專題8-2立體幾何中的截面及其歸類

目錄

【題型一】截面基礎(chǔ)：截面形狀..........................................................1

【題型二】截面作圖基本功：相交線法....................................................2

【題型三】截面作圖基本功：平行線法....................................................2

【題型四】求截面面積..................................................................2

【題型五】求截面周長..................................................................3

【題型六】求截面所分體積..............................................................4

【題型七】球截面：外接球..............................................................5

【題型八】球截面：內(nèi)切球..............................................................6

【題型九】圓錐截面....................................................................6

【題型十】截面與所對(duì)應(yīng)角度............................................................7

【題型十一】截面恒平行于直線或平面....................................................7

【題型十二】截面恒垂直于直線或平面....................................................9

真題再現(xiàn)..............................................................................10

模擬檢測(cè)..............................................................................11

熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】截面基礎(chǔ)：截面形狀

【典例分析】

用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截面的形狀是三角形，那么這個(gè)幾何體不可能是（）

A.圓錐B.圓柱

C.三棱錐D.正方體

【變式演練】

L如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓而得到的

組合體，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)組合體，則截面圖形可能是.

2.在正方體A2CD-444R中，E,尸分別為BC,CG的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面

多邊形的形狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D,六邊形

3..用一個(gè)平面截正方體，截面可能出現(xiàn)的形狀是（）

①等邊三角形②直角梯形③菱形④五邊形

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【題型二】截面作圖基本功：相交線法

【典例分析】

基礎(chǔ)模型：如下圖E、F是幾等分點(diǎn)，不影響作圖?？梢韵饶J(rèn)為中點(diǎn)，等學(xué)生完全理解了，再改

成任意等分點(diǎn)。做出過三E,F,Ci點(diǎn)的截面

【題型三】截面作圖基本功：平行線法

【典例分析】

基礎(chǔ)模型：如下圖E、F是幾等分點(diǎn)，不影響作圖。可以先默認(rèn)為中點(diǎn)，等學(xué)生完全理解了，再改

成任意等分點(diǎn)。做出過三E,F,Ci點(diǎn)的截面

本題用平行線法

【題型四】求截面面積

【典例分析】

正方體的棱長為4,BtP=2PC,DlQ=3QCl,用經(jīng)過B,p,。三點(diǎn)的平面截該正

方體，則所截得的截面面積為（）

?15V15

A.3屈B.15A/3V-z?------------D.35/21

4

【變式演練】

1.在棱長為6的正方體ABC。-A用GR中，E是棱的中點(diǎn)，過E,D，G作正方體的截面，則該

截面的面積是.

2..如圖，在正方體A2CD-A與GR中,中點(diǎn)為。，過4。、用三點(diǎn)的截面面積為

3..正方體ABCD—A/8/Gd的棱長為1,E、尸分別為8C、8。的中點(diǎn)，則平面AE尸截正方體所得

的截面面積為.

【題型五】求截面周長

【典例分析】

如圖正三棱錐A-3CD底面邊長為1,側(cè)棱長為2,E,尸分別為AC,AD上的動(dòng)點(diǎn)，則截面ABEF

周長的最小值______.

【變式演練】

1.已知正方體ABCD-ABGR的棱長為a，M、N分別是GO，AD的中點(diǎn)，P在CG上且滿足

CP=2PG，過M、N、P三點(diǎn)作正方體的截面，并計(jì)算該截面的周長.

2.已知正方體A3CD-A耳G2的棱長為4,E,尸分別是棱BC的中點(diǎn)，則平面，石廠截該正

方體所得的截面圖形周長為（）

A.6B.100C.713+2A/5D.2屈+y+25

3.如圖，在三棱錐V—ABC中，VA=VB=VC=8,ZAVB=ZAVC=ZBVC=30°,過點(diǎn)A作截面AE尸,

則AAEF周長的最小值為.

【題型六】求截面所分體積

【典例分析】

如圖，正四棱錐P-A3CD的底面邊長和高均為2,M是側(cè)棱PC的中點(diǎn).若過AM作該正四棱錐的截

面,分別交棱PB、PD于點(diǎn)E、F（可與端點(diǎn)重合），則四棱錐P-AEMF的體積的取值范圍是.

【變式演練】

1.如圖，正方體ABC。-AgGA的一個(gè)截面經(jīng)過頂點(diǎn)A,C及棱A蜴上一點(diǎn)K,截面將正方體分成

體積比為2:1的兩部分，則蕓的值為（）

3G

/萬I/c

——

3-君

4.-B.

