòng)點(diǎn)，且|0Q|=|,則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為竽cm.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

8.（2024?四川綿陽(yáng)?三模）如圖，正方體4BCD—的棱長(zhǎng)為3,點(diǎn)M是側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含

邊界），點(diǎn)P在棱上，且|PO|=1.則下列結(jié)論不正確的是（）

A.若保持|PM|=Vn.則點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為無(wú)

B.保持P例與BO垂直時(shí)，點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為2魚

C.沿正方體的表面從點(diǎn)4到點(diǎn)P的最短路程為2V1U

D.當(dāng)M在/點(diǎn)時(shí)，三棱錐夕—MAP的外接球表面積為多

二、多選題

9.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—AiBiCiDi中，AB=BC=4,44】=3,M為2D

中點(diǎn)，P為矩形CCWi。內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且乙DPM=4BPC,貝U（）

A.點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分

B.點(diǎn)P的軌跡為圓的一部分

C.點(diǎn)P的軌跡與DC,所圍成的圖形面積為D—華

D.點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為小

10.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知正方體力BCD-4/1的￡）1的棱長(zhǎng)為1,空間中一動(dòng)點(diǎn)P滿足麗=ABC+/IBBI

（尢4€R）,M,N,Q分別為44i，4B/D的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.存在點(diǎn)P,使得&P〃平面MNQ

4K1

B.設(shè)4cl與平面MNQ交于點(diǎn)K,則號(hào)=g

C.若NP2C=30。，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線

D.三棱錐P—QMN的外接球半徑最小值為小

4

11.（2024?湖南益陽(yáng)?三模）如圖，點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為2的正方體4BCD—&B1C1D1的表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下

A.當(dāng)點(diǎn)尸在平面BCC/i上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐P—4竹小。的體積不變

B.當(dāng)點(diǎn)尸在線段NC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，小P與41cl所成角的取值范圍為［點(diǎn),

C.使直線AP與平面ABCD所成角為45。的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為Tt+4魚

D.若尸是的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸在底面4BCD上運(yùn)動(dòng)，且滿足PF〃平面&CD1時(shí)，PF長(zhǎng)度的最小值為

V5

三、填空題

12.（23-24高三上?江西撫州?期中）已知菱形ABCD的各邊長(zhǎng)為2/D=60。.如圖所示，將△"￡）沿"折起,

使得點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)S的位置，連接SB,得到三棱錐S—ABC,此時(shí)SB=3.若E是線段S4的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在三棱錐

S-4BC的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持EF1AC則點(diǎn)F的軌跡的面積為.

13.（2024?江西宜春?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四面體ABC。中，△ABC和△4CD均是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,

DB=9,則四面體48CD外接球的表面積為；點(diǎn)￡是線段ND的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在四面體4BCD的外接球

上運(yùn)動(dòng)，且始終保持斯1/C,則點(diǎn)尸的軌跡的長(zhǎng)度為.

A

14.（2024?四川遂寧?模擬預(yù)測(cè)）在直四棱柱A8CD—4中停1。1中，所有棱長(zhǎng)均為2,^BAD=60°,P為CQ

的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在四邊形DCCWi內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，下列結(jié)論中正確的是（填序號(hào)）.

①當(dāng)點(diǎn)Q在線段CDi上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體&BPQ的體積為定值

②若4Q〃面&BP,則4Q的最小值為四

③若△&BQ的外心為則用后?行為定值2

④若&Q=V7,則點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為g

四、解答題

15.