32--2-

2.如圖，在棱長為2的正方體AB。-AAGR中，點(diǎn)尸是棱AB上的動(dòng)點(diǎn)，過&G，P三點(diǎn)作正

方體的截面，若截面把正方體分成體積之比為7：25的兩部分，則該截面的周長為（）

B.3+辿C.5+述D.5+述

222

3.如圖，正方體ABC。-A4GA，中，民尸分別是棱A8、BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)2、反尸的截面將正方

體分割成兩個(gè)部分，記這兩個(gè)部分的體積分別為K，X，記乂＜匕，則匕：匕=.

【題型七】球截面：外接球

【典例分析】

棱長為2點(diǎn)的正四面體ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，E、尸分別為棱AB,BC的中點(diǎn),

則經(jīng)過E,廠兩點(diǎn)的球的截面面積的最小值為（）

71-5兀，

A.—B.兀C.—D.4兀

42

【變式演練】

1.已知球。是正三棱錐A-3CD的外接球，BC=3,AB=2^,點(diǎn)E在線段8。上，且BD=6BE,

過點(diǎn)E作球。的截面，則所得截面圓的面積可能是（）

A.加B.2?C.3兀D.4〃

2.已知空間四邊形ABCD的各邊長及對(duì)角線8。的長度均為6,平面平面CBD,點(diǎn)M在AC上,

且AM=2MC,過點(diǎn)/作四邊形A3CD外接球的截面，則截面面積最大值與最小值之比為

3.已知球。是正三棱錐（底面為正三角形,頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）A-3CD的外接球，BC=3,

AB=2^3,點(diǎn)E在線段上，且BD=3BE,過點(diǎn)E作球。的截面，則所得截面圓面積的取值范圍

是（）

A.[萬,2句B.[萬,3%]C.[2],4句D.[3%,6句

【題型八】球截面：內(nèi)切球

【典例分析】

在棱長為a的正方體內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，過正方體中兩條互為異面直線的棱的中點(diǎn)作直線，該直線被

球面截在球內(nèi)的線段的長為（）.

A.^A/2—1B.C.—aD.—a

【變式演練】

1..棱長為1的正方體AB。-AqGR內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球O,過正方體中兩條互為異面直線的A3,

AR的中點(diǎn)只。作直線，該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長為（）

A.@B.1C.—D.V2-1

224

2.如圖，在四面體力88中，截面力經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個(gè)面都相切的球）球心°,且

與3C，Q（'分別截于E、F,如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐與

三棱錐力一EFC的表面積分別是$，$2,則必有（）

3.已知球0為棱長為1的正方體A3。-AgGA的內(nèi)切球，則平面截球o的截面面積為

【題型九】圓錐截面

【典例分析】

已知某圓錐軸截面的頂角為120。，過圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為2,則該圓

錐的底面半徑為（）

A.73B.^3C.2A/3D.2%

【變式演練】

1.已知圓錐體積為一，高為4,過頂點(diǎn)P作截面a,若平面a與底面所成的銳二面角的余弦值為|,

圓錐被平面a截得的兩個(gè)幾何體設(shè)為S,Q.若S,。的體積為匕,匕（其中匕＜匕），則匕：匕=

2.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是中心角為270。的扇形，且扇形半徑為4,則過圓錐頂點(diǎn)的截面的面積的

最大值為（）

A.a互B.—C.8D.3百

39

3.圓錐的兩條母線所作的一切截面中，以軸截面的面積最大”是否成立?

【題型十】截面與所對(duì)應(yīng)角度

【典例分析】

在棱長為1的正方體ABC。-4耳GR中，M是棱CG的中點(diǎn)，N是側(cè)面與BCG內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足

直線AN//平面ARM,當(dāng)直線AN與平面8出CQ所成角最小時(shí)，記過點(diǎn)。,的平面截正方體

ABCD-^B^D,所得到的截面為。，則截面。的周長為.

【變式演練】

1.過半徑為4的球。表面上一點(diǎn)M作球。的截面，若與該截面所成的角是30。，則。到該截面

的距離是（）

A.4B.2A/3C.2D.1

2..圓錐的底面半徑為百，母線與底面成45。角，過圓錐頂點(diǎn)S作截面SAB,且與圓錐的高S。成

30°角，則底面圓心0到截面SAB的距離是.

3..在三棱錐A-BCD中，/ABC=/ABD=/CBD=90。,BC=BD=BA=1,過點(diǎn)A作平面a與

BC,8。分別交于尸，。兩點(diǎn)，若A8與平面a所成的角為30。，則截面AP。面積的最小值是（）

2￡

A.1B.-D.

33

【題型十一】截面恒平行于直線或平面

【典例分析】

（1）如圖，棱長為2的正方體ABC。-48cA中，M,N是棱4耳，AA的中點(diǎn)，在圖中畫出

過底面ABCD中的心。且與平面加W平行的平面在正方體中的截面，并求出截面多邊形的周長為:

D,

（2）作出平面PQR與四棱錐ABCDE的截面，截面多邊形的邊數(shù)為

【變式演練】

L.如圖，在長方體中，AD=DDX=1,AB=J3,E,F,G分別為AB,BC，GR的中

點(diǎn)，點(diǎn)尸在平面A3CD內(nèi)，若直線2尸〃平面EFG,則2與滿足題意的尸構(gòu)成的平面截正方體的

2.在棱長為4的正方體AB。一44GR中,點(diǎn)P是棱A8的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作與截面尸2。平行的截

面，則所得截面的面積為.

3.如圖，在棱長為2的正方體中，〃是4片的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是正方形CDRG（含內(nèi)

部）上的動(dòng)點(diǎn)，且MP〃截面AB。，則線段形成的區(qū)域面積是（）

c.2A/3D.2A/6

【題型十二】微面恒垂直于直線或平面

【典例分析】

如圖，正三棱柱ABC-的高為4,底面邊長為4石，。是的中點(diǎn)，P是線段4。上的動(dòng)點(diǎn),

過8c作截面a,使得&且垂足為E,則三棱錐P-3CE體積的最小值為.

【變式演練】

1.如圖，正方體AC的棱長為1,點(diǎn)M在棱401上，AiM=2MDx,過M的平面a與平面A1G

平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為.

2..已知點(diǎn)尸為半徑等于2的球。球面上一點(diǎn)，過。尸的中點(diǎn)E作垂直于0尸的平面截球。的截面圓為

圓E,圓E的內(nèi)接AABC中，NABC=90。，點(diǎn)B在AC上的射影為。，則三棱錐P-ABQ體積的最

大值為.

3.如圖，在直三棱柱ABC-A與G中，ABLBCABMBCUCGMZ,點(diǎn)尸在棱BC上運(yùn)動(dòng)，則過點(diǎn)P

且與A.C垂直的平面a截該三棱柱所得的截面面積的最大值為.

盡真題再現(xiàn)

1.若圓錐的軸截面為等腰直角三角形，則它的底面積與側(cè)面積之比是（）

A.72:1B.2:1C.1:72D.1:2

2.如圖，正方體A8CO-的棱長為1,線段用2上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)￡、F,且EF=g,則下

列結(jié)論中錯(cuò)誤的是一

A.AC1BE

B.￡7”平面A3CD

C.三棱錐的體積為定值

D.AAEF的面積與ABEF的面積相等

3.用與球心距離為1的平面去截面面積為萬，則球的體積為

32/r8n一l8a乃

A.—^―B.—C,8&萬

3

4.平面a截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面a的距離為夜，則此球的體積為

A.巫兀B.473nC.4痛兀D.6百兀

5.已知圓柱的上、下底面的中心分別為a,o2,過直線a。的平面截該圓柱所得的截面是面積

為8的正方形，則該圓柱的表面積為_

A.1207cB.12兀C.80兀D.IOTI

6.已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面。所成的角都相等，則。截此正方體所得截面面

積的最大值為

白

A3R2?R3A/2nV3

A.---D.---C.---D.

4342

7.已知平面。截一球面得圓M,過圓心M且與a成60。二面角的平面方截該球面得圓N,若該球

面的半徑為4.圓M的面積為4），則圓N的面積為

A.4%B.7%C.IbrD.13萬

8.設(shè)”,N是球心。的半徑。尸上的兩點(diǎn)，且NP=MN=OM,分別過N,M,O作垂線于。尸的面截

球得三個(gè)圓，則這三個(gè)圓的面積之比為（）

A.3：5：6B.3：6：8C.5：7：9D.5：8：9

9.設(shè)OA是球O的半徑,M是OA的中點(diǎn)，過M且與OA成45。角的平面截球O的表面得到圓C.若

圓C的面積等于三，則球O的表面積等于

1..用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截面的形狀是矩形，那么這個(gè)幾何體不可熊是（）

A.圓錐B.圓柱C.三棱柱D.長方體

2.如圖，在底面邊長為8cm,高為6cm的正三棱柱A